インスタントン

R ⁴の(x ¹ ,x ² )スライス上のBPSTインスタントンの dx 1 ⊗σ 3 係数。^ここで_、 σ 3_は3番目のパウリ行列です（左上）。dx 2 ⊗σ ₃係数（右上）。これらの係数は、g=2、ρ=1、z=0^のBPSTインスタントンAのこのスライスへの制限を決定します。対応する場の強度はz=0を中心としています（左下）。R ⁴のコンパクト化S ⁴上に中心zを持つBPSTインスタントンの場の強度の視覚的表現（右下） 。BPSTインスタントンは、R 4^上のヤン・ミルズ方程式の古典的なインスタントン解です

インスタントン（または擬粒子^{[1] [2] [3] ）は、理論物理学と}数理物理学に現れる概念です。インスタントンは、量子力学または場の量子論において、有限でゼロではない作用を持つ運動方程式の古典解です。より正確には、ユークリッド時空上の古典場の理論の運動方程式の解です。^[4]

このような量子理論では、運動方程式の解は作用の臨界点と考えることができます。作用の臨界点は、作用の極大値、極小値、または鞍点です。インスタントンは場の量子論において、以下の理由で重要です。

• 経路積分において、系の古典的振る舞いに対する主要な量子補正として現れる。
• ヤン＝ミルズ理論などのさまざまな系におけるトンネル現象を研究するため使用できる

力学に関連して、インスタントンの族は、インスタントン、すなわち運動方程式の異なる臨界点が互いに関連付けることを可能にします。物理学においてインスタントンは特に重要です。インスタントン（およびノイズ誘起反インスタントン）の凝縮は、自己組織化臨界性として知られるノイズ誘起カオス相の説明となると考えられているためです。

数学

数学的には、ヤン＝ミルズ・インスタントンは、非アーベルゲージ理論において物理的時空の役割を果たす4次元リーマン多様体上の主束における自己双対または反自己双対接続です。インスタントンは、その位相型内でエネルギー汎関数を絶対的に最小化する、ヤン＝ミルズ方程式の位相的に非自明な解です。^{[5]最初のそのような解は}、4次元球面にコンパクト化された4次元ユークリッド空間の場合に発見され、時空に局在することが判明し、擬粒子とインスタントンという 名前が付けられました

ヤン＝ミルズインスタントンは、多くの場合、代数曲面上の代数ベクトル束に関連付けるツイスター理論、および幾何学的不変量理論の手順であるADHM構成、またはハイパーケーラー還元（ハイパーケーラー多様体を参照）によって明示的に構築されてきました。サイモン・ドナルドソンの画期的な研究（後にフィールズ賞を受賞）は、与えられた4次元微分可能多様体上のインスタントンのモジュライ空間を、その微分可能構造に依存する多様体の新しい不変量として用い、それを同相4次元多様体（微分同相4次元多様体ではない）の構築に適用しました。インスタントンの研究で開発された多くの手法は、モノポールにも適用されています。これは、磁気モノポールがヤン＝ミルズ方程式の次元縮小の解として生じるためです。^[6]

量子力学

インスタントンは、ポテンシャル障壁をトンネルする量子力学的粒子の遷移確率を計算するために用いられる。インスタントン効果を持つ系の一例として、二重井戸型ポテンシャル内の粒​​子が挙げられる。古典粒子とは対照的に、インスタントン効果を持つ粒子は、自身のエネルギーよりも高いポテンシャルエネルギー領域を通過する確率がゼロではない。^[4]

インスタントンを考慮する動機

二重井戸型ポテンシャル内の単一粒子の運動の量子力学を考えてみましょう。 ポテンシャルエネルギーは で最小値を取ります。古典力学では、粒子がいずれかの状態にある傾向があるため、これらは古典極小値と呼ばれます。古典力学には2つの最低エネルギー状態があります。 ${\displaystyle V(x)={1 \over 4}(x^{2}-1)^{2}.}$ ${\displaystyle x=\pm 1}$

量子力学では、シュレーディンガー方程式を解きます

${\displaystyle -{\hbar ^{2} \over 2m}{\partial ^{2} \over \partial x^{2}}\psi (x)+V(x)\psi (x)=E\psi (x),}$

エネルギー固有状態を特定します。これを行うと、2つの状態ではなく、唯一の最低エネルギー状態のみが見つかります。基底状態の波動関数は、量子干渉または量子トンネル効果のために、古典極小値の1つではなく、両方の極小値に局在します。 ${\displaystyle x=\pm 1}$

インスタントンは、ユークリッド時間における経路積分定式化の半古典的近似内でなぜこれが起こるのかを理解するためのツールです。まず、波動関数自体を近似的に計算するWKB近似を用いてこれを確認し、次に経路積分定式化を用いてインスタントンを導入します。

