フィボナッチ数列

数学において、フィボナッチ数列は、各要素がその前の2つの要素の和である数列です。フィボナッチ数列を構成する数はフィボナッチ数として知られ、一般的にF _n ^{と表記されます。多くの著者は0と1から数列を始めますが、1と1 [1] [2]}から始める著者もいれば、フィボナッチのように1と2から始める著者もいます。0と1から数列は始まります

0、1、1、2、3、5、8、13、21、34、55、89、144、…（OEISのシーケンスA000045）

辺の長さが連続するフィボナッチ数である正方形のタイル：1、1、2、3、5、8、13、21

フィボナッチ数は、紀元前200年頃、ピンガラによる、2つの長さの音節から形成されるサンスクリット詩の可能なパターンを列挙した著作の中で、インド数学で初めて記述されました。 ^{[3] [4] [5]}フィボナッチ数は、1202年に著書『算盤の書』でこの数列を西ヨーロッパ数学に導入した、フィボナッチとしても知られるイタリアの数学者、レオナルド・ディ・ピサにちなんで名付けられました。^[6]

フィボナッチ数は数学において意外にも頻繁に登場し、その研究に特化した学術誌「フィボナッチ・クォータリー」が刊行されているほどです。フィボナッチ数の応用としては、フィボナッチ探索法やフィボナッチ・ヒープ・ データ構造といったコンピュータアルゴリズム、並列システムや分散システムを相互接続するために使用されるフィボナッチ・キューブと呼ばれるグラフなどが挙げられます。また、木の枝分かれ、茎における葉の配置、パイナップルの果実の発芽、アーティチョークの開花、松ぼっくりの苞葉の配置など、生物学的な場面にも見られますが、すべての種に見られるわけではありません。

フィボナッチ数は黄金比とも強く関連しています。ビネの公式は、n番目のフィボナッチ数をnと黄金比で表し、連続する2つのフィボナッチ数の比は、nが増加するにつれて黄金比に近づくことを示唆しています。フィボナッチ数はルーカス数とも密接に関連しており、ルーカス数も同じ漸化式に従い、フィボナッチ数とルーカス数列の相補的なペアを形成します。

定義

フィボナッチ螺旋：フィボナッチタイリングにおける正方形の対角を結ぶ円弧を描くことで作成される黄金螺旋の近似値（前の図を参照）

フィボナッチ数は、 n > 1 に対して 漸化式^[7] とによって定義される場合があります。 $${\displaystyle F_{0}=0,\quad F_{1}=1,}$$ $${\displaystyle F_{n}=F_{n-1}+F_{n-2}}$$

古い定義の中には、値が省略され、数列が で始まり、 n > 2に対して の漸化式が有効になるものもあります。^{[8] [9]}${\displaystyle F_{0}=0}$ ${\displaystyle F_{1}=F_{2}=1,}$ ${\displaystyle F_{n}=F_{n-1}+F_{n-2}}$

最初の20個のフィボナッチ数列F _nは次のとおりです。

フィボナッチ数列は、負の方向の同じ再帰関係に従うことで、負の整数の添え字に拡張できます（OEISのA039834数列）。n < 0の場合、 ⁠ ⁠、⁠ ⁠、および⁠ ⁠。フィボナッチ数列のほぼすべての特性は、添え字が正か負かに依存しません。正と負の添え字の値は、次の関係に従います。^[10]${\displaystyle F_{1}=1}$ ${\displaystyle F_{0}=0}$ ${\displaystyle F_{n}=F_{n+2}-F_{n+1}}$ $${\displaystyle F_{-n}=(-1)^{n+1}F_{n}.}$$

歴史

インド

長さ6の韻律で長音節と短音節を配置する13通り（F _{7 ）の方法。8通り（} F ₆）は短音節で終わり、5通り（F ₅）は長音節で終わる

フィボナッチ数列は、インド数学においてサンスクリット語の韻律と関連して登場する。^{[4] [11] [12]}サンスクリット詩の伝統においては、持続時間が2単位の長音節（L）と持続時間が1単位の短音節（S）を並置したすべてのパターンを列挙することに関心が寄せられていた。与えられた総持続時間を持つ連続するLとSの異なるパターンを数えると、フィボナッチ数列が得られる。持続時間がm単位のパターンの数はF _{m +1}である。^[5]

フィボナッチ数列に関する知識は、ピンガラ（紀元前 450年頃～紀元前200年頃）の時代にはすでに存在していました。シンは、ピンガラの謎めいた公式「ミスラウ・チャ」（「2つは混ざり合っている」）と、文脈からそれを解釈する学者たちの言葉を引用し、m拍（F _{m +1}）のパターンの数は、 F _mの場合に1つの [S] を、 F _{m -1}の場合に1つの [L] を加えることで得られると述べています。^[13] バラタ・ムニもまた、ナティヤ・シャーストラ（紀元前 100年頃～紀元後 350年頃）の中でこの数列に関する知識を述べています。 ^{[3] [4]しかし、この数列の最も明確な説明は、}ヴィラハンカ​​（紀元後700年頃） の著作にあります。ヴィラハンカ​​自身の著作は失われていますが、ゴーパーラ（紀元後 1135年頃） の引用として入手可能です。 ^[12]

前の2つの拍子の変化[が変化]…例えば、長さ4の拍子の場合、2と3の拍子の変化が混ざると、5つの拍子の変化が発生します。[例8、13、21を計算]…このように、すべてのマートラ・ヴリッタ[韻律の組み合わせ]でこのプロセスに従う必要があります。^[a]

ヘーマチャンドラ（ 1150年頃 ）もこの順序を知っていたとされており、^[3]「最後のものとその前のものの合計が、次のマートラ・ヴリッタの数である」と書いています。^{[15] [16]}

ヨーロッパ

フィレンツェ国立図書館所蔵のフィボナッチの算盤の書のページ。右のボックス内にフィボナッチ数列の 13 項目が示されています。現在から XII (月) までのインデックスはラテン序数とローマ数字で、数字 (ウサギのペア) は 1、2、3、5 から始まり 377 で終わるヒンドゥー教-アラビア数字で表されています。

フィボナッチ数列は、フィボナッチの著書『算数の書』 （1202年）^{[17] [18]}で初めて登場し、ウサギの個体数の増加を計算するために使用されています。^[19]フィボナッチは、理想的な（生物学的に非現実的な）ウサギの個体数の増加を考察し、次のような仮定をしました。生まれたばかりのウサギのつがいを野原に置きます。それぞれのつがいは生後1ヶ月で交尾し、2ヶ月目の終わりには必ず別のウサギのつがいを産みます。ウサギは決して死ぬことなく、永遠に繁殖を続けます。フィボナッチはウサギの数学の問題を提起しました。1年間で何組のつがいがいるでしょうか？

• 1ヶ月目の終わりにつがいをしますが、まだ1組しかいません。
• 2ヶ月目の終わりに新しいつがいを産むので、畑には2組のつがいがいることになります
• 3ヶ月目の終わりに、最初のつがいは2組目のつがいを産みますが、2組目のつがいは1ヶ月間だけ妊娠するため、全部で3組になります。
• 4ヶ月目の終わりに、最初のつがいはさらに別の新しいつがいを産み、2ヶ月前に生まれたつがいも最初のつがいを産み、5組になります。

nヶ月目の終わりに、ウサギのつがいの数は、成熟したつがいの数（つまり、n -2ヶ月目のつがいの数）と、先月（ n -1ヶ月目）に生存していたつがいの数の合計に等しくなります。nヶ月目の数はn番目のフィボナッチ数です。^[20]

「フィボナッチ数列」という名称は、19世紀の数論学者エドゥアール・リュカによって初めて使用されました。^[21]

フィボナッチ・ウサギ問題の解：理想的な集団が成長すると、ウサギのペアの数はフィボナッチ数列を形成します。nヶ月目の終わりには、ペアの数はF _{nに等しくなります。}

黄金比との関係

閉じた形式の表現

定数係数を持つ同次線形回帰によって定義されるすべての数列と同様に、フィボナッチ数は閉じた形式の表現を持ちます。^{[22]これはフランスの数学者}ジャック・フィリップ・マリー・ビネにちなんでビネの公式として知られるようになりましたが、アブラアン・ド・モアブルとダニエル・ベルヌーイによってすでに知られていました。^[23]

$${\displaystyle F_{n}={\frac {\varphi ^{n}-\psi ^{n}}{\varphi -\psi }}={\frac {\varphi ^{n}-\psi ^{n}}{\sqrt {5}}},}$$

