不等式（数学）

線形計画法の実行可能領域は、一連の不等式によって定義されます。

数学において、不等式とは、2つの数値またはその他の数式を比較した結果が等しくない関係を指します。^[1]数直線上の2つの数値の大きさを比較する際に最もよく用いられます。主な不等式の種類は、 「より小さい」と「より大きい」です（それぞれ「小なり」と「大なり」の記号「<」と「>」で表されます）。

表記

さまざまな種類の不等式を表すために使用される表記法はいくつかあります。

• a < bという表記は、 aがbより小さいこと を意味します。
• a > bという表記は、 aがbより大きい ことを意味します。

いずれの場合も、a はbと等しくありません。これらの関係は厳密な不等式^[1]として知られており、aはbより厳密に小さいか、または厳密に大きいことを意味します。等式は除外されます。

厳密な不等式とは対照的に、厳密ではない不等式関係が 2 種類あります。

• a ≤ bまたはa ⩽ bまたはa ≦ bという表記は、 aがb以下で ある(または、それと同等に、最大でbである)ことを意味します。
• a ≥ bまたはa ⩾ bまたはa ≧ bという表記は、 aがb以上である (または、同等に、少なくともbである)ことを意味します。

17世紀と18世紀には、不等号を表すために個人的な記法やタイプライターの記号が使われました。^[2]例えば、1670年にジョン・ウォリスは、< と > の下ではなく上に1本の横棒を使用しました。その後、1734年にピエール・ブーゲの著作『不等式と不等号の不等式』（原題：≦ ≧ ≧ ≧ ≧ ）で知られる ≦ と ≧ は、ピエール・ブーゲの著作『不等式と不等号の不等式』（原題：≦ ≦ ≦ ）で初めて登場しました。 ^[3]その後、数学者たちはブーゲの記号を「1本の横棒が付いた ≦ ≦ ≦」または「 ⩽ ≦ ≦ ≦」と簡略化しました。

より大きくないという関係は、「より大きい」を表す記号を斜線で二分した「ない」で表すこともできます。「より小さくない」という関係も同様です。${\displaystyle a\ngtr b,}$ ${\displaystyle a\nless b.}$

a ≠ bという表記は、 aがbと等しくないことを意味します。この不等式は、厳密な不等式の一種であると考えられることもあります。^{[4]これは、どちらかが他方より大きいとは言っていません。また、} aとbが順序付き集合のメンバーである必要もありません。

工学分野では、この表記法は、ある量が他の量よりも「はるかに大きい」ことを述べるときにあまり正式には使われず、^[5]通常は数桁大きい。

• a ≪ bという表記は、 aがbよりはるかに小さいこと を意味します。^[6]
• a ≫ bという表記は、 aがbよりもはるかに大きいこと を意味します。^[7]

これは、より小さい値は近似の精度にほとんど影響を与えることなく無視できることを意味します(物理学における超相対論的限界の場合など)。

上記のすべてのケースにおいて、互いに鏡映しとなる 2 つのシンボルは対称的です。つまり、a < bとb > aは同等です。

数直線上の性質

不等式は以下の性質に従います。これらの性質はすべて、すべての非厳密不等式（≤ および ≥）を対応する厳密不等式（< および >）に置き換えた場合でも成立します。また、関数を適用する場合、単調関数は厳密 単調関数に限定されます。

コンバース

≤ と ≥ の関係は互いの逆であり、任意の実数 aとbに対して次の関係が成り立つことを意味します。

a ≤ bとb ≥ aは同等です。

推移性

不等式の推移性は、任意の実数 a、b、cに対して次のようになることを述べている。^[8]