WKB近似

この確率を計算する1つの方法は、半古典的WKB近似を用いることです。この近似では、の値が小さいことが必要です。粒子の 時間に依存しないシュレーディンガー方程式は${\displaystyle \hbar }$

${\displaystyle {\frac {d^{2}\psi }{dx^{2}}}={\frac {2m(V(x)-E)}{\hbar ^{2}}}\psi .}$

ポテンシャルが一定であれば、解は比例係数まで平面波になります。

${\displaystyle \psi =\exp(-\mathrm {i} kx)\,}$

で

${\displaystyle k={\frac {\sqrt {2m(E-V)}}{\hbar }}.}$

これは、粒子のエネルギーがポテンシャルエネルギーよりも小さい場合、指数関数的に減少する関数が得られることを意味します。関連するトンネル振幅は

${\displaystyle e^{-{\frac {1}{\hbar }}\int _{a}^{b}{\sqrt {2m(V(x)-E)}}\,dx},}$

ここで、aとbはトンネル軌道の始点と終点です。

インスタントンによる経路積分の解釈

あるいは、経路積分を使用することでインスタントン解釈が可能になり、このアプローチでも同じ結果が得られます。経路積分の定式化では、遷移振幅は次のように表すことができます。

${\displaystyle K(a,b;t)=\langle x=a|e^{-{\frac {i\mathbb {H} t}{\hbar }}}|x=b\rangle =\int d[x(t)]e^{\frac {iS[x(t)]}{\hbar }}.}$

ウィック回転（解析接続）からユークリッド時空（）へのプロセスに従って、 ${\displaystyle it\rightarrow \tau }$

${\displaystyle K_{E}(a,b;\tau )=\langle x=a|e^{-{\frac {\mathbb {H} \tau }{\hbar }}}|x=b\rangle =\int d[x(\tau )]e^{-{\frac {S_{E}[x(\tau )]}{\hbar }}},}$

ユークリッド作用で

${\displaystyle S_{E}=\int _{\tau _{a}}^{\tau _{b}}\left({\frac {1}{2}}m\left({\frac {dx}{d\tau }}\right)^{2}+V(x)\right)d\tau .}$

ウィック回転によってポテンシャルエネルギーの符号が変わり、最小値が最大値に変換され、それによって最大エネルギーの2つの「丘」が現れます。 ${\displaystyle V(x)\rightarrow -V(x)}$ ${\displaystyle V(x)}$

ここで、二重井戸型ポテンシャルを持つユークリッド作用の局所的最小値を考えてみましょう。計算を簡単にするために、 と を設定します。2つの古典的に最も低いエネルギー状態がどのように関連しているかを知りたいので、とを設定します。 と について、ユークリッド作用は次のように書き直すことができます 。${\displaystyle S_{E}}$ ${\displaystyle V(x)={1 \over 4}(x^{2}-1)^{2}}$ ${\displaystyle m=1}$ ${\displaystyle x=\pm 1}$ ${\displaystyle a=-1}$ ${\displaystyle b=1}$ ${\displaystyle a=-1}$ ${\displaystyle b=1}$

${\displaystyle S_{E}=\int _{\tau _{a}}^{\tau _{b}}d\tau {1 \over 2}\left({dx \over d\tau }-{\sqrt {2V(x)}}\right)^{2}+{\sqrt {2}}\int _{\tau _{a}}^{\tau _{b}}d\tau {dx \over d\tau }{\sqrt {V(x)}}}$

${\displaystyle \quad =\int _{\tau _{a}}^{\tau _{b}}d\tau {1 \over 2}\left({dx \over d\tau }-{\sqrt {2V(x)}}\right)^{2}+\int _{-1}^{1}dx{1 \over {\sqrt {2}}}(1-x^{2}).}$

${\displaystyle \quad \geq {2{\sqrt {2}} \over 3}.}$

上記の不等式は、 と の条件での解によって飽和します。そのような解は存在し、とのとき、解は単純な形を取ります。インスタントン解の明示的な式は次のように与えられます 。${\displaystyle {dx \over d\tau }={\sqrt {2V(x)}}}$ ${\displaystyle x(\tau _{a})=-1}$ ${\displaystyle x(\tau _{b})=1}$ ${\displaystyle \tau _{a}=-\infty }$ ${\displaystyle \tau _{b}=\infty }$

${\displaystyle x(\tau )=\tanh \left({1 \over {\sqrt {2}}}(\tau -\tau _{0})\right).}$

ここで は任意定数です。この解は の周りで1つの古典真空から別の古典真空へ瞬時にジャンプするため、インスタントンと呼ばれます。 ${\displaystyle \tau _{0}}$ ${\displaystyle x=-1}$ ${\displaystyle x=1}$ ${\displaystyle \tau =\tau _{0}}$

