積分

関数の定積分は、グラフと水平軸で囲まれた領域の符号付き面積として表すことができます。上記のグラフの例では、関数の積分は黄色（−）の面積から青色（＋）の面積を引いたものです。${\displaystyle f(x)}$

数学において、積分は和の連続的な類似物であり、面積、体積、およびそれらの一般化を計算するために使用されます。積分を計算するプロセスである積分は、微積分学の2つの基本的な演算のうちの1つであり^、もう1つは微分です。積分は当初、曲線の下の面積を求めたり、速度から変位を求めたりするなど、数学と物理学の問題を解くために使用されていました。その後、積分の使用は幅広い科学分野に広がりました。

定積分は、実数直線上の2点間の与えられた関数のグラフで囲まれた平面上の領域の符号付き面積を計算します。慣例的に、平面の水平軸より上の領域は正であり、下の領域は負です。積分は、与えられた関数を導関数とする関数である原始微分の概念も指します。この場合、原始積分は不定積分とも呼ばれます。微積分学の基本定理は、定積分と微分を関連づけ、原始微分が既知の場合に関数の定積分を計算する方法を提供します。つまり、微分と積分は逆の演算です。

面積や体積を計算する方法は古代ギリシャの数学に遡るが、積分の原理は17世紀後半にアイザック・ニュートンとゴットフリート・ヴィルヘルム・ライプニッツによって独立に定式化され、彼らは曲線の下の面積を無限小の幅の長方形の無限和として考えた。後にベルンハルト・リーマンは積分の厳密な定義を与えたが、これは曲線領域の面積をその領域を無限小の垂直な板に分割することで近似するという極限手順に基づくものである。20世紀初頭、アンリ・ルベーグはリーマンの定式化を一般化し、現在ではルベーグ積分と呼ばれているものを導入した。これは、より広いクラスの関数がルベーグ積分可能であるという意味でリーマンのものよりも一般的である。

積分は、関数の種類や積分が実行される領域に応じて一般化されることがあります。例えば、線積分は2変数以上の関数に対して定義され、積分区間は空間内の2点を結ぶ曲線に置き換えられます。面積分では、曲線は3次元空間内の面の一部に置き換えられます。

歴史

微積分学の基礎

積分を決定できる最初の体系的な手法として文書化されたのは、古代ギリシャの天文学者エウドクソスと哲学者デモクリトス（紀元前370年頃）の網羅的方法である。これは、面積や体積を、その面積や体積がわかっている無限の数の区分に分割することによって求めようとするものである。^[1]この方法は紀元前3世紀にアルキメデスによってさらに発展・採用され、円の面積、球の表面積と体積、楕円の面積、放物線の面積、回転放物面の体積、回転双曲面の体積、螺旋の面積を計算するために使用された。^[2]

同様の方法は、中国では3世紀頃に劉徽によって独自に開発され、円の面積を求めるのに用いられました。この方法は後に5世紀に、中国の数学者祖崇志と祖庚の父子によって球の体積を求めるのに用いられました。^[3]

中東では、ハサン・イブン・アル＝ハイサム（ラテン語表記ではアルハゼン、西暦 965年頃 ～ 1040年頃）が の4乗の 和 の公式を導き出しました。^[4]アルハゼンは（現代の記法では積分）で表される曲線で囲まれた面積を計算する方程式を、 の任意の負でない整数値に対して決定しました。^[5]彼はその結果を使って、現在では積分と呼ばれるこの関数の積分を実行し、積分の平方和と4乗の公式を使って放物面の体積を計算しました。^[6]${\displaystyle y=x^{k}}$ ${\displaystyle \int x^{k}\,dx}$ ${\displaystyle k}$

積分学における次の重要な進歩は17世紀になって初めて現れました。この頃、カヴァリエリの不可分法とフェルマーの研究によって、近代微積分学の基礎が築かれ始めました。^{[7]カヴァリエリは、}カヴァリエリの求積法公式において、 n = 9次までのx ⁿの積分を計算しました。^[8] n = −1の場合、関数である双曲線対数の発明が必要となり、これは1647年に双曲線の求積法によって実現されました。

17世紀初頭には、バローとトリチェリによってさらなる進歩が遂げられ、彼らは積分と微分の関係性について初めて示唆を与えました。バローは微積分学の基本定理の最初の証明を行いました。^[9] ウォリスはカヴァリエリの方法を一般化し、負のべき乗や分数のべき乗を含む一般的なべき乗のxの積分を計算しました。^[10]

ライプニッツとニュートン

積分における大きな進歩は、17 世紀にライプニッツとニュートンが独立に微積分の基本定理を発見したことでもたらされました。^[11]この定理は、積分と微分の関係を示しています。この関係は、微分の比較的容易なことと相まって、積分の計算に利用できます。特に、微積分の基本定理により、はるかに広範な問題を解くことができます。ライプニッツとニュートンの両者が開発した包括的な数学的枠組みも同様に重要です。無限小微積分と呼ばれるこの枠組みにより、連続領域を持つ関数の正確な解析が可能になりました。この枠組みは最終的に現代微積分学となり、その積分の表記法はライプニッツの研究から直接引き継がれています。

形式化

ニュートンとライプニッツは積分に対して体系的なアプローチを提供したが、その研究には厳密さが欠けていた。ビショップ・バークリーはニュートンによって使用された消失増分を「消えた量の亡霊」と呼んで印象的に攻撃した。^{[12]微積分は}極限の発展によりより確固たる基盤を獲得した。積分は、極限を用いて初めて厳密に形式化された。 [ ^13]すべての有界区分連続関数は有界区間上でリーマン積分可能であるが、その後、特にフーリエ解析の文脈において、リーマンの定義が適用されないより一般的な関数が検討され、ルベーグは測度論（実解析学のサブフィールド）に基づいた異なる積分の定義を定式化した。リーマンとルベーグのアプローチを拡張した他の積分の定義が提案された。実数系に基づくこれらのアプローチは現在最も一般的なものですが、超実数系に基づく無限リーマン和の標準部分としての積分の定義など、代替のアプローチも存在します。

