確率過程

球面上のウィーナー運動過程またはブラウン運動過程をコンピュータシミュレーションで実現したもの。ウィーナー過程は、確率論において最も研究され、中心的な確率過程であると広く考えられている。 ^{[1] [2] [3]}

確率論および関連分野において、確率過程（/ s t ə ˈ k æ s t ɪ k /）またはランダム過程は、通常、確率空間におけるランダム変数の族として定義される数学的対象であり、族のインデックスは多くの場合、時間として解釈される。確率過程は、ランダムに変化するように見えるシステムおよび現象の数学的モデルとして広く使用されている。例としては、細菌集団の成長、熱雑音による電流の変動、気体分子の運動などが挙げられる。^{[1] [4] [5]}確率過程は、生物学、^[6]化学、^[7]生態学、[8]神経科学、 [ ^{9 ]}物理学、 [10]画像処理、^[11]信号処理、^[11]制御理論、^[12]情報理論、^{[13 ]}コンピュータサイエンス、^[14]電気通信など、多くの分野に応用されている。^{[15]さらに、}金融市場における一見ランダムな変化は、金融における確率過程の広範な利用を促してきた。^{[16] [17] [18]}

現象の応用と研究は、新たな確率過程の提案を促してきました。このような確率過程の例としては、ルイ・バシュリエがパリ証券取引所の価格変動を研究するために用いたウィーナー過程またはブラウン運動過程^[a]や、AKアーランが一定期間における電話の通話回数を研究するために用いたポアソン過程^[22]などが挙げられます。これら2つの確率過程は、確率過程理論において最も重要かつ中心的なものと考えられており^{[1] [4] [23] 、バシュリエとアーランの前後を問わず、様々な状況や国で繰り返し独立して発明されました[21] [24]}。

ランダム関数という用語は、確率過程やランダム過程を指す場合にも使用されます。^{[25] [26]}確率過程は関数空間内のランダム要素として解釈することもできるためです。^{[27] [28]}確率過程とランダム過程という用語は互換的に使用され、多くの場合、ランダム変数を示すセットに特定の数学的空間はありません。 ^{[27] [29]しかし、これら 2 つの用語は、ランダム変数が}整数または実数直線の区間でインデックス付けされる場合によく使用されます。^{[5] [29]}ランダム変数が直交平面または高次元ユークリッド空間でインデックス付けされる場合、ランダム変数のコレクションは通常、ランダム体と呼ばれます。^{[5] [30]}確率過程の値は必ずしも数値ではなく、ベクトルまたはその他の数学的オブジェクトである可能性があります。^{[5] [28]}

確率過程は、その数学的特性に基づいて、ランダムウォーク^[31] 、マルチンゲール^[32] 、マルコフ過程[33] 、レヴィ過程^[34] 、ガウス過程^[35]、ランダム場^[36]、再生過程、分岐過程^[37]など、さまざまなカテゴリに分類できます。確率過程の研究では、確率、微積分、線型代数、集合論、位相幾何学^{[38] [39] [40]}などの数学的知識と技術、および実解析、測度論、フーリエ解析、関数解析などの数学的解析の分野が使用されます。^{[41] [42] [43]}確率過程の理論は数学への重要な貢献であると考えられており^[44]、理論的理由と応用の両方の面で活発な研究対象であり続けています。^{[45] [46] [47]}

導入

確率過程またはランダム過程は、ある数学的集合によってインデックス付けされたランダム変数の集合として定義することができる。つまり、確率過程の各ランダム変数は、集合内の１つの要素と一意に関連付けられる。^{[4] [5]}ランダム変数にインデックスを付けるために用いられる集合は、インデックス集合と呼ばれる。歴史的には、インデックス集合は、自然数のような実数直線のサブセットであり、インデックス集合に時間の解釈を与えていた。^[1]集合内の各ランダム変数は、状態空間として知られる同じ数学的空間から値を取る。この状態空間は、例えば、整数、実数直線、次元ユークリッド空間とすることができる。^{[1] [5]}増分は、確率過程が２つのインデックス値の間で変化する量であり、多くの場合、２つの時点として解釈される。^{[48] [49]}確率過程はそのランダム性のために多くの結果を持つことができ、確率過程の単一の結果は、他の名前の中でも、サンプル関数または実現と呼ばれる。^{[28] [50]}${\displaystyle n}$

