代数幾何学の用語集

これは代数幾何学の用語集です。

可換代数の用語集、古典代数幾何学の用語集、環論の用語集も参照してください。数論への応用については、算術とディオファントス幾何学の用語集を参照してください。

簡単にするために、基本スキームへの参照はしばしば省略されます。つまり、スキームは、ある固定された基本スキームS上のスキームとなり、モルフィズムはSモルフィズムとなります。

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${\displaystyle \eta }$

一般的な点。例えば、任意の積分アフィンスキームの零イデアルに関連付けられた点。

F ( n )、F ( D )

1. Xがセールのねじれ層を 持つ射影スキームであり、Fが-加群である場合、${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}(1)}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$ ${\displaystyle F(n)=F\otimes _{{\mathcal {O}}_{X}}{\mathcal {O}}_{X}(n).}$

2. Dがカルティエ因子で、Fが- 加群（X は任意）の場合、Dがヴェイユ因子で、Fが反射的であれば、 F ( D ) をその反射包に置き換えます（結果は依然としてF ( D )と呼ばれます）。${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$ ${\displaystyle F(D)=F\otimes _{{\mathcal {O}}_{X}}{\mathcal {O}}_{X}(D).}$

|デ|

代数的に閉体k上の正規完備多様体X上のヴェイユ因子Dの完全線型系、すなわち。 | D | のk有理点の集合と、 Dと線型的に同値なX上の有効ヴェイユ因子の集合との間には一対一の関係がある。^[1] Dがk上の完備多様体上のカルティエ因子である場合にも、同じ定義が用いられる。 ${\displaystyle |D|=\mathbf {P} (\Gamma (X,{\mathcal {O}}_{X}(D)))}$

[X/G]

たとえば、代数空間Xをグループ スキームGの作用でスタックする商。

${\displaystyle X/\!/G}$

グループ スキームGのアクションによるスキームXのGIT商。

L ⁿ

曖昧な表記法です。通常はLのn乗テンソルの冪を意味しますが、 Lの自己交差数を意味する場合もあります。X 上の構造層が である場合、のn個の直和を意味します。${\displaystyle L={\mathcal {O}}_{X}}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$

${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}(-1)}$

トートロジー直線束。これはセールのねじれ層 の双対である。${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}(1)}$

${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}(1)}$

セールのねじれ層。トートロジー直線束 の双対である。超平面束とも呼ばれる。${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}(-1)}$

${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}(D)}$

1. DがX上の有効カルティエ因子である場合、それはDの理想層の逆である。

2. ほとんどの場合、はカルティエ因子群からXのピカール群（ X上の直線束の同型類の群）への自然群準同型によるDの像です。${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}(D)}$ ${\displaystyle \operatorname {Pic} (X)}$

3. 一般に、は（正規スキーム上の）ヴェイユ因子Dに対応する層である。 は局所自由である必要はなく、反射的であるだけでよい。${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}(D)}$

4. Dが-因子である場合、 はDの整数部です。${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}(D)}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$

${\displaystyle \Omega _{X}^{p}}$

1.  はX上のケーラー微分層である。${\displaystyle \Omega _{X}^{1}}$

2.  はのp番目の外乗です。${\displaystyle \Omega _{X}^{p}}$ ${\displaystyle \Omega _{X}^{1}}$

${\displaystyle \Omega _{X}^{p}(\log D)}$

1. pが 1 の場合、これはDに沿ったX上の対数ケーラー微分層です（おおよそ、因子Dに沿って単純な極を持つ微分形式です）。

2.  は のp番目の外乗です。${\displaystyle \Omega _{X}^{p}(\log D)}$ ${\displaystyle \Omega _{X}^{1}(\log D)}$

P ( V )

この表記法は曖昧である。伝統的な意味は有限次元kベクトル空間Vの射影化、すなわち (多項式関数の環k [ V ] のProj )であり、そのk点はV内の直線に対応する。一方、ハーツホーンとEGAはVの対称代数の Proj をP ( V ) と表記する。${\displaystyle \mathbf {P} (V)=\operatorname {Proj} (k[V])=\operatorname {Proj} (\operatorname {Sym} (V^{*}))}$

Q階乗

すべての-Weil 因子が -Cartier である場合、正規多様体は -階乗です。${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$

スペック( R )

ザリスキー位相を持つ環Rのすべての素イデアルの集合。これはRの素スペクトルと呼ばれる。

スペック_X（F）

O _X代数Fの相対Spec 。Spec ( F ) または単にSpec ( F )とも表記される。

スペック^an ( R )

特定の弱い位相を持つ環Rのすべての値の集合。これはRのベルコビッチ スペクトルと呼ばれます。

あ

アーベル

1.アーベル多様体は完備群多様体です。例えば、複素多様体、つまり有限体上の楕円曲線を考えてみましょう。${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}/\mathbb {Z} ^{2n}}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle \mathbb {F} _{q}}$

2.アーベルスキームはアーベル多様体の（平坦な）族です。

付加式

1. D が代数多様体X上の有効カルティエ因子であり、どちらも双対層を 許容する場合、随伴公式は次のようになります 。${\displaystyle \omega _{D},\omega _{X}}$ ${\displaystyle \omega _{D}=(\omega _{X}\otimes {\mathcal {O}}_{X}(D))|_{D}}$

2. さらに、XとDが滑らかである場合、式は次のように言うことと同等になります。 ここでは、DとX上の標準因子です。${\displaystyle K_{D}=(K_{X}+D)|_{D}}$ ${\displaystyle K_{D},K_{X}}$

アフィン

1.  アフィン空間は、どの点が原点であるかを忘れたベクトル空間である。

2.アフィン多様体はアフィン空間における多様体である

3.アフィン スキームは、ある可換環の素スペクトルであるスキームです。

4.任意の開アフィン部分集合の逆像が再びアフィンとなるとき、その射はアフィン射と呼ばれる。より専門的に言えば、アフィン射は、環のスペクトルとの類推によって定義される、 O _X -代数の層に対する大域Spec構成によって定義される。重要なアフィン射には、ベクトル束、有限射などがある。

5.射影空間の閉部分多様体X上のアフィン錐は、 Xの同次座標環のSpecである。

代数幾何学は、前世紀の数学において中心的な位置を占めていました。アーベル、リーマン、ワイエルシュトラスの最も深遠な成果、そしてクラインとポアンカレの最も重要な論文の多くは、この領域に属しています。前世紀末から今世紀初頭にかけて、代数幾何学に対する態度は急激に変化しました。…当時代数幾何学において十分に発達していた思考様式は、当時の数学の発展を決定づけた集合論的かつ公理的な精神からあまりにもかけ離れていました。…今世紀半ば頃、代数幾何学はこのような大きな変革の過程を経てきました。その結果、代数幾何学はかつて数学において占めていた地位を再び獲得することができるようになりました。

IR シャファレヴィッチ著『基礎代数幾何学』序文より。

代数幾何学

代数幾何学は代数方程式の解を研究する数学の分野です。

1つの元を持つ体上の代数幾何学

一つの目標はリーマン予想を証明することです。^[2]一元体およびPeña , Javier López; Lorscheid, Oliver (2009-08-31). "Mapping F_1-land: An overview of geometries over the field with one element". arXiv : 0909.0069 [math.AG]も参照してください。同様に^{[3] [4]} 。

代数群

代数群は代数多様体であり、群演算が多様体の射であるような群でもあります。

代数スキーム

体上の有限型の分離スキーム。例えば、代数多様体は既約代数スキームであり、縮約された代数スキームである。

代数集合

体k上の代数集合は、上の有限型の被約分離スキームである。既約代数集合は代数多様体と呼ばれる。${\displaystyle \operatorname {Spec} (k)}$

代数空間

代数空間は、エタール同値関係によるスキームの商です。

代数多様体

体k上の代数多様体とは、 上の有限型の整分離スキームである。kが代数的に閉じていると仮定しないことは、ある種の病理を引き起こすことに注意されたい。例えば、座標環 は整域ではないため、 は多様体ではない。${\displaystyle \operatorname {Spec} (k)}$ ${\displaystyle \operatorname {Spec} \mathbb {C} \times _{\mathbb {R} }\operatorname {Spec} \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \mathbb {C} \otimes _{\mathbb {R} }\mathbb {C} }$

代数的ベクトル束

有限ランクの局所自由層。

十分な

射影多様体上の直線束は、そのあるテンソル冪が非常に豊富であれば豊富である。

アラケロフ幾何学

有理整数環 のSpecのコンパクト化上の代数幾何学。アラケロフ幾何学を参照。^[5]${\displaystyle \mathbb {Z} }$

算術種数

r次元の射影多様体Xの算術種数は です。${\displaystyle (-1)^{r}(\chi ({\mathcal {O}}_{X})-1)}$

アルティンスタック

代数スタックの別名。

アーティニアン

0次元かつネーター。定義はスキームと環の両方に適用されます。

B

ベーレンド関数

ベーレンド関数に関する（良い）スタックXの重み付きオイラー特性は、 Xの仮想基本クラスの次数です。

ベーレンドの痕跡式

ベーレンドのトレース公式はグロタンディークのトレース公式を一般化します。どちらの公式もl進コホモロジー上のフロベニウスのトレースを計算します。

大きい

X上のn次元の大直線束 Lは、 となる直線束です。${\displaystyle \displaystyle \limsup _{l\to \infty }\operatorname {dim} \Gamma (X,L^{l})/l^{n}>0}$

