相対性理論における4次元ベクトル
特殊相対論 において 、 四元ベクトル （または 四元ベクトル 、 ローレンツベクトル とも呼ばれる） [ 1 ] は、ローレンツ変換 によって特定の方法で変換される4つの成分を持つオブジェクトです 。 具体的には、四元ベクトルは、 ローレンツ 群 の 標準 表現 である （ 1 / 2 、 1 / 2 ）表現。 ユークリッドベクトル とは大きさの決定方法が異なります 。この大きさを保存する変換はローレンツ変換であり、これには 空間回転 と ブースト（等速度による別の 慣性系 への変換 ）が含まれます。 [ 2 ] : ch1
4元ベクトルは、例えば、 ミンコフスキー空間 としてモデル化された時空内の位置 x μ 、粒子の 4元運動量 p μ 、時空内の点 xにおける 電磁気的 4元ポテンシャル A μ ( x ) の振幅、 ディラック代数 内の ガンマ 行列によって張られる部分空間の要素を記述します 。
ローレンツ群は4×4行列 Λ で表すことができる。ローレンツ変換の作用は、 （上の例のように）一般 反変 4元ベクトル X （要素に 慣性系 を基準とした 直交座標 を持つ列ベクトルとみなす）に対して、次のように与えられる。
X ′
＝ Λ X 、
{\displaystyle X'=\Lambda X,}
（行列乗算）ここで、プライム付きオブジェクトの要素は新しいフレームを参照します。上記の反変ベクトルとして与えられた例に関連して、対応する共 変ベクトル x μ 、 p μ 、 A μ ( x ) も存在します。これらは以下の規則に従って変換されます。
X ′
＝
（
Λ
− 1
）
T
X 、
{\displaystyle X'=\left(\Lambda ^{-1}\right)^{\textrm {T}}X,}
ここで、 T は 行列の転置 を表す 。この規則は上記の規則とは異なり、 標準表現の 双対表現に対応する。しかし、ローレンツ群の場合、任意の表現の双対表現は元の表現と 同値で ある。したがって、共変添字を持つオブジェクトも4元ベクトルとなる。
特殊相対論における、 4元ベクトルでは ない 、振る舞いの良い4成分オブジェクトの例として、 ビスピノル を参照のこと。ビスピノルも同様に定義されるが、ローレンツ変換における変換則が標準表現とは異なる表現で与えられる点が異なる。この場合、規則は X ′ = Π(Λ) X となる。ここで、 Π(Λ)は Λ 以外の4×4行列である 。同様のことは、ローレンツ変換において振る舞いの良い、より少ない、またはより多い成分を持つオブジェクトにも当てはまる。これには、 スカラー 、 スピノル 、 テンソル 、スピノルテンソルなどが含まれる。
本稿では、特殊相対論の文脈における四元ベクトルについて考察する。四元ベクトルの概念は 一般相対論 にも拡張されるが、本稿で述べられている結果の一部は一般相対論における修正を必要とする。
標準構成 では 、プライムフレームの速度が正のx軸に沿ってuである場合、4ベクトルの変換は次のようになります。
[ 3 ]
X ′
＝
[
γ （ あなた ）
− γ （ あなた ）
あなた
c
2
0
0
− γ （ あなた ） あなた
γ （ あなた ）
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1
]
X 、
{\displaystyle X'={\begin{bmatrix}{\gamma (u)}&{-\gamma (u){\frac {u}{c^{2}}}}&{0}&{0}\\{-\gamma (u)u}&{\gamma (u)}&{0}&{0}\\{0}&{0}&{1}&{0}\\{0}&{0}&{0}&{1}\end{bmatrix}}X,}
または
規則によって異なります（つまり、 イベントは それぞれ (t,x,y,z) と記述されるか、(ct,x,y,z) と記述されるか）。
X ′
＝
[
γ （ あなた ）
− γ （ あなた ）
あなた c
0
0
− γ （ あなた ）
あなた c
γ （ あなた ）
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1
]
X 、
{\displaystyle X'={\begin{bmatrix}{\gamma (u)}&{-\gamma (u){\frac {u}{c}}}&{0}&{0}\\{-\gamma (u){\frac {u}{c}}}&{\gamma (u)}&{0}&{0}\\{0}&{0}&{1}&{0}\\{0}&{0}&{0}&{1}\end{bmatrix}}X,}
この記事の表記法は、 3 次元 ベクトルの場合は小文字の太字、3 次元 単位ベクトルの場合はハット、 4 次元 ベクトル (4 次元勾配を除く) の場合は大文字の太字、 テンソル インデックス表記です 。
4 元ベクトル A は「時間的」成分と3つの「空間的」成分を持つベクトルであり、様々な等価な表記法で書くことができる。 [ 4 ]
あ
＝
（
あ
0
、
あ
1
、
あ
2
、
あ
3
）
＝
あ
0
E
0
+
あ
1
E
1
+
あ
2
E
2
+
あ
3
E
3
＝
あ
0
E
0
+
あ
私
E
私
＝
あ
α
E
α
{\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {A} &=\left(A^{0},\,A^{1},\,A^{2},\,A^{3}\right)\\&=A^{0}\mathbf {E} _{0}+A^{1}\mathbf {E} _{1}+A^{2}\mathbf {E} _{2}+A^{3}\mathbf {E} _{3}\\&=A^{0}\mathbf {E} _{0}+A^{i}\mathbf {E} _{i}\\&=A^{\alpha }\mathbf {E} _{\alpha }\end{aligned}}}
ここで、 A α は大きさの成分、 E αは 基底ベクトルの 成分です 。ベクトルを作成するには両方とも必要であり、 A α が単独で見られる場合、それは厳密に ベクトルの
成分を指すことに注意してください。
上付き添字は 反変 成分を表します。ここで標準的な慣例によれば、ラテン添字は空間成分を表す値をとるため i = 1, 2, 3 となり、ギリシャ添字は空間成分 と時間 成分を表す値をとるため α = 0, 1, 2, 3 となり、 総和規約 で用いられます。時間成分と空間成分の分割は、1つの4元ベクトルと他のテンソル量との縮約を求める際に有用です。例えば、内積におけるローレンツ不変量の計算（以下に例を示します）や、 添字の増減などです 。
特殊相対論では、空間的基底 E 1 、 E 2 、 E 3 と成分 A 1 、 A 2 、 A 3は、多くの場合、 直交座標の 基底と成分
です。
あ
＝
（
あ
t
、
あ
×
、
あ
y
、
あ
z
）
＝
あ
t
E
t
+
あ
×
E
×
+
あ
y
E
y
+
あ
z
E
z
{\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {A} &=\left(A_{t},\,A_{x},\,A_{y},\,A_{z}\right)\\&=A_{t}\mathbf {E} _{t}+A_{x}\mathbf {E} _{x}+A_{y}\mathbf {E} _{y}+A_{z}\mathbf {E} _{z}\\\end{aligned}}}
もちろん、 球面極座標などの他の基底や成分も使用できる。
あ
＝
（
あ
t
、
あ
r
、
あ
θ
、
あ
ϕ
）
＝
あ
t
E
t
+
あ
r
E
r
+
あ
θ
E
θ
+
あ
ϕ
E
ϕ
{\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {A} &=\left(A_{t},\,A_{r},\,A_{\theta },\,A_{\phi }\right)\\&=A_{t}\mathbf {E} _{t}+A_{r}\mathbf {E} _{r}+A_{\theta }\mathbf {E} _{\theta }+A_{\phi }\mathbf {E} _{\phi }\\\end{aligned}}}
または 円筒極座標 、
あ
＝ （
あ
t
、
あ
r
、
あ
θ
、
あ
z
）
＝
あ
t
E
t
+
あ
r
E
r
+
あ
θ
E
θ
+
あ
z
E
z
{\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {A} &=(A_{t},\,A_{r},\,A_{\theta },\,A_{z})\\&=A_{t}\mathbf {E} _{t}+A_{r}\mathbf {E} _{r}+A_{\theta }\mathbf {E} _{\theta }+A_{z}\mathbf {E} _{z}\\\end{整列}}}