ここで⁠ ⁠${\displaystyle \varphi }$ は黄金比、⁠ ⁠${\displaystyle \psi }$ はその共役比である。^[24]

$${\displaystyle {\begin{aligned}\varphi &={\tfrac {1}{2}}{\bigl (}1+{\sqrt {5}}~\!{\bigr )}={\phantom {-}}1.61803\ldots ,\\[5mu]\psi &={\tfrac {1}{2}}{\bigl (}1-{\sqrt {5}}~\!{\bigr )}=-0.61803\ldots .\end{aligned}}}$$ The numbers ⁠ ⁠${\displaystyle \varphi }$ and ⁠ ⁠${\displaystyle \psi }$ are the two solutions of the quadratic equation ⁠ ⁠${\displaystyle \textstyle x^{2}-x-1=0}$ , that is, ⁠ ⁠${\displaystyle (x-\varphi )(x-\psi )=x^{2}-x-1}$ , and thus they satisfy the identities ⁠ ⁠${\displaystyle \varphi +\psi =1}$ and ⁠ ⁠${\displaystyle \varphi \psi =-1}$ .

Since , Binet's formula can also be written as ${\displaystyle \psi =-\varphi ^{-1}}$

$${\displaystyle F_{n}={\frac {\varphi ^{n}-(-\varphi )^{-n}}{\sqrt {5}}}={\frac {\varphi ^{n}-(-\varphi )^{-n}}{2\varphi -1}}.}$$

数列とこれらの定数の関係を確認するには、^{[25] で}、および も の根であるため、およびのべき乗はフィボナッチ再帰性を満たすことに注意してください。言い換えれば、 ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle x^{n}=x^{n-1}+x^{n-2},}$ ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle \psi }$

$${\displaystyle {\begin{aligned}\varphi ^{n}&=\varphi ^{n-1}+\varphi ^{n-2},\\[3mu]\psi ^{n}&=\psi ^{n-1}+\psi ^{n-2}.\end{aligned}}}$$

任意の値aとbに対して、定義される数列は

$${\displaystyle U_{n}=a\varphi ^{n}+b\psi ^{n}}$$

同じ再帰性を満たす。aとbをU ₀ = 0、U ₁ = 1となるように選択すると、結果として得られる数列U _nはフィボナッチ数列でなければならない。これは、 aとbが以下の連立方程式を満たすこと を要求するのと同じである。

$${\displaystyle {\begin{aligned}a\varphi ^{0}+b\psi ^{0}&=0\\a\varphi ^{1}+b\psi ^{1}&=1\end{aligned}}}$$

解は

$${\displaystyle a={\frac {1}{\varphi -\psi }}={\frac {1}{\sqrt {5}}},\quad b=-a,}$$

要求された式を生成する

初期値U ₀とU _{1 を}任意定数として連立方程式を解くと、一般解が得られます。 特に、a = 1を選択すると、 nが十分に大きい場合、数列のn番目の要素は⁠ ⁠のn乗に近似します。これは、U ₀ = 2およびU ₁ = 1のときに発生し、ルーカス数列が生成されます。 $${\displaystyle {\begin{aligned}a&={\frac {U_{1}-U_{0}\psi }{\sqrt {5}}},\\[3mu]b&={\frac {U_{0}\varphi -U_{1}}{\sqrt {5}}}.\end{aligned}}}$$ ${\displaystyle \varphi }$

四捨五入による計算

n ≥ 0 のすべての場合、 数F _nはに最も近い整数です。したがって、最も近い整数関数を使用して を丸めることで見つけることができます。${\textstyle \left|{\frac {\psi ^{n}}{\sqrt {5}}}\right|<{\frac {1}{2}}}$ ${\displaystyle {\frac {\varphi ^{n}}{\sqrt {5}}}}$ $${\displaystyle F_{n}=\left\lfloor {\frac {\varphi ^{n}}{\sqrt {5}}}\right\rceil ,\ n\geq 0.}$$

実際、丸め誤差はn が大きくなるにつれて急速に小さくなり、 n ≥ 4の場合は 0.1 未満、 n ≥ 8の場合は 0.01 未満になります。この式は簡単に逆転してフィボナッチ数Fの指数を求めることができます。 $${\displaystyle n(F)=\left\lfloor \log _{\varphi }{\sqrt {5}}F\right\rceil ,\ F\geq 1.}$$

代わりに、床関数を使用すると、 Fより大きくないフィボナッチ数の最大指数が得られます。 ここで、、、^[26]、および^[27]です。$${\displaystyle n_{\mathrm {largest} }(F)=\left\lfloor \log _{\varphi }{\sqrt {5}}(F+1/2)\right\rfloor ,\ F\geq 0,}$$ ${\displaystyle \log _{\varphi }(x)=\ln(x)/\ln(\varphi )=\log _{10}(x)/\log _{10}(\varphi )}$ ${\displaystyle \ln(\varphi )=0.481211\ldots }$ ${\displaystyle \log _{10}(\varphi )=0.208987\ldots }$

絶対値

_F n_はに漸近するため、F _nの桁数は に漸近します。結果として、すべての整数d > 1に対して、 d桁の小数点 を持つフィボナッチ数は 4 つまたは 5 つ存在します${\displaystyle \varphi ^{n}/{\sqrt {5}}}$ ${\displaystyle n\log _{10}\varphi \approx 0.2090\,n}$

より一般的には、bを基数とする表現において、 F _nの桁数は漸近的になります。${\displaystyle n\log _{b}\varphi ={\frac {n\log \varphi }{\log b}}.}$

連続する商の極限

ヨハネス・ケプラーは、連続するフィボナッチ数の比が に収束することを観察しました。彼は「5 が 8 に等しいのと同じように、実質的には 8 が 13 に等しいのと同じように、13 が 21 に等しいのもほとんど同じだ」と書き、これらの比率は黄金比に近づくと結論付けました。 [ 28 ${\displaystyle \varphi }$ ^{] [29]} $${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {F_{n+1}}{F_{n}}}=\varphi .}$$

この収束は、開始値とに関係なく、ただし でない限り成立します。これはビネの公式を用いて検証できます。例えば、初期値3と2は、3、2、5、7、12、19、31、50、81、131、212、343、555、… という数列を生成します。この数列の連続する要素の比は、黄金比への同様の収束を示します。 ${\displaystyle U_{0}}$ ${\displaystyle U_{1}}$ ${\displaystyle U_{1}=-U_{0}/\varphi }$

一般に、連続するフィボナッチ数間の比はに近づくため、 となります。 ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {F_{n+m}}{F_{n}}}=\varphi ^{m}}$ ${\displaystyle \varphi }$

平面の連続したタイリングと、各フィボナッチ数を前の数で割ることによって計算される黄金比の近似値のグラフ

べき乗分解

黄金比は次の式を満たすため $${\displaystyle \varphi ^{2}=\varphi +1,}$$

この式は、高次のべき乗を低次のべき乗の線形関数として分解するために使用でき、さらに、と1の線形結合まで分解できます。結果として得られる漸化式は、線形係数としてフィボナッチ数を生成します。 この式は、 n ≥ 1の帰納法によって証明 できます。 の場合、また、また、 ${\displaystyle \varphi ^{n}}$ ${\displaystyle \varphi }$ $${\displaystyle \varphi ^{n}=F_{n}\varphi +F_{n-1}.}$$ $${\displaystyle {\begin{aligned}\varphi ^{n+1}&=(F_{n}\varphi +F_{n-1})\varphi =F_{n}\varphi ^{2}+F_{n-1}\varphi \\&=F_{n}(\varphi +1)+F_{n-1}\varphi =(F_{n}+F_{n-1})\varphi +F_{n}=F_{n+1}\varphi +F_{n}.\end{aligned}}}$$ ${\displaystyle \psi =-1/\varphi }$ ${\displaystyle \psi ^{2}=\psi +1}$ $${\displaystyle \psi ^{n}=F_{n}\psi +F_{n-1}.}$$

これらの式は、フィボナッチ数列F _nをフィボナッチ則を用いて負の整数に拡張した場合、 n < 1にも当てはまります。${\displaystyle F_{n}=F_{n+2}-F_{n+1}.}$

