サー・マイケル・フランシス・アティヤ（/ əˈt iːə /、 1929年4月22日 - 2019年1月11日）は、幾何学を専門とするイギリス系レバノン人の数学者であった。 [ 3 ]彼の貢献には、アティヤ・シンガーの指数定理と位相的K理論の共同創始が含まれる。彼は1966年にフィールズ賞、2004年にアーベル賞を受賞した。

幼少期と教育

アティヤが学生で後に学長を務めたケンブリッジ大学トリニティ・カレッジのグレートコート

アティヤは1929年4月22日、イングランドのロンドン、ハムステッドで、ジーン（旧姓レヴァンス）とエドワード・アティヤの息子として生まれた。[4]母親はスコットランド人で、父親はレバノン正教会のキリスト教徒だった。彼には、パトリック（故人）とジョーという2人の兄弟と、セルマ（故人）という姉妹がいた。[5]アティヤは、スーダンのハルツームにある教区学校で小学校に通い（1934年 - 1941年）、カイロとアレクサンドリアのヴィクトリア・カレッジで中学校に通った（1941年 - 1945年）。この学校には、第二次世界大戦で故郷を追われたヨーロッパの貴族や、アラブ諸国の将来の指導者たちも通っていた。[6]彼は、 HSCの勉強のためにイングランドのマンチェスター・グラマー・スクールに戻り（1945年 - 1947年）、王立電気機械工兵隊で国民奉仕活動を行った（1947年 - 1949年）。彼は1949年から1955年まで、ケンブリッジ大学トリニティ・カレッジで学部と大学院の研究を行った。[7]彼はウィリアム・V・D・ホッジ[2]の指導の下、博士課程に在籍し、1955年に「位相幾何学的手法の代数幾何学への応用」と題する論文で博士号を取得した。[1] [2]

アティヤは英国ヒューマニスト協会の会員であった。[8]

ケンブリッジ大学在学中、彼はアルキメデス協会の会長を務めた。[9]

キャリアと研究

アティヤが1969年から1972年まで教授を務めたプリンストン高等研究所

アティヤは1955年から1956年までプリンストン高等研究所で過ごし、その後ケンブリッジ大学に戻り、研究員および助講師（1957年から1958年）、さらにケンブリッジ大学ペンブルック・カレッジの大学講師およびチュートリアル・フェロー（1958年から1961年）を務めた。1961年にオックスフォード大学に移り、セント・キャサリンズ・カレッジの講師および教授フェロー（1961年から1963年）を務めた。[7] 1963年から1969年まで、オックスフォード大学ニュー・カレッジのサビリアン幾何学教授および教授フェローを務めた。プリンストン高等研究所で3年間教授を務めた後、オックスフォードに戻り、王立協会研究教授およびセント・キャサリンズ・カレッジの教授フェローとなった。 1974年から1976年までロンドン数学会の会長を務めた。[7]

子供の頃、旅行先で現地通貨を外貨に両替してお金を稼ぐことから始めました。その時、父は私が将来数学者になるだろうと気づいたのです。

マイケル・アティヤ[10]

アティヤは1997年から2002年まで科学と世界情勢に関するパグウォッシュ会議の会長を務めた。[11]また、国際問題に関するアカデミー間パネル、ヨーロッパアカデミー協会（ALLEA）、ヨーロッパ数学会（EMS）の設立にも貢献した。[12]

英国では、ケンブリッジのアイザック・ニュートン数学研究所の設立に関わり、初代所長（1990–1996年）を務めた。王立協会会長（1990–1995年）、ケンブリッジ大学トリニティ・カレッジ学長（ 1990–1997年）[11]、[1995– 2005 年] 、 [11] 、エディンバラ王立協会会長（2005–2008年） [ 13]を歴任した。1997年から2019年に死去するまで、エディンバラ大学の名誉教授であった。ジェームズ・クラーク・マクスウェル財団の評議員でもあった[14]。

アティヤの数学的共同研究者にはラウル・ボット、フリードリヒ・ヒルツェブルッフ[15]、イサドア・シンガーがおり、教え子にはグレアム・シーガル、ナイジェル・ヒッチン、サイモン・ドナルドソン、エドワード・ウィッテン[16]がいた。ヒルツェブルッフとともに、彼は代数的位相幾何学の重要なツールである位相的 K 理論の基礎を築き、非公式には、空間をねじる方法を記述する。彼の最も有名な結果であるアティヤ・シンガーの指数定理は、1963年にシンガーと証明され、微分方程式の独立した解の数を数えるのに使用されている。彼の最近の研究のいくつかは理論物理学、特にインスタントンとモノポールに触発されており、これらは量子場の理論におけるいくつかの補正に関与している。彼は1966年にフィールズ賞、2004年にアーベル賞を受賞した。

コラボレーション

オックスフォードの旧数学研究所（現在の統計学部）で、アティヤはここで多くの学生を指導した。

アティヤは多くの数学者と共同研究を行った。主な共同研究は、アティヤ＝ボット不動点定理をはじめとする多くのテーマに関するラウル・ボットとの共同研究、アティヤ＝シンガー指数定理に関するイサドア・M・シンガーとの共同研究、位相的K理論に関するフリードリヒ・ヒルツェブルッフとの共同研究である[17]。アティヤは彼ら全員と1955年にプリンストン高等研究所で出会った。[18]その他の共同研究相手には以下の者がいる。J. Frank Adams (ホップ不変量問題), Jürgen Berndt (射影平面), Roger Bielawski (ベリー・ロビンズ問題), Howard Donnelly ( L-関数), Vladimir G. Drinfeld (インスタントン), Johan L. Dupont (ベクトル場の特異点), Lars Gårding (双曲型微分方程式), Nigel J. Hitchin (単極子), William VD Hodge (第二種積分), Michael Hopkins ( K-理論), Lisa Jeffrey (位相ラグランジアン), John DS Jones (ヤン・ミルズ理論), Juan Maldacena (M-理論), Yuri I. Manin (インスタントン), Nick S. Manton (スカイミオン), Vijay K. Patodi (スペクトル非対称性), AN Pressley (凸性), Elmer Rees (ベクトル束), Wilfried Schmid (離散級数表現),グレアム・シーガル（同変K理論）、アレクサンダー・シャピロ[19]（クリフォード代数）、L・スミス（球面のホモトピー群）、ポール・サトクリフ（多面体）、デイビッド・O・トール（ラムダ環）、ジョン・A・トッド（スティフェル多様体）、カムラン・ヴァファ（M理論）、リチャード・S・ワード（インスタントン）、エドワード・ウィッテン（M理論、位相量子場理論）。[20]