a ≤ bかつb ≤ cの場合、a ≤ cです。

どちらかの前提が厳密な不等式である場合、結論も厳密な不等式になります。

a ≤ bかつb < cの場合、a < cです。

a < bかつb ≤ cの場合、a < cです。

足し算と引き算

x < yの場合、x + a < y + aとなります。

不等式の両辺には共通の定数cを加算したり減算したりすることができる。 ^[4]したがって、任意の実数 a、b、cについて、

a ≤ bならば、a + c ≤ b + cかつa − c ≤ b − cです。

言い換えれば、不等式関係は加算（または減算）の下で保存され、実数は加算の下で順序付けられたグループになります。

掛け算と割り算

x < yかつa > 0の場合、 ax < ayとなります。

x < yかつa < 0 の場合、 ax > ay です。

乗算と除算を扱う特性は、任意の実数a、b 、およびゼロ以外のcに対して次のことを述べています。

a ≤ bかつc > 0の場合、 ac ≤ bcかつa / c ≤ b / cとなります。

a ≤ bかつc < 0の場合、 ac ≥ bcかつa / c ≥ b / cとなります。

言い換えれば、正の定数による乗算と除算では不等式関係は維持されますが、負の定数が関係する場合は逆になります。より一般的には、これは順序付き体に適用されます。詳細については、§ 順序付き体を参照してください。

加法逆数

加法逆の性質は、任意の実数aとbに対して次のようになります。

a ≤ bならば− a ≥ − b。

乗法逆数

両方の数が正の場合、乗法逆数間の不等式は、元の数間の不等式とは逆の関係になります。より具体的には、両方とも正（または両方とも負） である非ゼロの実数aとbについて、次のようになります。

a ≤ bならば、⁠1/1つの⁠ ≥ ⁠1/b⁠。

aとbの符号のすべてのケースは、次のように連鎖表記法で書くこともできます。

0 < a ≤ bの場合、⁠1/1つの⁠ ≥ ⁠1/b⁠ > 0。

a ≤ b < 0の場合、0 > ⁠1/1つの⁠ ≥ ⁠1/b⁠。

a < 0 < bの場合、⁠1/1つの⁠ < 0 < ⁠1/b⁠。

両辺に関数を適用する

y = ln xのグラフ

単調増加関数は、その定義により、^[9]不等式の両辺に適用しても不等式の関係を崩すことはありません（ただし、両方の式がその関数の定義域内にある必要があります）。しかし、単調減少関数を不等式の両辺に適用すると、不等式の関係が逆転します。加法逆関数と正の数の乗法逆関数の規則は、どちらも単調減少関数を適用する例です。

不等式が厳密（a < b , a > b）かつ関数が厳密に単調減少である場合、不等式は厳密なままです。これらの条件のうち1つでも厳密な場合、結果として得られる不等式は非厳密です。実際、加法逆関数と乗法逆関数の規則はどちらも厳密な単調減少関数の適用例です。

このルールのいくつかの例は次のとおりです。

• aとbが正の実数であるとき、不等式の両辺をn > 0（同値、- n < 0）乗すると、
  0 ≤ a ≤ b ⇔ 0 ≤ a ⁿ ≤ b ⁿ。
  0 ≤ a ≤ b ⇔ a ^{− n} ≥ b ^{− n} ≥ 0。
• aとb が正の実数である とき、不等式の両辺の自然対数を取ると次のようになります。
  0 < a ≤ b ⇔ ln( a ) ≤ ln( b )。
  0 < a < b ⇔ ln( a ) < ln( b )。
  (自然対数は厳密に増加する関数であるため、これは当てはまります。)

正式な定義と一般化

（非厳密な）半順序とは、集合P上の二項関係≤ であり、反射的、反対称的、推移的である。^[10]つまり、P内のすべてのa、b、cに対して、次の3つの条件を満たす必要がある。