識別

ビネの公式は、正の整数xがフィボナッチ数である場合と、またはの少なくとも一方が完全な平方数である場合に限ることを証明しています。^[30]これは、 と書くことができるビネの公式に を掛けて、 の二次方程式として解くことができるためです。 ${\displaystyle 5x^{2}+4}$ ${\displaystyle 5x^{2}-4}$ ${\displaystyle F_{n}=(\varphi ^{n}-(-1)^{n}\varphi ^{-n})/{\sqrt {5}}}$ ${\displaystyle {\sqrt {5}}\varphi ^{n}}$ ${\displaystyle \varphi ^{n}}$

$${\displaystyle \varphi ^{n}={\frac {F_{n}{\sqrt {5}}\pm {\sqrt {5{F_{n}}^{\!2}+4(-1)^{n}}}}{2}}.}$$

これを と比較すると、次のようになります ${\displaystyle \varphi ^{n}=F_{n}\varphi +F_{n-1}=(F_{n}{\sqrt {5}}+F_{n}+2F_{n-1})/2}$

$${\displaystyle 5{F_{n}}^{\!2}+4(-1)^{n}=(F_{n}+2F_{n-1})^{2}\,.}$$

特に、左辺は完全な平方数です。

行列形式

フィボナッチ数列を記述する 2次元線形差分方程式系は

$${\displaystyle {\begin{pmatrix}F_{k+2}\\F_{k+1}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&1\\1&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}F_{k+1}\\F_{k}\end{pmatrix}}}$$ とも表記されます $${\displaystyle {\vec {F}}_{k+1}=\mathbf {A} {\vec {F}}_{k},}$$

となり、とな​​ります。行列Aの固有値は、それぞれの固有ベクトルに対応する、ととなります。${\displaystyle {\vec {F}}_{n}=\mathbf {A} ^{n}{\vec {F}}_{0}}$ ${\displaystyle \varphi ={\tfrac {1}{2}}{\bigl (}1+{\sqrt {5}}~\!{\bigr )}}$ ${\displaystyle \psi =-\varphi ^{-1}={\tfrac {1}{2}}{\bigl (}1-{\sqrt {5}}~\!{\bigr )}}$ $${\displaystyle {\vec {\mu }}={\begin{pmatrix}\varphi \\1\end{pmatrix}},\quad {\vec {\nu }}={\begin{pmatrix}-\varphi ^{-1}\\1\end{pmatrix}}.}$$

初期値が であるため 、n番目の要素は $${\displaystyle {\vec {F}}_{0}={\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}}={\frac {1}{\sqrt {5}}}{\vec {\mu }}\,-\,{\frac {1}{\sqrt {5}}}{\vec {\nu }},}$$ $${\displaystyle {\begin{aligned}{\vec {F}}_{n}\ &={\frac {1}{\sqrt {5}}}A^{n}{\vec {\mu }}-{\frac {1}{\sqrt {5}}}A^{n}{\vec {\nu }}\\&={\frac {1}{\sqrt {5}}}\varphi ^{n}{\vec {\mu }}-{\frac {1}{\sqrt {5}}}(-\varphi )^{-n}{\vec {\nu }}\\&={\cfrac {1}{\sqrt {5}}}\left({\cfrac {1+{\sqrt {5}}}{2}}\right)^{\!n}{\begin{pmatrix}\varphi \\1\end{pmatrix}}\,-\,{\cfrac {1}{\sqrt {5}}}\left({\cfrac {1-{\sqrt {5}}}{2}}\right)^{\!n}{\begin{pmatrix}{c}-\varphi ^{-1}\\1\end{pmatrix}}.\end{aligned}}}$$

このことから、フィボナッチ数列のn番目の要素は、閉じた形式の式として直接読み取ることができます。 $${\displaystyle F_{n}={\cfrac {1}{\sqrt {5}}}\left({\cfrac {1+{\sqrt {5}}}{2}}\right)^{\!n}-\,{\cfrac {1}{\sqrt {5}}}\left({\cfrac {1-{\sqrt {5}}}{2}}\right)^{\!n}.}$$

同様に、 Aを固有分解を用いて対角化することで、同じ計算を実行することもできます。 ここで、 フィボナッチ数列の n番目の要素 の閉じた形式の式は となり 、これもまた となります。 $${\displaystyle {\begin{aligned}A&=S\Lambda S^{-1},\\[3mu]A^{n}&=S\Lambda ^{n}S^{-1},\end{aligned}}}$$ $${\displaystyle \Lambda ={\begin{pmatrix}\varphi &0\\0&-\varphi ^{-1}\!\end{pmatrix}},\quad S={\begin{pmatrix}\varphi &-\varphi ^{-1}\\1&1\end{pmatrix}}.}$$ $${\displaystyle {\begin{aligned}{\begin{pmatrix}F_{n+1}\\F_{n}\end{pmatrix}}&=A^{n}{\begin{pmatrix}F_{1}\\F_{0}\end{pmatrix}}\ \\&=S\Lambda ^{n}S^{-1}{\begin{pmatrix}F_{1}\\F_{0}\end{pmatrix}}\\&=S{\begin{pmatrix}\varphi ^{n}&0\\0&(-\varphi )^{-n}\end{pmatrix}}S^{-1}{\begin{pmatrix}F_{1}\\F_{0}\end{pmatrix}}\\&={\begin{pmatrix}\varphi &-\varphi ^{-1}\\1&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}\varphi ^{n}&0\\0&(-\varphi )^{-n}\end{pmatrix}}{\frac {1}{\sqrt {5}}}{\begin{pmatrix}1&\varphi ^{-1}\\-1&\varphi \end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}},\end{aligned}}}$$ $${\displaystyle F_{n}={\cfrac {\varphi ^{n}-(-\varphi )^{-n}}{\sqrt {5}}}.}$$

行列Aの行列式は-1であるため、2×2のユニモジュラー行列です

この性質は、黄金比φの連分数表現によって理解できます。 φの連分数の 収束式は、連続するフィボナッチ数列の比です。φ _n = F _{n +1} / F _nはn番目の収束式であり、( n  + 1)番目の収束式は、漸化式φ _{n +1} = 1 + 1 / φ _nから求められます。^[31]任意の連分数の連続する収束式から形成される行列の行列式は、+1 または -1 です。行列表現は、フィボナッチ数列の次の閉じた形式の表現を与えます。 与えられたnに対して、この行列はO (log n )回の算術演算で計算できます。 ^[b] 2乗法によるべき乗法を使用します。 $${\displaystyle \varphi =1+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{1+\ddots }}}}}}.}$$ $${\displaystyle {\begin{pmatrix}1&1\\1&0\end{pmatrix}}^{n}={\begin{pmatrix}F_{n+1}&F_{n}\\F_{n}&F_{n-1}\end{pmatrix}}.}$$

この方程式の両辺の行列式を取ると、 カシニの恒等式が得られます$${\displaystyle (-1)^{n}=F_{n+1}F_{n-1}-{F_{n}}^{2}.}$$

さらに、任意の正方行列Aに対してA ⁿ A ^m = A ^{n + m}であるため、次の恒等式が導出できます（これらは行列積の2つの異なる係数から得られ、 n をn + 1に変更することで、最初の係数から2番目の係数を簡単に推測できます）。 $${\displaystyle {\begin{aligned}{F_{m}}{F_{n}}+{F_{m-1}}{F_{n-1}}&=F_{m+n-1},\\[3mu]F_{m}F_{n+1}+F_{m-1}F_{n}&=F_{m+n}.\end{aligned}}}$$

特に、m = nの場合、 $${\displaystyle {\begin{aligned}F_{2n-1}&={F_{n}}^{2}+{F_{n-1}}^{2}\\[6mu]F_{2n{\phantom {{}-1}}}&=(F_{n-1}+F_{n+1})F_{n}\\[3mu]&=(2F_{n-1}+F_{n})F_{n}\\[3mu]&=(2F_{n+1}-F_{n})F_{n}.\end{aligned}}}$$

これらの最後の2つの恒等式は、 O (log n )回の算術演算でフィボナッチ数を再帰的に計算する方法を提供します。これは、閉じた形式の行列式からn番目のフィボナッチ数を計算する時間と一致しますが、すでに計算されたフィボナッチ数の再計算（メモ化を伴う再帰）を回避すると、冗長なステップが少なくなります。 ^[32]