二重井戸型ポテンシャルの明示的な式

二重井戸型ポテンシャルを持つシュレーディンガー方程式の固有エネルギーの明示的な式は、ミュラー・キルステン^[7]によって与えられており、シュレーディンガー方程式に摂動法（および境界条件）を適用した導出と、経路積分（およびWKB）からの明示的な導出の両方によって導出されています。結果は次のとおりです。シュレーディンガー方程式とポテンシャルのパラメータを方程式 によって定義すると、

${\displaystyle {\frac {d^{2}y(z)}{dz^{2}}}+[E-V(z)]y(z)=0,}$

および

${\displaystyle V(z)=-{\frac {1}{4}}z^{2}h^{4}+{\frac {1}{2}}c^{2}z^{4},\;\;\;c^{2}>0,\;h^{4}>0,}$

の固有値は次のとおりです ${\displaystyle q_{0}=1,3,5,...}$

${\displaystyle E_{\pm }(q_{0},h^{2})=-{\frac {h^{8}}{2^{5}c^{2}}}+{\frac {1}{\sqrt {2}}}q_{0}h^{2}-{\frac {c^{2}(3q_{0}^{2}+1)}{2h^{4}}}-{\frac {{\sqrt {2}}c^{4}q_{0}}{8h^{10}}}(17q_{0}^{2}+19)+O({\frac {1}{h^{16}}})}$

${\displaystyle \mp {\frac {2^{q_{0}+1}h^{2}(h^{6}/2c^{2})^{q_{0}/2}}{{\sqrt {\pi }}2^{q_{0}/4}[(q_{0}-1)/2]!}}e^{-h^{6}/6{\sqrt {2}}c^{2}}.}$

明らかに、これらの固有値は、ポテンシャルの調和成分の結果として予想されるように、漸近的に退化しています。 ${\displaystyle h^{2}\rightarrow \infty }$

結果

数学的に明確に定義されたユークリッド経路積分から得られた結果は、ウィック回転して戻すことができ、（潜在的に発散する）ミンコフスキー経路積分を適切に処理することによって得られるものと同じ物理的結果を与える可能性があります。この例からわかるように、ミンコフスキー経路積分を用いて粒子が古典的に禁制領域（）をトンネルする遷移確率を計算することは、ユークリッド経路積分において古典的に許容される領域（ポテンシャル−V（X）を持つ）をトンネルする遷移確率を計算することに対応します（図式的に言えば、ユークリッドの図では、この遷移は粒子が逆立ちして二重井戸型ポテンシャルの一方の丘からもう一方の丘へと転がり落ちることに相当します）。ユークリッド運動方程式のこの古典解はしばしば「キンク解」と呼ばれ、インスタントンの例です。この例では、二重井戸型ポテンシャルの2つの「真空」（すなわち基底状態）は、問題のユークリッド化されたバージョンでは丘に変わります ${\displaystyle V(x)}$

このように、 （ユークリッド、すなわち虚時間を持つ）(1 + 1)次元場の理論のインスタントン場の解（最初の量子化された量子力学的記述）は、物理的（1次元空間 + 実時間）ミンコフスキー系の2つの真空（基底状態 - 高次状態は周期的なインスタントンを必要とする）間のトンネル効果として解釈することを可能にする。二重井戸型ポテンシャルの場合 、

${\displaystyle V(\phi )={\frac {m^{4}}{2g^{2}}}\left(1-{\frac {g^{2}\phi ^{2}}{m^{2}}}\right)^{2}}$

インスタントン、すなわち

${\displaystyle {\frac {d^{2}\phi }{d\tau ^{2}}}=V'(\phi ),}$

（すなわちエネルギーを持つ） の解は${\displaystyle E_{cl}=0}$

${\displaystyle \phi _{c}(\tau )={\frac {m}{g}}\tanh \left[m(\tau -\tau _{0})\right],}$

ここでユークリッド時間である ${\displaystyle \tau =it}$

2つの真空のうちの1つを巡る単純な摂動論（ミンコフスキー的記述）だけでは、この非摂動的なトンネル効果を示すことは決してなく、この量子力学系の真空構造の描像を劇的に変化させることになる点に注意する必要がある。実際には、単純な摂動論は境界条件によって補完される必要があり、これらの条件が非摂動効果をもたらす。これは、上記の明示的な式や、コサインポテンシャル（マシュー関数参照）や他の周期ポテンシャル（ラメ関数や回転楕円体波動関数参照）などの他のポテンシャルに対する類似の計算からも明らかであり、シュレーディンガー方程式や経路積分のどちらを使用するかに関わらず、この効果は得られる。^[8]

したがって、摂動的なアプローチは物理系の真空構造を完全に記述できない可能性があります。これは、例えば「アクシオン」理論において重要な結果をもたらす可能性があります。アクシオン理論では、QCDの非自明な真空効果（インスタントンなど）がペッチャイ＝クイン対称性を明示的に破壊し、質量のない南部＝ゴールドストーンボソンを質量のある擬南部＝ゴールドストーンボソンに変換します。

