整数

数直線上に並べられた整数

整数とは、数0 ( 0 )、正の自然数( 1 、 2 、 3 、 ... )、または正の自然数の否定 ( −1 、 −2 、 −3 、 ... )です。^[1]正の自然数の否定または加法逆数は、負の整数と呼ばれます。^[2]すべての整数の集合は、太字の Zまたは黒板太字 で示されることがよくあります。^{[3] [4]}${\displaystyle \mathbb {Z} }$

自然数の集合はの部分集合であり、 は有理数の集合 の部分集合であり、有理数の集合 自体は実数の部分集合である。^[a]自然数の集合と同様に、整数の集合は可算無限である。整数は、小数部なしで表記できる実数とみなすことができる。例えば、21、4、0、-2048 は整数であるが、9.75、5は${\displaystyle \mathbb {N} }$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ +1/2⁠、5/ 4、2の平方根はそうではありません。^[7]

整数は、自然数を含む最小の群と最小の環を形成します。代数的整数論では、より一般的な代数的整数と区別するために、整数を有理数整数と呼ぶことがあります。実際、（有理）整数は代数的整数であり、有理数でもあります。

歴史

整数という語は、ラテン語のinteger（整数）に由来し、「全体」あるいは（文字通り）「触れられていない」という意味で、in（「ない」）とtangere （「触れる」）を組み合わせた造語である。「全体の」は、フランス語のentier （整数）に由来し、これは「全体」と「整数」の両方の意味を持つ。^[8]歴史的には、この用語は1の倍数、[ ^{9] [10]あるいは}帯分数の整数部分を指すために使われてきた。^{[11] [12]正の整数のみが対象とされていたため、この用語は}自然数と同義であった。整数の定義は、負の数の有用性が認識されるにつれて、時とともに負の数も含むように拡大された。 ^[13]例えば、レオンハルト・オイラーは1765年に著した『代数学原論』の中で、整数は正の数と負の数の両方を含むと定義した。^[14]

整数集合という表現は、19世紀末、ゲオルク・カントールが無限集合と集合論の概念を導入するまでは使われていませんでした。整数集合を表す文字Zは、ドイツ語のZahlen（「数」）^{[3] [4]に由来し、}ダヴィド・ヒルベルト^[15]に由来するとされています。この表記法が教科書で最初に使用されたのは、ニコラ・ブルバキらが1947年に著した『代数』です。 ^{[3] [16]}この表記法はすぐには採用されませんでした。例えば、別の教科書では文字Jが使用されており、^[17] 1960年の論文では非負整数を表すのにZが使用されていました。^[18]しかし、1961年までに、現代代数学の教科書では正負の整数を表すのにZが一般的に使用されるようになりました。^[19]

記号は様々な集合を表すためにしばしば注釈が付けられるが、その用法は著者によって様々である。正の整数については、、 、または、非負の整数については 、非ゼロの整数については と表記される。非ゼロの整数については を使用する著者もいれば、非負の整数については 、{−1,1}（の単位群）について を使用する著者もいる。さらに、はpを法とする整数の集合（すなわち、整数の合同類の集合）またはp進整数の集合 のいずれかを表すために使用される。^{[20] [21]}${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \mathbb {Z} ^{+}}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} _{+}}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} ^{>}}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} ^{0+}}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} ^{\geq }}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} ^{\neq }}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} ^{*}}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}}$

1950年代初頭までは、整数は整数と同義でした。^{[22] [23] [24]} 1950年代後半、新数学運動の一環として、^[25]アメリカの小学校教師は、整数は負の数を除いた自然数を指し、整数は負の数も含むと教え始めました。^{[26] [27]}整数は今日まで曖昧なままです。^[28]

代数的性質

整数は、無限に長い数直線上の離散的で等間隔の点として考えることができます。上の図では、非負の整数は青で、負の整数は赤で示されています。

自然数と同様に、は加法と乗法の演算に関して閉じており、つまり任意の2つの整数の和と積は整数となる。しかし、負の自然数（そして重要なのは0）を含めると、は自然数とは異なり、減法に関しても閉じている。^[29]${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$