組合せ論的恒等式

組合せ論的証明

フィボナッチ数列を含むほとんどの恒等式は、が和 となるような（空である可能性のある）1と2の列の数として解釈できるという事実を用いた組合せ論的議論を用いて証明できます。これは、という規則の下で の定義として捉えることができ、 は和が -1 となるような列は存在しないことを意味し、 は空列の「合計」が 0 になることを意味します。以下では、は集合の濃度です。 ${\displaystyle F_{n}}$ ${\displaystyle n-1}$ ${\displaystyle F_{n}}$ ${\displaystyle F_{0}=0}$ ${\displaystyle F_{1}=1}$ ${\displaystyle |{...}|}$

${\displaystyle F_{0}=0=|\{\}|}$

${\displaystyle F_{1}=1=|\{()\}|}$

${\displaystyle F_{2}=1=|\{(1)\}|}$

${\displaystyle F_{3}=2=|\{(1,1),(2)\}|}$

${\displaystyle F_{4}=3=|\{(1,1,1),(1,2),(2,1)\}|}$

${\displaystyle F_{5}=5=|\{(1,1,1,1),(1,1,2),(1,2,1),(2,1,1),(2,2)\}|}$

このように、 すべての列が1または2で始まる2つの重複しない集合に列を 分割することで、再帰関係を理解できます。 最初の要素を除いて、各列の残りの項の和はまたはとなり、各集合の濃度はまたはとなり、列の合計は となり、これは に等しいことを示します。 $${\displaystyle F_{n}=F_{n-1}+F_{n-2}}$$ ${\displaystyle F_{n}}$ $${\displaystyle F_{n}=|\{(1,...),(1,...),...\}|+|\{(2,...),(2,...),...\}|}$$ ${\displaystyle n-2}$ ${\displaystyle n-3}$ ${\displaystyle F_{n-1}}$ ${\displaystyle F_{n-2}}$ ${\displaystyle F_{n-1}+F_{n-2}}$ ${\displaystyle F_{n}}$

同様に、最初のフィボナッチ数列からn番目までの和は、 ( n + 2)番目のフィボナッチ数から1を引いた値に等しいことが示されます。 ^[33] 記号で： $${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}F_{i}=F_{n+2}-1}$$

これは、最初の2つの位置に基づいて、合計が になるすべての数列を分割することで確認できます。具体的には、各セットは、それぞれ濃度が1である 最後の2つのセットまで始まる数列で構成されています。${\displaystyle n+1}$ ${\displaystyle (2,...),(1,2,...),...,}$ ${\displaystyle \{(1,1,...,1,2)\},\{(1,1,...,1)\}}$

前と同じ論理に従って、各セットの濃度を合計すると、次のようになります。

${\displaystyle F_{n+2}=F_{n}+F_{n-1}+...+|\{(1,1,...,1,2)\}|+|\{(1,1,...,1)\}|}$

…ここで、最後の2つの項の値は です。このことから、次のようになります。 ${\displaystyle F_{1}=1}$ ${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}F_{i}=F_{n+2}-1}$

同様の議論として、最初の2つではなく最初の1の位置で合計をグループ化すると、さらに2つの恒等式が得られます。 そして です 。言葉で言えば、最初のフィボナッチ数から奇数指数までの和は(2 n )番目のフィボナッチ数であり、最初のフィボナッチ数から偶数指数までの和は(2 n + 1)番目のフィボナッチ数から1を引いた数です。 ^[34]$${\displaystyle \sum _{i=0}^{n-1}F_{2i+1}=F_{2n}}$$ $${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}F_{2i}=F_{2n+1}-1.}$$ ${\displaystyle F_{2n-1}}$ ${\displaystyle F_{2n}}$

証明には別のトリックを使うことができます 。言葉で言えば、最初のフィボナッチ数列の平方の和は、n番目と( n +1)番目のフィボナッチ数の積です。これを確認するには、まずサイズのフィボナッチ長方形を のサイズに分解し、それを のサイズの正方形に分解します。面積を比較することで、この恒等式が成り立ちます。 $${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}F_{i}^{2}=F_{n}F_{n+1}}$$ ${\displaystyle F_{n}}$ ${\displaystyle F_{n}\times F_{n+1}}$ ${\displaystyle F_{n},F_{n-1},...,F_{1}}$

帰納法による証明

フィボナッチ等式は、多くの場合、数学的帰納法を使って簡単に証明できます。

例えば、 両辺に 足すと$${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}F_{i}=F_{n+2}-1.}$$ ${\displaystyle F_{n+1}}$

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}F_{i}+F_{n+1}=F_{n+1}+F_{n+2}-1}$

となり、式は${\displaystyle n+1}$ $${\displaystyle \sum _{i=1}^{n+1}F_{i}=F_{n+3}-1}$$

同様に、両辺に 足す と${\displaystyle {F_{n+1}}^{2}}$ $${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}F_{i}^{2}=F_{n}F_{n+1}}$$ $${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}F_{i}^{2}+{F_{n+1}}^{2}=F_{n+1}\left(F_{n}+F_{n+1}\right)}$$ $${\displaystyle \sum _{i=1}^{n+1}F_{i}^{2}=F_{n+1}F_{n+2}}$$

ビネの公式の証明

ビネの公式は これはフィボナッチ恒等式を証明するために使用できます。 $${\displaystyle {\sqrt {5}}F_{n}=\varphi ^{n}-\psi ^{n}.}$$

例えば、 左辺に を掛けると になる ことに注意して 、事実と方程式を簡略化してください。 ${\textstyle \sum _{i=1}^{n}F_{i}=F_{n+2}-1}$ ${\displaystyle {\sqrt {5}}}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}1+&\varphi +\varphi ^{2}+\dots +\varphi ^{n}-\left(1+\psi +\psi ^{2}+\dots +\psi ^{n}\right)\\&={\frac {\varphi ^{n+1}-1}{\varphi -1}}-{\frac {\psi ^{n+1}-1}{\psi -1}}\\&={\frac {\varphi ^{n+1}-1}{-\psi }}-{\frac {\psi ^{n+1}-1}{-\varphi }}\\&={\frac {-\varphi ^{n+2}+\varphi +\psi ^{n+2}-\psi }{\varphi \psi }}\\&=\varphi ^{n+2}-\psi ^{n+2}-(\varphi -\psi )\\&={\sqrt {5}}(F_{n+2}-1)\\\end{aligned}}}$$ ${\textstyle \varphi \psi =-1}$ ${\textstyle \varphi -\psi ={\sqrt {5}}}$

その他の恒等式

さまざまな方法を用いて、他にも多数の公式を導くことができます。そのいくつかを以下に示します。^[35]

カッシーニの恒等式とカタランの恒等式

カッシーニの恒等式は、 カタランの恒等式が一般化されていることを示しています。 $${\displaystyle {F_{n}}^{2}-F_{n+1}F_{n-1}=(-1)^{n-1}}$$ $${\displaystyle {F_{n}}^{2}-F_{n+r}F_{n-r}=(-1)^{n-r}{F_{r}}^{2}}$$

ドカーニュの恒等式

$${\displaystyle F_{m}F_{n+1}-F_{m+1}F_{n}=(-1)^{n}F_{m-n}}$$ $${\displaystyle F_{2n}={F_{n+1}}^{2}-{F_{n-1}}^{2}=F_{n}\left(F_{n+1}+F_{n-1}\right)=F_{n}L_{n}}$$ ここで、L _nはn番目のルーカス数です。最後のはnを2倍した場合の恒等式です。このタイプの他の恒等式は カッシーニの恒等式によって 得られます$${\displaystyle F_{3n}=2{F_{n}}^{3}+3F_{n}F_{n+1}F_{n-1}=5{F_{n}}^{3}+3(-1)^{n}F_{n}}$$

$${\displaystyle F_{3n+1}={F_{n+1}}^{3}+3F_{n+1}{F_{n}}^{2}-{F_{n}}^{3}}$$ $${\displaystyle F_{3n+2}={F_{n+1}}^{3}+3{F_{n+1}}^{2}F_{n}+{F_{n}}^{3}}$$ $${\displaystyle F_{4n}=4F_{n}F_{n+1}\left({F_{n+1}}^{2}+2{F_{n}}^{2}\right)-3{F_{n}}^{2}\left({F_{n}}^{2}+2{F_{n+1}}^{2}\right)}$$ これらは格子還元 を用いて実験的に求めることができ、フィボナッチ数を因数 分解するための特殊数体ふるいを設定する際に役立ちます。