彼のその後のゲージ場理論、特にヤン＝ミルズ理論に関する研究は、幾何学と物理学の重要な相互作用を刺激し、最も顕著なのはエドワード・ウィッテンの研究である。[21]

数学の問題に正面から取り組むと、往々にして行き詰まり、何をやってもうまくいかないように感じ、もし角を曲がって先を覗き込めたら簡単な解決策があるかもしれない、と感じてしまいます。誰かに傍らにいてもらうことほど心強いものはありません。なぜなら、その人はたいてい角を曲がって先を覗いてくれるからです。

マイケル・アティヤ[22]

アティヤの教え子には、ピーター・ブラーム（1987年）、 サイモン・ドナルドソン（1983年）、 K・デイヴィッド・エルワーシー（1967年）、ハワード・フィーガン（1977年）、 エリック・グランワルド（1977年）、 ナイジェル・ヒッチン（1972年）、リサ・ジェフリー（1991年）、 フランシス ・カーワン（1984年）、ピーター・クロンハイマー（ 1986年）、 ルース・ローレンス（ 1989年） 、ジョージ・ルスティグ（1971年）、ジャック・モラヴァ（ 1968年）、マイケル・マレー（1983年）、ピーター・ ニューステッド（1966年）、イアン・R・ポーテウス（ 1961年） 、 ジョン・ロー（1985年）、ブライアン・サンダーソン（1963年）、 ロルフ・シュワルツェンベルガー（1960年）、グレアム・シーガル（1967年）、デイヴィッド・トール（1966年）、グラハム・ホワイト（1982年）がいる。[2]

アティヤに影響を与えた他の同時代の数学者には、ロジャー・ペンローズ、ラース・ヘルマンダー、アラン・コンヌ、ジャン＝ミシェル・ビスムなどがいます。[23]アティヤは、最も尊敬する数学者はヘルマン・ワイルであり、[24] 20世紀以前のお気に入りの数学者はベルンハルト・リーマンとウィリアム・ローワン・ハミルトンであると述べています。[25]

アティヤの論文集7巻には、可換代数の教科書を除いて彼のほとんどの研究が収録されている。[26]最初の5巻はテーマ別に分かれており、6巻と7巻は日付順に並べられている。

代数幾何学（1952–1958）

アティヤの最初の論文の主題であるねじれた3次曲線

アティヤの代数幾何学に関する初期の論文（およびいくつかの一般的な論文）は、彼の全集の第1巻に再録されている。[27]

学部生の頃、アティヤは古典的な射影幾何学に興味を持ち、最初の論文としてねじれ立方体に関する短いノートを書いた。[28]彼はWVD ホッジの指導の下で研究を始め、線織面への層理論的アプローチにより 1954 年度スミス賞を受賞した。[29]このことが、アティヤが他の興味である建築学と​​考古学に移るのではなく、数学を続けることを奨励した。[30] ホッジのもとで執筆した博士論文は、ソロモン レフシェッツの代数多様体上の第二種積分の理論に対する層理論的アプローチに関するもので、その結果、プリンストン高等研究所に 1 年間滞在するよう招待された。[31]プリンストン大学在学中、彼は楕円曲線上のベクトル束を分類し（アレクサンダー・グロタンディークの種数 0 曲線上のベクトル束の分類を拡張）、任意のベクトル束が（本質的に唯一の）分解不可能なベクトル束の和であることを示し、[32]与えられた次数と正の次元を持つ分解不可能なベクトル束の空間が楕円曲線と同一視できることを示した。[33]彼はまた、曲面上の二重点を研究し、[34] 3 次元多様体の特殊な双有理変換であるフロップの最初の例を示し、これは後に森重文の3 次元多様体の極小モデルの研究で頻繁に使用されることになった。[35]アティヤのフロップは、 K3 曲面の普遍マーク族がハウスドルフではないことを示すのにも使用できる。[36]

K理論（1959–1974）

メビウスの帯はベクトル束の最も単純で非自明な例です。

アティヤのK理論に関する研究は、K理論に関する著書[37]を含め、彼の全集第2巻に再録されている。[38]

ベクトル束の最も単純で非自明な例は、メビウスの帯（右図）である。これは、ねじれのある紙片で、円（メビウスの帯の中心線）上の階数1のベクトル束を表す。K理論は、この例の高次元類似物を扱うためのツール、言い換えれば、高次元のねじれを記述するためのツールである。空間のK群の元はその上のベクトル束で表されるため、メビウスの帯は円のK群の元を表す。[39]

位相的K理論は、グロタンディークによるグロタンディーク・リーマン・ロッホ定理の証明とボットの周期性定理の研究に触発されたアティヤとフリードリヒ・ヒルツェブルッフ[40]によって発見された。この論文では零次K群のみを論じていたが、その後まもなく彼らはそれをあらゆる次数のK群に拡張し、[41]一般化コホモロジー理論の最初の（非自明な）例を示した。

いくつかの結果から、新たに導入された K 理論は、いくつかの点で通常のコホモロジー理論よりも強力であることがわかった。アティヤとトッド[42]は、ボレルとセールが通常のコホモロジーを使用して見つけたジェームズ数の下限を K 理論で改善し、複素スティフェル多様体から球面への写像が断面を持つ場合を記述した。(アダムズとグラントウォーカーは後に、アティヤとトッドによって見つかった境界が最良であることを示した。) アティヤとヒルツェブルッフ[43]は、ヒルツェブルッフが数年前に気づいていたスティーンロッド演算とトッド類の関係を説明するのに K 理論を使用した。ホップ不変量の 1 つの問題に対する演算の元々の解決法は、二次コホモロジー演算を使用する、非常に長く複雑なものだった。アティヤは、K 理論の一次演算を使用して、わずか数行の短い解決法を得られる方法を示し、アダムズ[44]との共同研究で奇数素数における結果の類似性も証明した。