周期インスタントン

1次元場の理論または量子力学では、「インスタントン」とは、ユークリッド時間と有限のユークリッド作用を持つ古典的（ニュートンのような）運動方程式の解である場の構成を定義します。ソリトン理論の文脈では、対応する解はキンクとして知られています。古典粒子の挙動との類似性から、このような構成または解は、他のものと同様に、擬粒子または擬古典構成として総称されます。「インスタントン」（キンク）解には、「反インスタントン」（反キンク）として知られる別の解が伴い、インスタントンと反インスタントンはそれぞれ「トポロジカルチャージ」+1と-1によって区別されますが、同じユークリッド作用を持ちます

「周期インスタントン」はインスタントンの一般化です。^[9]明示的に表現すると、周期関数（実質的には三角関数の一般化）であるヤコビ楕円関数で表すことができます。無限周期の限界において、これらの周期インスタントン（しばしば「バウンス」、「バブル」などと呼ばれます）はインスタントンに還元されます

これらの擬古典的配置の安定性は、擬粒子配置の周りの理論を定義するラグランジアン展開し、その周りの小さな変動の方程式を調べることによって調べることができます。4次ポテンシャル（二重井戸型、逆二重井戸型）および周期的（マシュー型）ポテンシャルのすべてのバージョンについて、これらの方程式はラメ方程式であることが発見されました。ラメ関数を参照してください。^[10]これらの方程式の固有値は既知であり、不安定性がある場合には経路積分を評価することで減衰率を計算することができます。^[9]

反応速度論におけるインスタントン

反応速度論の文脈では、周期インスタントンは化学反応における原子のトンネル速度を計算するために使用されます。化学反応の進行は、高次元ポテンシャルエネルギー面（PES）上の擬粒子の動きとして記述できます。熱反応速度定数は、自由エネルギーの虚数部と次のように関連付けることができます。^[11]${\displaystyle k}$ ${\displaystyle F}$

${\displaystyle k(\beta )=-{\frac {2}{\hbar }}{\text{Im}}\mathrm {F} ={\frac {2}{\beta \hbar }}{\text{Im}}\ {\text{ln}}(Z_{k})\approx {\frac {2}{\hbar \beta }}{\frac {{\text{Im}}Z_{k}}{{\text{Re}}Z_{k}}},\ \ {\text{Re}}Z_{k}\gg {\text{Im}}Z_{k}}$

ここで、は標準的な分配関数であり、位置表現におけるボルツマン演算子のトレースを取ることによって計算されます。 ${\displaystyle Z_{k}}$

${\displaystyle Z_{k}={\text{Tr}}(e^{-\beta {\hat {H}}})=\int d\mathbf {x} \left\langle \mathbf {x} \left|e^{-\beta {\hat {H}}}\right|\mathbf {x} \right\rangle }$

ウィック回転を用い、ユークリッド時間を と同一視することで、質量加重座標における分配関数の経路積分表現が得られます。^[12]${\displaystyle \hbar \beta =1/(k_{b}T)}$

${\displaystyle Z_{k}=\oint {\mathcal {D}}\mathbf {x} (\tau )e^{-S_{E}[\mathbf {x} (\tau )]/\hbar },\ \ \ S_{E}=\int _{0}^{\beta \hbar }\left({\frac {\dot {\mathbf {x} }}{2}}^{2}+V(\mathbf {x} (\tau ))\right)d\tau }$

次に、経路積分は最急降下積分によって近似されます。これは、古典解とその周りの2次変動からの寄与のみを考慮します。これにより、質量加重座標における反応速度定数の式が得られます。

${\displaystyle k(\beta )={\frac {2}{\beta \hbar }}\left({\frac {{\text{det}}\left[-{\frac {\partial ^{2}}{\partial \tau ^{2}}}+\mathbf {V} ''(x_{\text{RS}}(\tau ))\right]}{{\text{det}}\left[-{\frac {\partial ^{2}}{\partial \tau ^{2}}}+\mathbf {V} ''(x_{\text{Inst}}(\tau ))\right]}}\right)^{\frac {1}{2}}{\exp \left({\frac {-S_{E}[x_{\text{inst}}(\tau )+S_{E}[x_{\text{RS}}(\tau )]}{\hbar }}\right)}}$

ここで、は周期的インスタントンであり、は反応物の状態配置を表す静止した擬粒子の自明な解です ${\displaystyle \mathbf {x} _{\text{Inst}}}$ ${\displaystyle \mathbf {x} _{\text{RS}}}$

反転二重井戸型ポテンシャルの公式

二重井戸型ポテンシャルと同様に、反転二重井戸型ポテンシャルの固有値を導くことができます。しかし、この場合、固有値は複素数です。方程式によってパラメータを定義すると

${\displaystyle {\frac {d^{2}y}{dz^{2}}}+[E-V(z)]y(z)=0,\;\;\;V(z)={\frac {1}{4}}h^{4}z^{2}-{\frac {1}{2}}c^{2}z^{4},}$