あるいは他の 直交座標 、あるいは一般 曲線座標 でも構いません。座標ラベルは常にラベルとして添え字が付けられ、数値を取るインデックスではないことに注意してください。一般相対論では、局所基底における局所曲線座標を使用する必要があります。幾何学的には、四元ベクトルは矢印として解釈できますが、それは単なる空間ではなく時空における矢印です。相対論では、矢印は ミンコフスキー図 （ 時空図 とも呼ばれます）の一部として描かれます。この記事では、四元ベクトルを単にベクトルと呼びます。
基底を列ベクトル で表すのも慣例です 。
E
0
＝
（
1
0
0
0
）
、
E
1
＝
（
0
1
0
0
）
、
E
2
＝
（
0
0
1
0
）
、
E
3
＝
（
0
0
0
1
）
{\displaystyle \mathbf {E} _{0}={\begin{pmatrix}1\\0\\0\\0\end{pmatrix}}\,,\quad \mathbf {E} _{1}={\begin{pmatrix}0\\1\\0\\0\end{pmatrix}}\,,\quad \mathbf {E} _{2}={\begin{pmatrix}0\\0\\1\\0\end{pmatrix}}\,,\quad \mathbf {E} _{3}={\begin{pmatrix}0\\0\\0\\1\end{pmatrix}}}
となることによって：
A
=
(
A
0
A
1
A
2
A
3
)
{\displaystyle \mathbf {A} ={\begin{pmatrix}A^{0}\\A^{1}\\A^{2}\\A^{3}\end{pmatrix}}}
共変座標 と反変座標 の関係は、 ミンコフスキー 計量テンソル (計量と呼ばれる) η によって表され、次のように インデックスを上げたり下げたりします 。
A
μ
=
η
μ
ν
A
ν
,
{\displaystyle A_{\mu }=\eta _{\mu \nu }A^{\nu }\,,}
さまざまな同等の表記法では、共変成分は次のようになります。
A
=
(
A
0
,
A
1
,
A
2
,
A
3
)
=
A
0
E
0
+
A
1
E
1
+
A
2
E
2
+
A
3
E
3
=
A
0
E
0
+
A
i
E
i
=
A
α
E
α
{\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {A} &=(A_{0},\,A_{1},\,A_{2},\,A_{3})\\&=A_{0}\mathbf {E} ^{0}+A_{1}\mathbf {E} ^{1}+A_{2}\mathbf {E} ^{2}+A_{3}\mathbf {E} ^{3}\\&=A_{0}\mathbf {E} ^{0}+A_{i}\mathbf {E} ^{i}\\&=A_{\alpha }\mathbf {E} ^{\alpha }\\\end{aligned}}}
ここで、下付き添字は 共変であることを示します。 直交座標 の場合 （ 線分要素 を参照）のように、計量は対角となることがよくありますが、一般 曲線座標 ではそうではありません。
基底は 行ベクトル で表すことができます。
E
0
=
(
1
0
0
0
)
,
E
1
=
(
0
1
0
0
)
,
E
2
=
(
0
0
1
0
)
,
E
3
=
(
0
0
0
1
)
,
{\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {E} ^{0}&={\begin{pmatrix}1&0&0&0\end{pmatrix}}\,,&\mathbf {E} ^{1}&={\begin{pmatrix}0&1&0&0\end{pmatrix}}\,,\\[1ex]\mathbf {E} ^{2}&={\begin{pmatrix}0&0&1&0\end{pmatrix}}\,,&\mathbf {E} ^{3}&={\begin{pmatrix}0&0&0&1\end{pmatrix}},\end{aligned}}}
となることによって：
A
=
(
A
0
A
1
A
2
A
3
)
{\displaystyle \mathbf {A} ={\begin{pmatrix}A_{0}&A_{1}&A_{2}&A_{3}\end{pmatrix}}}
上記の規則の理由は、内積がスカラーであることです。詳細については以下を参照してください。
2つの慣性または回転 参照フレームが与えられた場合、4元ベクトルは ローレンツ変換 行列 Λ に従って変換される量として定義されます 。
A
′
=
Λ
A
{\displaystyle \mathbf {A} '={\boldsymbol {\Lambda }}\mathbf {A} }
インデックス表記では、反変成分と共変成分はそれぞれ次のように変換されます。
ここで、行列 Λは行 μ と列 ν に 成分 Λ μ ν を持ち 、行列 ( Λ −1 ) Tは行 μ と列 ν に 成分 Λ μ ν を持ちます。
A
′
μ
=
Λ
μ
ν
A
ν
,
A
′
μ
=
Λ
μ
ν
A
ν
{\displaystyle {A'}^{\mu }=\Lambda ^{\mu }{}_{\nu }A^{\nu }\,,\quad {A'}_{\mu }=\Lambda _{\mu }{}^{\nu }A_{\nu }}
この変換定義の性質に関する背景情報については、 テンソルを 参照してください。すべての4次元ベクトルは同じように変換され、これは4次元の相対論的テンソルに一般化できます。 特殊相対論を 参照してください。
単位ベクトル によって定義される軸を中心に 固定角度 θ だけ回転した2つのフレームの場合:
n
^
=
(
n
^
1
,
n
^
2
,
n
^
3
)
,
{\displaystyle {\hat {\mathbf {n} }}=\left({\hat {n}}_{1},{\hat {n}}_{2},{\hat {n}}_{3}\right)\,,}
ブーストなしの場合、行列 Λの 成分は次のように与えられる: [ 5 ]
Λ
00
=
1
Λ
0
i
=
Λ
i
0
=
0
Λ
i
j
=
(
δ
i
j
−
n
^
i
n
^
j
)
cos
θ
−
ε
i
j
k
n
^
k
sin
θ
+
n
^
i
n
^
j
{\displaystyle {\begin{aligned}\Lambda _{00}&=1\\\Lambda _{0i}=\Lambda _{i0}&=0\\\Lambda _{ij}&=\left(\delta _{ij}-{\hat {n}}_{i}{\hat {n}}_{j}\right)\cos \theta -\varepsilon _{ijk}{\hat {n}}_{k}\sin \theta +{\hat {n}}_{i}{\hat {n}}_{j}\end{aligned}}}
ここで、 δ ij は クロネッカーのデルタ 、 ε ijk は3次元の レヴィ・チヴィタ記号 である 。4元ベクトルの空間的成分は回転するが、時間的成分は変化しない。
z 軸の周りの回転の場合のみ 、ローレンツ行列の空間部分は z 軸の周りの 回転行列 に簡約されます。
(
A
′
0
A
′
1
A
′
2
A
′
3
)
=
(
1
0
0
0
0
cos
θ
−
sin
θ
0
0
sin
θ
cos
θ
0
0
0
0
1
)
(
A
0
A
1
A
2
A
3
)
.
{\displaystyle {\begin{pmatrix}{A'}^{0}\\{A'}^{1}\\{A'}^{2}\\{A'}^{3}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&0&0&0\\0&\cos \theta &-\sin \theta &0\\0&\sin \theta &\cos \theta &0\\0&0&0&1\\\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}A^{0}\\A^{1}\\A^{2}\\A^{3}\end{pmatrix}}\ .}
座標系の標準構成。x方向 のローレンツブースト用 。 一定の相対3速度 v （4速度ではありません。 下記参照 ）で移動する2つのフレームの場合、相対速度を c の単位で次のように表して定義すると便利です。
β
=
(
β
1
,
β
2
,
β
3
)
=
1
c
(
v
1
,
v
2
,
v
3
)
=
1
c
v
.