整数は環を形成し、これは最も基本的な環です。つまり、任意の環に対して、整数からこの環への環準同型が一意に存在するということです。この普遍的性質、すなわち環の圏における初期対象であることは、環を特徴づけます 。この一意の準同型が単射となるのは、環の標数がゼロである場合に限ります。したがって、標数ゼロのすべての環には、 ⁠ ⁠と同型な部分環が含まれ、これが最小の部分環となります。 ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$

${\displaystyle \mathbb {Z} }$ は除算に関して閉じていません。なぜなら、2つの整数の商（例えば、1を2で割る）は必ずしも整数である必要はないからです。自然数は指数に関して閉じていますが、整数は指数に関して閉じていません（指数が負の場合、結果は分数になる可能性があるため）。

次の表は、任意の整数a、b、cの加算と乗算の基本的な特性の一部を示しています。

加法に関して上に挙げた最初の5つの性質は、加法のもとで がアーベル群であることを示しています。また、すべての非零整数は有限和1 + 1 + ... + 1または(−1) + (−1) + ... + (−1)として表すことができるため、 は巡回群でもあります。実際、加法のもとで は唯一の無限巡回群です。つまり、任意の無限巡回群は と同型であるということです。 ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$

乗法に関して上記に挙げた最初の4つの性質は、乗法の下では可換モノイドであることを示しています。しかし、すべての整数に逆数が存在するわけではありません（2の場合がそうです）。つまり、乗法の下では群ではありません。 ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$

上記の特性表のすべての規則（最後の規則を除く）を総合すると、 は加法と乗法とともに単位元 を持つ可換環であることが分かります。これは、そのような代数構造を持つすべてのオブジェクトの原型です。 において、任意の単位元可換環において成り立つ式の等式のみが、すべての変数の値に対して成り立ちます 。特定の非ゼロ整数は、特定の環においてゼロに写像されます。 ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$

整数に 零因子が存在しないことは（表の最後の特性）、可換環が整域であることを意味します。 ${\displaystyle \mathbb {Z} }$

乗法逆数が存在しないということは、除算で閉じていないということと同義であり、は体ではないことを意味します。整数を部分環として含む最小の体は有理数体です。整数から有理数を構成する過程を模倣することで、任意の整域の分数体を形成することができます。そして逆に、代数体（有理数の拡張）から出発して、その整数環を抽出でき、これはを部分環として含みます。 ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$

通常の除算は では定義されていませんが、余りのある除算は で定義されています。これはユークリッド除算と呼ばれ、次の重要な性質を持ちます。2つの整数aとb（b ≠ 0 ）が与えられたとき、 a = q × b + rかつ0 ≤ r < | b | （ | b |はbの絶対値を表します）を満たす一意の整数qとrが存在します。整数qはaをbで割ったときの商、rは余りと呼ばれます。最大公約数を計算するユークリッドの互除法は、ユークリッド除算のシーケンスによって機能します。 ${\displaystyle \mathbb {Z} }$

上記はユークリッド整域であることを示しています。これは主イデアル整域であり、任意の正の整数は本質的に唯一の方法で素数の積として表すことができることを意味します。^[30]これは算術の基本定理です。 ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$

順序理論的性質

${\displaystyle \mathbb {Z} }$ は上限も下限もない全順序集合である。 の順序は次のように与えられる: :... −3 < −2 < −1 < 0 < 1 < 2 < 3 < ...。整数は0より大きい場合は正、0より小さい場合は 負である。0は負でも正でもないものとして定義される。${\displaystyle \mathbb {Z} }$

整数の順序は、次のように代数演算と互換性があります。

1. a < bかつc < dの場合、a + c < b + dとなる。
2. a < bかつ0 < cの場合、ac < bc

したがって、上記の順序付けと合わせて順序付けされたリングが成り立ちます。 ${\displaystyle \mathbb {Z} }$

整数は、正の要素が整列している唯一の非自明な全順序 アーベル群である。^{[31]これは、}任意のネーター付値環が体か離散付値環のいずれかであるという主張と同等である。

工事

伝統的な開発

小学校の授業では、整数は（正の）自然数、ゼロ、および自然数の否定の和集合として直感的に定義されることが多い。これは次のように形式化できる。^{[32]まず、}ペアノの公理に従って自然数の集合 を構築し、これを と呼ぶ。次に、関数 を介してと互いに素でと一対一に対応する集合を構築する。例えば、を の写像 を持つ順序付きペアとする。最後に 0 をまたはにないオブジェクト、例えば順序付きペア (0,0) とする。すると、整数 は和集合 として定義される。 ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle P^{-}}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle P^{-}}$ ${\displaystyle (1,n)}$ ${\displaystyle \psi =n\mapsto (1,n)}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle P^{-}}$ ${\displaystyle P\cup P^{-}\cup \{0\}}$