ミュラー・キルステンによって与えられた固有値は、${\displaystyle q_{0}=1,3,5,...,}$

${\displaystyle E={\frac {1}{2}}q_{0}h^{2}-{\frac {3c^{2}}{4h^{4}}}(q_{0}^{2}+1)-{\frac {q_{0}c^{4}}{h^{10}}}(4q_{0}^{2}+29)+O({\frac {1}{h^{16}}})\pm i{\frac {2^{q_{0}}h^{2}(h^{6}/2c^{2})^{q_{0}/2}}{(2\pi )^{1/2}[(q_{0}-1)/2]!}}e^{-h^{6}/6c^{2}}.}$

この式の虚数部は、ベンダーとウーのよく知られた結果と一致しています。^[13]彼らの表記法では${\displaystyle \hbar =1,q_{0}=2K+1,h^{6}/2c^{2}=\epsilon .}$

量子場の理論

場の量子論（QFT）を研究する際に、理論の真空構造がインスタントンに注目するかもしれません。二重井戸型量子力学系が示すように、ナイーブな真空は場の理論の真の真空ではない可能性があります。さらに、場の理論の真の真空は、位相的に同値でない複数のセクターの「重なり」、いわゆる「位相的 真空」 である可能性があります

インスタントンとその解釈のよく理解され、説明的な例は、非可換ゲージ群を持つ場の量子論^{[注 2]}、ヤン＝ミルズ理論の文脈に見出すことができる。ヤン＝ミルズ理論では、これらの非同値なセクターは（適切なゲージにおいて）SU(2)の第三ホモトピー群（その群多様体は3次元球面である）によって分類することができる。ある位相的真空（真の真空の「セクター」）は、ポンチャギン指数と呼ばれる不変の変換によってラベル付けされる。第三ホモトピー群は整数の集合であることが分かっているので、 ${\displaystyle S^{3}}$ ${\displaystyle S^{3}}$

${\displaystyle \pi _{3}}$ ${\displaystyle (S^{3})=}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} \,}$

位相的に同値でない真空は無限に存在し、それらは で表されます。ここで は対応するポンチャギン指数です。インスタントンは、ユークリッド時空における古典的な運動方程式を満たす場の構成であり、これらの異なる位相的真空間のトンネル効果として解釈されます。これはまた、整数、つまりポンチャギン指数 でラベル付けされます。位相的真空と間のトンネル効果を定量化するために、指数 を持つインスタントンを想像することができます。Q = 1 の場合、その構成は発見者であるアレクサンダー・ベラビン、アレクサンダー・ポリャコフ、アルバート・S・シュワルツ、ユー・S・チュプキンにちなんで BPST インスタントンと名付けられます。理論の真の真空は「角度」シータでラベル付けされ、位相的セクターの重なりです ${\displaystyle |N\rangle }$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle |N\rangle }$ ${\displaystyle |N+Q\rangle }$

${\displaystyle |\theta \rangle =\sum _{N=-\infty }^{N=+\infty }e^{i\theta N}|N\rangle .}$

ジェラルド・トホーフトは、[1]（2015年4月2日アーカイブ、Wayback Machine）において、フェルミオンと結合した理論におけるBPSTインスタントンの効果の場の理論的計算を初めて行いました。彼は、インスタントン背景におけるディラック方程式の零モードが、低エネルギー有効作用において非摂動的な多重フェルミオン相互作用をもたらすことを示しました。

ヤン＝ミルズ理論

構造群G、基底M、接続A、曲率（ヤン＝ミルズ場テンソル） Fを持つ主バンドル上の古典的なヤン＝ミルズ作用は

${\displaystyle S_{YM}=\int _{M}\left|F\right|^{2}d\mathrm {vol} _{M},}$

ここでは上の体積形式である。の内積（ のリー代数が値を取る）が 上のキリング形式で与えられる場合、これはと表記される。 ${\displaystyle d\mathrm {vol} _{M}}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle \int _{M}\mathrm {Tr} (F\wedge *F)}$

${\displaystyle F\wedge *F=\langle F,F\rangle d\mathrm {vol} _{M}.}$

例えば、ゲージ群 U(1)の場合、Fは電磁場テンソルになります。定常作用の原理から、ヤン＝ミルズ方程式が成り立ちます。それらは

${\displaystyle \mathrm {d} F=0,\quad \mathrm {d} {*F}=0.}$

最初の方程式はd F = d ² A = 0なので恒等方程式ですが、2番目の方程式は接続Aに対する2階偏微分方程式であり、ミンコフスキー電流ベクトルがゼロでない場合、2番目の方程式の右辺の零点はに置き換えられます。しかし、これらの方程式がどれほど似ているかに注目してください。それらはホッジスターによって異なります。したがって、より単純な1階（非線形）方程式の解は ${\displaystyle \mathbf {J} }$