双有理射

スキーム間の双有理射とは、ある開稠集合に制限することで同型となる射のことである。双有理写像の最も一般的な例の一つは、爆発によって誘導される写像である。

爆発

ブローアップとは、閉部分スキームを実効カルティエ因子に置き換える双有理変換である。正確には、ネータースキームXと閉部分スキーム が与えられたとき、 Zに沿ったXのブローアップは、 (1)が実効カルティエ因子（例外因子 と呼ばれる）であり、(2) が(1) に関して普遍的であるような真射である。具体的には、これはZを決定するイデアル層に関するリース代数の相対射影として構成される。${\displaystyle Z\subset X}$ ${\displaystyle \pi :{\widetilde {X}}\to X}$ ${\displaystyle \pi ^{-1}(Z)\hookrightarrow {\widetilde {X}}}$ ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle O_{X}}$

C

カラビ・ヤウ

カラビ・ヤウ計量は、リッチ曲率がゼロであるケーラー計量です。

正統な

1. n次元の正規多様体X上の標準層は、 iが滑らかな軌跡Uの包含であり、U上のn次微分形式の層である。基底体が正規性ではなく標数零を持つ場合、iを特異点の解消に置き換えることができる。${\displaystyle \omega _{X}=i_{*}\Omega _{U}^{n}}$ ${\displaystyle \Omega _{U}^{n}}$

2.正規多様体X上の標準類 は、 となるような因子類である。${\displaystyle K_{X}}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}(K_{X})=\omega _{X}}$

3.標準因子は、同じ記号で表される標準クラスの代表です（明確に定義されていません）。${\displaystyle K_{X}}$

4.正規多様体Xの標準環は標準層の切断環である。

標準モデル

標準モデルは標準環の射影です（環が有限生成であると仮定します）。

カルティエ

S上のスキームX上の有効なカルティエ因子 Dは、 S上で平坦であり、その理想層が可逆である (ランク 1 から局所的に自由である)、Xの閉じたサブスキームです。

カステルヌオーヴォ・マンフォード正則性

スキームS上の射影空間上の連接 層Fのカステルヌオーヴォ・マンフォード正則性は、${\displaystyle f:\mathbf {P} _{S}^{n}\to S}$

${\displaystyle R^{i}f_{*}F(r-i)=0}$

すべてのi > 0 に対して。

カテナリー

二つの既約閉部分スキーム間のすべての鎖の長さが同じである場合、スキームはカテナリーである。例としては、例えば体上の多様体など、事実上あらゆるものが挙げられ、カテナリーでない例を構成することは困難である。

中心繊維

特殊な繊維。

チャウグループ

滑らかな多様体Xのk番目のChow 群は 、有理数同値性を法としてk次元の閉部分多様体( k閉路の群)によって生成される自由アーベル群です。${\displaystyle A_{k}(X)}$

分類

1.  分類は数学全体における指針であり、与えられた同値性に至るまで、特定の性質を満たすすべての対象を、不変量や構成過程といったよりアクセスしやすいデータによって記述しようとするものです。代数幾何学では、離散不変量と連続不変量を区別します。連続不変量を分類するためには、モジュライ空間につながる幾何学的構造も追加的に提供しようとします。

2.  代数的に閉体上の完全な 滑らかな 曲線は、種数によって有理同値性まで分類されます。(a) .有理曲線、つまり、曲線は射影直線に対して双有理的です。(b) .楕円曲線、つまり、曲線上の任意の点を恒等曲線として選択した後、曲線は完全な 1 次元群スキームになります。(c) .双曲曲線、一般タイプの曲線とも呼ばれます。例については、代数曲線を参照してください。滑らかな曲線の分類は、特に平面曲線に制限する場合、射影的に埋め込まれた曲線の次数によって絞り込むことができます。すべての完全な滑らかな曲線は、射影空間への埋め込みを許容するという意味で射影的ですが、次数を明確に定義するには、そのような埋め込みの選択を明示的に指定する必要があることに注意してください。数体上の完備滑らかな曲線の算術的性質（特にその有理点の数と構造）は、対応する曲線基底の分類を代数的閉包に変換することによって規定される。算術的含意の詳細については、ファルティングスの定理を参照のこと。 ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle g=0}$ ${\displaystyle \mathbb {P} ^{1}}$ ${\displaystyle g=1}$ ${\displaystyle g\geq 2}$

3.代数閉体上の完全滑らかな曲面の、有理同値性に至るまでの分類。詳細については、分類の概要またはエンリケス・コダイラ分類を参照してください。

4.代数閉体上の特異点および随伴ザリスキ近傍の分類。同型性を除き。(a) 標数 0 において、広中による分解の結果は、特異点を分類する不変量を特異点に付与する。(b) 曲線と曲面の場合、分類も生じる任意の標数において分解が既知である。曲線についてはこちら、曲線と曲面についてはこちらを参照。

5.小次元におけるファノ多様体の分類。

6.極小モデルプログラムは、高次元（少なくとも2次元）の完全滑らかな多様体の双有理分類へのアプローチです。本来の目的は滑らかな多様体に関するものですが、終端特異点が自然に現れ、より広い分類の一部となります。

7.代数的に閉じた体上の同型までの分割簡約群の分類。

分類スタック

代数幾何学におけるトルソルの分類空間の類似物。分類スタックを参照してください。

閉鎖

スキームXの閉部分スキームは、以下の構成に現れるものとして定義される。Jを-イデアルの準連接層とする。商層の台はXの閉部分集合Zであり、これはイデアルの準連接層Jによって定義される閉部分スキームと呼ばれるスキームである。^[6]閉部分スキームの定義がこのような構成に依存する理由は、開部分集合とは異なり、スキームの閉部分集合は部分スキームとして一意の構造を持たないからである。${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}/J}$ ${\displaystyle (Z,({\mathcal {O}}_{X}/J)|_{Z})}$

コーエン・マコーレー

すべての局所環がコーエン・マコーレーであるとき、そのスキームはコーエン・マコーレーと呼ばれます。例えば、正則スキームやSpec k [ x,y ]/( xy ) はコーエン・マコーレーですが、 そうではありません。

一貫した束

ノイザンスキームX上のコヒーレント層は、 O _Xモジュールとして有限生成される準コヒーレント層です。

円錐形

2次の代数曲線。

接続された

このスキームは位相空間として連結である。連結成分は既約成分を細分化するため、あらゆる既約スキームは連結であるが、その逆は成り立たない。アフィンスキーム Spec(R)が連結であるためには、環Rが0と1以外の冪等性を持たないことが必要である。このような環は連結環とも呼ばれる。連結スキームの例としては、アフィン空間、射影空間などがあり、連結でないスキームの例としては Spec ( k [ x ]× k [ x ])がある。

コンパクト化

例えば永田のコンパクト化定理を参照してください。

コックスリング

同次座標環の一般化。Cox環を参照。

クレパント

正規多様体間のクレパント射 とは、 となる射である。${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle f^{*}\omega _{Y}=\omega _{X}}$

曲線

次元 1 の代数多様体。

D

変形

をスキームの射とし、XをS -スキームとします。すると、 Xの変形X ' はS ' -スキームであり、 XはX 'の引き戻しである引き戻し平方(典型的にはX ' は平坦であると仮定) を伴います。${\displaystyle S\to S'}$

縮重遺伝子座

多様体X上のベクトル束写像（つまり、束の全空間間のスキームX射）が与えられた場合、退化軌跡は（スキーム理論的な）軌跡です 。${\displaystyle f:E\to F}$ ${\displaystyle X_{k}(f)=\{x\in X|\operatorname {rk} (f(x))\leq k\}}$

退化

1.一般的なファイバーXと特別なファイバーを持つスキームがある場合、スキームXはスキーム( Xの極限と呼ばれる) に退化すると言われます。${\displaystyle X_{0}}$ ${\displaystyle \pi :Y\to \mathbf {A} ^{1}}$ ${\displaystyle X_{0}}$

2.平坦退化とは、が平坦であるような退化です。${\displaystyle \pi }$

寸法

次元は、定義により、既約閉部分スキームの連鎖の最大長であり、大域的な性質です。スキームが既約である場合、この次元は局所的に見られます。これは位相のみに依存し、構造層には依存しません。大域的次元も参照してください。例:次元0の等次元スキーム:アルティンスキーム、次元1:代数曲線、次元2:代数曲面。