K理論の創始者であるマイケル・アティヤとフリードリヒ・ヒルツェブルッフ（右）

アティヤ・ヒルツェブルッフスペクトル列は、空間の通常のコホモロジーとその一般化されたコホモロジー理論を関連付けます。[41]（アティヤとヒルツェブルッフはK理論の場合を使用しましたが、彼らの方法はすべてのコホモロジー理論に当てはまります）。

アティヤは有限群Gに対して、その分類空間BGのK理論がその指標環の完備化と同型であることを示した[45]。

同年[46]彼らは任意のコンパクト連結リー群Gに対して結果を証明した。この結果は、グレアム・シーガルの学位論文[47]の結果を組み込むことによりすぐにすべてのコンパクト・リー群に拡張できたが、その拡張は複雑であった。しかし、同変 K 理論、すなわちコンパクトG空間X上のGベクトル束の同値類を導入することにより、より単純でより一般的な証明が生成された。[48]適切な条件下では、同変 K 理論Xの完備化は、ファイバーXを持つBG上にファイバー化された空間 の通常の K 理論と同型であることが示された。

元の結果は、 Xを点とすることで系として導かれる。左辺はR(G)の完備化に、右辺はK(BG)の完備化に簡約される。詳細は アティヤ＝シーガルの完備化定理を参照のこと。

彼はボルディズムとコボルディズムと呼ばれる新しい一般化ホモロジーとコホモロジー理論を定義し、ルネ・トム、CTCウォールらによって発見された多様体のコボルディズムに関する深い結果の多くが、これらのコホモロジー理論に関する命題として自然に再解釈できることを指摘した。[49]これらのコホモロジー理論のいくつか、特に複素コボルディズムは、知られている中で最も強力なコホモロジー理論のいくつかであることが判明した。

代数学は、悪魔が数学者に差し出す贈り物です。悪魔はこう言います。「この強力な機械をあなたにあげましょう。どんな質問にも答えてくれます。必要なのは魂を私に差し出すことだけです。幾何学を捨てれば、この素晴らしい機械を手に入れることができます。」

マイケル・アティヤ[50]

彼は有限複体XのJ群J ( X )を導入した[51]。これは球束の安定ファイバーホモトピー同値類の群として定義される。これは後にJFアダムスによって一連の論文で詳細に研究され、アダムス予想につながった。

彼はヒルツェブルフと共にグロタンディーク＝リーマン＝ロッホの定理を複素解析的埋め込みに拡張し[51]、関連論文[52]では整コホモロジーに対するホッジ予想が誤りであることを示した。有理コホモロジーに対するホッジ予想は、2008年現在、未解決の主要問題である[53] 。

ボット周期性定理はアティヤのK理論研究の中心テーマであり、彼は何度もこの定理に立ち戻り、より深く理解するために証明を何度も書き直した。ボットと共に初等的な証明を完成し[54]、その別バージョンを著書に与えた[55] 。ボットとシャピロと共に、彼はボット周期性とクリフォード代数の周期性の関係を分析した[56]。この論文には周期性定理の証明は含まれていなかったが、その後まもなくR.ウッドが同様の証明を見出した。彼は楕円作用素を用いたいくつかの一般化の証明を見出した[57]。この新しい証明は、ボットの元の周期性定理の特に簡潔で容易な証明を与えるために彼が用いたアイデアを用いていた[58] 。

指数理論（1963–1984）

イザドア・シンガー（1977年）、アティヤとともに指数理論の研究を行った

アティヤの指数理論に関する研究は、彼の全集の第3巻と第4巻に再録されている。[59] [60]

微分作用素の指数は、独立解の数と密接に関係しています（より正確には、微分作用素とその随伴作用素の独立解の数の差です）。数学には、ある微分作用素の独立解の数を求める問題に容易に帰着できる難問や基礎問題が数多く存在します。そのため、微分作用素の指数を求める手段があれば、これらの問題は多くの場合解決できます。アティヤ・シンガーの指数定理はまさにこれを実現します。この定理は、一見非常に複雑に見えますが、実際には計算が容易な位相不変量を用いて、特定の微分作用素の指数を表す公式を与えます。[要出典]

ヒルツェブルッフ・リーマン・ロッホの定理など、いくつかの深い定理は、アティヤ・シンガーの指数定理の特殊なケースです。実際、指数定理はより強力な結果をもたらしました。なぜなら、ヒルツェブルッフの証明は射影多様体に対してしか成立しなかったのに対し、指数定理の証明はすべてのコンパクト複素多様体に適用できるからです。また、多くの新しい応用もありました。典型的な例としては、インスタントンのモジュライ空間の次元計算が挙げられます。指数定理は「逆」にも適用できます。指数は明らかに整数であるため、その式も整数を与える必要があり、これは多様体の不変量に​​微妙な整数性条件を与えることがあります。その典型的な例として、指数定理から導かれるロッホリンの定理が挙げられます。[要出典]

私が数学の学生に与えたい最も役に立つアドバイスは、印象に残る定理であっても、それが単純かつ非自明な特別なケースを持たない場合は、常に疑うべきだということです。

マイケル・アティヤ[61]

楕円微分作用素の指数問題は1959年にゲルファンドによって提起された。[62]彼は指数のホモトピー不変性に注目し、位相不変量を用いてその公式を求めた。動機となった例としては、リーマン・ロッホの定理とその一般化であるヒルツェブルッフ・リーマン・ロッホの定理、ヒルツェブルッフの署名定理などがある。ヒルツェブルッフとボレルはスピン多様体の種数の整数性を証明しており、アティヤはこの整数性がディラック作用素の指数であれば説明できると示唆した（これは1961年にアティヤとシンガーによって再発見された）。