• a ≤ a (反射性)
• a ≤ bかつb ≤ aならば、a = b（反対称性）
• a ≤ bかつb ≤ cならば、a ≤ c（推移性）

半順序を持つ集合は半順序集合と呼ばれる。^[11]これらはあらゆる種類の順序が満たすべき基本的な公理である。

厳密な半順序とは、

• a ≮ a（非反射性）、
• a < bならばb ≮ a（非対称性）
• a < bかつb < cならば、a < c（推移性）

ここで、≮は<が成り立たない ことを意味します。

いくつかの種類の半順序は、次のような追加の公理を追加することによって指定されます。

• 全順序: P内のすべてのaとbについて、a ≤ bまたはb ≤ a。
• 稠密順序: P内のすべてのaとbに対して、 a < bとなる場合、 P内にa < c < bとなるcが存在します。
• 最小上限特性:上限を持つPの空でない部分集合はすべて、 P内に最小上限( 上限 )を持ちます。

順序付きフィールド

( F , +, ×) が体であり、≤ がF上の全順序である場合、次の場合に限り、( F , +, ×, ≤) は順序付き体と呼ばれます。

• a ≤ b はa + c ≤ b + cを意味します。
• 0 ≤ aかつ 0 ≤ bは 0 ≤ a × bを意味します。

⁠ ⁠${\displaystyle (\mathbb {Q} ,+,\times ,\leq )}$ と⁠ ⁠ は${\displaystyle (\mathbb {R} ,+,\times ,\leq )}$ どちらも順序体ですが、⁠ ⁠ を順序体とするために≤を定義することはできません。^{[12] −1は}iの2乗であり、したがって正になるためです。 ${\displaystyle (\mathbb {C} ,+,\times ,\leq )}$

Rは順序体であることに加えて、最小上限性も持ちます。実際、Rはそのような性質を持つ唯一の順序体として定義できます。^[13]

連鎖表記

a < b < cという表記は「 a < bかつb < c 」を意味し、上記の推移性から、a < cであることも分かります。上記の法則により、3つの項すべてに同じ数を加算または減算したり、3つの項すべてに同じ非ゼロ数を乗算または除算したりすることができ、その数が負の数である場合はすべての不等式を反転することができます。したがって、例えば、a < b + e < cはa − e < b < c − eと等しくなります。

この表記法は任意の数の項に一般化できます。たとえば、a ₁ ≤ a ₂ ≤ ... ≤ a _nは、 i = 1, 2, ..., n − 1に対してa _i ≤ a _{i +1}であることを意味します。推移性により、この条件は任意の 1 ≤ i ≤ j ≤ nに対してa _i ≤ a _jであることに相当します。

連鎖記法を用いて不等式を解く場合、各項を独立に評価することが可能であり、場合によってはそれが必要となる。例えば、不等式4 x < 2 x + 1 ≤ 3 x + 2を解く場合、加法または減法によって不等式のどの部分においてもxを分離することはできない。代わりに、不等式を独立に解く必要があり、x < ⁠1/2⁠とx ≥ −1 であり、これらを組み合わせると最終解 −1 ≤ x < ⁠が得られる。1/2⁠。

連鎖記法は、異なる方向の不等式で使用されることが時々あります。その場合、隣接する項間の不等式の論理積を意味します。例えば、ジグザグ順序集合の定義条件は、 a ₁ < a ₂ > a ₃ < a ₄ > a ₅ < a ₆ > ...と記述されます。混合連鎖記法は、<、=、≤などの互換性のある関係で使用されることが多いです。例えば、a < b = c ≤ dは、 a < b、b = c、c ≤ dを意味します。この記法は、 Pythonなどのいくつかのプログラミング言語に存在します。対照的に、 Cなどの比較結果の型に順序付けを提供するプログラミング言語では、同種の連鎖であっても全く異なる意味を持つ場合があります。^[14]

大きな不平等

不等式は、緩和しても一般に有効である場合、シャープ不等式と呼ばれます。正式には、普遍量化不等式φ は、すべての有効な普遍量化不等式ψに対して、ψ ⇒ φが成立するならば、ψ ⇔ φも成立する場合、シャープ不等式と呼ばれます。例えば、不等式∀ a ∈ R . a ² ≥ 0はシャープですが、不等式∀ a ∈ R . a ² ≥ −1はシャープではありません。^[要出典]