程度

1. 完備多様体上の直線束Lの次数は、となる整数dです。${\displaystyle \chi (L^{\otimes m})={d \over n!}m^{n}+O(m^{n-1})}$

2. x が体k上の完備多様体上のサイクルである場合、その次数は です。${\displaystyle f:X\to \operatorname {Spec} k}$ ${\displaystyle f_{*}(x)\in A_{0}(\operatorname {Spec} k)=\mathbb {Z} }$

3. 有限射の次数については、多様体の射#有限射の次数を参照してください。

導出代数幾何学

可換環の代わりに（可換）環スペクトルを使用する代数幾何学へのアプローチ。導来代数幾何学を参照。

除数

1.正規多様体上の因子層は、あるヴェイユ因子Dに対してO _X ( D )の形をとる反射層である。

2.除算スキームとは、可逆層の十分な族を許容するスキームである。十分な可逆層を許容するスキームは基本的な例である。

支配的な

射f  : X → Yが優勢であるとは、像f ( X ) が稠密であることを意味する。アフィン写像Spec A → Spec Bの射が稠密であるとは、対応する写像B → Aの核がBの nilradical に含まれることを意味する。

二重化複合体

コヒーレント双対性を参照してください。

双対化束

純粋次元nの射影Cohen–Macaulay スキームでは、双対化層はX上 の任意の局所自由層Fに対して成り立つような X上の連接層です。たとえば、X が滑らかな射影多様体である場合、それは標準層です。${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle H^{n-i}(X,F^{\vee }\otimes \omega )\simeq H^{i}(X,F)^{*}}$

E

幾何学の要素

EGAは、代数多様体の一般化であるスキームの概念に基づいて代数幾何学の基礎を築くという不完全な試みでした。Séminaire de géométrie algébriqueはEGAの続きを扱っています。今日では、代数幾何学の標準的な参考文献の一つとなっています。

楕円曲線

楕円曲線は種数 1 の滑らかな射影曲線です。

本質的に有限型

有限型スキームのローカライズ。

エタール

射f  : Y → Xが平坦かつ非分岐であるとき、それはエタール射である。他にも同値な定義がいくつか存在する。滑らかな多様体や代数閉体の場合、エタール射とはまさに接空間の同型を誘導する射であり、これは微分幾何学におけるエタール写像の一般的な概念と一致する。エタール射は非常に重要な射のクラスであり、いわゆるエタール位相、ひいてはエタールコホモロジーの構築に用いられる。エタールコホモロジーは、今日では代数幾何学の基礎の一つとなっている。${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle df:T_{y}Y\rightarrow T_{f(y)}X}$

オイラー数列

層の正確な順序:

${\displaystyle 0\to {\mathcal {O}}_{\mathbf {P} ^{n}}\to {\mathcal {O}}_{\mathbf {P} ^{n}}(1)^{\oplus (n+1)}\to T\mathbf {P} ^{n}\to 0,}$

ここで、P ⁿは体上の射影空間であり、最後の非ゼロ項は接層であり、オイラー列と呼ばれます。

同変交差理論

http://www.math.ubc.ca/~behrend/cet.pdf の第2章を参照

F

F -レギュラー

フロベニウス写像と関連がある。^[7]

ファノ

ファノ多様体は、反標準層が十分な滑らかな射影多様体 Xです。${\displaystyle \omega _{X}^{-1}}$

ファイバ

スキーム間で与えられると、 y上のfのファイバーは、集合として、原像 です。ファイバー積 としてyの留数体上のスキームの自然な構造を持ちます。ここで、yの留数体の Spec として、Y上のスキームの自然な構造を持ちます。${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle f^{-1}(y)=\{x\in X|f(x)=y\}}$ ${\displaystyle X\times _{Y}\{y\}}$ ${\displaystyle \{y\}}$

繊維製品

1.カテゴリー理論における「プルバック」の別名。

2.に対して与えられたスタック： B上のオブジェクトは三つ組 ( x , y , ψ ) であり、x はF ( B )に、y はH ( B )に、 ψ はG ( B )の同型である。( x , y , ψ ) から ( x' , y ' , ψ' ) への射は、 となる射のペアである。結果として得られる射影が明らかな正方形は可換ではなく、むしろ自然同型まで可換である。すなわち、2-可換である。${\displaystyle F\times _{G}H}$ ${\displaystyle f:F\to G,g:H\to G}$ ${\displaystyle f(x){\overset {\sim }{\to }}g(y)}$ ${\displaystyle \alpha :x\to x',\beta :y\to y'}$ ${\displaystyle \psi '\circ f(\alpha )=g(\beta )\circ \psi }$

ファイナル

グロタンディークの基本的な考え方の一つは、相対的な概念、すなわちスキーム自体の条件ではなく射の条件を重視することである。スキームの圏は、整数環のスペクトルという最終対象を持つ。したがって、任意のスキームは上に、かつ一意に成り立つ。${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle {\textrm {Spec}}(\mathbb {Z} )}$

有限

射f  : Y → Xが有限であるとは、それぞれがアフィン開集合（例えば の形）で覆われ、さらに-加群として有限生成であるような場合である。有限射 を参照。有限射は準有限であるが、有限ファイバーを持つ射のすべてが準有限であるとは限らず、有限型の射は通常準有限ではない。${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\text{Spec }}B}$ ${\displaystyle f^{-1}({\text{Spec }}B)}$ ${\displaystyle {\text{Spec }}A}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$

有限型（局所的）

射f  : Y → Xが局所的に有限型であるとは、各逆像がそれぞれ-代数として有限生成するアフィン開集合で覆われるようなアフィン開集合で覆われる場合である。射f  : Y → Xが有限型であるとは、各逆像がそれぞれ-代数として有限生成する有限個のアフィン開集合で覆われるようなアフィン開集合で覆われる場合である。${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\text{Spec }}B}$ ${\displaystyle f^{-1}({\text{Spec }}B)}$ ${\displaystyle {\text{Spec }}A}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\text{Spec }}B}$ ${\displaystyle f^{-1}({\text{Spec }}B)}$ ${\displaystyle {\text{Spec }}A}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$

有限繊維

射f  : Y → X は、各点上のファイバーが有限集合である場合、有限ファイバーを持つ。射が準有限であるとは、有限型であり、有限ファイバーを持つ場合である。${\displaystyle x\in X}$

有限のプレゼンテーション

y がYの点である場合、射f がyにおいて有限表示である（またはyにおいて有限表示されている）とは、 f(y)の開アフィン近傍Uとyの開アフィン近傍V が存在して、 f ( V ) ⊆  Uであり、 が上有限表示代数であるときである。射fが局所的に有限表示であるとは、 Yのすべての点で有限表示されているときである。Xが局所ノイザンである場合、fが局所的に有限表示であるとは、局所的に有限型であるとは限らない。^[8] 射f  : Y → Xが有限表示である（またはYがX上有限表示であるとは、局所的に有限表示、準コンパクト、および準分離であるときである。Xが局所ノイザンである場合、fが有限型であるとは、有限型であるとは限らない。^[9]${\displaystyle {\mathcal {O}}_{Y}(V)}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}(U)}$

旗の種類

旗多様体はベクトル空間の旗をパラメーター化します。

フラット

射が平坦であるとは、茎上に平坦な写像を生じる場合である。射f  : Y → Xを の点でパラメータ化されたスキームの族として捉えると、平坦性の幾何学的意味は、おおよそ、ファイバーがあまり大きく変化しない、ということに説明できる。${\displaystyle f}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f^{-1}(x)}$

フォーマル

正式なスキームを参照してください。

G

グランド^​_​

曲線C、その上の因子D、およびベクトル部分空間が与えられているとき、 V がr +1次元でDが次数dであるとき、線形系はag ^r _dであると言う。そのような線形系が存在するとき、C はag ^r _dを持つと言う。${\displaystyle V\subset H^{0}(C,{\mathcal {O}}(D))}$ ${\displaystyle \mathbb {P} (V)}$

ガブリエル・ローゼンベルク再構成定理

ガブリエル・ローゼンベルク再構成定理は、X上の準連接層の圏からスキームXを復元できることを述べている。^{[10]この定理は}非可換代数幾何学の出発点となる。なぜなら、この定理を公理とすれば、非可換スキームを定義することは、その上の準連接層の圏を定義することと同じだからである。https://mathoverflow.net/q/16257 も参照のこと。

Gバンドル

主要な G バンドル。

一般的なポイント

密な点。

属

#算術種数、#幾何種数 を参照してください。

種数式

射影平面の節点曲線の種数式によれば、曲線の種数は次のように与えられます。 ここで、 dは曲線の次数、δ は節点の数 (曲線が滑らかな場合は 0) です。${\displaystyle g=(d-1)(d-2)/2-\delta }$

幾何学的種数

n次元の滑らかな射影多様体Xの幾何学的種数は (等式はセールの双対定理)です 。${\displaystyle \dim \Gamma (X,\Omega _{X}^{n})=\dim \operatorname {H} ^{n}(X,{\mathcal {O}}_{X})}$