歴史的記法

不定積分の記法は、ゴットフリート・ヴィルヘルム・ライプニッツによって1675年に導入されました^。[14]彼は、合計を表す文字ſ（長音のs）から積分記号∫を採用しました（ſummaと表記。ラテン語で「合計」または「全体」）。積分記号の上下に極限を持つ定積分の現代的な記法は、ジョゼフ・フーリエが1819年から1820年頃に『フランスアカデミー紀要』で初めて使用し、1822年に出版された彼の著書に再録されました。^[15]

アイザック・ニュートンは、積分を示すために変数の上に小さな縦線を引いたり、変数をボックスの中に入れたりした。縦線は、。×またはx ′は微分を表すために使用されるが、ボックス表記は印刷業者にとって再現が困難であったため、これらの表記は広く採用されなかった。^[16]

この用語の最初の使用

この用語は、 1690 年にジェイコブ ベルヌーイによってラテン語で「Ergo et horum Integralia aequantur」として初めて印刷されました。^[17]

用語と表記

一般に、実数値関数 f ( x )の区間[ a , b ]における実変数xに関する積分は次のように表される。

${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx.}$

積分記号∫は積分を表す。変数xの微分と呼ばれる記号dxは、積分変数がxであることを示す。関数f ( x )は被積分関数と呼ばれ、点aと点bは積分の極限（または境界）と呼ばれ、積分は区間[ a , b ]上で行われると言われ、積分区間と呼ばれる。^[18] 関数は積分可能と呼ばれる。定義域における積分が有限である場合。極限が指定されている場合、その積分は定積分と呼ばれます。

限界値が省略されている場合、例えば

${\displaystyle \int f(x)\,dx,}$

積分は不定積分と呼ばれ、その導関数が被積分関数である関数のクラス（不定積分）を表す。^[19]微積分学の基本定理は、定積分の評価と不定積分を関連付けている。積分の記法には、非有界領域や多次元における積分を包含するための拡張がいくつかある（本稿の後半を参照）。

高度な設定では、単純なリーマン積分のみを用いる場合、あるいは積分の正確な種類が重要でない場合には、 dxを省略することは珍しくありません。例えば、リーマン積分とそのすべての一般化に共通する性質である積分の線形性を表現するためにdxを記述することがあります。^[20]${\textstyle \int _{a}^{b}(c_{1}f+c_{2}g)=c_{1}\int _{a}^{b}f+c_{2}\int _{a}^{b}g}$

解釈

√xの0から1までの積分の近似値。右端の黄色の区画が5つ、左端の緑の区画が10つあります。

積分は多くの実用的な場面で用いられます。例えば、長方形で底が平らなプールの長さ、幅、深さから、プールに溜められる水の体積、表面積、そして縁の長さを求めることができます。しかし、楕円形で底が丸いプールの場合、これらの量の正確かつ厳密な値を求めるには積分が必要となります。いずれの場合も、求める量を無限個の微小な部分に分割し、それらを合計することで正確な近似値を得ることができます。

別の例として、関数f ( x ) = のグラフで囲まれたx = 0とx = 1の間の領域の面積を求めるには、区間を5つの部分（0、1/5、2/5、...、1）に分割し、各部分の右端の高さを使用して長方形（したがって√0、√1 /5、 √2 /5 、 ... 、√1 ）を作成し、それらの面積を合計して近似値を取得します 。${\textstyle {\sqrt {x}}}$

${\displaystyle \textstyle {\sqrt {\frac {1}{5}}}\left({\frac {1}{5}}-0\right)+{\sqrt {\frac {2}{5}}}\left({\frac {2}{5}}-{\frac {1}{5}}\right)+\cdots +{\sqrt {\frac {5}{5}}}\left({\frac {5}{5}}-{\frac {4}{5}}\right)\approx 0.7497,}$

これは正確な値よりも大きい。あるいは、これらの部分区間を各ピースの左端の高さを持つ区間に置き換えると、得られる近似値は低すぎる。このような部分区間が12個ある場合、近似面積はわずか0.6203となる。しかし、ピースの数が無限に増えると、限界に達し、それが求める面積の正確な値（この場合は2/3）となる。次のように書く。

${\displaystyle \int _{0}^{1}{\sqrt {x}}\,dx={\frac {2}{3}},}$

つまり、2/3は、関数値の加重和√xに、区間[0, 1]上の無限小ステップ幅（dxで示される）を乗じた結果である。

ダルブーの合計

正式な定義

積分を正式に定義する方法は数多くありますが、すべてが同等というわけではありません。これらの定義の違いは、主に他の定義では積分できない特殊なケースに対応するためですが、教育上の理由から定義される場合もあります。最も一般的に用いられる定義は、リーマン積分とルベーグ積分です。

リーマン積分

リーマン積分は、区間のタグ付き分割に関する関数のリーマン和によって定義される。 ^{[21]実数直線上の}閉区間[ a , b ]のタグ付き分割は有限列である。

${\displaystyle a=x_{0}\leq t_{1}\leq x_{1}\leq t_{2}\leq x_{2}\leq \cdots \leq x_{n-1}\leq t_{n}\leq x_{n}=b.\,\!}$