アティヤ＝シンガーの定理の最初の発表は、1963年の論文であった。[63]この発表で概説された証明は、ヒルツェブルッフによるヒルツェブルッフ＝リーマン＝ロッホの定理の証明に触発されたもので、パレの著書には記載されているものの、彼らによって公表されることはなかった。[64]彼らが最初に公表した証明[65]は、グロタンディークによるグロタンディーク＝リーマン＝ロッホの定理の証明に似ており、最初の証明のコボルディズム理論をK理論に置き換えたものであり、彼らはこのアプローチを使用して、1968年から1971年にかけて一連の論文でさまざまな一般化の証明を示した。

楕円作用素を1つだけ用いる代わりに、ある空間Yによってパラメータ化された楕円作用素の族を考えることもできる。この場合、添え字は整数ではなく、Yの K 理論の元となる。 [66]族内の作用素が実数であれば、添え字はYの実 K 理論に含まれる。これは、 Yの実 K 理論から複素 K 理論への写像が必ずしも単射ではないため、少し余分な情報を与える。[67]

アティヤの元教え子グレアム・シーガル（1982年）。アティヤとともに同変K理論の研究を行った。

アティヤはボットとともに、楕円型作用素に対するレフシェッツ不動点定理の類似物を発見し、楕円複体の自己準同型のレフシェッツ数を自己準同型の不動点上の和で与えた。[68]特殊なケースとして、彼らの公式にはワイル指標公式や、複素乗算を伴う楕円曲線についてのいくつかの新しい結果が含まれており、そのいくつかは当初専門家に信じられなかった。[69] アティヤとシーガルは、この不動点定理を次のように指数定理と組み合わせた。コンパクト多様体Xへの群Gのコンパクト群作用があり、楕円型作用素と可換である場合、指数定理の通常の K 理論を同変 K 理論で置き換えることができる。これは、自明な群Gに対しては指数定理を与え、孤立した不動点に作用する有限群Gに対してはアティヤ・ボットの不動点定理を与える。一般に、これは群Gの不動点部分多様体上の和として指数を与える。[70]

アティヤ[71]は、ヘルマンダーとゲルファンドが独立に提起した問題、すなわち解析関数の複素冪が超関数を定義するか否かという問題を解いた。アティヤは広中の特異点解決を用いて、この問いに肯定的に答えた。ほぼ同時期にJ.バーンスタインが独創的で初歩的な解を発見し、アティヤもそれについて論じた[72] 。

同変指数定理の応用として、アティヤとヒルツェブルッフは、有効円作用を持つ多様体はÂ種数がゼロであることを示した。[73]（リヒネロヴィチは、多様体が正のスカラー曲率の計量を持つ場合、Â種数はゼロであることを示した。）

アティヤはエルマー・リースと共に、射影空間上の位相ベクトル束と正則ベクトル束の関係に関する問題を研究した。彼らは、射影三次元空間上のすべての階数2のベクトル束が正則構造を持つことを示すことで、最も単純な未知のケースを解決した。[74] ホロックスは以前にそのようなベクトル束の非自明な例をいくつか発見しており、後にアティヤはそれを四次元球面上のインスタントンの研究に用いた。

ラウル・ボットは、アティヤとともに不動点式やその他のいくつかのテーマについて研究した。

アティヤ、ボット、ビジェイ・K・パトディ[75]は熱方程式を用いて指数定理の新しい証明を与えた。

多様体に境界を持たせることが許される場合、有限の指数を保証するために、楕円型作用素の定義域に何らかの制約を課さなければならない。これらの条件は局所的なもの（定義域のセクションが境界で消えることを要求するなど）であることもあれば、より複雑な大域的条件（定義域のセクションが何らかの微分方程式を解くことを要求するなど）であることもある。局所的なケースはアティヤとボットによって解決されたが、彼らは多くの興味深い作用素（例えば、シグネチャ作用素）が局所的境界条件を許さないことを示した。これらの作用素を扱うために、アティヤ、パトーディ、シンガーは境界に沿って多様体に円筒を取り付け、次に定義域を円筒に沿って平方積分可能なセクションに制限することと等価な大域的境界条件を導入し、さらにアティヤ・パトーディ・シンガーのイータ不変量を導入した。この結果、スペクトル非対称性に関する一連の論文[76]が発表され、後に理論物理学、特にウィッテンの異常性に関する研究 で予期せず使用された。

ペトロフスキー、アティヤ、ボット、ゴーディングが論じた空隙は、超音速物体の衝撃波間の空間に似ています。

線型双曲型偏微分方程式の基本解には、しばしばペトロフスキー・ラクーナ（解が等しく消失する領域）が存在する。これは1945年にIG・ペトロフスキーによって研究され、どの領域がラクーナであるかを記述する位相条件が発見された。アティヤはボットおよびラース・ゴーディングと共同で、ペトロフスキーの研究を更新・一般化した3本の論文を執筆した。[77]

アティヤ[78]は、コンパクト商を持つ離散群が作用する非コンパクト多様体への指数定理の拡張方法を示した。この場合、楕円作用素の核は一般に無限次元であるが、フォン・ノイマン代数上の加群の次元を用いて有限の指数を得ることが可能である。この指数は一般に整数値ではなく実数値である。このバージョンはL 2指数定理と呼ばれ、アティヤとシュミット[79]はこれを用いて、二乗可積分調和スピノルを用いて、半単純リー群のハリシュ＝チャンドラの離散級数表現の幾何学的構成を与えた。この研究の過程で、彼らはリー群の指標の局所積分可能性に関するハリシュ＝チャンドラの基本定理のより初歩的な証明を見出した。[80]

彼はH.ドネリーとI.シンガーとともに、ヒルツェブルッフの公式（ヒルベルトモジュラー面の尖端における特徴的な欠陥をL関数の値に関連付ける）を実二次体からすべての全実体へと拡張した。[81]

ゲージ理論（1977–1985）

左側では、同じ極性を持つ2つの近接したモノポールが互いに反発し合い、右側では、反対極性を持つ2つの近接したモノポールが双極子を形成します。これらはアーベル型モノポールです。アティヤが研究した非アーベル型モノポールはより複雑です。

