線形関係

線形代数では、ベクトル空間またはモジュールの要素間の線形関係、または単に関係は、これらの要素を解として持つ線形方程式です。

より正確には、環 $R$ 上の（左）加群 $M$ の元（体上のベクトル空間の場合は特別な場合）と、 $R$ の元の列の関係は、 $e_{1},\dots ,e_{n}$ $e_{1},\dots ,e_{n}$ $(f_{1},\dots ,f_{n})$

f_{1}e_{1}+\dots +f_{n}e_{n}=0.

間の関係は加群を形成する。一般的に関心があるのは、が有限生成加群 $M$ の生成集合である場合であり、この場合、関係の加群はしばしば $M$ の共役加群と呼ばれる。共役加群は生成集合の選択に依存するが、自由加群との直和を除いて一意である。つまり、とが同じ加群の2つの生成集合に対応する共役加群である場合、それらは安定同型であり、これはとが同型となる2つの自由加群とが存在することを意味する。 $e_{1},\dots ,e_{n}$ $e_{1},\dots ,e_{n}$ $S_{1}$ $S_{2}$ $L_{1}$ $L_{2}$ $S_{1}\oplus L_{1}$ $S_{2}\oplus L_{2}$

高階のシジジー加群は再帰的に定義されます。すなわち、加群 M の最初のシジジー加群は $、$ $単に$ そのシジジー加群です。k $> 1$ の場合、 $Mの$ $k$ 番目のシジジー加群は、 $($ $k$ $- 1)$ 番目のシジジー加群のシジジー加群です。ヒルベルトのシジジー定理は、が体上の $n$ 個の不定元における多項式環である場合、すべての $n$ 番目のシジジー加群は自由であると述べます $。n$ $= 0$ の場合は、すべての有限次元ベクトル空間が基底を持つという事実であり、 $n$ $= 1 の場合は、$ $K$ $[$ $x$ $]が$ 主イデアル領域であり、有限生成自由 $K$ $[$ $x$ $]$ 加群のすべての部分加群も自由であるという事実です。 $R=K[x_{1},\dots ,x_{n}]$

高階シジジー加群の構築は自由解像度の定義として一般化され、これによりヒルベルトのシジジー定理を、体上の $n個の不定量の多項式環が$ 大域ホモロジー次元 $n$ を持つと言い換えることができる。

$a$ と $bが$ 可換環 $R$ の二つの元であるとき、 $(b, - a)は$ 自明な関係であると言われる。イデアルの自明な関係の加群は、イデアルの生成集合の元間の自明な関係によって生成される、イデアルの最初のシジジー加群の部分加群である。自明な関係の概念は高階のシジジー加群に一般化することができ、これはイデアルのコシュル複体の概念につながり、これはイデアルの生成元間の非自明な関係に関する情報を提供する。

基本的な定義

$R を$ 環とし、Mを $左$ R 加群とする $。$ 線型関係、あるいは単に $M$ の $k$ 個の元間の関係とは、 $R$ の元の列であって、 $x_{1},\dots ,x_{k}$ $(a_{1},\dots ,a_{k})$

a_{1}x_{1}+\dots +a_{k}x_{k}=0.

$がM$ の生成集合である場合、その関係はしばしば $M$ の共役（syzygy）と呼ばれます。共役加群は選択された生成集合に依存しますが、その性質のほとんどは独立しているため、に関わらずの共役（syzygy）と呼ぶのは理にかなっています。以下の § 安定な性質を参照してください。 $x_{1},\dots ,x_{k}$ $M$ $x_{1},..,x_{k}$

環 $R$ がノイザン、あるいは少なくともコヒーレントであり、かつ $Mが$ 有限生成である場合、シジジー加群も有限生成である。このシジジー加群のシジジー加群は、 $M$ の第二のシジジー加群である。この方法を続けると、任意の正の整数 $kに対して$ $k$ 番目のシジジー加群を定義できる。

ヒルベルトのシジジー定理は、 $M が$ 体上の多項式環上の有限生成加群である場合、任意の $n$ 番目のシジジー加群は自由加群であると主張します。 $K[x_{1},\dots ,x_{n}]$