平均間の不平等

平均値の間には多くの不等式があります。例えば、任意の正の数a ₁、a ₂、 ...、a _nについて、

${\displaystyle H\leq G\leq A\leq Q,}$

ここで、これらはシーケンスの次の平均を表します。

• 調和平均 ：${\displaystyle H={\frac {n}{{\frac {1}{a_{1}}}+{\frac {1}{a_{2}}}+\cdots +{\frac {1}{a_{n}}}}}}$
• 幾何平均 ：${\displaystyle G={\sqrt[{n}]{a_{1}\cdot a_{2}\cdots a_{n}}}}$
• 算術平均 ：${\displaystyle A={\frac {a_{1}+a_{2}+\cdots +a_{n}}{n}}}$
• 二次平均 ：${\displaystyle Q={\sqrt {\frac {a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+\cdots +a_{n}^{2}}{n}}}}$

コーシー・シュワルツの不等式

コーシー・シュワルツの不等式は、内積空間のすべてのベクトルuとvに対して、内積が成り立つこと を述べています。 ここで、内積は内積です。内積の例としては、実数および複素数の内積があります。標準的な内積を持つ ユークリッド空間R ^{nにおいて、コーシー・シュワルツの不等式は}$${\displaystyle |\langle \mathbf {u} ,\mathbf {v} \rangle |^{2}\leq \langle \mathbf {u} ,\mathbf {u} \rangle \cdot \langle \mathbf {v} ,\mathbf {v} \rangle ,}$$ ${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }$ $${\displaystyle {\biggl (}\sum _{i=1}^{n}u_{i}v_{i}{\biggr )}^{2}\leq {\biggl (}\sum _{i=1}^{n}u_{i}^{2}{\biggr )}{\biggl (}\sum _{i=1}^{n}v_{i}^{2}{\biggr )}.}$$

権力の不平等

べき乗不等式とは、 a ^bという形式の項を含む不等式です。ここで、aとbは実数または変数式です。数学オリンピックの演習問題によく登場します。

例:

• 任意の実数xに対して、$${\displaystyle e^{x}\geq 1+x.}$$
• x > 0 かつp > 0の場合、 p → 0の極限で上限と下限は ln( x ) に収束します。$${\displaystyle {\frac {1}{p}}\left(x^{p}-1\right)\geq \ln(x)\geq {\frac {1}{p}}\left(1-{\frac {1}{x^{p}}}\right).}$$
• x > 0の場合、$${\displaystyle x^{x}\geq \left({\frac {1}{e}}\right)^{\frac {1}{e}}.}$$
• x > 0の場合、$${\displaystyle x^{x^{x}}\geq x.}$$
• x , y , z > 0の場合、$${\displaystyle \left(x+y\right)^{z}+\left(x+z\right)^{y}+\left(y+z\right)^{x}>2.}$$
• 任意の異なる実数aとbに対して、$${\displaystyle {\frac {e^{b}-e^{a}}{b-a}}>e^{(a+b)/2}.}$$
• x , y > 0 かつ 0 < p < 1 の場合、$${\displaystyle x^{p}+y^{p}>\left(x+y\right)^{p}.}$$
• x , y , z > 0の場合、$${\displaystyle x^{x}y^{y}z^{z}\geq \left(xyz\right)^{(x+y+z)/3}.}$$
• a , b > 0の場合、^[15] $${\displaystyle a^{a}+b^{b}\geq a^{b}+b^{a}.}$$
• a , b > 0の場合、^[16] $${\displaystyle a^{ea}+b^{eb}\geq a^{eb}+b^{ea}.}$$
• a , b , c > 0の場合、$${\displaystyle a^{2a}+b^{2b}+c^{2c}\geq a^{2b}+b^{2c}+c^{2a}.}$$
• a , b > 0 の場合、$${\displaystyle a^{b}+b^{a}>1.}$$