幾何学的な点

代数的に閉じた体の素スペクトル。

幾何学的性質

体k上のスキームXの性質は、任意の体拡大に対して成り立つ場合、「幾何学的」である。${\displaystyle X_{E}=X\times _{\operatorname {Spec} k}{\operatorname {Spec} E}}$ ${\displaystyle E/k}$

幾何商

スキームXとグループ スキームGの作用との幾何商は、ファイバーが軌道であるような良好な商です。

ガーベ

ガーベは(大まかに言えば)局所的に空でなく、2 つのオブジェクトが局所的に同型であるスタックです。

GIT商

GIT商 は、 のとき、 のときです。${\displaystyle X/\!/G}$ ${\displaystyle \operatorname {Spec} (A^{G})}$ ${\displaystyle X=\operatorname {Spec} A}$ ${\displaystyle \operatorname {Proj} (A^{G})}$ ${\displaystyle X=\operatorname {Proj} A}$

良い商

スキームXと群スキームGの作用との良好な商は、不変射であって、${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle (f_{*}{\mathcal {O}}_{X})^{G}={\mathcal {O}}_{Y}.}$

ゴレンシュタイン

1.ゴレンシュタインスキームは、局所環がゴレンシュタイン環である局所ノイザンスキームです。

2. 正規多様体は、その標準因子が-Cartier であるとき、-Gorenstein であるという（Cohen–Macaulay である必要はない）。${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$

3. 標準因子がカルティエである場合、一部の著者は正規多様体をゴレンスタインと呼ぶが、この用法は意味 1 と一致しないことに注意してください。

グラウエルト・リーメンシュナイダー消失定理

グラウエルト・リーメンシュナイダー消失定理は、小平消失定理を高次の直接像層に拡張したものである。https://arxiv.org/abs/1404.1827も参照のこと。

グロタンディーク多様体環

多様体のグロタンディーク環は、多様体の同型類によって生成される自由アーベル群であり、関係は： ここでZは多様体Xの閉部分多様体であり、乗法を備えている。 ${\displaystyle [X]=[Z]+[X-Z]}$ ${\displaystyle [X]\cdot [Y]=[X\times Y].}$

グロタンディークの消失定理

グロタンディークの消失定理は局所コホモロジーに関するものです。

グループスキーム

群スキームとは、点の集合が群の構造を持つスキームです。

グループの多様性

「滑らかな」代数群を表す古い用語。

H

ヒルベルト多項式

体上の射影スキームXのヒルベルト多項式はオイラー特性です。${\displaystyle \chi ({\mathcal {O}}_{X}(s))}$

ホッジバンドル

曲線のモジュライ空間（種数が固定）上のホッジ束は、おおよそ、曲線C上のファイバーがベクトル空間であるベクトル束です。${\displaystyle \Gamma (C,\omega _{C})}$

超楕円形

曲線が超楕円曲線であるとは、 g ¹ ₂を持つ場合です(つまり、次元 1 および次数 2 の線形システムが存在する場合です)。

超平面束

セールのねじれ層 の別名。トートロジー直線束の双対である（この用語の由来）。${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}(1)}$

私

画像

f  : Y → X がスキームの任意の射である場合、 fのスキーム理論的像は、次の普遍的性質を満たす唯一の閉じた部分スキームi  : Z → Xです。

1. f はiを通して因数分解し、
2. もしj  : Z ′ → XがXの任意の閉部分スキームであって、 fがjを介して因数分解できるならば、iもjを介して因数分解できる。^{[11] [12]}

この概念は、 f、f ( Y ) の通常の集合論的像とは異なる。例えば、Zの基底空間は必ずXにおけるf ( Y )のザリスキ閉包を含む（ただし必ずしも等しいとは限らない）。したがって、Y がXの任意の開（かつ閉でない）部分スキームであり、 f が包含写像である場合、 Zはf ( Y )とは異なる。Yが縮約されている場合、Z は縮約された閉部分スキームの構造を備えたf ( Y )のザリスキ閉包となる。しかし一般に、 fが準コンパクトでない限り、Zの構成はX上で局所的ではない。

没入

浸漬 f  : Y → Xは、部分スキームを持つ同型を介して因数分解される写像である。具体的には、開いた浸漬は開いた部分スキームを持つ同型を介して因数分解され、閉じた浸漬は閉じた部分スキームを持つ同型を介して因数分解される。^[13]同様に、fが閉じた浸漬である場合と、それがYの基礎位相空間からXの基礎位相空間の閉部分集合への同相写像を誘導する場合、および射影である場合に限ります。^[14]浸漬の合成もまた浸漬である。^[15] Hartshorne は著書『代数幾何学』で、Q. Liu は著書『代数幾何学と算術曲線』で、浸漬を開いた浸漬とそれに続く閉じた浸漬の合成として定義している。これらの浸漬は上記の意味での浸漬であるが、その逆は偽である。さらに、この定義によれば、2つの浸漬の合成は必ずしも浸漬ではない。しかし、fが準コンパクトな場合、2つの定義は同値である。^[16] 開浸漬は位相空間の意味でその像によって完全に記述されるのに対し、閉浸漬はそうではないことに注意されたい。また、同相であっても同型ではない可能性がある。これは、例えば、IがJの根基であるが、Jが根基イデアルでない場合などに起こる。スキーム構造に言及せずにスキームの閉部分集合を特定する場合、通常はいわゆる縮小スキーム構造、すなわち、その閉部分集合上で消えるすべての関数からなる唯一の根基イデアルに対応するスキーム構造を意味する。${\displaystyle f^{\sharp }:{\mathcal {O}}_{X}\to f_{*}{\mathcal {O}}_{Y}}$ ${\displaystyle \operatorname {Spec} A/I}$ ${\displaystyle \operatorname {Spec} A/J}$

インドスキーム

ind -scheme は、スキームの閉じた浸漬の帰納的極限です。

可逆層

ランク1の局所自由層。同値に、乗法群（すなわち直線束）のトルサーである。${\displaystyle \mathbb {G} _{m}}$

積分

既約かつ既約なスキームは積分スキームと呼ばれます。局所ノイザンスキームの場合、積分であることは、積分領域のスペクトルで覆われた連結スキームであることと同値です。（厳密に言えば、 2つの積分スキームの互いに素な和は積分ではないため、これは局所的な性質ではありません。しかし、既約なスキームの場合は局所的な性質です。）例えば、スキームSpec k [ t ]/ f , f 既約多項式は積分ですが、Spec A × B ( A , B ≠ 0) は積分ではありません。

還元不可能な

スキームXは、（位相空間として）2つの閉部分集合の和集合でない場合（ただし、いずれかがXに等しい場合を除く）、既約であるという。アフィンスキームにおける素イデアルと点の対応を用いると、これはXが連結であり、環 A _{i が}すべてちょうど1つの最小素イデアルを持つ場合に限り、 X が既約であることを意味する。（したがって、ちょうど1つの最小素イデアルを持つ環は既約とも呼ばれる。）任意のネータースキームは、その既約成分と呼ばれる有限個の最大既約な空でない閉部分集合の和集合として一意に記述できる。アフィン空間と射影空間は既約であるが、 Spec k [ x,y ]/( xy ) = そうではありません。

J

ヤコビ多様体

射影曲線Xのヤコビ多様体は、ピカール多様体の 0 次部分です。 ${\displaystyle \operatorname {Pic} (X)}$

K

ケンプフ消失定理

ケンプの消失定理は旗多様体の高次コホモロジーの消失に関する定理です。

klt

「川俣丸太ターミナル」の略称

小平次元

1.セミアンプル線束Lの小平次元(飯高次元とも呼ばれる) は、 Lの断面リングの Proj の次元です。

2. 正規多様体Xの小平次元はその標準層の小平次元である。

小平消失定理

小平消失定理を参照。

倉西マップ

倉西構造を参照。

L

レロン数

Lelong数を参照してください。

レベル構造

http://math.stanford.edu/~conrad/248BPage/handouts/level.pdf を参照

線形化

同変層/ベクトル束の構造の別名。

地元

スキームの最も重要な特性は本質的に局所的です。つまり、スキームX が特定の特性Pを持つ場合、かつその場合のみ、開部分スキームX _iによる任意の被覆 X = X i に対して、すべての_X iが_特性P を持ちます。通常、すべての可能な被覆ではなく、1 つの被覆をチェックすれば十分です。また、ザリスキー位相と、エタール位相のような他の可能な位相を区別する必要がある場合、特定の特性はザリスキー局所的であるとも言われます。スキームXとアフィン開部分スキームSpec A _iによる被覆を考えてみましょう。 (可換)環とアフィンスキームの間の辞書を使用すると、局所特性は環A _iの特性になります。特性Pが上記の意味で局所的である場合、それは環の対応する特性が局所化の下で安定している場合に限ります。たとえば、局所ノイザンスキーム、つまりノイザン環のスペクトルによってカバーされるスキームについて話すことができます。ネーター環の局所化が依然としてネーターであるという事実は、局所ネーターであるというスキームの性質が上記の意味で局所的であることを意味します (これがスキームの名前の由来です)。別の例: 環が縮小されている場合(つまり、非ゼロの冪零元を持たない場合)、その局所化も縮小されます。非局所的な性質の例としては分離性が挙げられます(定義については下記を参照)。任意のアフィン スキームは分離されているため、任意のスキームは局所的に分離されています。ただし、アフィン部分が異常に接着して分離されていないスキームになる可能性があります。以下は、スキームに適用される環の局所的性質の (網羅的ではない) リストです。X = Spec A _iを、開アフィン サブスキームによるスキームの被覆とします。明確にするために、以下ではkを体とします。ただし、ほとんどの例では、整数Z を基底として使用したり、より一般的な基底を使用したりしています。連結、既約、簡約、積分、正規、正則、コーエン・マコーレー、局所ノイザン、次元、懸垂線、ゴレンシュタイン。${\displaystyle \cup }$ ${\displaystyle \cup }$