ゲージ理論とそれに関連する話題に関する彼の論文の多くは、彼の全集第5巻に再録されている。[82]これらの論文の共通のテーマは、特定の非線型偏微分方程式、特にインスタントンとモノポールの方程式の解のモジュライ空間の研究である。これには、一見全く異なる2つの方程式の解の間に微妙な対応関係を見つけることがしばしば含まれる。アティヤが繰り返し用いたこの初期の例としてはペンローズ変換があり、これはある実多様体上の非線型方程式の解を、異なる複素多様体上の線型正則方程式の解に変換できることがある。

数人の著者との一連の論文で、アティヤは 4 次元ユークリッド空間上のすべてのインスタントンを分類しました。球面はコンパクトであるため、球面上にインスタントンを分類する方が便利であり、これは本質的には球面と共形的に同値であり、インスタントンの方程式は共形不変であるため、ユークリッド空間上でインスタントンを分類することと等価です。アティヤは Hitchin と Singer [83]とともに、コンパクトな 4 次元リーマン多様体上の任意の主バンドルに対する既約自己双対接続 (インスタントン) のモジュライ空間の次元を計算しました (アティヤ - ヒッチン - シンガーの定理)。たとえば、ランクk >0 の SU 2インスタントンの空間の次元は8 k −3 です。これを行うために、彼らはアティヤ - シンガーの指数定理を使用して、ある点でのモジュライ空間の接空間の次元を計算しました。接空間は本質的に楕円微分作用素の解の空間であり、非線形ヤン・ミルズ方程式の線型化によって与えられる。これらのモジュライ空間は後にドナルドソンが4次元多様体の不変量を構成するために使用した。アティヤとウォードはペンローズ対応を用いて、4次元球面上のすべてのインスタントンの分類を代数幾何学の問題に還元した。[84]彼はヒッチンとともにホロックスのアイデアを用いてこの問題を解き、球面上のすべてのインスタントンのADHM構成を与えた。 マニンとドリンフェルドも同時に同じ構成を発見し、4人の著者による共同論文につながった。[85]アティヤはこの構成を四元数を用いて再定式化し、ユークリッド空間上のインスタントンのこの分類について簡潔に説明した本を執筆した。[86]

これまで物理学によって解決されてきた数学的な問題や生み出された技術は、数学の生命線となってきました。

マイケル・アティヤ[87]

アティヤのインスタントンモジュライ空間に関する研究は、ドナルドソンのドナルドソン理論に関する研究に利用された。ドナルドソンは、正定値交差形式を持つコンパクト単連結4次元多様体上の（次数1）インスタントンのモジュライ空間をコンパクト化することで、多様体と複素射影空間のコピーの和との間に共ボルディズム（cobordism）を与えることを示した。彼はこのことから、交差形式は1次元のモジュライの和でなければならないと導き、これは4次元ユークリッド空間上の非同値な滑らかな構造の存在など、滑らかな4次元多様体へのいくつかの画期的な応用につながった。ドナルドソンは、アティヤが研究した他のモジュライ空間を用いてドナルドソン不変量を定義し、これは滑らかな4次元多様体研究に革命をもたらし、それらが他のどの次元の滑らかな多様体よりも繊細であり、また位相的な4次元多様体とは全く異なることを示した。アティヤはこれらの結果のいくつかを概説講演で説明した。[88]

線型偏微分方程式のグリーン関数は、フーリエ変換を用いて代数問題に変換することで求められることが多い。アティヤはこの考え方の非線形版を用いた。[89]彼はペンローズ変換を用いて、共形不変ラプラシアンのグリーン関数を複素解析的対象に変換した。これは本質的にペンローズ・ツイスター空間をその正方空間に対角的に埋め込むものであることが判明した。これにより、彼は4次元多様体上の共形不変グリーン関数の明示的な式を見つけることができた。

ジョーンズとの共著論文[90]において、彼は4次元球面上のSU(2)インスタントンのモジュライ空間の位相を研究した。彼らは、このモジュライ空間から全接続空間への自然写像が、ある次元範囲においてホモロジー群のエピモーフィズムを誘導することを示し、さらに同じ次元範囲においてホモロジー群の同型を誘導する可能性を示唆した。これはアティヤ＝ジョーンズ予想として知られるようになり、後に複数の数学者によって証明された[91] 。

ハーダーとMSナラシムハンは、有限体上のモジュライ空間の点の数を数えることによって、リーマン面上の安定ベクトル束のモジュライ空間のコホモロジーを記述し、次にヴェイユ予想を用いて複素数上のコホモロジーを回復した。 [92] アティヤとR.ボットは、モース理論とリーマン面上のヤン・ミルズ方程式を用いて、ハーダーとナラシムハンの結果を再現し拡張した。[93]

シュアとホーンによる古い結果は、与えられた固有値を持つエルミート行列の可能な対角ベクトルの集合は、固有値のすべての順列の凸包である、というものである。アティヤは、この一般化をトーラスが作用するすべてのコンパクトシンプレクティック多様体に適用できることを証明し、モーメント写像による多様体の像が凸多面体であることを示した[94]。また、プレスリーと共に、無限次元ループ群への関連する一般化を与えた[95] 。

Duistermaat と Heckman は、トーラス作用のモーメント写像のリウヴィル測度の押し出しが、定常位相近似（一般には厳密なものではなく漸近展開にすぎない）によって正確に与えられるという印象的な公式を発見した。 Atiyah と Bott [96]は、これが同変コホモロジーにおけるより一般的な公式から演繹できることを示した。この公式は、よく知られた局所化定理の帰結である。 Atiyah は、モーメント写像が幾何学的不変理論と密接に関連していることを示し[97] 、このアイデアは後に彼の学生であるF. Kirwanによってさらに発展させられた。Witten はその後まもなく、Duistermaat–Heckman 公式をループ空間に適用し、これが正式にディラック作用素の Atiyah–Singer 指数定理を与えることを示した。このアイデアは Atiyah によって講義された。[98]

彼はヒッチンとともに磁気単極子の研究を行い、ニック・マントンのアイデアを用いてその散乱を研究した。[99]ヒッチンとの共著[100]には、磁気単極子に関する研究が詳細に記述されている。その本の主要テーマは、磁気単極子のモジュライ空間の研究である。これは自然なリーマン計量を持ち、重要な点はこの計量が完全かつ超ケーラーであるという点である。次にこの計量は、モジュライ空間上の測地線流が散乱の低エネルギー近似であるというマントンの示唆を用いて、2つの単極子の散乱を研究するために用いられる。例えば、彼らは、2つの単極子が正面衝突すると90度散乱が生じ、散乱の方向は2つの単極子の相対位相に依存することを示した。彼はまた、双曲空間上の単極子の研究も行なった。[101]