${\displaystyle {*F}=\pm F\,}$

自動的にヤン＝ミルズ方程式の解でもあります。この単純化は、4つの多様体で発生します。したがって、2次元形式ではとなります。このような解は通常存在しますが、その正確な性質は、基本空間M、主バンドルP、およびゲージ群Gの次元と位相に依存します ${\displaystyle s=1}$ ${\displaystyle *^{2}=+1}$

非可換ヤン＝ミルズ理論において、Dは外共変微分です。さらに、ビアンキ恒等式${\displaystyle DF=0}$ ${\displaystyle D*F=0}$

${\displaystyle DF=dF+A\wedge F-F\wedge A=d(dA+A\wedge A)+A\wedge (dA+A\wedge A)-(dA+A\wedge A)\wedge A=0}$

が満たされます。

量子場の理論において、インスタントンは4次元ユークリッド空間（ミンコフスキー時空のウィック回転として考えられる）における位相的に非自明な場の構成です。具体的には、空間無限遠で純粋ゲージに近づくヤン＝ミルズゲージ場Aを指します。これは、場の強度が

${\displaystyle \mathbf {F} =d\mathbf {A} +\mathbf {A} \wedge \mathbf {A} }$

無限遠で消失することを意味します。インスタントンという名前は、これらの場が空間と（ユークリッド）時間、つまり特定の瞬間に局在しているという事実に由来しています

2次元空間上のインスタントンの場合は、ゲージ群の最も単純な場合、つまりU(1)、つまりアーベル群を許容するため、視覚化が容易かもしれません。この場合、場Aは単純にベクトル場として視覚化できます。インスタントンとは、例えば矢印が中心点から離れる方向を向いている配置（つまり、「ヘッジホッグ」状態）です。ユークリッド4次元では、アーベルインスタントンは不可能です ${\displaystyle \mathbb {R} ^{4}}$

インスタントンの場の配置は真空のそれとは大きく異なります。そのため、摂動効果のみを含むファインマン図を用いてインスタントンを研究することはできません。インスタントンは基本的に非摂動的です。

ヤン＝ミルズエネルギーは次のように与えられます。

${\displaystyle {\frac {1}{2}}\int _{\mathbb {R} ^{4}}\operatorname {Tr} [*\mathbf {F} \wedge \mathbf {F} ]}$

ここで、∗ はホッジ双対です。ヤン＝ミルズ方程式の解が有限のエネルギーを持つと主張するならば、無限遠（極限として取られる）における解の曲率はゼロでなければなりません。これは、チャーン＝サイモンズ不変量を3次元境界で定義できることを意味します。これは、ストークスの定理を介して、積分を取ることと同等です。

${\displaystyle \int _{\mathbb {R} ^{4}}\operatorname {Tr} [\mathbf {F} \wedge \mathbf {F} ].}$

これはホモトピー不変量であり、インスタントンがどのホモトピー類に属するかを示します。

非負の被積分関数の積分は常に非負なので、

${\displaystyle 0\leq {\frac {1}{2}}\int _{\mathbb {R} ^{4}}\operatorname {Tr} [(*\mathbf {F} +e^{-i\theta }\mathbf {F} )\wedge (\mathbf {F} +e^{i\theta }*\mathbf {F} )]=\int _{\mathbb {R} ^{4}}\operatorname {Tr} [*\mathbf {F} \wedge \mathbf {F} +\cos \theta \mathbf {F} \wedge \mathbf {F} ]}$

すべての実数θに対して。したがって、これは

${\displaystyle {\frac {1}{2}}\int _{\mathbb {R} ^{4}}\operatorname {Tr} [*\mathbf {F} \wedge \mathbf {F} ]\geq {\frac {1}{2}}\left|\int _{\mathbb {R} ^{4}}\operatorname {Tr} [\mathbf {F} \wedge \mathbf {F} ]\right|.}$

この境界が飽和している場合、解はBPS状態です。そのような状態では、ホモトピー不変量の符号に応じて、 ∗ F = Fまたは ∗ F = − Fのいずれかとなります

標準模型では、インスタントンは電弱セクターと色力学セクターの両方に存在すると予想されていますが、その存在はまだ実験的に確認されていません。^{[14]インスタントン効果は、}量子色力学（QCD）の真空中の凝縮体の形成を理解し、QCDの軸電流異常によって質量を獲得したいわゆる「エータプライム粒子」、ゴールドストーンボソン^[注3]の質量を説明する上で重要です。1つの空間次元を追加した理論では、対応するソリトンが存在する場合もあることに注意してください。インスタントンに関する最近の研究は、インスタントンをDブレーンやブラックホール、そしてもちろんQCDの真空構造などのトピックに結び付けています。例えば、方向性のある弦理論では、Dpブレーンは、N個の D( p + 4)ブレーンのスタック上の世界体積( p  + 5)次元U ( N )ゲージ理論におけるゲージ理論インスタントンです 。