伝統的な算術演算は、正の数、負の数、ゼロのそれぞれについて、整数に対して区分的に定義できます。例えば、負数は次のように定義されます。

$${\displaystyle -x={\begin{cases}\psi (x),&{\text{if }}x\in P\\\psi ^{-1}(x),&{\text{if }}x\in P^{-}\\0,&{\text{if }}x=0\end{cases}}}$$

伝統的な定義スタイルでは、多くの異なるケース（各算術演算は整数の型の組み合わせごとに定義する必要がある）が発生し、整数がさまざまな算術法則に従うことを証明するのが面倒になります。^[33]

順序対の同値類

赤い点は自然数の順序付きペアを表します。連結された赤い点は、線の端にある青い整数を表す同値類です。

現代の集合論的数学では、より抽象的な構成^{[34] [35]}がしばしば用いられ、これにより大文字小文字を区別することなく算術演算を定義できる。^[36]このように、整数は自然数の順序付きペア( a , b )の同値類として正式に構成することができる。^[37]

直感的には、( a , b )はaからbを引いた結果を表していると考えられます。^[37] 1 − 2と4 − 5が同じ数を表すという予想を確認するために、これらのペアに次の規則で 同値関係~を定義します。

${\displaystyle (a,b)\sim (c,d)}$

正確にいつ

${\displaystyle a+d=b+c}$ 。

整数の加算と乗算は、自然数に対する同値な演算で定義することができる。^[37] [( a , b )]を使って( a , b )をメンバーとして 持つ同値類を表すと、次のようになる。

${\displaystyle [(a,b)]+[(c,d)]:=[(a+c,b+d)]}$ 。

${\displaystyle [(a,b)]\cdot [(c,d)]:=[(ac+bd,ad+bc)]}$ 。

整数の否定（または加法逆数）は、ペアの順序を逆にすることで得られます。

${\displaystyle -[(a,b)]:=[(b,a)]}$ 。

したがって、減算は加法逆数の加算として定義できます。

${\displaystyle [(a,b)]-[(c,d)]:=[(a+d,b+c)]}$ 。

整数の標準的な順序は次のように与えられます。

${\displaystyle [(a,b)]<[(c,d)]}$ の場合に限ります 。${\displaystyle a+d<b+c}$

これらの定義が同値類の代表の選択に依存しないことは簡単に確認できます。

すべての同値類は、( n ,0)または(0, n ) (あるいはその両方)の形式をとる一意の要素を持つ。自然数nは[( n ,0)]というクラスと同一視される（つまり、自然数はn を[( n ,0)]に写像することで整数に埋め込まれる）。また、クラス[(0, n )]は− nと表記される（これは残りのすべてのクラスをカバーし、−0 = 0 であるため、クラス[(0,0)]が再び出現する）。

したがって、[( a , b )]は次のように表される。

${\displaystyle {\begin{cases}a-b,&{\mbox{if }}a\geq b\\-(b-a),&{\mbox{if }}a<b\end{cases}}}$

自然数が対応する整数と同一視される場合（上記の埋め込みを使用）、この規則によって曖昧さは生じません。

この表記法は、整数の一般的な表現を{..., −2, −1, 0, 1, 2, ...}として復元します。

いくつかの例を以下に示します。

${\displaystyle {\begin{aligned}0&=[(0,0)]&=[(1,1)]&=\cdots &&=[(k,k)]\\1&=[(1,0)]&=[(2,1)]&=\cdots &&=[(k+1,k)]\\-1&=[(0,1)]&=[(1,2)]&=\cdots &&=[(k,k+1)]\\2&=[(2,0)]&=[(3,1)]&=\cdots &&=[(k+2,k)]\\-2&=[(0,2)]&=[(1,3)]&=\cdots &&=[(k,k+2)]\end{aligned}}}$