{\displaystyle {\boldsymbol {\beta }}=(\beta _{1},\,\beta _{2},\,\beta _{3})={\frac {1}{c}}(v_{1},\,v_{2},\,v_{3})={\frac {1}{c}}\mathbf {v} \,.}
回転がない場合、行列 Λは 次式で与えられる成分を持つ： [ 6 ]。
ここで、 ローレンツ因子は 次式で定義され、
δ ij は クロネッカーのデルタ である 。純粋な回転の場合とは異なり、ブースト下では空間的成分と時間的成分が混合される。
Λ
00
=
γ
,
Λ
0
i
=
Λ
i
0
=
−
γ
β
i
,
Λ
i
j
=
Λ
j
i
=
(
γ
−
1
)
β
i
β
j
β
2
+
δ
i
j
=
(
γ
−
1
)
v
i
v
j
v
2
+
δ
i
j
,
{\displaystyle {\begin{aligned}\Lambda _{00}&=\gamma ,\\\Lambda _{0i}=\Lambda _{i0}&=-\gamma \beta _{i},\\\Lambda _{ij}=\Lambda _{ji}&=(\gamma -1){\frac {\beta _{i}\beta _{j}}{\beta ^{2}}}+\delta _{ij}=(\gamma -1){\frac {v_{i}v_{j}}{v^{2}}}+\delta _{ij},\\\end{aligned}}}
γ
=
1
1
−
β
⋅
β
,
{\displaystyle \gamma ={\frac {1}{\sqrt {1-{\boldsymbol {\beta }}\cdot {\boldsymbol {\beta }}}}}\,,}
x 方向のみのブーストの場合 、行列は次のように簡約される。 [ 7 ] [ 8 ]
(
A
′
0
A
′
1
A
′
2
A
′
3
)
=
(
cosh
ϕ
−
sinh
ϕ
0
0
−
sinh
ϕ
cosh
ϕ
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1
)
(
A
0
A
1
A
2
A
3
)
{\displaystyle {\begin{pmatrix}A'^{0}\\A'^{1}\\A'^{2}\\A'^{3}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\cosh \phi &-\sinh \phi &0&0\\-\sinh \phi &\cosh \phi &0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\\\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}A^{0}\\A^{1}\\A^{2}\\A^{3}\end{pmatrix}}}
ラピディティ ϕ の式は 双曲線関数 で表され、次のように表される 。
γ
=
cosh
ϕ
{\displaystyle \gamma =\cosh \phi }
このローレンツ行列は、ブーストが 4 次元時空での双曲回転 であることを示しています 。これは、上記の 3 次元空間での円回転に類似しています。
4元ベクトルは、 3 次元 ユークリッドベクトル と 同じ 線形性 を持つ。これらは通常の要素ごとの方法で加算することができる。
同様に、 スカラー λ による スカラー乗算は 要素ごとに次のように定義される。
A
+
B
=
(
A
0
,
A
1
,
A
2
,
A
3
)
+
(
B
0
,
B
1
,
B
2
,
B
3
)
=
(
A
0
+
B
0
,
A
1
+
B
1
,
A
2
+
B
2
,
A
3
+
B
3
)
{\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {A} +\mathbf {B} &=\left(A^{0},A^{1},A^{2},A^{3}\right)+\left(B^{0},B^{1},B^{2},B^{3}\right)\\&=\left(A^{0}+B^{0},A^{1}+B^{1},A^{2}+B^{2},A^{3}+B^{3}\right)\end{aligned}}}
λ
A
=
λ
(
A
0
,
A
1
,
A
2
,
A
3
)
=
(
λ
A
0
,
λ
A
1
,
λ
A
2
,
λ
A
3
)
{\displaystyle \lambda \mathbf {A} =\lambda \left(A^{0},A^{1},A^{2},A^{3}\right)=\left(\lambda A^{0},\lambda A^{1},\lambda A^{2},\lambda A^{3}\right)}
減算は加算の逆演算であり、次のように定義されます。
A
+
(
−
1
)
B
=
(
A
0
,
A
1
,
A
2
,
A
3
)
+
(
−
1
)
(
B
0
,
B
1
,
B
2
,
B
3
)
=
(
A
0
−
B
0
,
A
1
−
B
1
,
A
2
−
B
2
,
A
3
−
B
3
)
{\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {A} +(-1)\mathbf {B} &=\left(A^{0},A^{1},A^{2},A^{3}\right)+(-1)\left(B^{0},B^{1},B^{2},B^{3}\right)\\&=\left(A^{0}-B^{0},A^{1}-B^{1},A^{2}-B^{2},A^{3}-B^{3}\right)\end{aligned}}}
ミンコフスキーテンソル ημν を 2つの4元ベクトル A と B に適用し 、その結果を ドット積 表記で書くと、 アインシュタイン表記を 使用して次のようになります。
A
⋅
B
=
A
μ
B
ν
E
μ
⋅
E
ν
=
A
μ
η
μ
ν
B
ν
{\displaystyle \mathbf {A} \cdot \mathbf {B} =A^{\mu }B^{\nu }\mathbf {E} _{\mu }\cdot \mathbf {E} _{\nu }=A^{\mu }\eta _{\mu \nu }B^{\nu }}
特殊相対論では、基底ベクトルのドット積はミンコフスキー計量であり、ユークリッド空間のクロネッカー デルタとは対照的です。定義を 行列 形式で書き直すと便利です。
この場合、上記の η μν は 、正方行列としてのミンコフスキー計量の μ 行 ν 列の要素です。ミンコフスキー計量は ユークリッド計量 ではありません。なぜなら、それは不定値だからです ( 計量シグネチャ を参照)。計量テンソルは A または B の成分を上げたり下げたりできるので、他のいくつかの式を使用できます。 A の反変/共変成分と B の共変/反変成分については 、次のようになります
。
したがって、行列表記では次のようになります。
一方、 共変成分の
A と B については、次のようになります。これ
は上記と同様の行列式です。
A
⋅
B
=
(
A
0
A
1
A
2
A
3
)
(
η
00
η
01
η
02
η
03
η
10
η
11
η
12
η
13
η
20
η
21
η
22
η
23
η
30
η
31
η
32
η
33
)
(
B
0
B
1
B
2
B
3
)
{\displaystyle \mathbf {A\cdot B} ={\begin{pmatrix}A^{0}&A^{1}&A^{2}&A^{3}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}\eta _{00}&\eta _{01}&\eta _{02}&\eta _{03}\\\eta _{10}&\eta _{11}&\eta _{12}&\eta _{13}\\\eta _{20}&\eta _{21}&\eta _{22}&\eta _{23}\\\eta _{30}&\eta _{31}&\eta _{32}&\eta _{33}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}B^{0}\\B^{1}\\B^{2}\\B^{3}\end{pmatrix}}}
A
⋅
B
=
A
μ
η
μ
ν
B
ν
=
A
ν
B
ν
=
A
μ
B
μ
{\displaystyle \mathbf {A} \cdot \mathbf {B} =A^{\mu }\eta _{\mu \nu }B^{\nu }=A_{\nu }B^{\nu }=A^{\mu }B_{\mu }}
A
⋅
B
=
(
A
0
A
1
A
2
A
3
)
(
B
0
B
1
B
2
B
3
)
=
(
B
0
B
1
B
2
B
3
)
(
A
0
A
1
A
2
A
3
)
{\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {A} \cdot \mathbf {B} &={\begin{pmatrix}A_{0}&A_{1}&A_{2}&A_{3}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}B^{0}\\B^{1}\\B^{2}\\B^{3}\end{pmatrix}}\\[1ex]&={\begin{pmatrix}B_{0}&B_{1}&B_{2}&B_{3}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}A^{0}\\A^{1}\\A^{2}\\A^{3}\end{pmatrix}}\end{aligned}}}
A
⋅
B
=
A
μ
η
μ
ν
B
ν
{\displaystyle \mathbf {A} \cdot \mathbf {B} =A_{\mu }\eta ^{\mu \nu }B_{\nu }}
ミンコフスキー テンソルを 4 元ベクトル A とその値そのものに適用すると、次の式が得られます。
これは、場合によっては、ベクトルの長さの 2 乗またはその負の値と見なすことができます。