これは区間[ a , b ]をiでインデックスされたn個の部分区間[ x _{i −1} , x _i ]に分割し、各部分区間には特定の点t _i ∈ [ x _{i −1} , x _i ]が「タグ付け」される。このようなタグ付けされた分割に関する 関数fのリーマン和は次のように定義される。

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}f(t_{i})\,\Delta _{i};}$

したがって、和の各項は、与えられた部分区間の選択された点における関数値に等しい高さと、部分区間の幅Δ _i = x _i − x _{i −1}に等しい幅を持つ長方形の面積である。このようなタグ付き分割のメッシュは、分割によって形成される最大の部分区間の幅max _{i =1... n} Δ _iである。区間[ a , b ]における関数fのリーマン積分は、次の条件を満たす場合Sに等しい。 ^[22]

すべてに対して、メッシュが 未満の任意のタグ付きパーティションに対して、${\displaystyle \varepsilon >0}$ ${\displaystyle \delta >0}$ ${\displaystyle [a,b]}$ ${\displaystyle \delta }$

${\displaystyle \left|S-\sum _{i=1}^{n}f(t_{i})\,\Delta _{i}\right|<\varepsilon .}$

選択されたタグが各区間の関数の最大値（それぞれ最小値）である場合、リーマン和は上側（それぞれ下側）のダルブー和となり、リーマン積分とダルブー積分の間に密接な関係があることを示唆します。

ルベーグ積分

ルベーグ積分

積分の下で極限に到達できることは、理論と応用の両面でしばしば関心の対象となる。例えば、問題の解を適切な意味で近似する関数列をしばしば構成できる。この場合、解関数の積分は、近似値の積分の極限となるはずである。しかし、極限として得られる関数の多くはリーマン積分可能ではなく、したがって、そのような極限定理はリーマン積分には成立しない。したがって、より広範な関数のクラスを積分可能にする積分の定義を持つことは極めて重要である。^[23]

そのような積分がルベーグ積分であり、これは積分可能な関数のクラスを拡張するために、関数の値を定義域上で並べ替えても、その積分は変わらないという事実を利用する。アンリ・ルベーグは、自身の名を冠した積分を導入し、ポール・モンテルへの手紙の中で次のように説明した。^[24]

ポケットに貯めたある金額を支払わなければなりません。ポケットから紙幣と硬貨を取り出し、合計金額に達するまで、見つけた順に債権者に渡します。これがリーマン積分です。しかし、別のやり方もあります。ポケットからお金を全部取り出した後、紙幣と硬貨を同じ金額の順に並べ、その山を一つずつ債権者に支払います。これが私の積分です。

フォランドは「 fのリーマン積分を計算するには、領域[ a , b ]を部分区間に分割する」のに対し、ルベーグ積分では「実質的にfの値域を分割している」と述べている。^[25]ルベーグ積分の定義は、測度μ から始まる。最も単純なケースでは、区間A = [ a , b ]のルベーグ測度 μ ( A )はその幅b − aであるため、ルベーグ積分と（適切な）リーマン積分が両方存在する場合は一致する。^[26]より複雑なケースでは、測定される集合は非常に断片化され、連続性がなく、区間との類似性もないことがある。

「 fの値域分割」の考え方を用いると、非負関数f  : R → Rの積分は、 y = tとy = t + dtの間の細い水平線の間の領域のtにわたる和となる。この領域はμ { x  : f ( x ) > t }  dt である。 f ^∗ ( t ) = μ { x  : f ( x ) > t }とおく。すると、 fのルベーグ積分は次のように定義される。

${\displaystyle \int f=\int _{0}^{\infty }f^{*}(t)\,dt}$

ここで右辺の積分は通常の不定リーマン積分である（f ^∗は正に減少する関数なので、明確に定義された不定リーマン積分を持つ）。^[27]適切な関数のクラス（測定可能な関数）に対して、これはルベーグ積分を定義する。

一般的な測定可能な関数fは、 fのグラフとx軸の間の領域の面積の絶対値の合計が有限であるとき、ルベーグ積分可能である：^[28]

${\displaystyle \int _{E}|f|\,d\mu <+\infty .}$

その場合、積分はリーマンの場合と同様に、 x軸の上側の面積とx軸の下側の面積の差となる。^[29]

${\displaystyle \int _{E}f\,d\mu =\int _{E}f^{+}\,d\mu -\int _{E}f^{-}\,d\mu }$

どこ

${\displaystyle {\begin{alignedat}{3}&f^{+}(x)&&{}={}\max\{f(x),0\}&&{}={}{\begin{cases}f(x),&{\text{if }}f(x)>0,\\0,&{\text{otherwise,}}\end{cases}}\\&f^{-}(x)&&{}={}\max\{-f(x),0\}&&{}={}{\begin{cases}-f(x),&{\text{if }}f(x)<0,\\0,&{\text{otherwise.}}\end{cases}}\end{alignedat}}}$