より一般的には、^[35]

$${\displaystyle F_{kn+c}=\sum _{i=0}^{k}{\binom {k}{i}}F_{c-i}{F_{n}}^{i}{F_{n+1}}^{k-i}.}$$

または代わりに

$${\displaystyle F_{kn+c}=\sum _{i=0}^{k}{\binom {k}{i}}F_{c+i}{F_{n}}^{i}{F_{n-1}}^{k-i}.}$$

この式にk = 2を代入すると、上のセクションの最後の行列形式の式が再び得られます。

生成関数

フィボナッチ数列の通常の生成関数は冪級数です。

$${\displaystyle s(z)=\sum _{k=0}^{\infty }F_{k}z^{k}=0+z+z^{2}+2z^{3}+3z^{4}+5z^{5}+\cdots .}$$

この 級数は、を満たす任意の複素数に対して収束し、その和は単純な閉じた形を持ちます。[ ^36]${\displaystyle z}$ ${\displaystyle |z|<1/\varphi \approx 0.618,}$

$${\displaystyle s(z)={\frac {z}{1-z-z^{2}}}.}$$

これは、を掛けることで証明できます。 ${\textstyle (1-z-z^{2})}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}(1-z-z^{2})s(z)&=\sum _{k=0}^{\infty }F_{k}z^{k}-\sum _{k=0}^{\infty }F_{k}z^{k+1}-\sum _{k=0}^{\infty }F_{k}z^{k+2}\\&=\sum _{k=0}^{\infty }F_{k}z^{k}-\sum _{k=1}^{\infty }F_{k-1}z^{k}-\sum _{k=2}^{\infty }F_{k-2}z^{k}\\&=0z^{0}+1z^{1}-0z^{1}+\sum _{k=2}^{\infty }(F_{k}-F_{k-1}-F_{k-2})z^{k}\\&=z,\end{aligned}}}$$

ここで、定義的なフィボナッチ再帰関係により、を 含むすべての項は打ち消されます${\displaystyle z^{k}}$ ${\displaystyle k\geq 2}$

部分分数分解は、黄金比、共役で あるで与えられます $${\displaystyle s(z)={\frac {1}{\sqrt {5}}}\left({\frac {1}{1-\varphi z}}-{\frac {1}{1-\psi z}}\right)}$$ ${\textstyle \varphi ={\tfrac {1}{2}}\left(1+{\sqrt {5}}\right)}$ ${\displaystyle \psi ={\tfrac {1}{2}}\left(1-{\sqrt {5}}\right)}$

0.01、0.001、0.0001などのいずれかに等しいとすると、最初のフィボナッチ数が10進展開されます。例えば、${\displaystyle z}$ ${\displaystyle s(z)}$ ${\displaystyle s(0.001)={\frac {0.001}{0.998999}}={\frac {1000}{998999}}=0.001001002003005008013021\ldots .}$

逆数和

フィボナッチ数の逆数の無限和は、シータ関数で評価できる場合があります。例えば、すべての奇数添字のフィボナッチ数の逆数の和は、 $${\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{F_{2k-1}}}={\frac {\sqrt {5}}{4}}\;\vartheta _{2}\!\left(0,{\frac {3-{\sqrt {5}}}{2}}\right)^{2},}$$

フィボナッチ数の逆数の2乗の和は、 $${\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{{F_{k}}^{2}}}={\frac {5}{24}}\!\left(\vartheta _{2}\!\left(0,{\frac {3-{\sqrt {5}}}{2}}\right)^{4}-\vartheta _{4}\!\left(0,{\frac {3-{\sqrt {5}}}{2}}\right)^{4}+1\right).}$$

最初の和の各フィボナッチ数に1を加えると、閉じた形も存在します $${\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{1+F_{2k-1}}}={\frac {\sqrt {5}}{2}},}$$

そして、黄金比の逆数を与えるフィボナッチ数の2乗の入れ子になった和があります。 $${\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{k+1}}{\sum _{j=1}^{k}{F_{j}}^{2}}}={\frac {{\sqrt {5}}-1}{2}}.}$$

偶数添字の逆フィボナッチ数の和はランバート級数 で^[37] 、したがって[38]である。$${\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{F_{2k}}}={\sqrt {5}}\left(L(\psi ^{2})-L(\psi ^{4})\right)}$$ ${\displaystyle \textstyle L(q):=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {q^{k}}{1-q^{k}}},}$ ${\displaystyle \textstyle {\frac {1}{F_{2k}}}={\sqrt {5}}\left({\frac {\psi ^{2k}}{1-\psi ^{2k}}}-{\frac {\psi ^{4k}}{1-\psi ^{4k}}}\right)\!.}$

したがって、逆フィボナッチ定数は[38]である。 $${\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{F_{k}}}=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{F_{2k-1}}}+\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{F_{2k}}}=3.359885666243\dots }$$

さらに、この数はリチャード・アンドレ＝ジャンナンによって無理数であることが証明されている。 ^[39]

ミリンの級数は、 Nが無限大に近づく につれて、その部分和の閉じた形から従う恒等式^{[40]を与える。} $${\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{F_{2^{k}}}}={\frac {7-{\sqrt {5}}}{2}},}$$ $${\displaystyle \sum _{k=0}^{N}{\frac {1}{F_{2^{k}}}}=3-{\frac {F_{2^{N}-1}}{F_{2^{N}}}}.}$$

素数と割り切れる数

割り切れる性質

数列の3つおきの数は偶数（ の倍数）であり、より一般的には、数列のk番目の数はF _kの倍数です。したがって、フィボナッチ数列は割り切れる数列の例です。実際、フィボナッチ数列はより強い割り切れる性質^{[41] [42]}を満たしており 、ここでgcdは最大公約数関数です。（この関係は、数列を と で始めるような異なるインデックス規則が使用されている場合は異なります。） ${\displaystyle F_{3}=2}$ $${\displaystyle \gcd(F_{a},F_{b},F_{c},\ldots )=F_{\gcd(a,b,c,\ldots )}\,}$$ ${\displaystyle F_{0}=1}$ ${\displaystyle F_{1}=1}$

In particular, any three consecutive Fibonacci numbers are pairwise coprime because both ${\displaystyle F_{1}=1}$ and ${\displaystyle F_{2}=1}$ . That is,

${\displaystyle \gcd(F_{n},F_{n+1})=\gcd(F_{n},F_{n+2})=\gcd(F_{n+1},F_{n+2})=1}$

for every n.

すべての素数 p は、p を  5で割った値で決まるフィボナッチ数を割り切れます。pが5 を法として 1 または 4 と合同な場合、pはF _{p −1}を割り切れます。また、 pが 5 を法として 2 または 3 と合同な場合、p はF _{p +1}を割り切れます。残りのケースはp = 5 の場合で、この場合はpはF _pを割り切れます。

$${\displaystyle {\begin{cases}p=5&\Rightarrow p\mid F_{p},\\p\equiv \pm 1{\pmod {5}}&\Rightarrow p\mid F_{p-1},\\p\equiv \pm 2{\pmod {5}}&\Rightarrow p\mid F_{p+1}.\end{cases}}}$$

これらのケースは、ルジャンドル記号^[43]を使用して、単一の非区分式に組み合わせることができます。 $${\displaystyle p\mid F_{p\,-~\!\left({\frac {5}{p}}\right)}.}$$

素数判定

上記の式は素数判定として使用できます。つまり、 ルジャンドル記号をヤコビ記号 に置き換えた場合、nが素数であることの証拠となり、成り立たない場合、nは明らかに素数ではありません。n が合成数で式を満たす場合、nはフィボナッチ擬素数です。m が大きい場合（たとえば 500ビットの数） 、行列形式を使用して F _m (mod n )を効率的に計算できます。したがって、$${\displaystyle n\mid F_{n\,-~\!\left({\frac {5}{n}}\right)},}$$

$${\displaystyle {\begin{pmatrix}F_{m+1}&F_{m}\\F_{m}&F_{m-1}\end{pmatrix}}\equiv {\begin{pmatrix}1&1\\1&0\end{pmatrix}}^{m}{\pmod {n}}.}$$ ここで、行列のべき乗A ^mは、行列に適応できるべき乗剰余を使用して計算されます。^[44]