他のアプローチ

理論計算機科学においては、整数の構築に他のアプローチが用いられ、自動定理証明器や項書き換えエンジンなどが用いられる。整数は、いくつかの基本演算（例えば、ゼロ、succ、pred）と 、既に構築されていると仮定される自然数（ペアノアプローチを用いて）を用いて構築された代数項として表現される。

符号付き整数のこのような構成は少なくとも10種類存在する。^[38]これらの構成は、構成に使用される基本演算の数、これらの演算で受け入れられる引数の数（通常は0から2の間）、および引数の型、一部の演算の引数としての自然数の有無、およびこれらの演算が自由構成子であるかどうか（つまり、同じ整数を1つの代数項のみを使用して表現できるか、または複数の代数項を使用して表現できるか）など、いくつかの点で異なる。

前のセクションで紹介した整数構築の手法は、 2つの自然数とを引数として受け取り、整数（ に等しい）を返す単一の基本演算ペアが存在する特殊なケースに対応しています。整数0はペア(0,0)、ペア(1,1)、ペア(2,2)などと表記できるため、この演算は自由ではありません。この構築手法は証明支援ツールIsabelleで使用されていますが、他の多くのツールでは、より単純でコンピュータでより効率的に実装できるフリーコンストラクタに基づく代替構築手法が採用されています。 ${\displaystyle (x,y)}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle x-y}$

コンピュータサイエンス

整数は、コンピュータ言語においてしばしばプリミティブデータ型として扱われます。しかし、実用的なコンピュータの容量は有限であるため、整数データ型は整数の一部しか表現できません。また、一般的な2の補数表現では、符号の本質的な定義は「負、正、0」ではなく、「負」と「非負」を区別します。（ただし、コンピュータが整数値が真に正かどうかを判断することは確かに可能です。）固定長整数近似データ型（またはその一部）は、いくつかのプログラミング言語（ Algol68、C、Java、Delphiなど）でintまたは Integer と表記されます。

可変長整数表現（例えば、bignum）は、コンピュータのメモリに収まる任意の整数を格納できます。その他の整数データ型は固定サイズで実装されており、通常は2の累乗（4、8、16など）のビット数、または記憶可能な10進数の桁数（例：9、10）です。

基数

整数の集合は可算無限であり、これは各整数を一意の自然数と組み合わせることが可能であることを意味する。そのような組み合わせの例は以下の通りである。

(0, 1)、(1, 2)、(−1, 3)、(2, 4)、(−2, 5)、 (3, 6)、. . . 、(1 −  k、2 k  − 1)、( k、2 k  )、. . .

より技術的に言えば、の濃度はℵ ₀ (アレフゼロ)に等しいと言われます。との要素間の対は、一対一 (bijection ) と呼ばれます。 ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \mathbb {N} }$

参照

• 数学ポータル

• 正の整数の標準因数分解
• 複素整数
• 超整数
• 整数の複雑さ
• 整数格子
• 整数部分
• 整数シーケンス
• 整数値関数
• 数学記号
• パリティ（数学）
• 有限整数

自然数（ℕ）、整数（ℤ）、有理数（ℚ）、実数（ℝ）、複素数（ℂ）間の包含関係

脚注

1. より正確には、各システムは次のシステムに埋め込まれ、部分集合に同型に写像されます。 ^[5]一般的に想定される集合論的包含は、実数を構築し、それ以前の構築を破棄し、他の集合を実数の部分集合として定義することによって得られます。^[6]