その他の積分

リーマン積分とルベーグ積分は最も広く使われている積分の定義ですが、他にも次のような定義が存在します。

• ダルブー積分は、ダルブー和（制限リーマン和）によって定義されますが、リーマン積分と等価です。関数がダルブー積分可能であるのは、リーマン積分可能である場合のみです。ダルブー積分は、リーマン積分よりも定義が容易であるという利点があります。
• リーマン・スティルチェス積分は、変数ではなく関数に関して積分するリーマン積分の拡張です。
• ルベーグ・スティルチェス積分はヨハン・ラドンによってさらに発展され、リーマン・スティルチェス積分とルベーグ積分の両方を一般化します。
• ダニエル積分 は、測度に依存せずにルベーグ積分とルベーグ・スティルチェス積分を包含します。
• ハール積分は、局所コンパクト位相群上の積分に使用され、 1933 年にアルフレッド ハールによって導入されました。
• ヘンストック・カーツワイル積分は、アルノー・デンジョイ、オスカー・ペロン、そして（最も優雅にはゲージ積分として）ヤロスラフ・カーツワイルによって様々に定義され、ラルフ・ヘンストックによって発展させられました。
• ヒンチン積分は、アレクサンドル・ヒンチンにちなんで名付けられました。
• 伊藤積分とストラトノビッチ積分は、ブラウン運動などのセミマルチンゲールに関する積分を定義します。
• ヤング積分は、特定の無限変分関数に関するリーマン・スティルチェス積分の一種です。
• ラフパス積分は、追加の「ラフパス」構造を備えた関数に対して定義され、セミマルチンゲールと分数ブラウン運動などのプロセスの両方に対して確率積分を一般化します。
• ショケ積分は、1953 年にフランスの数学者ギュスターヴ ショケによって考案された、部分加法積分または超加法積分です。
• ボホナー積分は、ルベーグ積分をバナッハ空間に値を取る関数に一般化したものです。

プロパティ

直線性

閉区間[ a , b ]上のリーマン積分可能関数の集合は、点ごとの加算とスカラーによる乗算、および積分演算 によってベクトル空間を形成する。

${\displaystyle f\mapsto \int _{a}^{b}f(x)\;dx}$

はこのベクトル空間上の線型関数である。したがって、積分可能な関数の集合は線型結合をとれば閉じており、線型結合の積分は積分の線型結合である：^[30]

${\displaystyle \int _{a}^{b}(\alpha f+\beta g)(x)\,dx=\alpha \int _{a}^{b}f(x)\,dx+\beta \int _{a}^{b}g(x)\,dx.\,}$

同様に、測度μを持つ与えられた測度空間E上の実数値ルベーグ積分可能関数の集合は線型結合をとることについて閉じており、したがってベクトル空間を形成し、ルベーグ積分は

${\displaystyle f\mapsto \int _{E}f\,d\mu }$

はこのベクトル空間上の線型関数であるので、次のようになる。^[29]

${\displaystyle \int _{E}(\alpha f+\beta g)\,d\mu =\alpha \int _{E}f\,d\mu +\beta \int _{E}g\,d\mu .}$

より一般的には、測度空間( E , μ )上のすべての測定可能な関数のベクトル空間を考え、局所コンパクト位相体K , f  : E → V上の局所コンパクト完備位相ベクトル空間Vに値を取るものとする。すると、各関数fにVの元または記号∞を割り当てる抽象積分写像を定義できる。

${\displaystyle f\mapsto \int _{E}f\,d\mu ,\,}$

線型結合と両立する。^{[31]この状況では、積分が}Vの元（すなわち「有限」）となる関数の部分空間に対して線型性が成立する。最も重要な特殊なケースは、KがR、C 、またはp進数体Qp_の有限拡大であり、VがK上の有限次元ベクトル空間である場合、およびK = Cであり、Vが複素ヒルベルト空間である場合に生じる。

線形性、いくつかの自然な連続性、そしてある種の「単純な」関数に対する正規化は、積分の別の定義を与えるために用いられることがある。これはダニエルが集合X上の実数値関数に対して用いたアプローチであり、ニコラ・ブルバキによって局所コンパクト位相ベクトル空間に値を持つ関数に一般化された。積分の公理的な特徴づけについては、ヒルデブラント（1953）を参照のこと。

不平等

閉じた有界区間[ a , b ]上で定義されたリーマン積分可能関数には多くの一般的な不等式が成り立ち、他の積分概念（ルベーグとダニエル）にも一般化できます 。

• 上限と下限。[ a , b ]上の積分可能関数f は、必然的にその区間で有界となる。したがって、 [ a , b ]内の任意のxに対してm ≤ f  ( x ) ≤ M を満たすような実数mとMが存在する。したがって、 fの[ a , b ]上の下限と上限の和はそれぞれm ( b − a )とM ( b − a )で有界となるので、 $${\displaystyle m(b-a)\leq \int _{a}^{b}f(x)\,dx\leq M(b-a).}$$
• 関数間の不等式。^[32] f ( x ) ≤ g ( x )が[ a , b ]内の各xに対して成り立つ場合、 fの上限と下限の和はそれぞれgの上限と下限の和によって上方に制限されます。したがって、これは上記の不等式の一般化であり、M ( b − a )は[ a , b ]上の値Mを持つ定数関数の積分です。さらに、関数間の不等式が厳密である場合、積分間の不等式も厳密です。つまり、f ( x ) < g ( x )が[ a , b ]内の各xに対して成り立つ場合、$${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx\leq \int _{a}^{b}g(x)\,dx.}$$ $${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx<\int _{a}^{b}g(x)\,dx.}$$
• 部分区間。[ c , d ]が[ a , b ]の部分区間であり、f (  x )がすべてのxに対して非負であるとき、$${\displaystyle \int _{c}^{d}f(x)\,dx\leq \int _{a}^{b}f(x)\,dx.}$$
• 関数の積と絶対値。fとg が2つの関数である場合、それらの点ごとの積とべき乗、および絶対値について考えることができます。fが[ a , b ]上でリーマン積分可能である場合、 | f |についても同様であり、さらに、fとgが両方ともリーマン積分可能である場合、 fgもリーマン積分可能であり、コーシー・シュワルツの不等式として知られるこの不等式は、ヒルベルト空間理論で重要な役割を果たします。ヒルベルト空間理論では、左辺が区間[ a , b ]上の2つの平方積分可能な関数fとgの内積として解釈されます。$${\displaystyle (fg)(x)=f(x)g(x),\;f^{2}(x)=(f(x))^{2},\;|f|(x)=|f(x)|.}$$ $${\displaystyle \left|\int _{a}^{b}f(x)\,dx\right|\leq \int _{a}^{b}|f(x)|\,dx.}$$ $${\displaystyle \left(\int _{a}^{b}(fg)(x)\,dx\right)^{2}\leq \left(\int _{a}^{b}f(x)^{2}\,dx\right)\left(\int _{a}^{b}g(x)^{2}\,dx\right).}$$
• ホルダーの不等式。^[33] pとqが2つの実数、1 ≤ p、q ≤ ∞で、⁠1/p⁠ + ⁠1/q⁠ = 1であり、 fとgは2つのリーマン積分関数です。すると関数| f | ^pと| g | ^qも積分可能となり、次のヘルダー不等式が成り立ちます。 p = q = 2の場合、ヘルダー不等式はコーシー・シュワルツ不等式になります。$${\displaystyle \left|\int f(x)g(x)\,dx\right|\leq \left(\int \left|f(x)\right|^{p}\,dx\right)^{1/p}\left(\int \left|g(x)\right|^{q}\,dx\right)^{1/q}.}$$
• ミンコフスキー不等式。^[33] p ≥ 1が実数で、fとgがリーマン積分関数であるとする。このとき、 | f | ^p、| g | ^p 、| f + g | ^p もリーマン積分可能となり、次のミンコフスキー不等式が成立する。このルベーグ積分に対する不等式の類似は、L ^p空間の構築に用いられる。$${\displaystyle \left(\int \left|f(x)+g(x)\right|^{p}\,dx\right)^{1/p}\leq \left(\int \left|f(x)\right|^{p}\,dx\right)^{1/p}+\left(\int \left|g(x)\right|^{p}\,dx\right)^{1/p}.}$$