局所完全交差点

局所環は完全交差環である。正則埋め込みも参照。

局所均一化

局所均一化は、評価環を用いて特異点の解決のより弱い形式を構築する方法です。

局所階乗

局所環は一意の因数分解領域です。

有限な表現の局所的

上記の有限表現を参照してください。

局所的に有限型

射f  : Y → Xは、各逆像がそれぞれが-代数として有限生成されるアフィン開集合で覆われるようなアフィン開集合で覆われる場合、局所的に有限型です。${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\text{Spec }}B}$ ${\displaystyle f^{-1}({\text{Spec }}B)}$ ${\displaystyle {\text{Spec }}A}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$

局所的にネーター的な

Spec A _iによって覆われるスキームX があり、ここでA _iはネーター環である。さらに有限個のそのようなアフィンスペクトルがXを覆う場合、そのスキームはネーター的であると呼ばれる。ネーター環のスペクトルがネーター位相空間であることは真であるが、その逆は偽である。例えば、有限次元代数幾何学におけるスキームのほとんどは局所ネーター的であるが、 はそうではない。${\displaystyle GL_{\infty }=\cup GL_{n}}$

対数幾何学

ログ構造

対数構造を参照してください。この概念はフォンテーヌ＝イリュージーと加藤によるものです。

ループグループ

ループ グループを参照してください(リンクされた記事では代数幾何学のループ グループについては説明されていません。今のところはind-schemeも参照してください)。

M

係数

たとえば、モジュライ空間を参照してください。

モジュライに関する初期の研究の多くは、特に[Mum65]以降、細かいモジュライ空間や粗いモジュライ空間の構築に重点が置かれていましたが、近年では多様体の族、すなわちモジュライ関数とモジュライスタックの研究に重点が移っています。主な課題は、どのような対象が「良い」族を形成するのかを理解することです。「良い」族という概念が確立されれば、粗いモジュライ空間の存在はほぼ自動的に明らかになるはずです。粗いモジュライ空間はもはや基本的な対象ではなく、むしろモジュライ関数やモジュライスタックにのみ潜在する特定の情報を追跡するための便利な方法に過ぎません。

Kollár、János、第 1 章、「曲面係数に関する本」。

森の最小モデルプログラム

最小モデルプログラムは、 2 次元を超える代数多様体の双有理分類を行うことを目的とした研究プログラムです。

射影

1.代数多様体の射は局所的に多項式によって与えられる。

2.スキームの射は局所環空間の射である。

3. スタックの射影（たとえば、 Sスキームのカテゴリ上）は、構造が基本カテゴリにマップされる関数です。${\displaystyle f:F\to G}$ ${\displaystyle P_{G}\circ f=P_{F}}$ ${\displaystyle P_{F},P_{G}}$

北

ネフ

nef ライン バンドルを参照してください。

非特異な

滑らかな品種など、「滑らかな」という意味の古い用語。

普通

1.局所環が整閉領域であるとき、積分スキームは正規スキームと呼ばれます。例えば、すべての正則スキームは正規ですが、特異曲線は正規スキームではありません。

2. 滑らかな曲線は、 k次超曲面が完全な線型級数を切り出すとき、 k正規曲線と呼ばれます。k > 0 のすべてにおいてk正規曲線であるとき、それは射影的に正規曲線です。したがって、「曲線は、それを埋め込む線型系が完全であるとき、射影的に正規曲線である」と言えます。「線型的に正規」という用語は、1正規曲線と同義です。${\displaystyle C\subset \mathbf {P} ^{r}}$ ${\displaystyle |{\mathcal {O}}_{C}(k)|}$

3. 閉部分多様体は、 X上のアフィン被覆が正規スキームであるとき、射影的に正規であるという。すなわち、 Xの同次座標環が整閉領域であるときである。この意味は 2 の意味と整合する。${\displaystyle X\subset \mathbf {P} ^{r}}$

普通

1. Xがイデアル層Iを持つスキームYの閉部分スキームである場合、Xの正規層はである。X のYへの埋め込みが正則 である場合、それは局所自由であり、正規バンドルと呼ばれる。${\displaystyle (I/I^{2})^{*}={\mathcal {H}}om_{{\mathcal {O}}_{Y}}(I/I^{2},{\mathcal {O}}_{Y})}$

2. Xへの法円錐は です。XがYに正則に埋め込まれている場合、法円錐はXへの法バンドルの全空間と同型です。${\displaystyle \operatorname {Spec} _{X}(\oplus _{0}^{\infty }I^{n}/I^{n+1})}$ ${\displaystyle \operatorname {Spec} _{X}({\mathcal {S}}ym(I/I^{2}))}$

通常の交差点

略語ncは正規交差、snc は単純正規交差を表します。nc 因子、nc 特異点、snc 因子、snc 特異点など、密接に関連する概念を指します。正規交差を参照してください。

通常生成される

多様体X上の直線束Lは、各整数n > 0 に対して自然写像が射影的である場合に、正規生成されると言われます。${\displaystyle \Gamma (X,L)^{\otimes n}\to \Gamma (X,L^{\otimes n})}$

お

開ける

1.スキームの射f  : Y → Xは、基底となる位相空間の写像がそれぞれ開（閉）である場合、すなわち、Yの開部分スキームがXの開部分スキームに写像される場合（閉の場合も同様）、開射と呼ばれる（閉射と呼ばれる）。例えば、有限提示平坦射は開射であり、真写像は閉射である。

2.スキームXの開部分スキームは構造層を持つ開部分集合Uである。^[14]${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}|_{U}}$

オービフォールド

今日では、オービフォールドは、微分可能多様体のカテゴリ上のドリーニュ・マンフォードスタックとして定義されることが多い。 ^[17]

P

p分割可能群

p分割可能群(アーベル多様体のねじれ点のおおよその類似物)を参照してください。

鉛筆

次元 1 の線形システム。

ピカードグループ

Xのピカール群は、 X上の直線束の同型類の群であり、乗算はテンソル積です。

Plücker埋め込み

プルッカー埋め込みは、グラスマン多様体を射影空間に閉じて埋め込むことです。

多属

滑らかな射影多様体の n 番目の多種数は である。ホッジ数も参照のこと。${\displaystyle \dim \Gamma (X,\omega _{X}^{\otimes n})}$

ポアンカレ残余地図

ポアンカレ残差を参照してください。

ポイント

スキームは局所的に環化された空間であり、したがって位相空間でもありますが、の点の意味は3 つあります。 ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$

1. 基礎となる位相空間の点。${\displaystyle P}$
2. の -値点は、任意のスキームに対して、からへの射影である。${\displaystyle T}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle T}$
3. 幾何学的点、ここでは 上で定義され（ への射を備えている）、 は体、はから への射であり、はの代数的閉包である。${\displaystyle S}$ ${\displaystyle {\textrm {Spec}}(K)}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle {\textrm {Spec}}({\overline {K}})}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle {\overline {K}}}$ ${\displaystyle K}$

幾何学的点とは、最も古典的な場合、たとえば複素多様体である代数多様体では、通常の意味の点である。基礎となる空間の点には、通常の意味の点に特殊化した一般点（アンドレ・ヴェイユの意味でなく、ザリスキの意味で）の類似物が含まれる。 -値点は、米田の補題によって、それが設定する表現可能な関数と同一視する方法であると考えられる。歴史的には、射影幾何学では、基本オブジェクトを洗練させることで幾何学を単純化するために、さらに多くの点（たとえば、複素点、無限遠直線）を追加するプロセスがあった。 -値点は、さらに大きな一歩であった。支配的なグロタンディークのアプローチの一部として、射影のファイバーに対応する 3 つの概念がある。1 つ目は、点の単純な逆像である。他の 2 つは、 2 つの射影のファイバー積を作成することで形成される。たとえば、射影の幾何学的ファイバーはと考えられる 。これにより、 R 代数のテンソル積にすぎないアフィン スキームからファイバー積演算のすべてのスキームへの拡張が重要な (技術的には無害な) 結果になります。${\displaystyle P}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle h_{S}}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle S^{\prime }\to S}$ ${\displaystyle S^{\prime }\times _{S}{\textrm {Spec}}({\overline {K}})}$