フィボナッチ素数

フィボナッチ素数とは、素数であるフィボナッチ数です。最初のいくつかは次のとおりです。^[45]

2、3、5、13、89、233、1597、28657、514229、…

数千桁のフィボナッチ素数は発見されていますが、無限に存在するかどうかは分かっていません。^[46]

F _knはF _nで割り切れるので、 F ₄ = 3を除いて、すべてのフィボナッチ素数は素数の指数を持つ必要があります。合成数には任意の長さの連続があるため、合成フィボナッチ数にも任意の長さの連続が存在します。

F ₆ = 8より大きいフィボナッチ数は、素数より1大きくも1小さくもありません。^[47]

唯一の非自明な平方フィボナッチ数は144です。^{[48] Attila Pethőは2001年に、}完全べきフィボナッチ数は 有限個しか存在しないことを証明しました。 ^[49] 2006年には、Y. Bugeaud、M. Mignotte、S. Siksekが、8と144がそのような非自明な完全べき数であることを証明しました。^[50]

1、3、21、55は唯一の三角フィボナッチ数であり、これはVern Hoggattによって予想され、Luo Mingによって証明されました。^[51]

フィボナッチ数は完全数にはなり得ません。 ^[52]より一般的には、1以外のフィボナッチ数は完全倍数にはなり得ません。^[53]また、2つのフィボナッチ数の比は完全数にはなり得ません。^[54]

素因数

1、8、144（F ₁ = F ₂、F ₆、F ₁₂）を除いて、すべてのフィボナッチ数には、それより小さいフィボナッチ数の因数ではない素因数があります（カーマイケルの定理）。^[55]その結果、8と144（F ₆とF ₁₂）は、他のフィボナッチ数の積となる唯一のフィボナッチ数です。^[56]

The divisibility of Fibonacci numbers by a prime p is related to the Legendre symbol ${\displaystyle {\bigl (}{\tfrac {p}{5}}{\bigr )}}$ which is evaluated as follows: $${\displaystyle \left({\frac {p}{5}}\right)={\begin{cases}0&{\text{if }}p=5\\1&{\text{if }}p\equiv \pm 1{\pmod {5}}\\-1&{\text{if }}p\equiv \pm 2{\pmod {5}}.\end{cases}}}$$

If p is a prime number then $${\displaystyle F_{p}\equiv \left({\frac {p}{5}}\right){\pmod {p}}\quad {\text{and}}\quad F_{p-\left({\frac {p}{5}}\right)}\equiv 0{\pmod {p}}.}$$ ^[57][58]

For example, $${\displaystyle {\begin{aligned}{\bigl (}{\tfrac {2}{5}}{\bigr )}&=-1,&F_{3}&=2,&F_{2}&=1,\\{\bigl (}{\tfrac {3}{5}}{\bigr )}&=-1,&F_{4}&=3,&F_{3}&=2,\\{\bigl (}{\tfrac {5}{5}}{\bigr )}&=0,&F_{5}&=5,\\{\bigl (}{\tfrac {7}{5}}{\bigr )}&=-1,&F_{8}&=21,&F_{7}&=13,\\{\bigl (}{\tfrac {11}{5}}{\bigr )}&=+1,&F_{10}&=55,&F_{11}&=89.\end{aligned}}}$$

It is not known whether there exists a prime p such that

$${\displaystyle F_{p\,-~\!\left({\frac {p}{5}}\right)}\equiv 0{\pmod {p^{2}}}.}$$

Such primes (if there are any) would be called Wall–Sun–Sun primes.

Also, if p ≠ 5 is an odd prime number then:^[59] $${\displaystyle 5{F_{\frac {p\pm 1}{2}}}^{2}\equiv {\begin{cases}{\tfrac {1}{2}}\left(5{\bigl (}{\tfrac {p}{5}}{\bigr )}\pm 5\right){\pmod {p}}&{\text{if }}p\equiv 1{\pmod {4}}\\{\tfrac {1}{2}}\left(5{\bigl (}{\tfrac {p}{5}}{\bigr )}\mp 3\right){\pmod {p}}&{\text{if }}p\equiv 3{\pmod {4}}.\end{cases}}}$$

Example 1. p = 7, in this case p ≡ 3 (mod 4) and we have: $${\displaystyle {\bigl (}{\tfrac {7}{5}}{\bigr )}=-1:\qquad {\tfrac {1}{2}}\left(5{\bigl (}{\tfrac {7}{5}}{\bigr )}+3\right)=-1,\quad {\tfrac {1}{2}}\left(5{\bigl (}{\tfrac {7}{5}}{\bigr )}-3\right)=-4.}$$ $${\displaystyle F_{3}=2{\text{ and }}F_{4}=3.}$$ $${\displaystyle 5{F_{3}}^{2}=20\equiv -1{\pmod {7}}\;\;{\text{ and }}\;\;5{F_{4}}^{2}=45\equiv -4{\pmod {7}}}$$

Example 2. p = 11, in this case p ≡ 3 (mod 4) and we have: $${\displaystyle {\bigl (}{\tfrac {11}{5}}{\bigr )}=+1:\qquad {\tfrac {1}{2}}\left(5{\bigl (}{\tfrac {11}{5}}{\bigr )}+3\right)=4,\quad {\tfrac {1}{2}}\left(5{\bigl (}{\tfrac {11}{5}}{\bigr )}-3\right)=1.}$$ $${\displaystyle F_{5}=5{\text{ and }}F_{6}=8.}$$ $${\displaystyle 5{F_{5}}^{2}=125\equiv 4{\pmod {11}}\;\;{\text{ and }}\;\;5{F_{6}}^{2}=320\equiv 1{\pmod {11}}}$$

Example 3. p = 13, in this case p ≡ 1 (mod 4) and we have: $${\displaystyle {\bigl (}{\tfrac {13}{5}}{\bigr )}=-1:\qquad {\tfrac {1}{2}}\left(5{\bigl (}{\tfrac {13}{5}}{\bigr )}-5\right)=-5,\quad {\tfrac {1}{2}}\left(5{\bigl (}{\tfrac {13}{5}}{\bigr )}+5\right)=0.}$$ $${\displaystyle F_{6}=8{\text{ and }}F_{7}=13.}$$ $${\displaystyle 5{F_{6}}^{2}=320\equiv -5{\pmod {13}}\;\;{\text{ and }}\;\;5{F_{7}}^{2}=845\equiv 0{\pmod {13}}}$$

Example 4. p = 29, in this case p ≡ 1 (mod 4) and we have: $${\displaystyle {\bigl (}{\tfrac {29}{5}}{\bigr )}=+1:\qquad {\tfrac {1}{2}}\left(5{\bigl (}{\tfrac {29}{5}}{\bigr )}-5\right)=0,\quad {\tfrac {1}{2}}\left(5{\bigl (}{\tfrac {29}{5}}{\bigr )}+5\right)=5.}$$ $${\displaystyle F_{14}=377{\text{ and }}F_{15}=610.}$$ $${\displaystyle 5{F_{14}}^{2}=710645\equiv 0{\pmod {29}}\;\;{\text{ and }}\;\;5{F_{15}}^{2}=1860500\equiv 5{\pmod {29}}}$$

For odd n, all odd prime divisors of F_n are congruent to 1 modulo 4, implying that all odd divisors of F_n (as the products of odd prime divisors) are congruent to 1 modulo 4.^[60]

For example, $${\displaystyle F_{1}=1,\ F_{3}=2,\ F_{5}=5,\ F_{7}=13,\ F_{9}={\color {Red}34}=2\cdot 17,\ F_{11}=89,\ F_{13}=233,\ F_{15}={\color {Red}610}=2\cdot 5\cdot 61.}$$

フィボナッチ数F ( i )のすべての既知の因数は、 i < 50000について、関連リポジトリに収集されています。^{[61] [62]}

周期性（法）n

フィボナッチ数列の要素を nを法としてとると、結果として得られる数列は周期的となり、周期は最大で 6 nになります。^{[63]さまざまな}nに対する周期の長さは、いわゆるピサノ周期を形成します。^[64]ピサノ周期の一般的な公式を決定することは未解決問題であり、その部分問題として、モジュラー整数または有限体内の元の乗法順序を見つける問題の特別な例が含まれています。ただし、任意の特定のnに対して、ピサノ周期はサイクル検出の例として見つけることができます。