参考文献

1. 科学技術百科事典. シカゴ大学出版局. 2000年9月. p. 280. ISBN 978-0-226-74267-0。
2. ヒルマン、エイブラハム・P.; アレクサンダーソン、ジェラルド・L. (1963). 代数学と三角法. ボストン: アリン・アンド・ベーコン.
3. Miller, Jeff (2010年8月29日). 「数論における記号の初期の使用」. 2010年1月31日時点のオリジナルよりアーカイブ。2010年9月20日閲覧。
4. Peter Jephson Cameron (1998). Introduction to Algebra. Oxford University Press. p. 4. ISBN 978-0-19-850195-4. 2016年12月8日時点のオリジナルよりアーカイブ。2016年2月15日閲覧。
5. Partee, Barbara H.; Meulen, Alice ter; Wall, Robert E. (1990年4月30日). Mathematical Methods in Linguistics. Springer Science & Business Media. pp.  78– 82. ISBN 978-90-277-2245-4自然数自体は、この整数の集合論的表現の部分集合ではありません。むしろ、整数全体の集合は、正の整数とゼロからなる部分集合を含み、この部分集合は自然数の集合と同型です。
6. ウォルゲムート、アンドリュー（2014年6月10日）『抽象数学の証明入門』クーリエ社、237頁。ISBN 978-0-486-14168-8。
7. Prep、Kaplan Test（2019年6月4日）。『GMAT Complete 2020：GMATのための究極の包括的自習教材』Simon and Schuster。ISBN 978-1-5062-4844-8。
8. エヴァンス、ニック (1995). 「A-量指定子とスコープ」. バッハ、エモン W. (編). 『自然言語における量化』. ドルドレヒト（オランダ）; ボストン（マサチューセッツ州）: クルーワー・アカデミック・パブリッシャーズ. p. 262. ISBN 978-0-7923-3352-4。
9. スメドレー、エドワード; ローズ、ヒュー・ジェームズ; ローズ、ヘンリー・ジョン (1845). Encyclopædia Metropolitana. B. フェローズ. p. 537.整数は1の倍数である
10. ブリタニカ百科事典 1771年、367ページ
11. ピサーノ、レオナルド;ボンコンパーニ、バルダッサーレ (音訳) (1202)。 Mccij 年 [ The Book of Calculation ] (写本) (ラテン語) に、Lionardo filio Bonaccii Pisano に Abbaci compositus を寄稿しました。シグラー、ローレンス・E・ガリレオ博物館訳。 p. 30.ポスト・インテグラ、プリウス・インテグラ、そして、プロンヌンティアリ・ディビーントのようなものはありません。 [そして、分数は常に全体の後に置かれるため、最初に整数が書き込まれ、次に分数が書き込まれます]
12. ブリタニカ百科事典 1771年、83ページ
13. マルティネス、アルベルト (2014).負の数学. プリンストン大学出版局. pp.  80– 109.
14. オイラー、レオンハルト (1771)。 Vollstandige Anleitung Zur Algebra [代数完全入門] (ドイツ語)。 Vol. 1.p. 10. Alle diese Zahlen、so wohlpositive als negative、führen den bekannten Nahmen der Gantzen Zahlen、welche also entweder größer oder kleiner sind als nichts。男はディーゼルベ・ガンツェ・ザーレン、うーん、ジー・フォン・デン・ゲブロヘネン、そしてノッホ・ヴィーラーリー・アンデルン・ザーレン、彼女は自分自身を理解することができ、そして彼らを理解します。 [これらの数値はすべて、正と負の両方で、何もないより大きいか小さい、整数と呼ばれます。私たちは、分数や、これから説明する他のいくつかの種類の数と区別するために、それらを整数と呼びます。
15. リーズ大学評論第 31～ 32巻、リーズ大学、1989年、46頁。ちなみに、Zは「Zahl」に由来し、この表記法はヒルベルトによって考案された。
16. ブルバキ、ニコラス (1951).アルジェブル、第 1 章 (フランス語) (第 2 版)。パリ: ヘルマン。 p. 27. Le symétrisé de N se note Z ;合理的な理由を考慮してください。 [ Nの差のグループはZで示されます。その要素は有理整数と呼ばれます。]
17. バーコフ、ギャレット (1948). 格子理論（改訂版）. アメリカ数学会. p. 63.すべての整数の集合J
18. Society, Canadian Mathematical (1960). Canadian Journal of Mathematics. Canadian Mathematical Society. p. 374.非負整数の集合Zを考える