分極

射影空間への埋め込み

プロジェクト

Projの構築を参照してください。

投影式

射影式によれば、スキームの射影、- モジュール、および有限ランクの局所自由- モジュールに対して、自然な同型性が存在する (つまり、局所自由層の作用に関して線形である) とされています。 ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{Y}}$ ${\displaystyle {\mathcal {E}}}$ ${\displaystyle f_{*}(F\otimes f^{*}E)=(f_{*}F)\otimes E}$ ${\displaystyle f_{*}}$

射影的

1.射影多様体は射影空間の閉部分多様体です。

2.スキームS上の射影スキームは、閉じたサブスキームとして何らかの射影空間を介して因数分解されるSスキームです。${\displaystyle \mathbf {P} _{S}^{N}\to S}$

3. 射影射影はアフィン射影射影と同様に定義される。f  : Y → Xは、閉じた浸漬として因数分解でき、続いて射影空間をに射影したものであるとき、射影的と呼ばれる。^[18]この定義はEGAの定義II.5.5.2 よりも制限的であることに注意すること。後者は、が有限生成で代数 を生成するような準コヒーレント次数付きO _X代数の大域Projによって与えられるとき、 が射影的であると定義する。がアフィンである場合、またはより一般的には が準コンパクトで分離しており、十分な層を許容する場合、両方の定義は一致する。 ^[19]例えば、 が環 上の射影空間の開部分スキームである場合。 ${\displaystyle \mathbb {P} _{X}^{n}:=\mathbb {P} ^{n}\times _{\mathrm {Spec} \mathbb {Z} }X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {S}}_{1}}$ ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mathbb {P} _{A}^{n}}$ ${\displaystyle A}$

射影束

EがスキームX上の局所自由層である場合、Eの射影バンドル P ( E )は、 Eの双対の対称代数のグローバル Projです。 この定義は現在では標準ですが (たとえば、 Fulton の交差理論)、 EGA や Hartshorne とは異なります (これらは双対をとらない)。${\displaystyle \mathbf {P} (E)=\mathbf {Proj} (\operatorname {Sym} _{{\mathcal {O}}_{X}}(E^{\vee })).}$

射影的に正規

#normal を参照してください。

ちゃんとした

射影写像が真であるとは、分離的であり、普遍的に閉じている（つまり、その射影写像とのファイバー積が閉写像となる）こと、そして有限型であることである。射影写像は真であるが、その逆は一般には成り立たない。完全多様体も参照のこと。真射の深い性質として、スタイン分解の存在、すなわち、射影写像を連結したファイバーを持つ射影写像と有限射影写像として表現できる中間スキームの存在が挙げられる。

プロパティP

P を、基底変換に対して安定なスキーム（有限型、固有、滑らか、エタールなど）の性質とします。表現可能射が性質Pを持つとは、B がスキームである任意の射に対して、基底変換が性質Pを持つということを意味します。${\displaystyle f:F\to G}$ ${\displaystyle B\to G}$ ${\displaystyle F\times _{G}B\to B}$

擬似還元的

擬似還元は、連結された滑らかな線型代数群のコンテキストで還元を一般化します。

純粋な次元

各既約成分が次元dを持つ場合、スキームは純粋次元dを持ちます。

質問

準コヒーレント

ノイザンスキームX上の準コヒーレント層は、モジュールによって局所的に与えられるO _Xモジュールの層です。

準コンパクト

射f  : Y → Xが準コンパクトであるとは、 Xのある (同値: すべての) U _i = Spec B _iによる開アフィン被覆に対して、逆像f ⁻¹ ( U _i ) が準コンパクトであるときを言う。

準有限

射f  : Y → X は、各点上のファイバーが有限集合である場合、有限ファイバーを持つ。射が準有限であるとは、有限型であり、有限ファイバーを持つ場合である。${\displaystyle x\in X}$

準射影的

準射影多様体は射影空間の局所的に閉じた部分多様体です。

準分離型

対角射Y → Y × _X Yが準コンパクトであるとき、射f  : Y → Xは準分離的である、あるいは ( YはX上準分離的である)と呼ばれる。スキームYは、 Y がSpec( Z )上準分離的であるとき、準分離的であると呼ばれる。 ^[20]

準分割

体上に定義された簡約群は 、それが上に定義されたボレル部分群を許容する場合に限り、準分割簡約群となる。任意の準分割簡約群は分割簡約簡約群であるが、分割簡約ではない準分割簡約群も存在する。${\displaystyle G}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle B\subseteq G}$ ${\displaystyle k}$

引用スキーム

Quotスキームは、射影スキーム上の局所自由層の商をパラメーター化します。

商スタック

通常 [ X / G ]と表記される商スタックは、スキームまたは多様体の商を一般化します。

R

ラショナル

1. 代数閉体上において、多様体が有理多様体であるとは、それが射影空間に対して双有理的であることを意味する。例えば、有理曲線や有理曲面は、有理曲線や有理曲面に対して双有理的である。${\displaystyle \mathbb {P} ^{1},\mathbb {P} ^{2}}$

2. 体kと相対スキームX → Sが与えられたとき、Xのk有理点はS射である。${\displaystyle \operatorname {Spec} (k)\to X}$

有理関数

（既約）代数多様体Xの開部分集合Uのすべての座標環にわたって極限が通る関数体 の元。関数体（スキーム理論）も参照。${\displaystyle k(X)=\varinjlim k[U]}$

有理正規曲線

有理正規曲線は の像である 。d = 3 の場合、それはねじれ3次曲線とも呼ばれる。${\displaystyle \mathbf {P} ^{1}\to \mathbf {P} ^{d},\,(s:t)\mapsto (s^{d}:s^{d-1}t:\cdots :t^{d})}$

有理特異点

特性 0 の体上の多様体Xには、およびとなるような特異点の解決がある場合、有理特異点があります。${\displaystyle f:X'\to X}$ ${\displaystyle f_{*}({\mathcal {O}}_{X'})={\mathcal {O}}_{X}}$ ${\displaystyle R^{i}f_{*}({\mathcal {O}}_{X'})=0,\,i\geq 1}$

減少

1. 可換環は、非零冪零元を持たない、すなわちその冪根基が零イデアルであるとき、縮約される。同様に、が縮約スキームである場合、 は縮約される。${\displaystyle R}$ ${\displaystyle {\sqrt {(0)}}=(0)}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle \operatorname {Spec} (R)}$

2. スキーム X は、その茎が被縮環である場合に、被縮環である。同様に、各開部分集合 に対して が被縮環である場合、すなわち が非零冪零セクションを持たない場合も、X は被縮環である。${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X,x}}$ ${\displaystyle U\subset X}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}(U)}$ ${\displaystyle X}$

還元的な

体上の連結な 線型代数群は 、代数閉包への 基底変換のユニポテント根基が自明である場合に限り、簡約群である。${\displaystyle G}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle R_{u}(G_{\overline {k}})}$ ${\displaystyle G_{\overline {k}}}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle {\overline {k}}}$

再帰束

2 番目の双対への標準写像が同型である場合、コヒーレント層は反射的です。

通常

正則スキームとは、局所環が正則局所環であるスキームである。例えば、 体上の 滑らかな多様体は正則であるが、 Spec k [ x,y ]/( x ² + x ³ - y ² )=そうではありません。

通常の埋め込み

閉埋め込みとは、 Xの各点がYにアフィン近傍を持ち、そこでのXのイデアルが正則な列によって生成される場合、正則埋め込みである。iが正則埋め込みである場合、iのコノーマル層、つまり がXのイデアル層であるときの は、局所的に自由である。${\displaystyle i:X\hookrightarrow Y}$ ${\displaystyle {\mathcal {I}}/{\mathcal {I}}^{2}}$ ${\displaystyle {\mathcal {I}}}$

通常の関数

代数多様体からアフィン直線への射影。

表現可能な射影

スタックの射で、スキームBからの任意の射に対して、基底変換が代数空間となるもの。「代数空間」を「スキーム」に置き換えると、強表現可能となる。${\displaystyle F\to G}$ ${\displaystyle B\to G}$ ${\displaystyle F\times _{G}B}$