コンベンション

この節では、fは実数値リーマン積分関数である。積分

${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx}$

区間[ a , b ]上の積分は、 a < bのとき定義される。これは、関数fの上限和と下限和が、値x _iが増加する区間a = x ₀ ≤ x ₁ ≤ . . . ≤ x _n = b上で評価されることを意味する。幾何学的には、これは積分が「左から右へ」行われ、f が区間[ x _i  , x _{i  +1} ]内で評価され、高い指数の区間が低い指数の区間の右側に位置することを意味する。区間の端点である値aとb は、 fの積分の極限と呼ばれる。積分は、a > b のときも定義できる。 ^[18]

${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx=-\int _{b}^{a}f(x)\,dx.}$

a = bの場合、次のようになります。

${\displaystyle \int _{a}^{a}f(x)\,dx=0.}$

最初の規則は、 [ a , b ]の部分区間上の積分を考える上で必要である。2番目の規則は、退化した区間、つまり点上の積分はゼロになるべきである、ということを述べている。最初の規則が求められる理由の一つは、区間[ a , b ]上のfの積分可能性は、 fが任意の部分区間[ c , d ]上で積分可能であることを意味するが、特に積分には、cが[ a , b ]の任意の要素である場合、次の性質が成り立つからである。^[30]

${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx=\int _{a}^{c}f(x)\,dx+\int _{c}^{b}f(x)\,dx.}$

最初の慣例によれば、結果として得られる関係は

${\displaystyle {\begin{aligned}\int _{a}^{c}f(x)\,dx&{}=\int _{a}^{b}f(x)\,dx-\int _{c}^{b}f(x)\,dx\\&{}=\int _{a}^{b}f(x)\,dx+\int _{b}^{c}f(x)\,dx\end{aligned}}}$

は、 a、b、cの任意の巡回順列に対して明確に定義されます。

微積分学の基本定理

微積分学の基本定理とは、微分と積分は逆の操作であるという定理である。つまり、連続関数をまず積分し、次に微分すると、元の関数に戻るということである。^[34]微積分学の第二基本定理と呼ばれることもある重要な帰結は、積分する関数の原始微分を用いて積分を計算できることである。^[35]

第一定理

f を閉区間 [ a , b ]上で定義される連続実数値関数とする。Fを[ a , b ]内の任意のxに対して^[36]で定義される関数とする。

${\displaystyle F(x)=\int _{a}^{x}f(t)\,dt.}$

すると、Fは[ a , b ]で連続であり、開区間( a , b )で微分可能であり、

${\displaystyle F'(x)=f(x)}$

( a , b )内のすべてのxについて。

第二定理

f を閉区間[ a , b ]上で定義され、 [ a , b ]上で不変 な実数値関数Fを許容するものとする。つまり、fとFは[ a , b ]内の任意のxに対して、

${\displaystyle f(x)=F'(x).}$

fが[ a , b ]上 で積分可能ならば

${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx=F(b)-F(a).}$

拡張機能

不定積分

不定積分は 定義域と値域の両方において無限の区間を持ちます。${\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\frac {dx}{(x+1){\sqrt {x}}}}=\pi }$

「真」リーマン積分は、積分対象が定義され、積分の極限で囲まれた閉有界区間上で有限であると仮定します。真でない積分は、これらの条件の1つ以上が満たされない場合に発生します。場合によっては、このような積分は、徐々に大きくなる区間上の真リーマン積分の列の極限を考えることで定義されることがあります。

区間が例えば上限で無限大の場合、その端点が無限大に近づくにつれて、不定積分はその極限となる。^[37]

${\displaystyle \int _{a}^{\infty }f(x)\,dx=\lim _{b\to \infty }\int _{a}^{b}f(x)\,dx.}$