アティヤは[102]、 4次元のインスタントンは2次元のインスタントンと同一視できることを示しました。2次元のインスタントンの方が扱いがはるかに容易です。もちろん、落とし穴があります。4次元から2次元に移行すると、ゲージ理論の構造群は有限次元群から無限次元ループ群へと変化します。これは、一見無関係に見える2つの非線形偏微分方程式の解のモジュライ空間が本質的に同じであることが判明する、もう一つの例を示しています。

アティヤとシンガーは、量子場の理論における異常性がディラック演算子の指数理論によって解釈できることを発見した。[103]このアイデアは後に物理学者によって広く使われるようになった。

後期の作品（1986年～2019年）

エドワード・ウィッテン、多様体の不変量と位相量子場理論に関する研究はアティヤの影響を受けていた。

彼の全集第6巻[104]に収録されている論文の多くは、概説、追悼記事、そして一般的な講演である。アティヤはその後も論文を発表し続け、いくつかの概説、一般向けの書籍[105] 、そしてシーガルとの共著によるツイストK理論に関する論文などを発表した。

ある論文[106]は、位相幾何学と指数定理の観点から デデキントのエータ関数を詳細に研究したものである。

この頃の彼の論文のいくつかは、量子場理論、結び目、そしてドナルドソン理論の関連性を研究している。彼はウィッテンの研究とシーガルの共形場理論の定義に触発され、位相的量子場理論の概念を導入した。 [107]彼の著書『結び目の幾何学と物理学』[108]は、ヴォーン・ジョーンズとエドワード・ウィッテンが発見した新しい結び目不変量を位相的量子場理論の観点から記述しており、L・ジェフリーとの共著論文[109]では、ドナルドソン不変量を与えるウィッテンのラグランジアンについて説明している。

彼はニック・マントンとともにスキルミオンを研究し、[110]磁気単極子とインスタントンとの関係を発見し、2つのスキルミオンのモジュライ空間が複素射影3次元空間の特定の部分商として構造を持つという予想を与えた。

いくつかの論文[111]は、ジョナサン・ロビンズの問い（ベリー・ロビンズ問題と呼ばれる）に触発されたものである。ロビンズは、3次元空間のn点の配置空間からユニタリー群の旗多様体への写像が存在するかどうかを問うた。アティヤはこの問いに肯定的な答えを与えたが、その解は計算量が多いと感じ、より自然な解を与える予想を研究した。彼はまた、この問題をナームの方程式と関連付け、配置に関するアティヤ予想を提示した。

しかし、実用上はほとんどの場合、古典群を使うだけで十分です。例外リー群は、理論が少し大きいことを示すためだけに存在しており、実際に現れることは非常に稀です。

マイケル・アティヤ[112]

彼はフアン・マルダセナ、クムルン・ヴァファ[113]、そしてE・ウィッテン[114]と共に、 G2ホロノミーを持つ多様体上のM理論のダイナミクスを記述した。これらの論文は、アティヤが例外リー群について研究した最初の論文であると思われる。

M.ホプキンス[115]やG.シーガル[116]との論文では、彼は以前の関心であったK理論に戻り、理論物理学への応用を伴うK理論のいくつかの変形について記述した。

2016年10月、彼は6次元球面上に複素構造が存在しないという簡潔な証明を主張した[117]。彼の証明は、多くの先行者と同様に、数学界では、改訂版に書き直された後も欠陥があるとみなされている[118] [119] 。

2018年のハイデルベルク桂冠フォーラムにおいて、彼はヒルベルトの第8問題であるリーマン予想を、微細構造定数を用いた背理法によって解決したと主張した。しかし、この証明は再び成立せず、この予想は2025年現在、数学における未解決のミレニアム懸賞問題6つのうちの1つとなっている。[120] [121]