特異点の解決

スキームXの特異点の解決は、Zが滑らかになるような適切な双有理射です。 ${\displaystyle \pi :Z\to X}$

リーマン・フルヴィッツの公式

滑らかな射影曲線間の有限可分射影が与えられ、例えば特性零の体上で が穏やかに分岐（乱暴な分岐がない）する場合、リーマン・フルヴィッツの公式はπの次数、X、Yの種数、および分岐指数 を次のように関連付けます。 今日では、この公式はより一般的な公式（π が穏やかでなくても有効）の帰結と見なされています。 ここでは線型同値であり、は相対余接層の約数（異項と呼ばれる）です。${\displaystyle \pi :X\to Y}$ ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle 2g(X)-2=\operatorname {deg} (\pi )(2g(Y)-2)+\sum _{y\in Y}(e_{y}-1)}$ ${\displaystyle K_{X}\sim \pi ^{*}K_{Y}+R}$ ${\displaystyle \sim }$ ${\displaystyle R=\sum _{P\in X}\operatorname {length} _{{\mathcal {O}}_{P}}(\Omega _{X/Y})P}$ ${\displaystyle \Omega _{X/Y}}$

リーマン・ロッホの公式

1. Lが種数gの滑らかな射影曲線上の次数dの直線束である場合、リーマン・ロッホの公式はLのオイラー特性値を計算する。 例えば、この公式は標準因子Kの次数が 2 g - 2 であることを意味する。${\displaystyle \chi (L)=d-g+1}$

2. 一般版はグロタンディークによるもので、グロタンディーク・リーマン・ロッホの公式と呼ばれています。これは、Xが滑らかな真射でS が成り立ち、 E がX上のベクトル束であるとき、有理チャウ群 における等式として、空間の接束のチャーン指標とトッド類を意味し、複素数上ではファイバーに沿った積分となることを示しています。例えば、基底Sが点、Xが種数gの滑らかな曲線、E が直線束Lであるとき、左辺はオイラー標数に簡約され、右辺は${\displaystyle \pi :X\to S}$ ${\displaystyle \operatorname {ch} (\pi _{!}E)\cdot \operatorname {td} (S)=\pi _{*}(\operatorname {ch} (E)\cdot \operatorname {td} (X))}$ ${\displaystyle \pi _{!}=\sum _{i}(-1)^{i}R^{i}\pi _{*}}$ ${\displaystyle \operatorname {ch} }$ ${\displaystyle \operatorname {td} }$ ${\displaystyle \pi _{*}}$ ${\displaystyle \pi _{*}(e^{c_{1}(L)}(1-c_{1}(T^{*}X)/2))=\operatorname {deg} (L)-g+1.}$

硬い

あらゆる微小変形は自明である。例えば、射影空間は（および小平・スペンサー写像を用いて）より剛体である。${\displaystyle \operatorname {H} ^{1}(\mathbf {P} ^{n},T_{\mathbf {P} ^{n}})=0}$

硬直させる

ヒューリスティックな用語で、「自己同型性を殺す」とほぼ同義です。例えば、「幾何学的状況を厳格化するために、レベル構造やマーク点を導入する」と言えるでしょう。

S

グロタンディーク自身の見解によれば、スキームの歴史はほとんど存在せず、むしろスキームへの抵抗の歴史のみが存在するはずである。…グロタンディークがスキームの定義をどのようにして見出したのかという、深刻な歴史的疑問は存在しない。それは既に世間に広まっていた。セールはスキームを発明した者はいないと的確に述べている（1995年の会話）。問題は、なぜグロタンディークは、セールの80ページの論文を約1000ページの「代数幾何学の原論」に簡略化するために、この定義を用いるべきだと考えたのか、ということである。

[1]

スキーム

スキームは、局所的には可換環の素スペクトルである局所的に環化された空間です。

シューベルト

1.シューベルトセルはグラスマン多様体上のB軌道であり、 Bは標準ボレル、つまり上三角行列のグループです。${\displaystyle \operatorname {Gr} (d,n)}$

2.シューベルト多様体はシューベルトセルの閉包です。

スクロール

有理正規スクロールは、何らかの に対して射影空間内の次数である線織面です。 ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \mathbb {P} ^{n+1}}$ ${\displaystyle n\in \mathbb {N} _{>1}}$

割線多様体

射影多様体への割線多様体は、におけるVへのすべての割線分の和集合の閉包です。${\displaystyle V\subset \mathbb {P} ^{r}}$ ${\displaystyle \mathbb {P} ^{r}}$

セクションリング

スキームX上の線束Lの切断環または切断環は次数環です。${\displaystyle \oplus _{0}^{\infty }\Gamma (X,L^{n})}$

セールの条件S _n

正規性に関するセールの条件を参照してください。また、https://mathoverflow.net/q/22228も参照してください。

セール双対性

#双対化層を参照

分離された

分離射とは、とそれ自身とのファイバー積が、その対角線を閉じた部分スキームとして持つような射です。言い換えると、対角射は閉じた浸漬です。${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f}$

グローバルセクションによって生成された束

束のあらゆる点において束の茎を張る大域セクションの集合を持つ束。大域セクションによって生成される束を参照してください。

単純

1. 「単純点」という用語は、「滑らかな点」を意味する古い用語です。

2.単純正規交差因子（snc因子）は、滑らかな正規交差因子、すなわち滑らかな正規交差特異点のみを持つ因子の別名です。これらは、強非特異化だけでなく、コンパクト化モジュライ問題の安定化にも現れます。

3.線型代数群の文脈では、半単純群と、それ自体が半単純群でありながら追加の属性を持つ単純群が存在します。すべての単純群は簡約的であるため、分割単純群は分割簡約的な単純群です。

スムーズ

1.  

エタール射の高次元版は滑らかな射である。滑らかさには様々な特徴付けがある。以下は射f  : Y → Xの滑らかさの同値な定義である。

1. 任意のy ∈ Yに対して、 y、x = f ( y )の開いたアフィン近傍VとUが存在し、 fのVへの制限は、エタール射影として因数分解され、それに続いてアフィンn空間がU上に射影されます。
2. fは平坦で、局所的に有限の表示であり、Yのすべての幾何学的点（代数的に閉じた体のスペクトルからYへの射）に対して、幾何学的ファイバーは古典的な代数幾何学の意味で上の滑らかなn次元多様体です。${\displaystyle {\bar {y}}}$ ${\displaystyle k({\bar {y}})}$ ${\displaystyle X_{\bar {y}}:=X\times _{Y}\mathrm {Spec} (k({\bar {y}}))}$ ${\displaystyle k({\bar {y}})}$

2.完全体k上の滑らかなスキームは、局所的に有限型であり、k上で正則なスキームXです。

3. 体k上の滑らかなスキームとは、幾何学的に滑らかなスキームXのことです。${\displaystyle X\times _{k}{\overline {k}}}$

特別

滑らかな曲線C上の因子D は、特殊性の指数と呼ばれる が正である場合に特殊です。${\displaystyle h^{0}({\mathcal {O}}(K-D))}$

球状品種

球状多様体は、 Gのボレル部分群による開いた稠密軌道を持つ正規G多様体（G連結簡約）です。

スプリット

1.代数群 の文脈において、特定の性質に対する導来的性質 split- が存在する。これは通常、代数的に閉体 上で自動的に、あるいはより一般的に現れる性質である。この性質が、必ずしも代数的に閉体ではない 上で定義されている に対して既に成り立つ場合、 はsplit- を満たすと言われる。${\displaystyle G}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle {\overline {k}}}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle P}$

2.体上で定義された線型代数群は、その代数閉包への基底変換が乗法群の積に同型である場合に限り、トーラスである。が分割トーラスであるとは、基底変換なしで に同型である場合に限ります。 が中間体上で分割されるとは、その基底変換が に同型である場合に限ります。${\displaystyle G}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle G_{\overline {k}}}$ ${\displaystyle {\overline {k}}}$ ${\displaystyle G_{m,{\overline {k}}}^{n}}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G_{m,k}^{n}}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle k\subseteq L\subseteq {\overline {k}}}$ ${\displaystyle G_{L}}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle G_{m,L}^{n}}$

3.体上に定義された簡約群 が分割簡約的であるためには、体上に定義された極大トーラスが分割トーラスとなる必要がある。任意の単純群は簡約的であるため、分割単純群とは分割簡約的な単純群を意味する。${\displaystyle G}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle T\subseteq G}$ ${\displaystyle k}$

4.体上で定義された連結な 可解線型代数群は、上で定義された合成級数を持ち、各連続する商が上の乗法群または加法群のいずれかに同型である場合に限り、分割されます。${\displaystyle G}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle B=B_{0}\supset B_{1}\supset \ldots \supset B_{t}=\{1\}}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle B_{i}/B_{i+1}}$ ${\displaystyle G_{m,k}}$ ${\displaystyle G_{m,a}}$ ${\displaystyle k}$

5.体上に定義された線型代数群は、連結な可解線型代数群の意味で分割される、体上に定義されたボレル部分群を持つ場合にのみ分割されます。${\displaystyle G}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle B\subseteq G}$ ${\displaystyle k}$

6.実リー代数 の分類において、分割リー代数は重要な役割を果たします。線型リー群、それに関連するリー代数、そして線型代数群の間には、それぞれ密接な関係があります。「分割」という用語は、リー理論と線型代数群において同様の意味を持ちます。${\displaystyle k=\mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$