積分関数が半開区間（例えば、（a、b ]）上でのみ定義または有限である場合、再び極限は有限の結果をもたらす可能性がある：^[38]

${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx=\lim _{\varepsilon \to 0}\int _{a+\epsilon }^{b}f(x)\,dx.}$

つまり、不定積分とは、積分区間の一方の端点が指定された実数、∞、または−∞に近づくときの、正積分の極限です。より複雑な場合には、両端点、あるいは内部点において極限が求められることもあります。

複数の統合

二重積分は表面下の体積を計算する${\displaystyle z=f(x,y)}$

1変数の正関数の定積分が関数のグラフとx軸の間の領域の面積を表すのと同様に、 2変数の正関数の二重積分は、関数によって定義される面とその定義域を含む平面の間の領域の体積を表す。 ^[39]例えば、2次元関数は2つの実変数xとyに依存し、 2つの区間の直積として与えられた長方形R上の関数fの積分は次のように表される。 ${\displaystyle R=[a,b]\times [c,d]}$

${\displaystyle \int _{R}f(x,y)\,dA}$

ここで、微分dAは積分が面積に関して行われていることを示している。この二重積分はリーマン和を用いて定義することができ、領域R上のz = f ( x , y )のグラフの下の（符号付き）体積を表す。^{[40]適切な条件（例えば、} fが連続である場合）の下では、フビニの定理によれば、この積分は等価な反復積分として表すことができる^[41]。

${\displaystyle \int _{a}^{b}\left[\int _{c}^{d}f(x,y)\,dy\right]\,dx.}$

これにより、二重積分の計算の問題は1次元積分の計算に縮減される。このため、R上の積分の別の表記では二重積分記号が用いられる。^[40]

${\displaystyle \iint _{R}f(x,y)\,dA.}$

より一般的な領域での積分も可能です。関数fの体積に関する積分は、n次元領域D上では次のような記号で表されます。 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

${\displaystyle \int _{D}f(\mathbf {x} )d^{n}\mathbf {x} \ =\int _{D}f\,dV.}$

線積分と面積分

線積分は曲線に沿った要素を合計します。

積分の概念は、高次元空間内の曲線や曲面など、より一般的な積分領域に拡張することができます。このような積分は、それぞれ線積分と面積分と呼ばれます。これらは物理学において、ベクトル場を扱う場合など、重要な応用があります。

線積分（経路積分と呼ばれることもある）は、積分対象となる関数を曲線に沿って評価する積分である。^{[42]様々な線積分が用いられる。閉曲線の場合は、}線積分とも呼ばれる。

積分される関数は、スカラー場またはベクトル場である。線積分の値は、曲線上のすべての点における場の値の合計であり、曲線上の何らかのスカラー関数（通常は弧長、またはベクトル場の場合はベクトル場と曲線上の微分ベクトルのスカラー積）によって重み付けされている。^[43]この重み付けにより、線積分は、区間上で定義されるより単純な積分と区別される。物理学における多くの単純な式は、線積分という自然な連続的な類似物を持つ。例えば、仕事は力Fに変位sを掛けたものに等しいという事実は、（ベクトル量で）次のように表現できる。^[44]

${\displaystyle W=\mathbf {F} \cdot \mathbf {s} .}$

電場や重力場などのベクトル場F内の経路Cに沿って移動する物体の場合、その場が物体に対して行う全仕事は、 sからs + d sへの移動に要する微分仕事の合計で得られる。これは線積分^{[45]を与える。}

${\displaystyle W=\int _{C}\mathbf {F} \cdot d\mathbf {s} .}$

表面積分の定義は、表面を小さな表面要素に分割することに依存します。

面積分は、二重積分を面（空間 上の曲面集合でもよい）上の積分へと一般化する。これは線積分の二重積分版と考えることができる。積分対象となる関数は、スカラー場またはベクトル場である。面積分値は、面上のすべての点における場の和である。これは、面をリーマン和の分割を与える面要素に分割することによって達成できる。^[46]

面積分の応用例として、面S上のベクトル場vを考える。つまり、S上の各点xについて、v ( x )はベクトルである。流体がSを流れ、v ( x )がxにおける流体の速度を決定するとしよう。フラックスは、単位時間にSを流れる流体の量として定義される。フラックスを求めるには、各点におけるvとSに垂直な単位面との内積を求める必要がある。これはスカラー場を与え、これを面上で積分する。^[47]

${\displaystyle \int _{S}{\mathbf {v} }\cdot \,d{\mathbf {S} }.}$

この例における流体流束は、水や空気などの物理的な流体、あるいは電気や磁気の流束から生じます。したがって、表面積分は物理学、特に古典電磁気学理論において応用されています。

等高線積分

複素解析においては、積分関数は実変数xの実関数ではなく、複素変数zの複素数値関数である。複素関数を複素平面上の曲線に沿って積分する場合、積分は次のように表される 。${\displaystyle \gamma }$

${\displaystyle \int _{\gamma }f(z)\,dz.}$

これは輪郭積分として知られています。

微分形式の積分

微分形式は、多変数微分積分学、微分位相幾何学、テンソルの分野における数学的な概念です。微分形式は次数によって分類されます。例えば、1次形式は、次のように座標の微分の重み付き和です。

${\displaystyle E(x,y,z)\,dx+F(x,y,z)\,dy+G(x,y,z)\,dz}$

ここで、 E、F、Gは3次元関数です。微分一形式は有向経路上で積分することができ、その結果得られる積分は線積分の別の書き方です。ここで、基本微分dx、dy、dz は、3つの座標軸に平行な無限小の有向長さを測定します。