よく知られている不等式

数学者は、正確な公式を簡単に計算できない量の境界値を求めるために、不等式をよく用います。不等式の中には、非常に頻繁に使用されるため、名前が付けられているものもあります。

• 東の不等式
• ベルヌーイの不等式
• ベルの不等式
• ブールの不等式
• コーシー・シュワルツの不等式
• チェビシェフの不等式
• チェルノフの不等式
• クラメール・ラオ不等式
• ホーフディングの不等式
• ヘルダーの不等式
• 算術平均と幾何平均の不等式
• ジェンセンの不等式
• コルモゴロフの不等式
• マルコフの不等式
• ミンコフスキー不等式
• ネスビットの不等式
• ペドの不等式
• ポアンカレ不等式
• サミュエルソンの不等式
• ソボレフの不等式
• 三角不等式

複素数と不等式

複素数 の集合とその加法および乗法は体 であるが、 ≤ の関係を定義することは不可能であるため、 は順序体となる。順序体 を構成するには、以下の2つの性質を満たす必要がある。 ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle (\mathbb {C} ,+,\times ,\leq )}$ ${\displaystyle (\mathbb {C} ,+,\times ,\leq )}$

• a ≤ bならばa + c ≤ b + cである。
• 0 ≤ aかつ0 ≤ bならば0 ≤ ab。

≤ は全順序なので、任意の数aに対して、0 ≤ aまたはa ≤ 0のいずれかとなります（この場合、上記の最初の性質から0 ≤ − aが成り立ちます）。どちらの場合も0 ≤ a ²です。これはi ² > 0かつ1 ² > 0を意味します。したがって、−1 > 0かつ1 > 0となり、 (−1 + 1) > 0 となります。これは矛盾です。

しかし、演算 ≤ は、最初の性質（つまり「 a ≤ bならば、a + c ≤ b + c」）のみを満たすように定義することもできます。辞書式順序の定義が用いられる場合もあります。

• a ≤ b、もし
  • Re( a ) < Re( b )、または
  • Re( a ) = Re( b )かつIm( a ) ≤ Im( b )

この定義では、 a ≤ b はa + c ≤ b + cを意味することが簡単に証明できます。

不平等のシステム

線形不等式系はフーリエ・モツキン消去法によって簡略化できる。^[17]

円筒代数分解は、多項式方程式と不等式からなる連立方程式に解が存在するかどうかを判定し、解が存在する場合にはそれを記述することを可能にするアルゴリズムです。このアルゴリズムの複雑性は、変数の数に対して二重指数関数的に増大します。特定のケースにおいてより効率的なアルゴリズムを設計することは、活発な研究分野となっています。

参照

• 二項関係
• 括弧（数学） 、括弧と同様の‹と›記号を使用する
• 包含（集合論）
• 不等式
• 区間（数学）
• 不等式のリスト
• 三角不等式の一覧
• 半順序集合
• 関係演算子は、プログラミング言語で不等式を表すために使用されます。