安定した特性

一般的に、 K理論の用語では、ある性質が安定であるとは、十分に大きな自由加群との直和によって成立する場合を指します。シジジー加群の基本的な性質は、関与する加群の生成集合の選択が「安定的に独立」であることです。以下の結果は、これらの安定な性質の基礎となります。

命題—を $R$ 加群 $M$ の生成集合とし、を $M$ の他の元とする。関係 M の加群は、関係 M の加群と階数 $n$ の自由加群の直和である。 $\{x_{1},\dots ,x_{m}\}$ $y_{1},\dots ,y_{n}$ $x_{1},\dots ,x_{m},y_{1},\dots ,y_{n}$ $x_{1},\dots ,x_{m},$

証明。が生成集合であるとき、それぞれはと書くことができます。これはの間に関係を与えます。さて、が任意の関係であるならば、はとの間の関係でしかありません。言い換えれば、との間のすべての関係は、との線形結合の和です。この分解が一意であることは簡単に証明でき、これは結果を証明します。 $\{x_{1},\dots ,x_{m}\}$ $y_{i}$ $\textstyle y_{i}=\sum \alpha _{i,j}x_{j}.$ $r_{i}$ $x_{1},\dots ,x_{m},y_{1},\dots ,y_{n}.$ $r=(a_{1},\dots ,a_{m},b_{1},\dots ,b_{n})$ $\textstyle r-\sum b_{i}r_{i}$ $x_{1},\dots ,x_{m}$ $x_{1},\dots ,x_{m},y_{1},\dots ,y_{n}$ $x_{1},\dots ,x_{m},$ $r_{i}$ $\blacksquare$

これは、最初のシジジー加群が「安定的に一意」であることを証明している。より正確には、加群 $M$ の2つの生成集合とが与えられ、およびが関係の対応する加群である場合、2つの自由加群とが存在し、それらは同型である。これを証明するには、前述の命題を2回適用し、2つの生成集合の和集合間の関係の加群の2つの分解を得るだけで十分である。 $S_{1}$ $S_{2}$ $S_{1}$ $S_{2}$ $L_{1}$ $L_{2}$ $S_{1}\oplus L_{1}$ $S_{2}\oplus L_{2}$

高次のシジジー加群に対して同様の結果を得るには、 $M$ が任意の加群で $L$ が自由加群であるとき、 $M$ と $M \oplus L が$ $同型なシジジー加群を持つことを証明する必要がある。これは、 M$ の生成集合と $L$ の基底からなる $M \oplus L$ の生成集合を考えれば十分である。この生成集合の元間のあらゆる関係において、 $L$ の基底元の係数はすべてゼロであり、 $M$ $\oplus$ $L$ のシジジーはまさに $M$ のシジジーをゼロ係数で拡張したものと一致する。これで以下の定理の証明は完了する。

定理—任意の正の整数 $k$ に対して、与えられた加群の $k$ 次シジジー加群は生成集合の選択に依存しますが、自由加群との直和を除いて一意です。より正確には、とが異なる生成集合の選択によって得られる $k$ 次シジジー加群である場合、とが同型となる自由加群とが存在する。 $S_{1}$ $S_{2}$ $L_{1}$ $L_{2}$ $S_{1}\oplus L_{1}$ $S_{2}\oplus L_{2}$

自由決議との関係

$R$ 加群の生成集合が与えられたとき、 $L$ の基底の自由加群を考えることができる。ここで、は新たな不定値である。これは、正確な列を定義する。 $g_{1},\dots ,g_{n}$ $G_{1},\dots ,G_{n},$ $G_{1},\dots ,G_{n}$

L\longrightarrow M\longrightarrow 0,

ここで、左矢印は、それぞれを対応するにマッピングする線形マップです。この左矢印の核は、 $M$ の最初の朔望加群です。 $G_{i}$ $g_{i}.$

$この核をM$ の代わりに用いてこの構成を繰り返すことができる。この構成を何度も繰り返すと、長い完全列が得られる。

\cdots \longrightarrow L_{k}\longrightarrow L_{k-1}\longrightarrow \cdots \longrightarrow L_{0}\longrightarrow M\longrightarrow 0,