微分二項形式とは、次の形式の和である。

${\displaystyle G(x,y,z)\,dx\wedge dy+E(x,y,z)\,dy\wedge dz+F(x,y,z)\,dz\wedge dx.}$

ここで、基本的な2次元形式は、座標平面に平行な向きの面積を測定します。記号はくさび積を表します。これは、向きの長さを表す2つの形式のくさび積が向きの面積を表すという意味で、外積に似ています。2次元形式は向きのある面上で積分することができ、その結果得られる積分は の流束を与える面積分と等しくなります。 ${\displaystyle dx\wedge dy,dz\wedge dx,dy\wedge dz}$ ${\displaystyle \wedge }$ ${\displaystyle E\mathbf {i} +F\mathbf {j} +G\mathbf {k} }$

外積や3次元ベクトル解析とは異なり、ウェッジ積と微分形式の解析は、任意の次元およびより一般的な多様体（曲線、曲面、およびそれらの高次元類似体）上で意味を持ちます。外微分はベクトル解析における勾配と回転の役割を果たしており、ストークスの定理はベクトル解析の3つの定理、すなわち発散定理、グリーンの定理、およびケルビン・ストークスの定理を同時に一般化します。

合計

積分の離散的な同等物は和である。和と積分は、ルベーグ積分理論や時間スケール解析を用いて同じ基礎に置くことができる。

関数積分

変数（または物理学では、空間次元や時間次元）ではなく、関数の空間上で実行される積分は、関数積分と呼ばれます。

アプリケーション

積分は多くの分野で広く用いられています。例えば、確率論では、ある確率変数が特定の範囲内に収まる確率を決定するために積分が用いられます。 ^{[48]さらに、}確率密度関数全体の積分は1に等しくなければならないため、これは負の値を持たない関数が密度関数であるかどうかを判定するテストとなります。^[49]

積分は、曲線境界を持つ2次元領域の面積を計算するのに使用できるだけでなく、曲線境界を持つ3次元物体の体積を計算するのにも使用できます。2次元領域の面積は、前述の定積分を使用して計算できます。^[50]円板やワッシャーなどの3次元物体の体積は、円柱の体積の方程式 （ は半径）を使用して円板積分によって計算できます。 x軸を中心に曲線を回転させて作成した単純な円板の場合、半径はf ( x )で与えられ、その高さは微分dxです。境界aとbを持つ積分を使用すると、円板の体積は次の式に等しくなります。^[51]積分は物理学でも使用され、運動学などの分野では、変位、時間、速度などの量を求めます。たとえば、直線運動では、時間間隔 にわたる物体の変位は次のように表されます。 ${\displaystyle \pi r^{2}h}$ ${\displaystyle r}$ $${\displaystyle \pi \int _{a}^{b}f^{2}(x)\,dx.}$$ ${\displaystyle [a,b]}$

${\displaystyle x(b)-x(a)=\int _{a}^{b}v(t)\,dt,}$

ここで速度は時間の関数として表される。^[52]力（位置の関数として与えられる）が初期位置から最終位置まで行う仕事は：^[53]${\displaystyle v(t)}$ ${\displaystyle F(x)}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$

${\displaystyle W_{A\rightarrow B}=\int _{A}^{B}F(x)\,dx.}$

積分は熱力学でも使用され、熱力学的積分は2 つの特定の状態間の自由エネルギーの差を計算するために使用されます。

計算

分析的

実変数1変数の定積分を計算する最も基本的な手法は、微積分学の基本定理に基づいています。f ( x )を、与えられた区間[ a , b ]で積分するxの関数とします。そして、 fの原始微分、つまり区間上でF ′= fとなる関数Fを求めます。積分関数と積分関数が積分経路上に 特異点を持たないと仮定すると、微積分学の基本定理により、

${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx=F(b)-F(a).}$

積分を評価するために開発された多くの手法のいずれかを使用する必要がある場合があります。これらの手法の多くは、ある積分を別の、より扱いやすい積分に書き換えるものです。これらの手法には、置換積分、部分積分、三角置換積分、部分分数積分などがあります。

より複雑な積分を計算するための代替手法も存在します。多くの非初等積分はテイラー級数に展開し、項ごとに積分することができます。場合によっては、結果として得られる無限級数を解析的に和算することができます。また、被積分関数がマイヤーG関数の積として表せると仮定すれば、マイヤーG関数を用いた畳み込み法も使用できます。定積分を計算するための、あまり一般的ではない方法も数多くあります。例えば、パーセバルの恒等式を用いて、長方形領域上の積分を無限和に変換することができます。場合によっては、積分をトリックによって評価することができます。この例については、ガウス積分を参照してください。

回転体の体積の計算は、通常、円板積分または殻積分によって行うことができます。

さまざまな手法で求められた特定の結果は、積分のリストにまとめられています。

シンボリック

数学、物理学、工学の多くの問題には積分が伴い、積分の明示的な公式が求められます。この目的のために、長年にわたり膨大な積分表が編纂・公開されてきました。コンピュータの普及に伴い、多くの専門家、教育者、そして学生が、積分を含む困難で面倒な作業を実行するために特別に設計されたコンピュータ代数システムを利用するようになりました。記号積分は、 MacsymaやMapleのような初期のコンピュータ代数システム開発の動機の一つでした。