A
⋅
A
=
A
μ
η
μ
ν
A
ν
{\displaystyle \mathbf {A\cdot A} =A^{\mu }\eta _{\mu \nu }A^{\nu }}
標準基底 （本質的には直交座標）における計量テンソルの一般的な選択肢として、以下の2つが挙げられます 。直交座標系を用いる場合、計量の空間的部分の対角成分にスケール係数が与えられますが、一般曲線座標系を用いる場合、計量の空間的部分全体は、使用される曲線基底に依存する成分を持ちます。
(+−−−) メトリック署名は 、「ほとんどマイナス」規則、または「西海岸」規則と呼ばれることもあります。
(+−−−) メトリックシグネチャ では、 インデックスの合計 を評価すると次のようになります。
行列形式では、次のようになります。
A
⋅
B
=
A
0
B
0
−
A
1
B
1
−
A
2
B
2
−
A
3
B
3
{\displaystyle \mathbf {A} \cdot \mathbf {B} =A^{0}B^{0}-A^{1}B^{1}-A^{2}B^{2}-A^{3}B^{3}}
A
⋅
B
=
(
A
0
A
1
A
2
A
3
)
(
1
0
0
0
0
−
1
0
0
0
0
−
1
0
0
0
0
−
1
)
(
B
0
B
1
B
2
B
3
)
{\displaystyle \mathbf {A\cdot B} ={\begin{pmatrix}A^{0}&A^{1}&A^{2}&A^{3}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1&0&0&0\\0&-1&0&0\\0&0&-1&0\\0&0&0&-1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}B^{0}\\B^{1}\\B^{2}\\B^{3}\end{pmatrix}}}
特殊相対論において、ある 基準系 における式
（ここで C はこの基準系における内積の値）と、
別の基準系における式 （ここで C ′ はこの基準系における内積の値） （ここで C ′ はこの基準系における内積の値） をとることは、繰り返し登場するテーマです。内積は不変量であるため、これらは等しくなければなりません。
つまり、
A
⋅
B
=
A
0
B
0
−
A
1
B
1
−
A
2
B
2
−
A
3
B
3
=
C
{\displaystyle \mathbf {A} \cdot \mathbf {B} =A^{0}B^{0}-A^{1}B^{1}-A^{2}B^{2}-A^{3}B^{3}=C}
A
′
⋅
B
′
=
A
′
0
B
′
0
−
A
′
1
B
′
1
−
A
′
2
B
′
2
−
A
′
3
B
′
3
=
C
′
{\displaystyle \mathbf {A} '\cdot \mathbf {B} '={A'}^{0}{B'}^{0}-{A'}^{1}{B'}^{1}-{A'}^{2}{B'}^{2}-{A'}^{3}{B'}^{3}=C'}
A
⋅
B
=
A
′
⋅
B
′
{\displaystyle \mathbf {A} \cdot \mathbf {B} =\mathbf {A} '\cdot \mathbf {B} '}
C
=
A
0
B
0
−
A
1
B
1
−
A
2
B
2
−
A
3
B
3
=
A
′
0
B
′
0
−
A
′
1
B
′
1
−
A
′
2
B
′
2
−
A
′
3
B
′
3
{\displaystyle {\begin{aligned}C&=A^{0}B^{0}-A^{1}B^{1}-A^{2}B^{2}-A^{3}B^{3}\\[2pt]&={A'}^{0}{B'}^{0}-{A'}^{1}{B'}^{1}-{A'}^{2}{B'}^{2}-{A'}^{3}{B'}^{3}\end{aligned}}}
相対論における物理量は4元ベクトルであることを考えると、この式は一見「 保存則 」のように見えますが、実際には「保存」は存在しません。ミンコフスキー内積の最も重要な意味は、任意の2つの4元ベクトルについて、その値がすべての観測者に対して 不変で あるということです。つまり、座標系を変更しても内積の値は変化しません。4元ベクトルの成分は、系ごとに変化します。A と A ′は ローレンツ変換 によって接続され 、 B と B ′も同様に接続されますが、内積はすべての系で同じです。しかしながら、この種の表現は、成分の大きさをローレンツ変換を明示的に実行することなく決定できるため、相対論的計算において保存則と同等に利用されています。具体的な例としては、 4元運動量 ベクトルから導かれるエネルギーと 運動量の関係式 （下記も参照）
におけるエネルギーと運動量があります。
この署名には次の内容が含まれています。
A
⋅
A
=
(
A
0
)
2
−
(
A
1
)
2
−
(
A
2
)
2
−
(
A
3
)
2
{\displaystyle \mathbf {A\cdot A} =\left(A^{0}\right)^{2}-\left(A^{1}\right)^{2}-\left(A^{2}\right)^{2}-\left(A^{3}\right)^{2}}
(+−−−) という符号を持つ 4 次元ベクトルは 、 の場合は 空間的ベクトル 、 の場合は 時間的ベクトル 、 の場合は ヌルベクトル に分類できます。
A
⋅
A
<
0
{\displaystyle \mathbf {A\cdot A} <0}
A
⋅
A
>
0
{\displaystyle \mathbf {A\cdot A} >0}
A
⋅
A
=
0
{\displaystyle \mathbf {A\cdot A} =0}
(-+++) メトリック署名は 、「東海岸」規則と呼ばれることもあります。
一部の著者は ηを 反対の符号で定義しており、その場合、計量シグネチャは(−+++)となる。このシグネチャを用いて総和を評価すると、以下のようになる。
A
⋅
B
=
−
A
0
B
0
+
A
1
B
1
+
A
2
B
2
+
A
3
B
3
{\displaystyle \mathbf {A\cdot B} =-A^{0}B^{0}+A^{1}B^{1}+A^{2}B^{2}+A^{3}B^{3}}
一方、行列形式は次のようになります。
A
⋅
B
=
(
A
0
A
1
A
2
A
3
)
(
−
1
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1
)
(
B
0
B
1
B
2
B
3
)
{\displaystyle \mathbf {A\cdot B} =\left({\begin{matrix}A^{0}&A^{1}&A^{2}&A^{3}\end{matrix}}\right)\left({\begin{matrix}-1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{matrix}}\right)\left({\begin{matrix}B^{0}\\B^{1}\\B^{2}\\B^{3}\end{matrix}}\right)}
この場合、1 つのフレームで次の点に注意してください。
A
⋅
B
=
−
A
0
B
0
+
A
1
B
1
+
A
2
B
2
+
A
3
B
3
=
−
C
{\displaystyle \mathbf {A} \cdot \mathbf {B} =-A^{0}B^{0}+A^{1}B^{1}+A^{2}B^{2}+A^{3}B^{3}=-C}
一方、別のケースでは：
A
′
⋅
B
′
=
−
A
′
0
B
′
0
+
A
′
1
B
′
1
+
A
′
2
B
′
2
+
A
′
3
B
′
3
=
−
C
′
{\displaystyle \mathbf {A} '\cdot \mathbf {B} '=-{A'}^{0}{B'}^{0}+{A'}^{1}{B'}^{1}+{A'}^{2}{B'}^{2}+{A'}^{3}{B'}^{3}=-C'}
となることによって：
−
C
=
−
A
0
B
0
+
A
1
B
1
+
A
2
B
2
+
A
3
B
3
=
−
A
′
0
B
′
0
+
A
′
1
B
′
1
+
A
′
2
B
′
2
+
A
′
3
B
′
3
{\displaystyle {\begin{aligned}-C&=-A^{0}B^{0}+A^{1}B^{1}+A^{2}B^{2}+A^{3}B^{3}\\[2pt]&=-{A'}^{0}{B'}^{0}+{A'}^{1}{B'}^{1}+{A'}^{2}{B'}^{2}+{A'}^{3}{B'}^{3}\end{aligned}}}
これは、 A と B を用いた C の上記の式と等価です 。どちらの表記法でも動作します。上記の2つの方法で定義されたミンコフスキー計量では、共変4ベクトル成分と反変4ベクトル成分の違いは符号のみであり、したがって、符号はどちらの表記法を用いるかによって異なります。
我々は持っています：
A
⋅
A
=
−
(
A
0
)
2
+
(
A
1
)
2
+
(
A
2
)
2
+
(
A
3
)
2
{\displaystyle \mathbf {A\cdot A} =-\left(A^{0}\right)^{2}+\left(A^{1}\right)^{2}+\left(A^{2}\right)^{2}+\left(A^{3}\right)^{2}}
署名(−+++)を持つ4次元ベクトルは 、 の場合は 空間的 、 の場合は 時間的 、 の 場合は ヌル として分類できます。
A
⋅
A
>
0
{\displaystyle \mathbf {A\cdot A} >0}
A
⋅
A
<
0
{\displaystyle \mathbf {A\cdot A} <0}
A
⋅
A
=
0
{\displaystyle \mathbf {A\cdot A} =0}
ミンコフスキー テンソルの適用は、多くの場合、1 つのベクトルの双対ベクトル が他のベクトルに
与える影響として表現されます。
A
⋅
B
=
A
∗
(
B
)
=
A
ν
B
ν
.