参考文献

本

このサブセクションでは、アティヤが執筆したすべての書籍をリストします。彼が編集した数冊の書籍は省略します。

  • アティヤ、マイケル F.;マクドナルド、イアン G. (1969) 『可換代数入門』、アディソン・ウェスリー出版社、マサチューセッツ州レディング-ロンドン-オンタリオ州ドン・ミルズ、MR  0242802標準的な可換代数を網羅した古典的な教科書。
  • Atiyah、Michael F. (1970)、多様体上のベクトル場、Arbeitsgemeinschaft für Forschung des Landes Nordrhein-Westfalen、Heft 200、ケルン: Westdeutscher Verlag、MR  0263102（Atiyah 1988b、項目50）として転載。
  • アティヤ、マイケル F. (1974)、「楕円作用素とコンパクト群」、数学講義ノート、第401巻、ベルリン、ニューヨーク：シュプリンガー・フェアラーグ、MR  0482866（Atiyah 1988c、項目78）として転載。
  • Atiyah、Michael F. (1979)、Yang-Mills フィールドの幾何学、Scuola Normale Superiore Pisa、ピサ、MR  0554924（Atiyah 1988e、項目99）として転載。
  • アティヤ、マイケル・F.；ヒッチン、ナイジェル（1988）「磁気単極子の幾何学とダイナミクス」、MBポーター講演会、プリンストン大学出版、doi：10.1515/9781400859306、ISBN 978-0-691-08480-0、MR  0934202（Atiyah 2004、項目126）として転載。
  • アティヤ、マイケル・F.（1988a）、Collected works. Vol. 1 Early papers: general papers、Oxford Science Publications、The Clarendon Press Oxford University Press、ISBN 978-0-19-853275-0、MR  0951892。
  • アティヤ、マイケル・F.（1988b）、Collected works. Vol. 2 K-theory、オックスフォード・サイエンス・パブリケーションズ、クラレンドン・プレス、オックスフォード大学出版局、ISBN 978-0-19-853276-7、MR  0951892。
  • アティヤ、マイケル・F.（1988c）、Collected works. Vol. 3 Index theory: 1、Oxford Science Publications、The Clarendon Press Oxford University Press、ISBN 978-0-19-853277-4、MR  0951892。
  • アティヤ、マイケル・F.（1988d）、Collected works. Vol. 4 Index theory: 2、オックスフォード・サイエンス・パブリケーションズ、クラレンドン・プレス、オックスフォード大学出版局、ISBN 978-0-19-853278-1、MR  0951892。
  • アティヤ, マイケル・F. (1988e), Collected works. Vol. 5 Gauge theory , Oxford Science Publications, The Clarendon Press Oxford University Press, ISBN 978-0-19-853279-8、MR  0951892。
  • アティヤ、マイケル F. (1989)、K理論、アドバンストブッククラシックス（第2版）、アディソンウェスレー、ISBN 978-0-201-09394-0、MR  1043170初版（1967年）は（Atiyah 1988b、項目45）として再版されました。
  • アティヤ、マイケル・F.（1990）『結び目の幾何学と物理学』、リンチェイ講義集、ケンブリッジ大学出版局、doi :10.1017/CBO9780511623868、ISBN 978-0-521-39521-2、MR  1078014（Atiyah 2004、項目136）として転載。
  • アティヤ、マイケル・F.（2004）、Collected works. 第6巻、オックスフォード・サイエンス・パブリケーションズ、クラレンドン・プレス、オックスフォード大学出版局、ISBN 978-0-19-853099-2、MR  2160826。
  • Atiyah、Michael F. (2007)、Siamo tutti matematici (イタリア語: 私たちは皆数学者です)、Roma: Di Renzo Editore、p. 96、ISBN 978-88-8323-157-5、2019年1月14日時点のオリジナルよりアーカイブ。 2008年7月23日閲覧。
  • アティヤ、マイケル（2014）、Collected works. Vol. 7. 2002-2013、オックスフォード・サイエンス・パブリケーションズ、クラレンドン・プレス、オックスフォード大学出版局、ISBN 978-0-19-968926-2、MR  3223085。
  • アティヤ、マイケル F.; イアゴルニッツァー、ダニエル; チョン、チタット (2015)、『フィールズ賞受賞者講演（第3版）』、ワールドサイエンティフィック、doi :10.1142/9652、ISBN 978-981-4696-18-0。

選定された論文

  • アティヤ, マイケル F. (1961)、「有限群のキャラクタとコホモロジー」、Inst. Hautes Études Sci. Publ. Math.、9 (1): 23– 64、doi :10.1007/BF02698718、S2CID  54764252（Atiyah 1988b、論文29）に転載。
  • アティヤ, マイケル F.;ヒルツェブルッフ, フリードリヒ(1961). 「ベクトル束と同質空間」. アレンドルファー, カール B. (編).微分幾何学. 純粋数学シンポジウム紀要. 第3巻. プロビデンス: アメリカ数学会. pp.  7– 38. doi :10.1090/pspum/003/0139181. ISBN 978-0-8218-1403-1（Atiyah 1988b、論文28）に転載。
  • アティヤ, マイケル F.;シーガル, グレアム B. (1969)、「同変K理論と完成」、微分幾何学ジャーナル、3 ( 1–2 ): 1– 18、doi : 10.4310/jdg/1214428815（Atiyah 1988b、論文49）に転載。
  • Atiyah、Michael F. (1976)、「楕円演算子、離散群、およびフォン・ノイマン代数」、コロク「分析とトポロジー」アン・ロヌール・ド・アンリ・カルタン (オルセー、1974)、アステリスク、vol.  32–33、学会。数学。フランス、パリ、 43–72ページ 、MR  0420729（Atiyah 1988d、論文89）に再録。L 2 -ベッティ数の有理性に関するAtiyah「予想」の定式化。
  • アティヤ, マイケル F.; シンガー, イザドール M. (1963)、「コンパクト多様体上の楕円作用素の指数」、アメリカ数学会誌、69 (3): 322– 433, doi : 10.1090/S0002-9904-1963-10957-X指数定理の発表。(Atiyah 1988c、論文56)に転載。
  • アティヤ, マイケル F.; シンガー, イザドア M. (1968a)、「楕円演算子の索引 I」、数学年報、87 (3): 484– 530、doi :10.2307/1970715、JSTOR  1970715これはコホモロジーの代わりにK理論を用いた証明である。(Atiyah 1988c, paper 64)に再録。
  • アティヤ, マイケル F.; シーガル, グレアム B. (1968)、「楕円演算子の索引: II」、数学年報、第2集、87 (3): 531– 545、doi :10.2307/1970716、JSTOR  1970716これは、同変K理論を用いて、結果を一種のレフシェッツ不動点定理として再定式化するものである。(Atiyah 1988c、論文65)に再録。
  • アティヤ, マイケル F.; シンガー, イザドア M. (1968b)、「楕円演算子の索引 III」、数学年報、第 2 シリーズ、87 (3): 546– 604、doi :10.2307/1970717、JSTOR  1970717この論文では、K理論版からコホモロジーを用いた版への変換方法を示す。(Atiyah 1988c, 論文66)に転載。
  • アティヤ, マイケル F.; シンガー, イザドール M. (1971)、「楕円演算子の索引IV」、数学年報、第2集、93 (1): 119– 138、doi :10.2307/1970756、JSTOR  1970756この論文は楕円作用素の族を研究するものであり、指数は族を媒介変数とする空間のK理論の要素となる。(Atiyah 1988c, 論文67)に転載。
  • アティヤ, マイケル F.; シンガー, イザドール M. (1971)、「楕円演算子の索引 V」、数学年報、第 2 シリーズ、93 (1): 139– 149、doi :10.2307/1970757、JSTOR  1970757. これは、実楕円作用素（複素楕円作用素ではない）の族を研究するもので、場合によっては少し余分な情報を引き出すことができる。(Atiyah 1988c、論文68)に再録。
  • アティヤ, マイケル F.; ボット, ラウル (1966)、「楕円微分作用素に対するレフシェッツ不動点公式」、Bull. Am. Math. Soc.、72 (2): 245– 50、doi : 10.1090/S0002-9904-1966-11483-0これは楕円複体の自己準同型のレフシェッツ数を計算する定理である。(Atiyah 1988c, paper 61)に再録。
  • アティヤ, マイケル F.; ボット, ラウル (1967)、「楕円複体のレフシェッツ不動点公式: I」、数学年報、第2集、86 (2): 374– 407、doi :10.2307/1970694、JSTOR  1970694（アティヤ 1988c、論文61に再録）およびアティヤ、マイケル F.、ボット、ラウル（1968）、「楕円複体のレフシェッツ不動点公式：II.応用」、数学年報、第2シリーズ、88（3）：451–491、doi：10.2307/1970721、JSTOR  1970721(Atiyah 1988c、論文62)に転載。これらは、前論文で発表された結果の証明といくつかの応用を示している。
  • アティヤ, マイケル F.; ボット, ラウル; パトーディ, ヴィジェイ K. (1973)「熱方程式と指数定理について」(PDF) , Invent. Math. , 19 (4): 279– 330, Bibcode :1973InMat..19..279A, doi :10.1007/BF01425417, MR  0650828, S2CID  115700319アティヤ, マイケル F.; ボット, R.; パトーディ, VK (1975)、「Errata」、Invent. Math.、28 (3): 277– 280、Bibcode :1975InMat..28..277A、doi : 10.1007/BF01425562、MR  0650829(Atiyah 1988d、論文79、79a)に再録。
  • アティヤ, マイケル F.; シュミット, ウィルフリード (1977), 「​​半単純リー群の離散級数の幾何学的構成」, Invent. Math. , 42 (1): 1– 62, Bibcode :1977InMat..42....1A, doi :10.1007/BF01389783, MR  0463358, S2CID  189831012アティヤ, マイケル F.; シュミット, ウィルフリード (1979)、「Erratum」、Invent. Math.、54 (2): 189– 192、Bibcode :1979InMat..54..189A、doi : 10.1007/BF01408936、MR  0550183（Atiyah 1988d、論文90）に転載。
  • アティヤ、マイケル (2010)、エディンバラ幾何学・解析・物理学講義、arXiv : 1009.4827v1、Bibcode :2010arXiv1009.4827A