0 ≤ t ≤ 2 の時間における 3 次元ウィーナー運動またはブラウン運動の過程の、コンピュータでシミュレートされた単一のサンプル関数または実現など。この確率過程のインデックス セットは非負の数であり、その状態空間は 3 次元ユークリッド空間です。

分類

確率過程は、状態空間、指標集合、あるいは確率変数間の依存関係など、様々な方法で分類できる。一般的な分類方法の一つは、指標集合と状態空間の濃度による分類である。 ^{[51] [52] [53]}

時間として解釈される場合、確率過程の指標集合が有限個または可算個の要素（有限個の数、整数の集合、自然数など）を持つ場合、その確率過程は離散時間にあると言われます。^{[54] [55]}指標集合が実数直線上の何らかの区間である場合、時間は連続であると言われます。2種類の確率過程は、それぞれ離散時間確率過程と連続時間確率過程と呼ばれます。^{[48] [56] [57]}離散時間確率過程は、特に指標集合が不可算であるため、連続時間過程ではより高度な数学的手法と知識が必要となるため、研究が容易であると考えられています。^{[58] [59]指標集合が整数またはそのサブセットである場合、確率過程は}ランダムシーケンスとも呼ばれます。^[55]

状態空間が整数または自然数の場合、確率過程は離散確率過程または整数値確率過程と呼ばれます。状態空間が実数直線の場合、確率過程は実数値確率過程または連続状態空間を持つ過程と呼ばれます。状態空間が -次元ユークリッド空間の場合、確率過程は-次元ベクトル過程または-ベクトル過程と呼ばれます。^{[51] [52]}${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$

語源

英語の「stochastic」という語は、もともと「推測することに関する」という定義を持つ形容詞として使われており、ギリシャ語で「標的を狙う、推測する」という意味の言葉に由来し、オックスフォード英語辞典によると、最も古い出現年は1662年となっている。^[60]ヤコブ・ベルヌーイは、1713年にラテン語で出版された確率論の著書『Ars Conjectandi 』の中で、「Ars Conjectandi sive Stochastice」という句を使用している。これは「推測する技術、あるいは確率論的技術」と翻訳されている。^{[61]この句は、ベルヌーイに関連して、ラディスラウス・ボルトキエヴィチ[62]}によって使用された。ボルトキエヴィチは1917年にドイツ語で「ランダム」という意味のstochastikという語を書いた。英語の「stochastic process」という用語は、ジョセフ・ドゥーブの1934年の論文で初めて登場した。^[60]この用語と具体的な数学的定義について、ドゥーブは1934年の別の論文を引用した。その論文では、ドイツ語で「確率過程」という用語がアレクサンドル・ヒンチンによって使用されていたが、^{[63] [64]}このドイツ語の用語は、例えば1931年にアンドレイ・コルモゴロフによって以前から使用されていた。^[65]

オックスフォード英語辞典によると、偶然や幸運に関連する現在の意味を持つ英語の「ランダム」という語の初期の出現は16世紀に遡り、それ以前の記録では14世紀に「（乗馬、走行、打撃などにおける）衝動性、大きなスピード、力、または暴力」を意味する名詞として使われ始めた。この語自体は中世フランス語で「スピード、急ぎ」を意味する単語に由来し、おそらく「走る」または「疾走する」という意味のフランス語動詞に由来している。「ランダム過程」という用語が初めて文献に登場したのは、オックスフォード英語辞典が同義語として挙げている「確率過程」よりも古く、 1888年にフランシス・エッジワースが発表した論文で使用されていた。^[66]