{\displaystyle \mathbf {A\cdot B} =A^{*}(\mathbf {B} )=A{_{\nu }}B^{\nu }.}
ここで、 A ν は、 Aの 双対基底 における双対ベクトル A * の成分であり 、 A の 共変 座標と呼ばれます。一方、元の A ν 成分は反変 座標と呼ばれます 。
特殊相対論（一般相対論ではない）では、 四元ベクトルのスカラー λ （不変量）に関する 微分は 、それ自体が四元ベクトルである。 四元ベクトルの 微分 d A をとり、それをスカラーの微分 dλ で割ることも有用である。
d
A
differential
=
d
A
d
λ
derivative
d
λ
differential
{\displaystyle {\underset {\text{differential}}{d\mathbf {A} }}={\underset {\text{derivative}}{\frac {d\mathbf {A} }{d\lambda }}}{\underset {\text{differential}}{d\lambda }}}
ここで反変成分は次の通りです。
d
A
=
(
d
A
0
,
d
A
1
,
d
A
2
,
d
A
3
)
{\displaystyle d\mathbf {A} =\left(dA^{0},dA^{1},dA^{2},dA^{3}\right)}
共変成分は次のようになります。
d
A
=
(
d
A
0
,
d
A
1
,
d
A
2
,
d
A
3
)
{\displaystyle d\mathbf {A} =\left(dA_{0},dA_{1},dA_{2},dA_{3}\right)}
相対論的力学では、4元ベクトルの微分をとり、 固有時間 の微分で割ることがよくあります（下記参照）。
ミンコフスキー空間 内の点は 、時間と空間の位置であり、「イベント」、 または 4 ベクトル、 4 位置、 または 4 位置 と呼ばれることもあります。これは、4 つの座標のセットによって何らかの参照フレームで記述されます。
R
=
(
c
t
,
r
)
{\displaystyle \mathbf {R} =\left(ct,\mathbf {r} \right)}
ここで、 rは 3次元空間の 位置ベクトル である 。r が 同一フレーム内の座標時間 t の関数である場合、すなわち r = r ( t ) である場合、これは t が変化するときの一連のイベントに対応する 。定義 R 0 = ct は 、すべての座標が同じ 次元 （ 長さ ）と単位（ SI 単位系ではメートル）を持つことを保証する。 [ 9 ] [ 10 ] [ 11 ] [ 12 ] これらの座標は、イベントの
位置4次元ベクトル の要素である。
変位 4 ベクトル は、2 つのイベントをリンクする「矢印」として定義されます。
Δ
R
=
(
c
Δ
t
,
Δ
r
)
{\displaystyle \Delta \mathbf {R} =\left(c\Delta t,\Delta \mathbf {r} \right)}
世界線上の微分 四位 については、 ノルム表記法 を使用して次のように表すことができます。
‖
d
R
‖
2
=
d
R
⋅
d
R
=
d
R
μ
d
R
μ
=
c
2
d
τ
2
=
d
s
2
,
{\displaystyle \|d\mathbf {R} \|^{2}=\mathbf {dR\cdot dR} =dR^{\mu }dR_{\mu }=c^{2}d\tau ^{2}=ds^{2}\,,}
微分 線要素 d s と微分固有時間増分 d τ を定義しますが、この「ノルム」はまた次のようになります。
‖
d
R
‖
2
=
(
c
d
t
)
2
−
d
r
⋅
d
r
,
{\displaystyle \|d\mathbf {R} \|^{2}=(cdt)^{2}-d\mathbf {r} \cdot d\mathbf {r} \,,}
となることによって：
(
c
d
τ
)
2
=
(
c
d
t
)
2
−
d
r
⋅
d
r
.
{\displaystyle (cd\tau )^{2}=(cdt)^{2}-d\mathbf {r} \cdot d\mathbf {r} \,.}
物理現象を考えるとき、微分方程式は自然に生じます。しかし、関数の空間および 時間の微分を考えるとき、これらの微分がどの基準系に関して取られているかは不明です。時間微分は 固有時 に関して取られることが合意されています 。固有時は不変量であるため、任意の 4 元ベクトルの固有時間微分は、それ自体が 4 元ベクトルであることが保証されます。したがって、この固有時間微分と別の時間微分（慣性基準系の 座標時間 tを使用）との関係を見つけることが重要になります。この関係は、上記の微分不変時空間隔を取り、それを ( cdt ) 2 で割る ことで得られ、次の式が得られます。
τ
{\displaystyle \tau }
(
c
d
τ
c
d
t
)
2
=
1
−
(
d
r
c
d
t
⋅
d
r
c
d
t
)
=
1
−
u
⋅
u
c
2
=
1
γ
(
u
)
2
,
{\displaystyle \left({\frac {cd\tau }{cdt}}\right)^{2}=1-\left({\frac {d\mathbf {r} }{cdt}}\cdot {\frac {d\mathbf {r} }{cdt}}\right)=1-{\frac {\mathbf {u} \cdot \mathbf {u} }{c^{2}}}={\frac {1}{\gamma (\mathbf {u} )^{2}}}\,,}
ここで、 u = d r / dt は、座標 x 、 y 、 z 、および 座標時間 t と同じフレームで測定された物体の座標 3- 速度で あり、
γ
(
u
)
=
1
1
−
u
⋅
u
c
2
{\displaystyle \gamma (\mathbf {u} )={\frac {1}{\sqrt {1-{\frac {\mathbf {u} \cdot \mathbf {u} }{c^{2}}}}}}}
はローレンツ因子 です 。これは、座標時間と固有時間の微分の間に有用な関係を与えます。
d
t
=
γ
(
u
)
d
τ
.
{\displaystyle dt=\gamma (\mathbf {u} )d\tau \,.}
この関係はローレンツ変換 における時間変換からも見出すことができます 。
相対性理論における重要な 4 元ベクトルは、この微分を適用することで定義できます 。
d
d
τ
{\displaystyle {\frac {d}{d\tau }}}
偏微分は 線型作用素 である ことを考慮すると、 偏 時間微分 ∂ / ∂ t と空間 勾配∇ から 四元勾配 を形成できる 。標準基底を用いると、指数表記と省略表記において、反変成分は以下のようになる。
∂
=
(
∂
∂
x
0
,
−
∂
∂
x
1
,
−
∂
∂
x
2
,
−
∂
∂
x
3
)
=
(
∂
0
,
−
∂
1
,
−
∂
2
,
−
∂
3
)
=
E
0
∂
0
−
E
1
∂
1
−
E
2
∂
2
−
E
3
∂
3
=
E
0
∂
0
−
E
i
∂
i
=
E
α
∂
α
=
(
1
c
∂
∂
t
,
−
∇
)
=
(
∂
t
c
,
−
∇
)
=
E
0
1
c
∂
∂
t
−
∇
{\displaystyle {\begin{aligned}{\boldsymbol {\partial }}&=\left({\frac {\partial }{\partial x_{0}}},\,-{\frac {\partial }{\partial x_{1}}},\,-{\frac {\partial }{\partial x_{2}}},\,-{\frac {\partial }{\partial x_{3}}}\right)\\&=(\partial ^{0},\,-\partial ^{1},\,-\partial ^{2},\,-\partial ^{3})\\&=\mathbf {E} _{0}\partial ^{0}-\mathbf {E} _{1}\partial ^{1}-\mathbf {E} _{2}\partial ^{2}-\mathbf {E} _{3}\partial ^{3}\\&=\mathbf {E} _{0}\partial ^{0}-\mathbf {E} _{i}\partial ^{i}\\&=\mathbf {E} _{\alpha }\partial ^{\alpha }\\&=\left({\frac {1}{c}}{\frac {\partial }{\partial t}},\,-\nabla \right)\\&=\left({\frac {\partial _{t}}{c}},-\nabla \right)\\&=\mathbf {E} _{0}{\frac {1}{c}}{\frac {\partial }{\partial t}}-\nabla \\\end{aligned}}}