ここで、すべては自由加群である。定義により、このような長完全列は $M$ の自由分解である。 $L_{i}$

$任意のk \geq 1$ に対して、から始まる矢印の核は $Mの$ $k$ 番目の合同加群である。したがって、自由分解の研究は合同加群の研究と同じである。 $S_{k}$ $L_{k-1}$

が自由であるとき、自由分解は長さ $\leq$ $n$ の有限です。この場合、任意の $k$ $>$ $n$ に対して、と（零加群）を取ることができます。 $S_{n}$ $L_{n}=S_{n},$ $L_{k}=0$

これにより、ヒルベルトのシジジー定理を言い換えることができます。が体 $K$ 上の $n 個の不定量$ の多項式環である場合、すべての自由解像度は最大で $n の$ 長さの有限です。 $R=K[x_{1},\dots ,x_{n}]$

可換ノイザン環の大域次元は、無限であるか、あるいは任意の自由解像度が最大で $n の長さの有限となるような最小の$ $n$ のいずれかである。可換ノイザン環が正則環であるとは、その大域次元が有限であることを意味する。この場合、大域次元はそのクルル次元に等しい。したがって、ヒルベルトの朔望定理は、多くの数学的要素を隠蔽する非常に短い文で言い換えることができる。すなわち、体上の多項式環は正則環である。

些細な関係

可換環 $Rにおいて、常に$ $ab - ba = 0$ が成り立つ。これは、 $($ $b$ $, -$ $a$ $)が$ $a$ と $b$ の間の線型関係であることを自明に意味する。したがって、イデアル $I$ の生成集合が与えられたとき、部分加群の各元は、二つの生成元間のこれらの自明な関係によって生成される。より正確には、自明なシジジーの加群は、以下の関係によって生成される。 $g_{1},\dots ,g_{k}$

r_{i,j}=(x_{1},\dots ,x_{r})

そのような場合とそうでない場合。 $x_{i}=g_{j},$ $x_{j}=-g_{i},$ $x_{h}=0$

歴史

syzygyという語は、アーサー・ケイリーの研究によって数学に登場しました。^{[1]ケイリーはその論文で、}結果式と判別式の理論でこの語を使用しました。^[2]syzygy という語は天文学で惑星間の線形関係を示すために使用されていたため、ケイリーはそれを2×3 行列の場合のような行列の小行列間の線形関係を示すために使用しました。

a\,{\begin{vmatrix}b&c\\e&f\end{vmatrix}}-b\,{\begin{vmatrix}a&c\\d&f\end{vmatrix}}+c\,{\begin{vmatrix}a&b\\d&e\end{vmatrix}}=0.