賞と栄誉

アティヤ氏が1990年から1995年まで会長を務めた王立協会の敷地内

1966年、37歳のとき、 K理論、一般化レフシェッツ不動点定理、アティヤ・シンガー定理の開発に対する功績によりフィールズ賞を受賞[122]。また、この功績により、 2004年にイサドア・シンガーと共同でアーベル賞も受賞[123]。 その他の受賞歴としては、1968年の王立協会ロイヤルメダル、[ 124 ] 1980年のロンドン数学会ド・モルガンメダル、1981年のリンチェイ国立アカデミーアントニオ・フェルトリネッリ賞、 1987年のキングファイサル国際科学賞、[125] 1988年の王立協会コプリーメダル、[ 126 ]物理学および物理科学における傑出した業績に対するベンジャミン・フランクリンメダルなどがある。1993年にアメリカ哲学協会から名誉勲章[127] 、 1993年にインド国立科学アカデミーからジャワハルラール・ネルー生誕100周年記念メダル[128] 、 2008年に物理学研究所から大統領メダル[129] 、 2010年にフランス科学アカデミーからグランド・メダル[130] 、 2011年にフランス・レジオンドヌール勲章グラン・オフィシエ[131]を授与された。

彼は米国科学アカデミー、アメリカ芸術科学アカデミー（1969年）、[132]科学アカデミー、レオポルディーナアカデミー、スウェーデン王立科学アカデミー、アイルランド王立アカデミー、エディンバラ王立協会、アメリカ哲学協会、インド国立科学アカデミー、中国科学アカデミー、オーストラリア科学アカデミー、ロシア科学アカデミー、ウクライナ科学アカデミー、グルジア科学アカデミー、ベネズエラ科学アカデミー、ノルウェー科学文学アカデミー、スペイン王立科学アカデミー、リンチェイアカデミー、モスクワ数学会の外国人会員に選出された。[7] [11] 2012年、彼はアメリカ数学会のフェローとなった。[133]彼はまた、1993年に王立工学アカデミー[134]の名誉フェロー[134]に任命されました。

アティヤは、バーミンガム大学、ボン大学、シカゴ大学、ケンブリッジ大学、ダブリン大学、ダーラム大学、エディンバラ大学、エセックス大学、ゲント大学、ヘルシンキ大学、レバノン大学、レスター大学、ロンドン大学、メキシコ大学、モントリオール大学、オックスフォード大学、レディング大学、サラマンカ大学、セントアンドリュース大学、サセックス大学、ウェールズ大学、ウォーリック大学、ベイルート・アメリカン大学、ブラウン大学、プラハ・チャールズ大学、ハーバード大学、ヘリオット・ワット大学、香港（中華大学）、キール大学、クイーンズ大学（カナダ）、オープン大学、ウォータールー大学、ウィルフリッド・ローリエ大学、カタルーニャ工科大学、UMISTから名誉学位を授与された。[7] [11] [135] [136]

アティヤは1983年にナイトの称号を授与され[7] 、 1992年にはメリット勲章を受章した[11]。

レスター大学のマイケル・アティヤ・ビル[137]とベイルート・アメリカン大学の マイケル・アティヤ数学科学教授職[138]は彼の名にちなんで名付けられました。

私生活

アティヤは1955年7月30日にリリー・ブラウンと結婚し、ジョン、デイビッド、ロビンの3人の息子をもうけた。長男のジョンは、妻のマジ＝リスと共にピレネー山脈でハイキング旅行中に2002年6月24日に亡くなった。

リリー・アティヤは2018年3月13日に90歳で亡くなりました[3] [5] [7]。一方、マイケル・アティヤ卿はそれから1年も経たない2019年1月11日に89歳で亡くなりました[139] [140]。

参照

参考文献

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  10. ^ Batra, Amba (2003年11月8日), Maths guru with Einstein's dream prefers chalk to mouse. (Interview with Atiyah.), Delhi newsline, archived from the original on 8 February 2009 , retrieved 14 August 2008
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