用語

確率過程の定義は様々であるが^[67]、確率過程は伝統的に、ある集合によってインデックス付けされたランダム変数の集合として定義される。^{[68] [69]}ランダム過程と確率過程という用語は同義語とみなされ、インデックス集合が正確に指定されなくても互換的に使用される。^{[27] [29] [30] [70] [71] [72]}「集合」^{[28] [70]あるいは「ファミリー」 [4]} [73] の両方が使用され、 ^[73]「インデックス集合」の代わりに「パラメータ集合」^[28]または「パラメータ空間」^[30]という用語が使用されることもある。

ランダム関数という用語は、確率過程やランダム過程を指すのにも使用されるが、^{[5] [74] [75]}、確率過程が実数値を取る場合にのみ使用されることもある。^{[28] [73]}この用語は、インデックス セットが実数直線以外の数学的空間である場合にも使用される。^{[5] [76]一方、}確率過程やランダム過程という用語は、インデックス セットが時間として解釈される場合に通常使用され、^{[5] [76] [77]}また、インデックス セットが次元ユークリッド空間または多様体である場合は、ランダム フィールドなどの他の用語が使用される。^{[5] [28] [30]}${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

表記

確率過程は、他の方法の中でも、、^[56]、^{[69] 、 [78]}、または単に と表記することができます。関数表記 の乱用であるにもかかわらず、一部の著者は誤って と書いています。^[79]例えば、または は、確率過程全体ではなく、インデックス を持つ確率変数を指すために使用されます。 ^[78]インデックスセットが である場合、確率過程を表すために、例えば と書くことができます。^[29]${\displaystyle \{X(t)\}_{t\in T}}$ ${\displaystyle \{X_{t}\}_{t\in T}}$ ${\displaystyle \{X_{t}\}}$ ${\displaystyle \{X(t)\}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X(t)}$ ${\displaystyle X(t)}$ ${\displaystyle X_{t}}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle T=[0,\infty )}$ ${\displaystyle (X_{t},t\geq 0)}$

例

ベルヌーイ過程

最も単純な確率過程の一つにベルヌーイ過程^[80]がある。これは独立かつ同一に分布する（iid）ランダム変数の列であり、各ランダム変数は1か0のどちらかの値を取り、例えば確率 で1を取り、確率 で0を取る。この過程は、コインを繰り返し投げる理想化に関連付けることができる。この場合、表が出る可能性は で、表の値は1、裏が出る可能性は0である。^[81]言い換えれば、ベルヌーイ過程はiidベルヌーイランダム変数の列であり^{[82] 、各理想化されたコイン投げは}ベルヌーイ試行の例である。^[83]${\displaystyle p}$ ${\displaystyle 1-p}$ ${\displaystyle p}$

ランダムウォーク

ランダムウォークは確率過程であり、通常はユークリッド空間における独立同値確率変数またはランダムベクトルの和として定義されるため、離散時間で変化する過程である。^{[84] [85] [86] [87] [88]}しかし、この用語を連続時間で変化する過程を指すために使用する人もおり、^[89]特に金融モデルで使用されるウィーナー過程は混乱を招き、批判の対象となっている。^[90]状態空間が格子や群などの他の数学的対象になるように定義されるランダムウォークには他にも様々な種類があり、一般に高度に研究され、さまざまな分野で多くの応用がされている。^{[89] [91]}

ランダムウォークの典型的な例としては、単純ランダムウォークが挙げられます。これは離散時間における確率過程であり、整数を状態空間として扱い、各ベルヌーイ変数が正の1または負の1のいずれかの値を取るベルヌーイ過程に基づいています。言い換えると、単純ランダムウォークは整数上で発生し、その値は確率 で1ずつ増加するか（例えば ）、確率 で1ずつ減少するため、このランダムウォークのインデックスセットは自然数であり、状態空間は整数です。 の場合、このランダムウォークは対称ランダムウォークと呼ばれます。^{[92] [93]}${\displaystyle p}$ ${\displaystyle 1-p}$ ${\displaystyle p=0.5}$