基底ベクトルを成分の前に配置するのは、基底ベクトルの微分を求めることと、偏微分がこの4元ベクトルの成分であることを示すことの混同を避けるためです。共変成分は以下のとおりです。
∂
=
(
∂
∂
x
0
,
∂
∂
x
1
,
∂
∂
x
2
,
∂
∂
x
3
)
=
(
∂
0
,
∂
1
,
∂
2
,
∂
3
)
=
E
0
∂
0
+
E
1
∂
1
+
E
2
∂
2
+
E
3
∂
3
=
E
0
∂
0
+
E
i
∂
i
=
E
α
∂
α
=
(
1
c
∂
∂
t
,
∇
)
=
(
∂
t
c
,
∇
)
=
E
0
1
c
∂
∂
t
+
∇
{\displaystyle {\begin{aligned}{\boldsymbol {\partial }}&=\left({\frac {\partial }{\partial x^{0}}},\,{\frac {\partial }{\partial x^{1}}},\,{\frac {\partial }{\partial x^{2}}},\,{\frac {\partial }{\partial x^{3}}}\right)\\&=(\partial _{0},\,\partial _{1},\,\partial _{2},\,\partial _{3})\\&=\mathbf {E} ^{0}\partial _{0}+\mathbf {E} ^{1}\partial _{1}+\mathbf {E} ^{2}\partial _{2}+\mathbf {E} ^{3}\partial _{3}\\&=\mathbf {E} ^{0}\partial _{0}+\mathbf {E} ^{i}\partial _{i}\\&=\mathbf {E} ^{\alpha }\partial _{\alpha }\\&=\left({\frac {1}{c}}{\frac {\partial }{\partial t}},\,\nabla \right)\\&=\left({\frac {\partial _{t}}{c}},\nabla \right)\\&=\mathbf {E} ^{0}{\frac {1}{c}}{\frac {\partial }{\partial t}}+\nabla \\\end{aligned}}}
これは演算子なので、「長さ」はありませんが、演算子とそれ自身の内積を評価すると、別の演算子が得られます。
∂
μ
∂
μ
=
1
c
2
∂
2
∂
t
2
−
∇
2
=
∂
t
2
c
2
−
∇
2
{\displaystyle \partial ^{\mu }\partial _{\mu }={\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}-\nabla ^{2}={\frac {{\partial _{t}}^{2}}{c^{2}}}-\nabla ^{2}}
ダランベール演算子 と呼ばれる 。
粒子の 4 元速度は次のように定義され
ます 。
U
=
d
X
d
τ
=
d
X
d
t
d
t
d
τ
=
γ
(
u
)
(
c
,
u
)
,
{\displaystyle \mathbf {U} ={\frac {d\mathbf {X} }{d\tau }}={\frac {d\mathbf {X} }{dt}}{\frac {dt}{d\tau }}=\gamma (\mathbf {u} )\left(c,\mathbf {u} \right),}
幾何学的には、 Uは粒子の 世界線 に接する正規化されたベクトルである 。四元位置の微分を用いることで、四元速度の大きさは次のように得られる。
‖
U
‖
2
=
U
μ
U
μ
=
d
X
μ
d
τ
d
X
μ
d
τ
=
d
X
μ
d
X
μ
d
τ
2
=
c
2
,
{\displaystyle \|\mathbf {U} \|^{2}=U^{\mu }U_{\mu }={\frac {dX^{\mu }}{d\tau }}{\frac {dX_{\mu }}{d\tau }}={\frac {dX^{\mu }dX_{\mu }}{d\tau ^{2}}}=c^{2}\,,}
つまり、どんな物体でも4元速度の大きさは常に一定の定数です。
‖
U
‖
2
=
c
2
{\displaystyle \|\mathbf {U} \|^{2}=c^{2}}
標準は次のとおりです。
‖
U
‖
2
=
γ
(
u
)
2
(
c
2
−
u
⋅
u
)
,
{\displaystyle \|\mathbf {U} \|^{2}={\gamma (\mathbf {u} )}^{2}\left(c^{2}-\mathbf {u} \cdot \mathbf {u} \right)\,,}
となることによって：
c
2
=
γ
(
u
)
2
(
c
2
−
u
⋅
u
)
,
{\displaystyle c^{2}={\gamma (\mathbf {u} )}^{2}\left(c^{2}-\mathbf {u} \cdot \mathbf {u} \right)\,,}
これはローレンツ因子 の定義に簡約されます 。
四元速度の単位は SI単位系ではm/s、 幾何化単位系 では1です 。四元速度は反変ベクトルです。
4 加速度 は次のように表されます。
A
=
d
U
d
τ
=
γ
(
u
)
(
d
γ
(
u
)
d
t
c
,
d
γ
(
u
)
d
t
u
+
γ
(
u
)
a
)
.
{\displaystyle \mathbf {A} ={\frac {d\mathbf {U} }{d\tau }}=\gamma (\mathbf {u} )\left({\frac {d{\gamma }(\mathbf {u} )}{dt}}c,{\frac {d{\gamma }(\mathbf {u} )}{dt}}\mathbf {u} +\gamma (\mathbf {u} )\mathbf {a} \right).}
ここで 、 a = d u / dt は座標3次元加速度です。Uの大きさは 定数なので、4次元加速度は4次元速度と直交します。つまり、4次元加速度と4次元速度のミンコフスキー内積は0です。
A
⋅
U
=
A
μ
U
μ
=
d
U
μ
d
τ
U
μ
=
1
2
d
d
τ
(
U
μ
U
μ
)
=
0
{\displaystyle \mathbf {A} \cdot \mathbf {U} =A^{\mu }U_{\mu }={\frac {dU^{\mu }}{d\tau }}U_{\mu }={\frac {1}{2}}\,{\frac {d}{d\tau }}\left(U^{\mu }U_{\mu }\right)=0\,}
これはすべての世界線に当てはまります。四元加速度の幾何学的な意味は、 ミンコフスキー空間における世界線の
曲率ベクトルです。
静止質量 （または 不変質量 ） m 0 の質量を持つ粒子の場合 、 4元運動量 は次のように表されます。
P
=
m
0
U
=
m
0
γ
(
u
)
(
c
,
u
)
=
(
E
c
,
p
)
{\displaystyle \mathbf {P} =m_{0}\mathbf {U} =m_{0}\gamma (\mathbf {u} )(c,\mathbf {u} )=\left({\frac {E}{c}},\mathbf {p} \right)}
ここで、運動する粒子の全エネルギーは次のようになります。
E
=
γ
(
u
)
m
0
c
2
{\displaystyle E=\gamma (\mathbf {u} )m_{0}c^{2}}
そして、相対論的運動量 全体は次の ようになります。
p
=
γ
(
u
)
m
0
u
{\displaystyle \mathbf {p} =\gamma (\mathbf {u} )m_{0}\mathbf {u} }
4 元運動量の内積をとると次のようになります。
‖
P
‖
2
=
P
μ
P
μ
=
m
0
2
U
μ
U
μ
=
m
0
2
c
2
{\displaystyle \|\mathbf {P} \|^{2}=P^{\mu }P_{\mu }=m_{0}^{2}U^{\mu }U_{\mu }=m_{0}^{2}c^{2}}
そしてまた:
‖
P
‖
2
=
E
2
c
2
−
p
⋅
p
{\displaystyle \|\mathbf {P} \|^{2}={\frac {E^{2}}{c^{2}}}-\mathbf {p} \cdot \mathbf {p} }
これによって エネルギーと運動量の関係 が導かれます。
E
2
=
c
2
p
⋅
p
+
(
m
0
c
2
)
2
.