様々な次元数

インスタントンは、ゲージ理論の非摂動論的ダイナミクスにおいて中心的な役割を果たします。インスタントンを生成する物理的な励起の種類は時空の次元数に依存しますが、驚くべきことに、これらのインスタントンを扱うための形式論は比較的次元に依存しません。

前のセクションで説明したように、4次元ゲージ理論では、インスタントンは非自明な4形式 特性類を持つゲージ束です。ゲージ対称性がユニタリ群または特殊ユニタリ群の場合、この特性類は2番目のチャーン類であり、ゲージ群U(1)の場合はゼロになります。 ゲージ対称性が直交群の場合、この類は1番目のポントリャギン類です

ヒッグス場を持つ3次元ゲージ理論では、トホーフト＝ポリアコフ・モノポールがインスタントンの役割を果たします。1977年の論文「クォークの閉じ込めとゲージ群のトポロジー」において、アレクサンダー・ポリアコフは、スカラー場と結合した3次元QEDにおけるインスタントン効果が光子の質量につながることを実証しました。

2次元アーベルゲージ理論では、世界面インスタントンは磁気渦です。弦理論における多くの非摂動効果の原因であり、ミラー対称性において中心的な役割を果たしています。

1次元量子力学では、インスタントンは摂動論では見えないトンネル効果を記述します。

4次元超対称ゲージ理論

超対称ゲージ理論はしばしば非繰り込み定理に従い、許容される量子補正の種類を制限します。これらの定理の多くは摂動論で計算可能な補正にのみ適用されるため、摂動論では見られないインスタントンがこれらの量に対する唯一の補正を提供します。

超対称理論におけるインスタントン計算のための場の理論的手法は、1980年代に複数の著者によって広く研究されました。超対称性はインスタントン背景におけるフェルミオン対ボソンの非ゼロモードの打ち消しを保証するため、インスタントン鞍点の't Hooft計算はゼロモード上の積分に簡約されます

N  = 1 超対称ゲージ理論では、インスタントンは超ポテンシャルを修正することができ、時には真空をすべて持ち上げる。1984 年、イアン・アフレック、マイケル・ダイン、ネイサン・セイバーグは論文「超対称 QCD における動的超対称性の破れ」で超ポテンシャルに対するインスタントン補正を計算した。より正確には、理論に含まれるカイラル物質のフレーバーが特殊ユニタリーゲージ群の色の数より 1 つ少ない場合にのみ計算を実行できた。これは、フレーバーが少ないと非可換ゲージ対称性が破れていないために赤外発散が生じ、フレーバーが多い場合には寄与がゼロになるためである。カイラル物質のこの特別な選択では、物質スカラー場の真空期待値を選択して弱結合でゲージ対称性を完全に破ることができ、信頼性の高い半古典的な鞍点計算を進めることができる。その後、様々な質量項による摂動を考慮することで、理論が弱結合でなくなった場合でも有効な、任意の数の色とフレーバーが存在する場合の超ポテンシャルを計算することができました。

N = 2超対称ゲージ理論では、超ポテンシャルは量子補正を受けません。しかし、インスタントンによる真空のモジュライ空間 の計量への補正は、一連の論文で計算されました。最初に、1つのインスタントン補正は、ネイサン・ザイバーグによって「超対称性と非摂動的なベータ関数」で計算されました。SU(2)ヤン＝ミルズ理論の完全な補正セットは、ネイサン・ザイバーグとエドワード・ウィッテンによって「N = 2超対称ヤン＝ミルズ理論における電磁双対性、単極子凝縮、および閉じ込め」で計算され、その過程で今日ザイバーグ＝ウィッテン理論として知られる分野が生まれました。彼らは、「N = 2超対称QCDにおける単極子、双対性、およびカイラル対称性の破れ」で、基本物質を含むSU(2)ゲージ理論に計算を拡張しましたこれらの結果は後に様々なゲージ群と物質内容に拡張され、ほとんどの場合で直接的なゲージ理論の導出も得られました。ゲージ群U(N)を持つゲージ理論では、2003年にニキータ・ネクラーソフとアンドレイ・オクンコフによって、また独立に中島啓と吉岡浩太によって、ネクラーソフの分配関数を用いてゲージ理論からザイバーグ・ウィッテン幾何学が導出されました。

N = 4 超対称ゲージ理論では、 インスタントンは真空のモジュライ空間上の計量に対する量子補正をもたらしません。

R上の明示的解⁴

コリガンとフェアリーによって提供された仮説は、ゲージ群SU(2)を持つ反自己双対ヤン・ミルズ方程式の解を、上の任意の調和関数から与える。^{[15] [16]}この仮説はゲージ場の明示的な表現を与え、任意の大きなインスタントン数を​​持つ解を構築するために使用できる。 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{4}}$