彼が研究した特定の問題は、 Plücker 埋め込みで生じる方程式のセットに関するものです。Plücker埋め込みは、平面の (グラスマン) 空間を射影空間に埋め込むものです。Plücker座標を使用すると、空間はと表すことができ、次元を持ちます。ここで、は次元を持つので、超曲面の交差として書くことができるはずです。しかし、彼らはが方程式の交差であることを発見しました。したがって、のとき、これらの方程式は、互いに従属している必要があります。たとえば、のとき、空間は 5 つの方程式の交差として定義されるの余次元 3 の部分空間であるため、2 つの冗長性があり、これは行列方程式で示されます。の部分空間 ( )では、2 つの線型結合から、の場合、他の 2 つの条件が自動的に満たされることが示されます。これが冗長性です。 $G(2,\mathbb {R} ^{n})$ $\mathbb {P} (\wedge ^{2}V)$ $\mathbb {P} (\wedge ^{2}V)$ $\{[p_{1,2},p_{1,3},\dots ,p_{n-1,n}]\}$ ${\tfrac {1}{2}}n(n-1)-1$ $G(2,\mathbb {R} ^{n})$ $2(n-2)$ ${\tfrac {1}{2}}(n-2)(n-3)$ $G(2,\mathbb {R} ^{n})$ ${\tfrac {1}{4}}n(n-1)(n-2)(n-3)$ $Q_{ijkl}:=p_{ij}p_{kl}-p_{ik}p_{jl}+p_{il}p_{jk}=0\quad (1\leq i<j<k<l\leq n)$ $n\geq 5$ $n=5$ $G(2,\mathbb {R} ^{5})$ $\mathbb {P} (\wedge ^{2}\mathbb {R} ^{5})$ ${\begin{pmatrix}0&p_{12}&p_{13}&p_{14}&p_{15}\\-p_{12}&0&p_{23}&p_{24}&p_{25}\\-p_{13}&-p_{23}&0&p_{34}&p_{35}\\-p_{14}&-p_{24}&-p_{34}&0&p_{45}\\-p_{15}&-p_{25}&-p_{35}&-p_{45}&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}Q_{1}\\Q_{2}\\Q_{3}\\Q_{4}\\Q_{5}\end{pmatrix}}=0,\quad {\begin{aligned}Q_{1}&=p_{23}p_{45}-p_{24}p_{35}+p_{25}p_{34}\\Q_{2}&=p_{13}p_{45}-p_{14}p_{35}+p_{15}p_{34}\\Q_{3}&=p_{12}p_{45}-p_{14}p_{25}+p_{15}p_{24}\\Q_{4}&=p_{12}p_{35}-p_{13}p_{25}+p_{15}p_{23}\\Q_{5}&=p_{12}p_{34}-p_{13}p_{24}+p_{14}p_{23}.\end{aligned}}$ $\mathbb {A} ^{9}\subset \mathbb {P} (\wedge ^{2}\mathbb {R} ^{5})$ $p_{12}=1$ $Q_{1}=p_{23}Q_{3}+p_{24}Q_{4}+p_{25}Q_{5},\quad Q_{2}=-p_{13}Q_{3}-p_{14}Q_{4}-p_{15}Q_{5}$ $Q_{3},Q_{4},Q_{5}=0$

その後、シジジーという言葉は、 1890 年にデイヴィッドヒルベルトによって (数学者の間で) 普及しました。その論文には、ヒルベルトのシジジー定理、ヒルベルトの基底定理、ヒルベルトの零点定理という多項式に関する 3 つの基本定理が含まれています。

ケイリーは論文の中で、数学者ジャン＝ルイ・コズルが微分幾何学で同様の構成をしたことを受けて、後に^[3]コズル複体と呼ばれるようになった特殊なケースを利用している。

注記

^ 1847[Cayley 1847] A. Cayley, “On the theory of involution in geometry”, Cambridge Math. J. 11 (1847), 52–61. また、Collected Papers, Vol. 1 (1889), 80–94, Cambridge Univ. Press, Cambridge も参照。
^ [Gel'fandら。 [1994] IM Gel'fand、MM Kapranov、および AV Zelevinsky、判別式、結果、および多次元行列式、数学: 理論と応用、ビルクホイザー、ボストン、1994 年。
^ セール、ジャン・ピエール・アルジェブルのロケール。多重化。 (フランス語) クール・オ・コレージュ・ド・フランス、1957年から1958年、ピエール・ガブリエルによるレディジェ。第 2 版、1965 年。数学講義ノート、11 Springer-Verlag、ベルリン-ニューヨーク、1965 vii+188 ページ。これは、1958 年にコレージュ・ド・フランスで行われたセールの講義からの謄写版印刷されたメモの出版された形式です。

参考文献

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コックス、デイビッド、リトル、ドナル・オシェア (2005). 「代数幾何学の利用」.数学大学院テキスト. ニューヨーク: シュプリンガー・フェアラーク. doi :10.1007/b138611. ISBN 0-387-20706-6。
アイゼンバッド、デイヴィッド(1995).可換代数と代数幾何学への視点. 大学院数学テキスト. 第150巻. シュプリンガー出版. doi :10.1007/978-1-4612-5350-1. ISBN 0-387-94268-8。
David Eisenbud, The Geometry of Syzygies, Graduate Texts in Mathematics, vol. 229, Springer, 2005.