ウィーナー過程

ウィーナー過程は、定常かつ独立した増分を伴う確率過程であり、増分の大きさに基づいて正規分布する。[ 2 ] [ ^{94 ]}ウィーナー過程は、その数学的存在を証明したノーバート・ウィーナーにちなんで名付けられたが、液体中のブラウン運動のモデルとしての歴史的なつながりから、ブラウン運動過程または単にブラウン運動とも呼ばれる。^{[95] [96] [97]}

ドリフトあり（青）とドリフトなし（赤）のウィーナー過程（またはブラウン運動過程）の実現

確率論で中心的な役割を果たすウィーナー過程は、他の確率過程との関連とともに、最も重要で研究されている確率過程であると考えられることが多い。^{[1] [2] [3] [ 98] [99] [100] [101]}インデックスセットと状態空間はそれぞれ非負数と実数であるため、連続したインデックスセットと状態空間の両方を持つ。^[102]しかし、この過程はより一般的に定義できるため、状態空間は- 次元ユークリッド空間となる。^{[91] [99] [103]任意の増分の}平均が 0 の場合、結果として得られるウィーナー運動またはブラウン運動過程はドリフトが 0 であると言われる。任意の 2 つの時点の増分の平均が、時間差に実数である定数 を乗じたものに等しい場合、結果として得られる確率過程はドリフト を持つと言われる。^{[104] [105] [106]}${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \mu }$

ウィーナー過程の標本経路は、ほぼ確実に、どこでも連続だが、どこでも微分可能ではない。これは単純ランダムウォークの連続版と考えることができる。^{[49] [105]}この過程は、特定のランダムウォークなどの他の確率過程の数学的極限を再スケール化することによって生じる。^{[107] [108]}これは、ドンスカーの定理、あるいは不変性原理（関数中心極限定理とも呼ばれる）の対象である。^{[109] [110] [111]}

ウィーナー過程は、マルコフ過程、レヴィ過程、ガウス過程などを含む重要な確率過程ファミリーの一員である。^{[2] [49]}この過程には多くの応用があり、確率微積分学で用いられる主要な確率過程である。^{[112] [113]}ウィーナー過程は定量金融において中心的な役割を果たしており、^{[114] [115]}例えばブラック・ショールズ・マートン・モデルに用いられている。^[116]この過程は、自然科学の大部分や社会科学の一部の分野を含む様々な分野で、様々なランダム現象の数学的モデルとして用いられている。^{[3] [117] [118]}

ポアソン過程

ポアソン過程は、様々な形式と定義を持つ確率過程である。^{[119] [120]}これは計数過程として定義することができ、ある時点までの点または事象のランダムな数を表す確率過程である。ゼロからある時点までの区間内に存在する過程の点の数は、その時点と何らかのパラメータに依存するポアソン確率変数である。この過程は、自然数を状態空間とし、非負数をインデックス集合とする。この過程は計数過程の例として解釈できるため、ポアソン計数過程とも呼ばれる。^[119]

ポアソン過程が単一の正の定数で定義されている場合、その過程は同次ポアソン過程と呼ばれる。^{[119] [121]}同次ポアソン過程は、マルコフ過程やレヴィ過程などの重要な確率過程のクラスのメンバーである。^[49]

同次ポアソン過程は様々な方法で定義・一般化できる。その指数集合が実数直線となるように定義することもでき、この確率過程は定常ポアソン過程とも呼ばれる。^{[122] [123]}ポアソン過程のパラメータ定数を の非負積分関数に置き換えると、結果として得られる過程は非同次ポアソン過程または非同次ポアソン過程と呼ばれ、過程の点の平均密度は一定ではなくなる。^[124]待ち行列理論における基本過程であるポアソン過程は、数学モデルにとって重要な過程であり、特定の時間枠内でランダムに発生する事象のモデルに応用されている。^{[125] [126]}${\displaystyle t}$