一般化

フィボナッチ数列は、漸化式、具体的には線型差分方程式によって定義される、最も単純かつ最も古くから知られている数列の1つです。これらの数列はすべて、フィボナッチ数列の一般化と見なすことができます。特に、ビネの公式は、定数係数を持つ同次線型差分方程式の解である任意の数列に一般化できます。

ある意味でフィボナッチ数列に近い具体的な例としては、以下のものがあります。

• インデックスを負の整数に一般化して、負フィボナッチ数列を生成する。
• ビネの公式を修正して、インデックスを実数に一般化する。 ^[35]
• 他の整数から開始する。ルーカス数は、 L ₁ = 1、L ₂ = 3、L _n = L _{n -1} + L _{n -2}です。素数のない数列は、他の開始点を持つフィボナッチ再帰を使用して、すべての数が合成数となる数列を生成します
• ある数を、その前の2つの数の線形関数（和以外）とします。ペル数はP _n = 2 P _{n −1} + P _{n −2}です。前の値の係数に変数値xを割り当てると、結果はフィボナッチ多項式の数列になります
• 直前の数を加算しない。パドヴァン数列とペラン数は、 P ( n ) = P ( n − 2 ) + P ( n − 3 )である。
• 3つの数（トリボナッチ数）、4つの数（テトラナッチ数）、またはそれ以上の数を加算して次の数を生成する。結果として得られる数列は、nステップフィボナッチ数として知られている。^[65]

応用

数学

フィボナッチ数は、左揃えのパスカルの三角形の対角線（赤で表示）の和である。

フィボナッチ数は、パスカルの三角形の「浅い」対角線の二項係数の和として現れる。^[66] これは、生成関数を展開し 、の同類項を集めることで証明できる。 $${\displaystyle F_{n}=\sum _{k=0}^{\left\lfloor {\frac {n-1}{2}}\right\rfloor }{\binom {n-k-1}{k}}.}$$ $${\displaystyle {\frac {x}{1-x-x^{2}}}=x+x^{2}(1+x)+x^{3}(1+x)^{2}+\dots +x^{k+1}(1+x)^{k}+\dots =\sum \limits _{n=0}^{\infty }F_{n}x^{n}}$$ ${\displaystyle x^{n}}$

この式の使い方を確認するために、項の数順に和を並べることができる。

これは であり、 n − k −1個の項からk個の 2の位置を選択しています。 ${\displaystyle \textstyle {\binom {5}{0}}+{\binom {4}{1}}+{\binom {3}{2}}}$

フィボナッチ数列を用いた{1, 2} 制約合成の数え方

^{これらの数は、特定の列挙問題[67]}の解も与えます。最も一般的な問題は、与えられた数n を1 と 2 の順序付けられた和（合成と呼ばれる）として表す方法の数を数える問題です。これを行うにはF _{n +1}通りの方法があります（つまり、長方形のドミノタイルの数でもあります）。例えば、5 段の階段を一度に 1 段または 2 段ずつ登るには、 F ₅₊₁ = F ₆ = 8通りの方法があります${\displaystyle 2\times n}$

図は、8を5（4段登り、その後に1段登る方法の数）と3（3段登り、その後に2段登る方法の数）に分解できることを示しています。同じ推論が、 1段になるまで再帰的に適用されます。1段では、登る方法は1つしかありません

フィボナッチ数は、バイナリ 文字列のセット内、または同等に、特定のセットの サブセット内において、さまざまな方法で見つけることができます。

• 連続する1のない長さnのバイナリ文字列の数は、フィボナッチ数F _{n +2}です。たとえば、長さ 4 の 16 個のバイナリ文字列のうち、連続する1のないものはF ₆ = 8 個あります。これらは、 0000、0001、0010、0100、0101、1000、1001、1010です。このような文字列は、フィボナッチ数のバイナリ表現です。同様に、F _{n +2}は、連続する整数のない{1, ..., n }の部分集合Sの数、つまり、すべてのiについて{ i、i + 1} ⊈ Sとなるような部分集合Sの数です。n +1への和の一対一変換は、 1 を0に、 2 を10に置き換え、最後のゼロを削除することです。
• 長さnの2進数列のうち、1が奇数個連続しないものの数はフィボナッチ数Fn _{+ 1}です。例えば、長さ4の2進数列16個のうち、1が奇数個連続しないものはF5=5個あります。_それらは0000、0011、0110、1100、1111です。同様に、 { 1, ..., n }の部分集合Sのうち、連続する整数が奇数個ないものの数はFn ₊₁です_。nへの和の全単射は、1を0に、2を11に置き換えることです
• 長さnの2進文字列のうち、 0または1が偶数個連続しないものは2 F _n個あります。例えば、長さ4の2進文字列16個のうち、0または1が偶数個連続しないものは2 F 4 = ₆個あります。つまり、0001、0111、0101、1000、1010、1110です。部分集合についても同等の記述があります
• ユーリ・マティヤセビッチは、フィボナッチ数がディオファントス方程式で定義できることを示し、ヒルベルトの第10問題を解く ことに繋がりました。^[68]
• The Fibonacci numbers are also an example of a complete sequence . This means that every positive integer can be written as a sum of Fibonacci numbers, where any one number is used once at most.
• Moreover, every positive integer can be written in a unique way as the sum of one or more distinct Fibonacci numbers in such a way that the sum does not include any two consecutive Fibonacci numbers. This is known as Zeckendorf's theorem , and a sum of Fibonacci numbers that satisfies these conditions is called a Zeckendorf representation. The Zeckendorf representation of a number can be used to derive its Fibonacci coding .
• 5から始めて、2つおきのフィボナッチ数は、整数の辺を持つ直角三角形の斜辺の長さ、つまりピタゴラス数列の最大値であり、次の式から得られます。この式から得られるピタゴラス三角形の列は、辺の長さが(3,4,5)、(5,12,13)​​、(16,30,34)、(39,80,89)、…です。これらの三角形のそれぞれの中辺は、前の三角形の3辺の和です。^[69]$${\displaystyle (F_{n}F_{n+3})^{2}+(2F_{n+1}F_{n+2})^{2}={F_{2n+3}}^{2}.}$$
• フィボナッチキューブは、フィボナッチ数のノードを持つ無向グラフであり、並列計算のためのネットワークトポロジーとして提案されています。
• フィボナッチ数は環の補題に登場し、円充填定理と等角写像の関係を証明するために使用されます。^[70]

コンピュータサイエンス

高さ6のフィボナッチ木。バランス係数は緑、高さは赤です。
左の背骨のキーはフィボナッチ数です。

• フィボナッチ数は、2つの整数の最大公約数を決定するユークリッドの互除法の計算実行時解析において重要です。このアルゴリズムの最悪の入力は、連続するフィボナッチ数のペアです。^[71]
• フィボナッチ数は、ソートされていないリストを、長さが連続するフィボナッチ数に対応する2つのリストに分割する、マージソートアルゴリズムの多相バージョンで使用されます。リストを分割する際に、2つの部分の長さがおおよそφの比率になるようにします。多相マージソートのテープドライブ実装は、 『The Art of Computer Programming』で説明されています。
• フィボナッチ木は、子木の高さが（再帰的に）ちょうど1だけ異なる二分木です。したがって、これはAVL木であり、与えられた高さに対してノードが最も少ない木、つまり「最も薄い」AVL木です。これらの木の頂点数はフィボナッチ数から1を引いた数であり、これはAVL木の解析において重要な事実です。^[72]
• フィボナッチ数は、一部の疑似乱数生成器で使用されます。
• フィボナッチ数は、フィボナッチヒープデータ構造の解析で発生します
• フィボナッチ探索法と呼ばれる1次元最適化手法は、フィボナッチ数を使用します。^[73]
• フィボナッチ数列は、Amigaコンピュータで使用されるIFF 8SVXオーディオファイル形式のオプションの非可逆圧縮に使用されます。この数列は、μ-lawなどの対数法と同様に、元のオーディオ波形を圧縮します。^{[74] [75]}
• 一部のアジャイルチームは、プランニングポーカーにおいて「修正フィボナッチ数列」と呼ばれる修正された数列を見積もりツールとして使用しています。プランニングポーカーは、Scaled Agile Frameworkの正式な一部です。^[76]
• フィボナッチ符号化
• ネガフィボナッチ符号化