19. Bezuszka, Stanley (1961). Contemporary Progress in Mathematics: Teacher Supplement [to] Part 1 and Part 2. Boston College. p. 69.現代代数学の教科書では、整数の集合を大文字のZで表記するのが一般的です。
20. キース・プレッジャーとデイブ・ウィルキンス、「Edexcel ASおよびAレベル・モジュラー数学：コア数学1」ピアソン、2008年
21. LK Turner、FJ BUdden、D Knighton、「Advanced Mathematics」、第2巻、Longman 1975年。
22. マシューズ、ジョージ・バラード（1892年）『数論』デイトン・ベル社、2ページ。
23. ベッツ、ウィリアム (1934). 『Junior Mathematics for Today』. ギン. 1、2、3 のように自然な順序で並べられた整数は、連続した整数と呼ばれます。
24. Peck, Lyman C. (1950). Elements of Algebra. McGraw-Hill. p. 3.このように生じる数は正の整数または正の整数と呼ばれます。
25. ヘイデン、ロバート (1981). 「米国における「新数学」運動の歴史」（博士号）アイオワ州立大学. p. 145. doi : 10.31274/rtd-180813-5631 .高校の教師や管理者に「新数学」のニュースを伝える上で、はるかに大きな影響力を持ったのは、全米数学教員協会（NCTM）でした。
26. 数学的思想の発展、幼稚園から高校3年生まで：第24回年鑑。全米数学教育者協会。1959年。14ページ。ISBN 9780608166186。
27. ディーン、エドウィナ（1963年）『小学校数学：新たな方向性』米国保健教育福祉省教育局、p.42。
28. 「entry: 整数」.アメリカン・ヘリテージ辞典. ハーパーコリンズ.
29. “整数 | 数学”.ブリタニカ百科事典. 2020年8月11日閲覧。
30. ラング、セルジュ(1993).代数学（第3版）. アディソン・ウェスレー. pp.  86– 87. ISBN 978-0-201-55540-0。
31. ワーナー、セス（2012年）「現代代数学」ドーバー数学書籍、クーリエ社、定理20.14、185ページ。ISBN 978-0-486-13709-4. 2015年9月6日時点のオリジナルよりアーカイブ。2015年4月29日閲覧。。
32. メンデルソン、エリオット (1985). 数体系と解析の基礎. マラバー、フロリダ州: RE Krieger Pub. Co. p. 153. ISBN 978-0-89874-818-5。
33. メンデルソン、エリオット (2008). 『数体系と解析の基礎』 ドーバー数学書籍. クーリエ・ドーバー出版. p. 86. ISBN 978-0-486-45792-5. 2016年12月8日時点のオリジナルよりアーカイブ。2016年2月15日閲覧。。
34. イヴォラ・カスティージョ：代数
35. クレイマー、ユルグ;フォン・ピピッチ、アンナ＝マリア (2017)。自然数から四元数まで(第 1 版)。スイス：シュプリンガー・チャム。 pp.  78–81 .土井:10.1007/978-3-319-69429-0。ISBN 978-3-319-69427-6。
36. フロビッシャー、レン (1999). 『数の教え方を学ぶ：小学校の生徒と教師のためのハンドブック』スタンリー・ソーンズ小学校数学指導シリーズ. ネルソン・ソーンズ. p. 126. ISBN 978-0-7487-3515-0. 2016年12月8日時点のオリジナルよりアーカイブ。2016年2月15日閲覧。。
37. キャンベル、ハワード・E. (1970).算術の構造. アップルトン・センチュリー・クロフツ. p. 83. ISBN 978-0-390-16895-5。
38. ガラベル、ヒューバート (2017). 符号付き整数の最適な公理化について. 第23回代数的開発技術に関する国際ワークショップ (WADT'2016) のポストプロシーディングス. コンピュータサイエンス講義ノート. 第10644巻. シュプリンガー. pp.  120– 134. doi :10.1007/978-3-319-72044-9_9. ISBN 978-3-319-72043-2. 2018年1月26日時点のオリジナルよりアーカイブ。2018年1月25日閲覧。

出典

• ベル, ET (1986). 『数学者たち』 ニューヨーク: サイモン＆シュスター. ISBN 0-671-46400-0。）
• ハースタイン、IN (1975). 『代数学のトピックス』（第2版）. Wiley. ISBN 0-471-01090-1。
• マック・レーン、サンダース、バーコフ、ギャレット(1999).代数学（第3版）. アメリカ数学会. ISBN 0-8218-1646-2。
• スコットランド紳士協会（1771年）。ブリタニカ百科事典。エディンバラ。

外部リンク

• 「整数」数学百科事典、EMSプレス、2001 [1994]
• 正の整数 - 約数表と数値表現ツール
• 整数列のオンライン百科事典 cf OEIS
• ワイスタイン、エリック・W.「整数」。マスワールド。

この記事には、Creative Commons Attribution-Share-Alike Licenseに基づいてライセンスされているInteger on PlanetMathの資料が組み込まれています。