実数直線上で定義されるポアソン過程は、他のランダムな対象と同様に確率過程として解釈することができる。^{[49] [ 127] [128] [129]}しかし、次元ユークリッド空間や他の数学的空間上で定義されることもあり、^[130]その場合には、確率過程ではなく、ランダム集合やランダム計数測度として解釈されることが多い。^{[128] [129]}このような設定では、ポアソン過程（ポアソン点過程とも呼ばれる）は、応用面でも理論面でも、確率論において最も重要な対象の一つである。^{[22] [131]}しかし、ポアソン過程は実数直線上だけで考察され、他の数学的空間上では考察されないことが多いため、十分な注目を集めていないと指摘されている。^{[131] [132]}${\displaystyle n}$

定義

確率過程

確率過程は、共通の確率空間 上で定義される確率変数の集合として定義される。ここで、は標本空間、は-代数、は確率測度である。そして、何らかの集合 によってインデックス付けされた確率変数はすべて、何らかの- 代数に関して測定可能でなければならない同じ数学的空間 内の値を取る。^[28]${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},P)}$ ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle \Sigma }$

言い換えれば、与えられた確率空間と測定空間に対して、確率過程は -値確率変数の集合であり、次のように表される：^[80]${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},P)}$ ${\displaystyle (S,\Sigma )}$ ${\displaystyle S}$

${\displaystyle \{X(t):t\in T\}.}$

歴史的に、自然科学の多くの問題において、点は時間の意味を持っていたように、時刻 に観測された値を表す確率変数も同様である。^[133]確率過程は、実際には2つの変数の関数であり、であることを反映し、 と表記されることもある。^{[28] [134]}${\displaystyle t\in T}$ ${\displaystyle X(t)}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle \{X(t,\omega ):t\in T\}}$ ${\displaystyle t\in T}$ ${\displaystyle \omega \in \Omega }$

確率過程を考える方法は他にもあるが、上記の定義は伝統的なものと考えられている。^{[68] [69]}例えば、確率過程は-値確率変数として解釈または定義することができ、ここで -は集合から空間 -へのすべての可能な関数の空間である。^{[27] [68]}しかし、一般に「関数値確率変数」としてのこの代替定義は、追加の正則性の仮定を明確に定義することを必要とする。^[135]${\displaystyle S^{T}}$ ${\displaystyle S^{T}}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle S}$

インデックスセット

この集合は確率過程のインデックス集合^{[4] [51]}またはパラメータ集合^{[28] [136]}と呼ばれる。この集合は実数直線の部分集合、例えば自然数や区間などであることが多く、集合に時間の解釈を与える。^[1]これらの集合に加えて、インデックス集合は全順序を持つ別の集合、またはより一般的な集合^{[1] [54]}、例えばデカルト平面や-次元ユークリッド空間などであり、この場合、要素は空間内の点を表すことができる。^{[48] [137]}ただし、多くの結果や定理は全順序インデックス集合を持つ確率過程に対してのみ可能である。^[138]${\displaystyle T}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle t\in T}$

状態空間

確率過程の数学的空間は状態空間と呼ばれる。この 数学的空間は、整数、実数直線、次元ユークリッド空間、複素平面、あるいはより抽象的な数学的空間を用いて定義することができる。状態空間は、確率過程が取り得る様々な値を反映する要素を用いて定義される。^{[1] [5] [28] [51] [56]}${\displaystyle S}$ ${\displaystyle n}$

サンプル関数

標本関数は確率過程の単一の結果であるため、確率過程の各確率変数の単一の可能な値を取ることによって形成される。^{[28] [139]}より正確には、が確率過程である場合、任意の点に対して、写像${\displaystyle \{X(t,\omega ):t\in T\}}$ ${\displaystyle \omega \in \Omega }$