自然

黄色のカモミールの花びらに、21（青）と13（シアン）の螺旋状の配置が示されています。連続したフィボナッチ数列を含むこのような配置は、さまざまな植物に見られます

フィボナッチ数列は生物学的な設定に現れます。^[77]樹木の枝分かれ、茎の葉の配置、パイナップルの小果実、^[78]アーティチョークの開花、アロエ（Aloe polyphylla）の葉^{[79] 、}松ぼっくりの配置、 [80]ミツバチの系統樹^[81]などです。^{[82 ]}ケプラーは自然界にフィボナッチ数列が存在することを指摘し、それを使って一部の花の（黄金比に関連した）五角形の形状を説明しました。 ^[83]野生のヒナギクはほとんどの場合、フィボナッチ数列の花びらを持っています。^[84] 1830年、カール・フリードリヒ・シンパーとアレクサンダー・ブラウンは植物の寄生（螺旋葉序）がフィボナッチ数列を含む分数として頻繁に表現されることを発見しました。 ^[85

プシェミスワフ・プルシンキェヴィチは、実インスタンスは部分的には自由群に対する特定の代数的制約、具体的には特定のリンデンマイヤー文法の表現として理解できるという考えを提唱した。^[86]

n = 1 ... 500の場合のフォーゲルモデルの図解

ヒマワリの頭花の模様のモデルは、1979年にヘルムート・フォーゲル [de]によって提案された。^[87] これは次の形式を持つ

$${\displaystyle \theta ={\frac {2\pi }{\varphi ^{2}}}n,\ r=c{\sqrt {n}}}$$

ここで、nは小花の指数、cは定数のスケーリング係数です。したがって、小花はフェルマーの螺旋上にあります。発散角は約137.51°で黄金角であり、円を黄金比で分割します。この比は無理数であるため、中心からまったく同じ角度に隣接する小花は存在せず、小花は効率的に配置されます。黄金比の有理近似はF (  j ): F (  j +1)の形であるため、小花番号nの最近傍は、中心からの距離rに依存するある指数jに対してn ± F (  j )にある小花です。ヒマワリなどの花は、隣接するフィボナッチ数^[88]の数だけ、時計回りと反時計回りの方向に小花の螺旋を持つのが最も一般的です。^[89]

フィボナッチ数は、ハチ（半二倍体）の祖先の系図にも、以下の規則に従って現れます。

• 卵が産まれても受精しない場合は、雄（ミツバチの場合は雄蜂）が生まれます。
• しかし、卵が受精した場合は、雌が生まれます

したがって、オスの蜂は常に1人の親を持ち、メスの蜂は2人の親を持つ。どのオスの蜂（1匹）の血統をたどっても、1人の親（1匹）、2人の祖父母、3人の曽祖父母、5人の高祖父母、というように続く。この親の数の列はフィボナッチ数列である。各階層の祖先の数F _nは、メスの祖先の数F _{n −1}とオスの祖先の数F _{n −2}を足した数である。^{[90] [91]}これは、各階層の祖先はそれ以外は無関係であるという非現実的な仮定に基づいている。

ある祖先世代におけるX染色体継承系統上の祖先の数は、フィボナッチ数列に従います。（ハッチソン、L.「家系図の育成：家族関係の再構築におけるDNAの力」^[92]より）

同様に、ある祖先世代におけるヒトのX染色体継承系統上の祖先の数もフィボナッチ数列に従うことが指摘されています。 ^[92]男性は、母親から受け継いだX染色体と、父親から受け継いだY染色体を持っています。男性は自身のX染色体の「起源」（）として数えられ、両親の世代では、彼のX染色体は片方の親（）から来ています男性の母親は、母親（息子の母方の祖母）からX染色体を1本、父親（息子の母方の祖父）からX染色体を1本受け継いだため、2人の祖父母が男性の子孫のX染色体（）に寄与しました。母方の祖父は母親からX染色体を受け継ぎ、母方の祖母は両親からX染色体を受け継いだため、3人の曽祖父母が男性の子孫のX染色体（）に寄与しました。5人の高祖父母が男性の子孫のX染色体（）に寄与しました。 （これは、特定の子孫のすべての祖先が独立していると仮定していますが、系図を十分に遡ると、祖先は系図の複数の系統に現れ始め、最終的には集団の創始者が系図のすべての系統に現れるようになります。） ${\displaystyle F_{1}=1}$ ${\displaystyle F_{2}=1}$ ${\displaystyle F_{3}=2}$ ${\displaystyle F_{4}=3}$ ${\displaystyle F_{5}=5}$

その他

• 光学において、光線が屈折率の異なる異なる材料で作られた2枚の透明板を斜めに透過すると、2枚の板の上面、中間面、下面の3つの面で反射することがあります。k回反射する異なる光線経路の数（ k > 1 ）は、 k番目のフィボナッチ数です。（ただし、k = 1の場合、反射経路は2つではなく3つあり、3つの面それぞれに1つずつあります。）^[93]
• フィボナッチ・リトレースメント・レベルは、金融市場取引のテクニカル分析で広く使用されています
• マイルからキロメートルへの変換係数1.609344は黄金比に近いため、マイル単位の距離をフィボナッチ数列の和に分解すると、フィボナッチ数を後続の数列に置き換えると、ほぼキロメートルの和になります。この方法は、黄金比を底とするφの基数2の数値レジスタをシフトすることになります。キロメートルからマイルに変換するには、代わりにレジスタをフィボナッチ数列に沿ってシフトします。^[94]
• 無限抵抗連鎖回路（抵抗ラダーまたは無限直並列回路とも呼ばれます）における電圧と電流の測定値は、フィボナッチ数列に従います。直列抵抗と並列抵抗を交互に加算した中間結果は、連続するフィボナッチ数列で構成される分数になります。回路全体の等価抵抗は黄金比に等しくなります。^[95]
• Braschら（2012）は、一般化フィボナッチ数列が経済学の分野にもどのように関連付けられるかを示しています。^[96]特に、一般化フィボナッチ数列が、1つの状態と1つの制御変数を持つ有限時間領域動的最適化問題の制御関数にどのように組み込まれるかを示しています。この手順は、ブロック・ミルマン経済成長モデルと呼ばれる例で示されています。
• マリオ・メルツは、 1970年からいくつかの作品にフィボナッチ数列を取り入れました。^[97]
• ジョセフ・シリンガー（1895～1943）は、いくつかのメロディーにフィボナッチ音程を使用する作曲システムを開発しました。彼はこれを、自然界に見られる精巧なハーモニーの音楽的対応物と見なしました。^[98]黄金比§音楽も参照してください。
• ソフトウェア開発では、スクラムフレームワークの下で活動するアジャイルチームが、製品バックログ項目のサイズを決定するためにフィボナッチ数列をよく使用します。^[99]

参照

• フィボナッチ協会 – フィボナッチ数の研究のための組織
• 大衆文化におけるフィボナッチ数
• フィボナッチ語 – フィボナッチ再帰からの2進数列
• ランダムフィボナッチ数列 – フィボナッチ数列に基づくランダムな数学的数列
• ウィトフ配列 – フィボナッチ数列から導かれる整数の無限行列
• フィボナッチ数とその応用に関する国際会議 – 数学会議

参考文献

説明脚注

1. 「4の場合、2拍子と3拍子の変化が混ざり合って5拍子になります。5の場合、前の2拍子の変化、つまり3拍子と4拍子が混ざり合って8拍子になります。このように、6の場合、4拍子と5拍子の変化が混ざり合って13拍子になります。そして同様に、前の2拍子の変化が混ざり合って7拍子は21拍子になります。このように、すべてのmātrā-vṛttasにおいてこのプロセスに従うべきです。」^[14]
2. これは任意精度の算術演算をO (1)とカウントします。ビット長を考慮すると、2乗によるべき乗は依然として大幅な改善ですが、全体的な複雑さは最後の乗算ステップによって支配されます。結果にはO ( n )桁があり、タスクではそれらすべてを生成する必要があります。

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外部リンク

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• MathPagesのフィボナッチ数列Mod mの周期
• 科学者、自然界におけるフィボナッチ螺旋の形成の手がかりを発見
• BBCのIn Our Timeにおけるフィボナッチ数列
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