安定した

1.安定曲線とは、ある程度の「緩やかな」特異性を持つ曲線であり、曲線の良好なモジュライ空間を構築するために使用されます。

2.安定ベクトル束はベクトル束のモジュライ空間を構築するために使用されます。

スタック

スタックは、自己同型とともに点の集合をパラメーター化します。

厳密な変換

閉部分スキームZに沿ったブローアップと射 が与えられたとき、 Yの厳密な変換（真変換とも呼ばれる）は、Yの閉部分スキーム に沿ったブローアップである。f が閉浸漬であれば、誘導写像も閉浸漬となる。${\displaystyle \pi :{\widetilde {X}}\to X}$ ${\displaystyle f:Y\to X}$ ${\displaystyle {\widetilde {Y}}\to Y}$ ${\displaystyle f^{-1}Z}$ ${\displaystyle {\widetilde {Y}}\hookrightarrow {\widetilde {X}}}$

サブスキーム

Xの修飾子のないサブスキームは、Xのオープン サブスキームの閉じたサブスキームです。

表面

2次元の代数多様体。

対称的な多様性

対称空間の類似物。対称多様体を参照。

T

接空間

ザリスキ接線空間を参照してください。

トートロジー線束

射影スキームXの同語反復直線束は、セールのねじり層の双対です。つまり、 です。 ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}(1)}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}(-1)}$

定理

ザリスキの主定理、形式関数の定理、コホモロジー基底変換定理、Category:代数幾何学の定理を参照してください。

トーラス埋め込み

トーリック多様体の古い用語

トーリック多様体

トーリック多様体は、トーラスが開いた稠密軌道を持つようなトーラスの作用を持つ正規多様体です。

熱帯幾何学

区分線形代数幾何学の一種。熱帯幾何学を参照。

トーラス

分割トーラスは有限個の乗法群 の積です。${\displaystyle \mathbb {G} _{m}}$

あなた

普遍的な

1.モジュライ関数 F が何らかのスキームまたは代数空間Mで表される場合、普遍対象とは、恒等射M → M（これはMのM点である）に対応するF ( M )の元である。例えば、 Fの値が追加の構造を持つ曲線の同型類である場合、普遍対象は普遍曲線と呼ばれる。トートロジーバンドルは普遍対象の別の例である。

2.種数gの滑らかな射影曲線のモジュライと、単一マーク点を持つ種数gの滑らかな射影曲線のモジュライとする。文献では、忘却写像は しばしば普遍曲線と呼ばれる。${\displaystyle {\mathcal {M}}_{g}}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}_{g}={\mathcal {M}}_{g,1}}$ ${\displaystyle \pi :{\mathcal {C}}_{g}\to {\mathcal {M}}_{g}}$

普遍的に

射が普遍的に何らかの性質を持つとは、その射のすべての基底変換がこの性質を持つことを意味する。例としては、普遍カテナリー、普遍単射などが挙げられる。

非分岐

内の点について、対応する局所環の射を考える 。を の極大イデアルとし、 を における の像によって生成されるイデアルとする。 射が非分岐（またはG 非分岐）であるとは、それが局所的に有限型（または局所的に有限表示）であり、内のすべての に対してが の極大イデアルであり、誘導写像が 有限可分体拡大 である場合を言う。^{[21]これは}代数的数論における非分岐体拡大の幾何学的バージョン（および一般化）である。${\displaystyle y}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle f^{\#}\colon {\mathcal {O}}_{X,f(y)}\to {\mathcal {O}}_{Y,y}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X,f(y)}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {n}}=f^{\#}({\mathfrak {m}}){\mathcal {O}}_{Y,y}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{Y,y}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle {\mathfrak {n}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{Y,y}}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X,f(y)}/{\mathfrak {m}}\to {\mathcal {O}}_{Y,y}/{\mathfrak {n}}}$

V

バラエティ

「代数多様体」と同義語。

非常に豊富

多様体X上の直線束Lが非常に豊富であるとは、Xが射影空間に埋め込まれ、Lが射影空間上のセールのねじり層O (1)の制限となることを意味する。

W

弱正常

あるスキームに対する任意の有限双有理射が同型である場合、そのスキームは弱正規である。

ヴェイユ因子

「余次元 1 サイクル」の別の、より標準的な用語。「 divisor 」を参照してください。

ヴェイユの相互性

ヴェイユの相互性を参照してください。

Z

ザリスキ・リーマン空間

ザリスキ-リーマン空間は、点が付値環である局所環空間です。

注記

1. 証明: D をX上の Weil 因子とする。D ' ~ Dならば、 X上の非零有理関数fが存在し、 D + ( f ) = D'となる。そして、 D'が有効な場合、 fはO _X ( D )の切断となる。逆も同様である。□
2. Alain, Connes (2015-09-18). 「リーマン予想に関するエッセイ」. arXiv : 1509.05576 [math.NT].
3. Deitmar, Anton (2006-05-16). 「F1上のゼータ関数とK理論に関する考察」. arXiv : math/0605429 .
4. Flores, Jaret (2015-03-08). 「可換モノイドのホモロジー代数」. arXiv : 1503.02309 [math.KT].
5. ドゥロフ、ニコライ (2007-04-16)。 「アラケロフ幾何学への新しいアプローチ」。arXiv : 0704.2030 [math.AG]。
6. Grothendieck & Dieudonné 1960, 4.1.2 および 4.1.3
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8. グロタンディーク & デュドネ 1964、§1.4
9. グロタンディーク & デュドネ 1964、§1.6
10. Brandenburg, Martin (2014-10-07). 「代数幾何学のテンソルカテゴリカル基礎」. arXiv : 1410.1716 [math.AG].
11. ハーツホーン 1977、演習 II.3.11(d)
12. スタックプロジェクト、第21章、§4。
13. グロタンディーク & デュドネ 1960、4.2.1
14. ハーツホーン 1977、§II.3より
15. グロタンディーク & デュドネ 1960、4.2.5
16. Q. Liu,代数幾何学と算術曲線、演習2.3
17. 原田めぐみ; クレプスキー, デレク (2013-02-02). 「トーリック・ドリーニュ・マンフォード・スタック間の大域商」arXiv : 1302.0385 [math.DG].
18. ハーツホーン 1977, II.4
19. EGA、II.5.5.4(ii)。
20. グロタンディーク & デュドネ 1964、1.2.1
21. G-非分岐という概念はEGAでは「非分岐」と呼ばれますが、レイノーの「非分岐」の定義に従うため、閉じた浸漬は非分岐となります。詳細はStacksプロジェクトのタグ02G4を参照してください。

参考文献

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• アレクサンドル・グロタンディーク;ジャン・デュドネ(1960)。 「幾何学計算の要素: I. スキーマの言語」。出版物 Mathématiques de l'IHÉS。４．土井：10.1007/bf02684778。MR  0217083。
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• アレクサンドル・グロタンディーク;ジャン・デュドネ(1963)。 "Éléments de géométrie algébrique: III. Étude cohomologique des faisceaux cohérents、Seconde party"。出版物 Mathématiques de l'IHÉS。１７．土井：10.1007/bf02684890。MR  0163911。
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• アレクサンドル・グロタンディーク;ジャン・デュドネ(1965)。 「幾何学計算の要素: IV. スキーマのロケールとスキーマの形態の練習、第 2 部」。出版物 Mathématiques de l'IHÉS。２４．土井：10.1007/bf02684322。MR  0199181。
• アレクサンドル・グロタンディーク;ジャン・デュドネ(1966)。 「幾何学的手法の要素: IV. スキーマのロケールとスキーマの形態の練習、トロワジエム パーティー」。出版物 Mathématiques de l'IHÉS。２８．土井：10.1007/bf02684343。MR  0217086。
• アレクサンドル・グロタンディーク;ジャン・デュドネ(1967)。 「幾何学計算の要素: IV. スキーマのロケールとスキーマの形態の練習、Quatrième party」。出版物 Mathématiques de l'IHÉS。３２．土井：10.1007/bf02732123。MR  0238860。
• ハーツホーン、ロビン（1977）、代数幾何学、大学院数学テキスト、第52巻、ニューヨーク：シュプリンガー・フェアラーク、ISBN 978-0-387-90244-9、MR  0463157
• Kollár、János、「曲面係数に関する本」は彼の Web サイトから入手可能 [2]
• マーティン・オルソンのコースノート（アントン執筆）https://web.archive.org/web/20121108104319/http://math.berkeley.edu/~anton/written/Stacks/Stacks.pdf
• 多くの著者によって執筆された本。

参照

• 算術とディオファントス幾何学の用語集
• 古典代数幾何学の用語集
• 微分幾何学と位相幾何学の用語集
• リーマン幾何学と計量幾何学の用語集
• 複素曲面と代数曲面のリスト
• サーフェスのリスト
• 曲線のリスト