{\displaystyle E^{2}=c^{2}\mathbf {p} \cdot \mathbf {p} +\left(m_{0}c^{2}\right)^{2}\,.}
この最後の関係は相対論的力学 に役立ち 、 相対論的量子力学 と 相対論的量子場理論 に不可欠であり、いずれも 素粒子物理学 に応用されています。
粒子に作用する4 元力は、 ニュートンの運動量 の時間微分としての3元力と同様に定義されます 。
F
=
d
P
d
τ
=
γ
(
u
)
(
1
c
d
E
d
t
,
d
p
d
t
)
=
γ
(
u
)
(
P
c
,
f
)
{\displaystyle \mathbf {F} ={\frac {d\mathbf {P} }{d\tau }}=\gamma (\mathbf {u} )\left({\frac {1}{c}}{\frac {dE}{dt}},{\frac {d\mathbf {p} }{dt}}\right)=\gamma (\mathbf {u} )\left({\frac {P}{c}},\mathbf {f} \right)}
ここで、 P は 粒子を動かすために伝達される 力、 f は粒子に作用する三元力である。一定不変質量 m 0 の粒子の場合、これは次式に等しい。
F
=
m
0
A
=
m
0
γ
(
u
)
(
d
γ
(
u
)
d
t
c
,
(
d
γ
(
u
)
d
t
u
+
γ
(
u
)
a
)
)
{\displaystyle \mathbf {F} =m_{0}\mathbf {A} =m_{0}\gamma (\mathbf {u} )\left({\frac {d{\gamma }(\mathbf {u} )}{dt}}c,\left({\frac {d{\gamma }(\mathbf {u} )}{dt}}\mathbf {u} +\gamma (\mathbf {u} )\mathbf {a} \right)\right)}
4元力から導かれる不変量は次のとおりです。
F
⋅
U
=
F
μ
U
μ
=
m
0
A
μ
U
μ
=
0
{\displaystyle \mathbf {F} \cdot \mathbf {U} =F^{\mu }U_{\mu }=m_{0}A^{\mu }U_{\mu }=0}
上記の結果から。
4次元熱流束ベクトル場は、 流体の局所座標系における3次元 熱流束 ベクトル場 qと本質的に類似している。 [ 13 ]
Q
=
−
k
∂
T
=
−
k
(
1
c
∂
T
∂
t
,
∇
T
)
{\displaystyle \mathbf {Q} =-k{\boldsymbol {\partial }}T=-k\left({\frac {1}{c}}{\frac {\partial T}{\partial t}},\nabla T\right)}
ここで、 T は 絶対温度 、 kは 熱伝導率 です 。
重粒子のフラックスは [ 14 ] で表され、
ここで n は重粒子流体の 局所 静止系における 重粒子 の 数密度 （重粒子の場合は正の値、 反重粒子 の場合は負の値）、 Uは 上記と同じ4 元速度 場（流体の）である。
S
=
n
U
{\displaystyle \mathbf {S} =n\mathbf {U} }
4 エントロピー ベクトルは次のように定義される: [ 15 ]
ここで s は重粒子あたりのエントロピー、 Tは 流体の局所静止系における 絶対温度で ある。 [ 16 ]
s
=
s
S
+
Q
T
{\displaystyle \mathbf {s} =s\mathbf {S} +{\frac {\mathbf {Q} }{T}}}
電磁気学 における 4 元ベクトルの例には 次のものがあります。
電磁気的 4元電流 （より正確には4元電流密度） [ 17 ] は、電流密度 j と 電荷密度 ρ
から形成されること で定義されます
。
J
=
(
ρ
c
,
j
)
{\displaystyle \mathbf {J} =\left(\rho c,\mathbf {j} \right)}
によって定義される電磁 4元ポテンシャル （より正確には4元EMベクトルポテンシャル）は、
ベクトルポテンシャル a とスカラーポテンシャル ϕ
から形成されます 。
A
=
(
ϕ
c
,
a
)
{\displaystyle \mathbf {A} =\left({\frac {\phi }{c}},\mathbf {a} \right)}
4 次元ポテンシャルは ゲージ の選択に依存するため、一意に決定されません。
電磁場の
波動方程式 では、
真空中では、
(
∂
⋅
∂
)
A
=
0
{\displaystyle ({\boldsymbol {\partial }}\cdot {\boldsymbol {\partial }})\mathbf {A} =0}
4つの電流 源と ローレンツゲージ条件 を用いると 、
(
∂
⋅
A
)
=
0
{\displaystyle ({\boldsymbol {\partial }}\cdot \mathbf {A} )=0}
(
∂
⋅
∂
)
A
=
μ
0
J
{\displaystyle ({\boldsymbol {\partial }}\cdot {\boldsymbol {\partial }})\mathbf {A} =\mu _{0}\mathbf {J} }
光子 平面波は 、次のように定義される
4周波数 で記述できる。
N
=
ν
(
1
,
n
^
)
{\displaystyle \mathbf {N} =\nu \left(1,{\hat {\mathbf {n} }}\right)}
ここで ν は波の周波数であり、 波の進行方向の
単位ベクトル です。つまり、
n
^
{\displaystyle {\hat {\mathbf {n} }}}
‖
N
‖
=
N
μ
N
μ
=
ν
2
(
1
−
n
^
⋅
n
^
)
=
0
{\displaystyle \|\mathbf {N} \|=N^{\mu }N_{\mu }=\nu ^{2}\left(1-{\hat {\mathbf {n} }}\cdot {\hat {\mathbf {n} }}\right)=0}
したがって、光子の 4 元周波数は常にヌル ベクトルになります。
時間t と空間 r の逆数は、それぞれ 角周波数 ω と 角波数ベクトル k である 。これらは 四波数ベクトル または 波数四ベクトル の成分を形成する。
K
=
(
ω
c
,
k
→
)
=
(
ω
c
,
ω
v
p
n
^
)
.
{\displaystyle \mathbf {K} =\left({\frac {\omega }{c}},{\vec {\mathbf {k} }}\right)=\left({\frac {\omega }{c}},{\frac {\omega }{v_{p}}}{\hat {\mathbf {n} }}\right)\,.}
波動四ベクトルは SI単位系の 逆メートル の 一貫した派生単位を持つ。 [ 18 ]
ほぼ単色 光の波束は 次のように記述できます。
K
=
2
π
c
N
=
2
π
c
ν
(
1
,
n
^
)
=
ω
c
(
1
,
n
^
)
.
{\displaystyle \mathbf {K} ={\frac {2\pi }{c}}\mathbf {N} ={\frac {2\pi }{c}}\nu \left(1,{\hat {\mathbf {n} }}\right)={\frac {\omega }{c}}\left(1,{\hat {\mathbf {n} }}\right)~.}
ド・ブロイの関係式は、4 波ベクトルが 光波だけでなく
物質波 にも適用されることを示しており、および が
生成されます。 ここで、 ħ は プランク定数を 2 π で割った値です 。
P
=
ℏ
K
=
(
E
c
,
p
→
)
=
ℏ
(
ω
c
,
k
→
)
.
{\displaystyle \mathbf {P} =\hbar \mathbf {K} =\left({\frac {E}{c}},{\vec {p}}\right)=\hbar \left({\frac {\omega }{c}},{\vec {k}}\right)~.}
E
=
ℏ
ω
{\displaystyle E=\hbar \omega }
p
→
=
ℏ
k
→
{\displaystyle {\vec {p}}=\hbar {\vec {k}}}
ノルムの2乗は、次の通りです。
また、ド・ブロイの関係式により、
エネルギーと運動量の関係式の物質波版が得られます。
‖
K
‖
2
=
K
μ
K
μ
=
(
ω
c
)
2
−
k
⋅
k
,
{\displaystyle \|\mathbf {K} \|^{2}=K^{\mu }K_{\mu }=\left({\frac {\omega }{c}}\right)^{2}-\mathbf {k} \cdot \mathbf {k} \,,}
‖
K
‖
2
=
1
ℏ
2
‖
P
‖
2
=
(
m
0
c
ℏ
)
2
,
{\displaystyle \|\mathbf {K} \|^{2}={\frac {1}{\hbar ^{2}}}\|\mathbf {P} \|^{2}=\left({\frac {m_{0}c}{\hbar }}\right)^{2}\,,}
(
ω
c
)
2
−
k
⋅
k
=
(
m
0
c
ℏ
)
2
.
{\displaystyle \left({\frac {\omega }{c}}\right)^{2}-\mathbf {k} \cdot \mathbf {k} =\left({\frac {m_{0}c}{\hbar }}\right)^{2}~.}
質量のない粒子、つまり m 0 = 0 の場合、次式が成り立つことに注意されたい。
または ‖ k ‖ = ω / c 。これは上記の場合と整合している。3次元波動ベクトルが係数 ω / c である光子の場合 、 単位ベクトルによって定義される波動伝播方向において、
(
ω
c
)
2
=
k
⋅
k
,
{\displaystyle \left({\frac {\omega }{c}}\right)^{2}=\mathbf {k} \cdot \mathbf {k} \,,}
n
^
.