記号積分における主な数学的困難は、多くの場合、比較的単純な関数には、有理関数と指数関数、対数、三角関数と逆三角関数、および乗算と合成の演算を含む基本関数のみを含む閉じた形式で表現できる積分がないことです。Risch アルゴリズムは、基本関数の原始積分が基本であるかどうかを判定し、基本である場合に積分を計算するための一般的な基準を提供します。 ただし、原始積分の閉じた表現を持つ関数は例外であり、その結果、コンピュータ化された代数システムは、ランダムに構築された基本関数の原始積分を見つけることができる見込みはありません。 プラス面としては、原始積分の「構成要素」が事前に固定されている場合、特定の関数の原始積分がこれらの構成要素と乗算と合成の演算を使用して表現できるかどうかを判断し、存在する場合はいつでも記号的な答えを見つけることが依然として可能な場合があります。Mathematica、Maple、その他のコンピュータ代数システムに実装されている Risch アルゴリズムは、有理関数、根号、対数、指数関数 から構築された関数と不定積分に対してまさにそのことを行います。

特殊な積分関数の中には、特別な研究を必要とするほど頻繁に現れるものがあります。特に、反微分関数の集合に特殊関数（ルジャンドル関数、超幾何関数、ガンマ関数、不完全ガンマ関数など）を含めることは有用かもしれません。Rischのアルゴリズムを拡張してこのような関数を含めることは可能ですが、困難であり、活発な研究対象となっています。

近年、多項式係数を持つ線型微分方程式の解であるD有限関数を用いる新たなアプローチが登場した。基本関数と特殊関数のほとんどはD有限であり、 D有限関数の積分もD有限関数である。これは、 D有限関数の原始積分を微分方程式の解として表すアルゴリズムを提供する。この理論は、 D関数の定積分を最初の係数で与えられる級数の和として計算することも可能とし、任意の係数を計算するアルゴリズムも提供する。

ルールベースの積分システムは積分を容易にする。コンピュータ代数システムのルールベースの積分器であるRubiは、広範な記号積分規則の体系をパターンマッチングすることで、様々な積分対象を積分する。このシステムは、積分を計算するために6600以上の積分規則を用いる。^[54]括弧法は 、ラマヌジャンのマスター定理を一般化したもので、幅広い一変数および多変数積分に適用できる。積分対象をべき級数展開した際の係数と指数項に一連の規則を適用することで、積分を求める。この方法はメリン変換と密接に関連している。^[55]

数値

数値積分法：長方形法、台形法、ロンバーグ法（可変個数法）、ガウス積分法

定積分は、いくつかの数値積分法を用いて近似することができる。長方形法は、関数の下の領域を関数値に対応する一連の長方形に分割し、ステップ幅を乗じて和を求める。より優れた手法である台形法は、リーマン和で使用される長方形を台形に置き換える。台形法は、最初と最後の値に半分の重みを付け、ステップ幅を乗じてより良い近似値を求める。^[56]台形法の背後にある、関数をより正確に近似すれば、積分もより良く近似できるという考え方をさらに発展させることができる。シンプソンの定理は、被積分関数を区分的二次関数で近似する。^[57]

リーマン和、台形則、シンプソン則は、ニュートン・コーツ公式と呼ばれる求積法則の族の例である。n次ニュートン・コーツ求積法は、各部分区間上の多項式をn次多項式で近似する。この多項式は、区間上の関数の値を補間するために選択される。^[58]高次のニュートン・コーツ近似はより正確である可能性があるが、より多くの関数評価が必要となり、ルンゲ現象による数値的不正確さの影響を受ける可能性がある。この問題の解決策の1つは、積分関数をチェビシェフ多項式で展開することにより近似するクレンショウ・カーティス求積法である。

ロムバーグ法はステップ幅を段階的に半分にし、T(h0)、T(h1)などで表される台形近似値を与える。_{ここでhk+1はhk}の半分で_ある。新しいステップサイズごとに、新しい_関数値の半分だけを計算し、残りは前のサイズから引き継ぐ。次に近似値を通して多項式を補間し、T (0)に外挿する。ガウス積分法は、一連の直交多項式の根で関数を評価する。^[59] n点ガウス法は、2n − 1次までの多項式に対して正確である。

高次元積分の計算（例えば体積計算）ではモンテカルロ積分などの代替手法が重要になります。^[60]

機械

任意の二次元形状の面積は、プラニメーターと呼ばれる測定機器を用いて測定できます。不規則な形状の物体の体積は、物体を水中に沈めた際に 移動する流体の量によって正確に測定できます。

幾何学的な

面積は、等価な 正方形をコンパスと定規で幾何学的に作図することで求められることがあります。

微分による積分

ケンプフ、ジャクソン、モラレスは、積分を微分によって計算できる数学的関係を実証した。彼らの微積分は、ディラックのデルタ関数と偏微分演算子を用いている。これは関数積分にも適用でき、関数微分によって計算できる。^[61]${\displaystyle \partial _{x}}$

例

微積分学の基本定理を用いる

微積分学の基本定理により、基本的な関数の簡単な計算が可能になります。

${\displaystyle \int _{0}^{\pi }\sin(x)\,dx=-\cos(x){\big |}_{x=0}^{x=\pi }=-\cos(\pi )-{\big (}-\cos(0){\big )}=2.}$

参照

• 数学ポータル

• 積分方程式 – 積分記号の下に未知の関数がある方程式
• 積分記号 – 積分と不定積分を表す数学記号
• 積分のリスト

注記

1. 積分学は非常に確立された数学分野であり、多くの文献が存在します。例えば、Apostol 1967やAnton, Bivens & Davis 2016などを参照。

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外部リンク

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オンライン書籍

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• マウチ、ショーン、ショーンの応用数学書、CIT、微積分の完全な入門を含むオンライン教科書
• クロウェル、ベンジャミン、微積分学、フラートン大学、オンライン教科書
• ギャレット、ポール、『初年度微積分学ノート』
• フセイン、ファラズ、微積分を理解する、オンライン教科書
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• Holistic Numerical Methods Instituteにおける数値積分法
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