反対称 -値オブジェクトを と定義する。ここ で、ギリシャ添え字は1から4、ラテン添え字は1から3であり、を満たす基底である。すると 、が調和関数である 限り、 は解となる。${\displaystyle {\mathfrak {su}}(2)}$ ${\displaystyle \sigma _{\mu \nu }}$ $${\displaystyle \sigma _{ij}=\epsilon _{ijk}T_{k}\,,\sigma _{i4}=-\sigma _{4i}=T_{i},}$$ ${\displaystyle T_{i}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {su}}(2)}$ ${\displaystyle [T_{i},T_{j}]=-\epsilon _{ijk}T_{k}}$ $${\displaystyle A_{\mu }=\sigma _{\mu \nu }{\frac {\partial _{\nu }\rho }{\rho }}=\sigma _{\mu \nu }\partial _{\nu }\log(\rho )}$$ ${\displaystyle \rho :\mathbb {R} ^{4}\rightarrow \mathbb {R} }$

4次元では、ラプラス方程式の基本解は任意の固定された に対してである。これらを重ね合わせると、という形の - ソリトン解が 得られる。 インスタントン数1または2のすべての解はこの形であるが、より大きなインスタントン数では、この形ではない解も存在する。 ${\displaystyle |x-y|^{-2}}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle N+1}$ ${\displaystyle N}$ $${\displaystyle \rho (x)=\sum _{p=0}^{N}{\frac {\lambda _{p}}{|x-x_{p}|^{2}}}.}$$

参照

• インスタントン流体 - 非摂動的な経路積分近似
• カロロン - 有限温度インスタントン
• シドニー・コールマン – アメリカの物理学者 (1937–2007)
• ホルスタイン・ヘリング法 – 量子化学における数値解析法
• 重力インスタントン – 真空アインシュタイン方程式を満たす4次元完全リーマン多様体
• 半古典的遷移状態理論 – 化学反応速度論
• ヤン・ミルズ方程式 – 解がインスタントンである偏微分方程式
• ゲージ理論（数学）  – ベクトル束、主束、ファイバー束の研究

参考文献と注釈

注釈

1. この投影は共形であるため、曲線は4次元の場合と同様に互いに直交（黄色の点）します。すべての曲線は円です。<0,0,0,1>と交差する曲線は無限大の半径（＝直線）を持ちます。
2. 参照：非アーベルゲージ理論
3. 参照：擬ゴールドストーンボソン

引用文献

1. ゲージ理論におけるインスタントン。ミハイル・A・シフマン編。ワールド・サイエンティフィック、1994年。
2. 磁場中の荷電粒子間の相互作用。フラチャ・ネルシシアン、クリスチャン・テッファー、ギュンター・ツヴィックナーゲル著。シュプリンガー、2007年4月19日。23ページ
3. 摂動論の大規模挙動. JC Le Guillou, J. Zinn-Justin編. Elsevier, 2012年12月2日. 170ページ.
4. Vaĭnshteĭn, A.; Zakharov, Valentin I.; Novikov, Viktor A.; Shifman, Mikhail A. (1982-04-30). 「インスタントンのABC」 .ソビエト物理学ウスペキ. 25 (4): 195. doi :10.1070/PU1982v025n04ABEH004533. ISSN  0038-5670.
5. 「nLabにおけるヤン＝ミルズ・インスタントン」. ncatlab.org . 2023-04-11閲覧.
6. 例えば、ナイジェル・ヒッチンの論文「リーマン面上の自己双対方程式」を参照
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8. HJWミュラー＝キルステン著『量子力学入門：シュレーディンガー方程式と経路積分』第2版、ワールド・サイエンティフィック、2012年、ISBN 978-981-4397-73-5。
9. Harald JWミュラー＝キルステン著『量子力学入門：シュレーディンガー方程式と経路積分』第2版、ワールド・サイエンティフィック（シンガポール、2012年）
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概要

• ゲージ理論におけるインスタントン、インスタントンに関する論文集成、ミハイル・A・シフマン編、doi : 10.1142/2281
• ソリトンとインスタントン、R. ラジャラマン（アムステルダム：北ホラント、1987年）、ISBN 0-444-87047-4
• インスタントンの用途、シドニー・コールマン著、 Proc . Int. School of Subnuclear Physics（エリック、1977年）、およびAspects of Symmetry p. 265、シドニー・コールマン、ケンブリッジ大学出版局、1985年、ISBN 0-521-31827-0およびゲージ理論におけるインスタントン
• ソリトン、インスタントン、ツイスター、M. ドゥナイスキ、オックスフォード大学出版局、ISBN 978-0-19-857063-9。
• 4次元多様体の幾何学、S.K. ドナルドソン、P.B. クロンハイマー、オックスフォード大学出版局、1990年、ISBN 0-19-853553-8。

外部リンク

• Wiktionaryのインスタントンの辞書定義