{\displaystyle \ {\hat {\mathbf {n} }}~.}
量子力学 において 、四元 確率電流 、あるいは確率四元電流は 電磁気学の四元電流 に類似している。 [ 19 ]
ここで、 ρ は 時間成分に対応する 確率密度関数、 j は確率電流 ベクトルである 。非相対論的量子力学では、密度と電流の表現が正定値であり、確率解釈が可能であるため、この電流は常に明確に定義される。 相対論的量子力学 と 量子場の理論 では、特に相互作用が関与する場合、電流を見つけることが必ずしも可能ではない。
J
=
(
ρ
c
,
j
)
{\displaystyle \mathbf {J} =(\rho c,\mathbf {j} )}
4 元運動量において エネルギーを エネルギー演算 子に、運動量を 運動量演算子に置き換えると、 相対論的波動方程式 で使用される 4 元運動量演算子 が得られます。
粒子の四元 スピン は、粒子の静止系において次のように定義されます
。
ここで 、s はスピン擬 ベクトルです 。量子力学では、このベクトルの3つの成分すべてが同時に測定可能ではなく、1つの成分のみが測定可能です。時間的成分は粒子の静止系ではゼロですが、他のどの系でもゼロではありません。この成分は、適切なローレンツ変換から求めることができます。
S
=
(
0
,
s
)
{\displaystyle \mathbf {S} =(0,\mathbf {s} )}
ノルムの二乗はスピンの大きさの二乗（の負）であり、量子力学によれば、
‖
S
‖
2
=
−
|
s
|
2
=
−
ℏ
2
s
(
s
+
1
)
{\displaystyle \|\mathbf {S} \|^{2}=-|\mathbf {s} |^{2}=-\hbar ^{2}s(s+1)}
この値は観測可能かつ量子化されており、 s はスピン 量子数 （スピンベクトルの大きさではない）です。
4元ベクトル Aは、 パウリ行列を 基底 として 用いることで定義することもでき 、これも同様に様々な等価な表記法で定義できる： [ 20 ]
あるいは明示的に
定義できる：そしてこの定式化では、4元ベクトルは実数値の列ベクトルや行ベクトルではなく、 エルミート行列 （ 行列の転置 と 複素共役 によって変化しない）として表される。行列の 行列式 は4元ベクトルの絶対値であるため、行列式は不変である：
A
=
(
A
0
,
A
1
,
A
2
,
A
3
)
=
A
0
σ
0
+
A
1
σ
1
+
A
2
σ
2
+
A
3
σ
3
=
A
0
σ
0
+
A
i
σ
i
=
A
α
σ
α
{\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {A} &=\left(A^{0},\,A^{1},\,A^{2},\,A^{3}\right)\\&=A^{0}{\boldsymbol {\sigma }}_{0}+A^{1}{\boldsymbol {\sigma }}_{1}+A^{2}{\boldsymbol {\sigma }}_{2}+A^{3}{\boldsymbol {\sigma }}_{3}\\&=A^{0}{\boldsymbol {\sigma }}_{0}+A^{i}{\boldsymbol {\sigma }}_{i}\\&=A^{\alpha }{\boldsymbol {\sigma }}_{\alpha }\\\end{aligned}}}
A
=
A
0
(
1
0
0
1
)
+
A
1
(
0
1
1
0
)
+
A
2
(
0
−
i
i
0
)
+
A
3
(
1
0
0
−
1
)
=
(
A
0
+
A
3
A
1
−
i
A
2
A
1
+
i
A
2
A
0
−
A
3
)
{\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {A} &=A^{0}{\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}}+A^{1}{\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}}+A^{2}{\begin{pmatrix}0&-i\\i&0\end{pmatrix}}+A^{3}{\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}}\\&={\begin{pmatrix}A^{0}+A^{3}&A^{1}-iA^{2}\\A^{1}+iA^{2}&A^{0}-A^{3}\end{pmatrix}}\end{aligned}}}
|
A
|
=
|
A
0
+
A
3
A
1
−
i
A
2
A
1
+
i
A
2
A
0
−
A
3
|
=
(
A
0
+
A
3
)
(
A
0
−
A
3
)
−
(
A
1
−
i
A
2
)
(
A
1
+
i
A
2
)
=
(
A
0
)
2
−
(
A
1
)
2
−
(
A
2
)
2
−
(
A
3
)
2
{\displaystyle {\begin{aligned}|\mathbf {A} |&={\begin{vmatrix}A^{0}+A^{3}&A^{1}-iA^{2}\\A^{1}+iA^{2}&A^{0}-A^{3}\end{vmatrix}}\\[1ex]&=\left(A^{0}+A^{3}\right)\left(A^{0}-A^{3}\right)-\left(A^{1}-iA^{2}\right)\left(A^{1}+iA^{2}\right)\\[1ex]&=\left(A^{0}\right)^{2}-\left(A^{1}\right)^{2}-\left(A^{2}\right)^{2}-\left(A^{3}\right)^{2}\end{aligned}}}
パウリ行列を 基底ベクトルとして使用するというこの考え方は、 クリフォード代数 の一例である 物理空間の代数 で採用されています 。
クリフォード代数のもう一つの例である時空代数 では 、 ガンマ行列は 基底 を形成することもできます。（ ディラック方程式 に現れるため、ディラック行列とも呼ばれます 。）ガンマ行列の表現方法は複数あり、詳細はその記事で解説されています。
ファインマン スラッシュ記法は 、ガンマ行列と縮約された
4つのベクトル A の略記です。
A
/
=
A
α
γ
α
=
A
0
γ
0
+
A
1
γ
1
+
A
2
γ
2
+
A
3
γ
3
{\displaystyle \mathbf {A} \!\!\!\!/=A_{\alpha }\gamma ^{\alpha }=A_{0}\gamma ^{0}+A_{1}\gamma ^{1}+A_{2}\gamma ^{2}+A_{3}\gamma ^{3}}
ガンマ行列と縮約された四元運動量は、 相対論的量子力学 および 相対論的量子場理論 における重要な例である。ディラック方程式やその他の 相対論的波動方程式 には、
エネルギー E と運動量成分 ( p x , p y , p z ) がそれぞれの 演算子 に置き換えられた、次のような項が現れる。
P
/
=
P
α
γ
α
=
P
0
γ
0
+
P
1
γ
1
+
P
2
γ
2
+
P
3
γ
3
=
E
c
γ
0
−
p
x
γ
1
−
p
y
γ
2
−
p
z
γ
3
{\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {P} \!\!\!\!/=P_{\alpha }\gamma ^{\alpha }&=P_{0}\gamma ^{0}+P_{1}\gamma ^{1}+P_{2}\gamma ^{2}+P_{3}\gamma ^{3}\\[4pt]&={\dfrac {E}{c}}\gamma ^{0}-p_{x}\gamma ^{1}-p_{y}\gamma ^{2}-p_{z}\gamma ^{3}\\\end{aligned}}}
![{\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {E} ^{0}&={\begin{pmatrix}1&0&0&0\end{pmatrix}}\,,&\mathbf {E} ^{1}&={\begin{pmatrix}0&1&0&0\end{pmatrix}}\,,\\[1ex]\mathbf {E} ^{2}&={\begin{pmatrix}0&0&1&0\end{pmatrix}}\,,&\mathbf {E} ^{3}&={\begin{pmatrix}0&0&0&1\end{pmatrix}},\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/abcc63ff1a2a74eaf2d7fab9f41dfa9e74698c2c)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {A} \cdot \mathbf {B} &={\begin{pmatrix}A_{0}&A_{1}&A_{2}&A_{3}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}B^{0}\\B^{1}\\B^{2}\\B^{3}\end{pmatrix}}\\[1ex]&={\begin{pmatrix}B_{0}&B_{1}&B_{2}&B_{3}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}A^{0}\\A^{1}\\A^{2}\\A^{3}\end{pmatrix}}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/94102cfb466ea382a720f78aa2bc64ea8935d0ed)
![{\displaystyle {\begin{aligned}C&=A^{0}B^{0}-A^{1}B^{1}-A^{2}B^{2}-A^{3}B^{3}\\[2pt]&={A'}^{0}{B'}^{0}-{A'}^{1}{B'}^{1}-{A'}^{2}{B'}^{2}-{A'}^{3}{B'}^{3}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3d8faee65a366f79be5049674ff58b6803b3b4ac)
![{\displaystyle {\begin{aligned}-C&=-A^{0}B^{0}+A^{1}B^{1}+A^{2}B^{2}+A^{3}B^{3}\\[2pt]&=-{A'}^{0}{B'}^{0}+{A'}^{1}{B'}^{1}+{A'}^{2}{B'}^{2}+{A'}^{3}{B'}^{3}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e341c11738d92eccbd0118c015437559cfab380c)
![{\displaystyle {\begin{aligned}|\mathbf {A} |&={\begin{vmatrix}A^{0}+A^{3}&A^{1}-iA^{2}\\A^{1}+iA^{2}&A^{0}-A^{3}\end{vmatrix}}\\[1ex]&=\left(A^{0}+A^{3}\right)\left(A^{0}-A^{3}\right)-\left(A^{1}-iA^{2}\right)\left(A^{1}+iA^{2}\right)\\[1ex]&=\left(A^{0}\right)^{2}-\left(A^{1}\right)^{2}-\left(A^{2}\right)^{2}-\left(A^{3}\right)^{2}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0eae567b8920aabd56af8500021c0703a00b4ad9)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {P} \!\!\!\!/=P_{\alpha }\gamma ^{\alpha }&=P_{0}\gamma ^{0}+P_{1}\gamma ^{1}+P_{2}\gamma ^{2}+P_{3}\gamma ^{3}\\[4pt]&={\dfrac {E}{c}}\gamma ^{0}-p_{x}\gamma ^{1}-p_{y}\gamma ^{2}-p_{z}\gamma ^{3}\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f089c4155e7e8da899f3db0882a78472bf898933)