参考文献

1. 「不等式の定義（図解数学辞典）」www.mathsisfun.com . 2019年12月3日閲覧。
2. エレナ・ハルマギ、ピーター・リリェダール「数学史における不等式：特異性から難解な学問へ」カナダ数学教育研究グループ2012年年次会議議事録。
3. 「関係記号の初期の使用」MacTutor、セントアンドリュース大学、スコットランド。
4. 「不平等」. www.learnalberta.ca . 2019年12月3日閲覧。
5. ポリアニン, AD; マンジロフ, AV (2006). エンジニアと科学者のための数学ハンドブック. CRC Press. p. 29. ISBN 978-1-4200-1051-0. 2021年11月19日閲覧。
6. Weisstein, Eric W. 「Much Less」. mathworld.wolfram.com . 2019年12月3日閲覧。
7. Weisstein, Eric W. 「Much Greater」. mathworld.wolfram.com . 2019年12月3日閲覧。
8. Drachman, Bryon C.; Cloud, Michael J. (2006). 不等式：工学への応用. Springer Science & Business Media. pp.  2– 3. ISBN 0-3872-2626-5。
9. "ProvingInequalities". www.cs.yale.edu . 2019年12月3日閲覧。
10. Simovici, Dan A. & Djeraba, Chabane (2008). 「半順序集合」.データマイニングのための数学的ツール：集合論、半順序、組合せ論. Springer. ISBN 9781848002012。
11. Weisstein, Eric W. 「半順序集合」. mathworld.wolfram.com . 2019年12月3日閲覧。
12. Feldman, Joel (2014). 「Fields」(PDF) . math.ubc.ca . 2022年10月9日時点のオリジナルよりアーカイブ(PDF) . 2019年12月3日閲覧。
13. スチュワート、イアン（2007年）『美は真実である理由：対称性の歴史』ハシェットUK、106ページ。ISBN 978-0-4650-0875-9。
14. Brian W. Kernighan、Dennis M. Ritchie (1988年4月). 『プログラミング言語C』 . Prentice Hall Software Series (第2版). Englewood Cliffs/NJ: Prentice Hall. ISBN 0131103628。ここでは、Sect.A.7.9関係演算子、p.167 で引用されています。「a<b<c は (a<b)<c と解析されます」
15. Laub, M.; Ilani, Ishai (1990). "E3116".アメリカ数学月刊誌. 97 (1): 65– 67. doi :10.2307/2324012. JSTOR  2324012.
16. Manyama, S. (2010). 「べき乗指数関数の不等式に関する一つの予想の解」(PDF) . Australian Journal of Mathematical Analysis and Applications . 7 (2): 1. 2022年10月9日時点のオリジナルよりアーカイブ(PDF) .
17. ゲルトナー、ベルント;マトウシェク、イジー(2006)。線形計画法の理解と使用。ベルリン：シュプリンガー。ISBN 3-540-30697-8。

出典

• ハーディ, G., リトルウッド JE, ポリア, G. (1999).不等式. ケンブリッジ数学図書館, ケンブリッジ大学出版局. ISBN 0-521-05206-8。
• ベッケンバッハ, EF, ベルマン, R. (1975). 『不等式入門』 ランダムハウス社ISBN 0-394-01559-2。
• ドラクマン, バイロン C.、クラウド, マイケル J. (1998).不等式：工学への応用. シュプリンガー・フェアラーク. ISBN 0-387-98404-6。
• グリンスパン, AZ (2005)、「一般不等式、帰結、そして応用」、応用数学の進歩、34 (1): 71– 100、doi :10.1016/j.aam.2004.05.001
• マレー・S・クラムキン著「『クイック』不等式」（PDF）。数学戦略。 2022年10月9日時点のオリジナルからアーカイブ（PDF） 。
• アーサー・ローウォーター (1982). 「不等式入門」. PDF形式のオンライン電子書籍.
• ハロルド・シャピロ (2005)。 「数学的問題解決」。古い問題セミナー。クングリガ・テクニスカ・ホグスコーラン。
• 「第3回USAMO」。2008年2月3日時点のオリジナルよりアーカイブ。
• Pachpatte, BG (2005).数学的不等式. 北ホラント数学図書館. 第67巻（初版）. アムステルダム（オランダ）: Elsevier . ISBN 0-444-51795-2。ISSN  0924-6509。MR  2147066。Zbl 1091.26008  。
• エールゴット、マティアス（2005年）『多基準最適化』シュプリンガー・ベルリン、ISBN 3-540-21398-8。
• スティール、J.マイケル（2004年）『コーシー＝シュワルツ・マスタークラス：数学的不等式の芸術入門』ケンブリッジ大学出版局、ISBN 978-0-521-54677-5。

外部リンク

• 「不等式」数学百科事典、EMSプレス、2001 [1994]
• 不等式のグラフ ( Ed Pegg, Jr. 著)
• 不平等に関するAoPS Wikiエントリ