${\displaystyle X(\cdot ,\omega ):T\rightarrow S,}$

は、サンプル関数、実現、あるいは、特に が時間として解釈される場合には、確率過程のサンプル経路と呼ばれる。^[50]これは、固定された に対して、インデックス集合を状態空間に写像するサンプル関数が存在することを意味する。^[28]確率過程のサンプル関数の他の名前には、軌跡、経路関数^{[140] 、}経路などがある。^[141]${\displaystyle T}$ ${\displaystyle \{X(t,\omega ):t\in T\}}$ ${\displaystyle \omega \in \Omega }$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle S}$

インクリメント

確率過程の増分は、同じ確率過程の2つの確率変数の差である。時間として解釈できるインデックスセットを持つ確率過程の場合、増分とは、確率過程が特定の期間にどれだけ変化するかである。例えば、が状態空間とインデックスセットを持つ確率過程である場合、となる任意の2つの非負数とに対して、その差は増分として知られる -値の確率変数である。 ^{[48] [49]}増分に着目する場合、状態空間は実数直線または自然数であることが多いが、 -次元ユークリッド空間やバナッハ空間などのより抽象的な空間であることもある。^[49]${\displaystyle \{X(t):t\in T\}}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle T=[0,\infty )}$ ${\displaystyle t_{1}\in [0,\infty )}$ ${\displaystyle t_{2}\in [0,\infty )}$ ${\displaystyle t_{1}\leq t_{2}}$ ${\displaystyle X_{t_{2}}-X_{t_{1}}}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle n}$

さらなる定義

法

確率空間上で定義された確率過程の場合、確率過程の法則はプッシュフォワード測度として定義されます。 ${\displaystyle X\colon \Omega \rightarrow S^{T}}$ ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},P)}$ ${\displaystyle X}$

${\displaystyle \mu =P\circ X^{-1},}$

ここでは確率測度であり、 記号は関数合成を表し、は測定可能な関数の逆像、またはそれと同値な-値確率変数 であり、は のすべての可能な -値関数の空間であるため、確率過程の法則は確率測度である。^{[27] [68] [142] [143]}${\displaystyle P}$ ${\displaystyle \circ }$ ${\displaystyle X^{-1}}$ ${\displaystyle S^{T}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle S^{T}}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle t\in T}$

の測定可能な部分集合に対して、 の逆像は ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle S^{T}}$ ${\displaystyle X}$

${\displaystyle X^{-1}(B)=\{\omega \in \Omega :X(\omega )\in B\},}$

したがってaの法則は次のように書ける：^[28]${\displaystyle X}$

${\displaystyle \mu (B)=P(\{\omega \in \Omega :X(\omega )\in B\}).}$

確率過程の法則やランダム変数の法則は確率法則、確率分布、分布とも呼ばれる。^{[133] [142] [144] [145] [146]}

有限次元確率分布

法則 を持つ確率過程の場合、 に対する有限次元分布は次のように定義されます。 ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle t_{1},\dots ,t_{n}\in T}$

${\displaystyle \mu _{t_{1},\dots ,t_{n}}=P\circ (X({t_{1}}),\dots ,X({t_{n}}))^{-1},}$

この測度はランダムベクトルの結合分布であり、法則を有限部分集合に「投影」したものと見ることができる。^{[27] [147]}${\displaystyle \mu _{t_{1},..,t_{n}}}$ ${\displaystyle (X({t_{1}}),\dots ,X({t_{n}}))}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle T}$

倍カルティシアン冪の測定可能な部分集合に対して、確率過程の有限次元分布は次のように表される。^[28]${\displaystyle C}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle S^{n}=S\times \dots \times S}$ ${\displaystyle X}$

${\displaystyle \mu _{t_{1},\dots ,t_{n}}(C)=P{\Big (}{\big \{}\omega \in \Omega :{\big (}X_{t_{1}}(\omega ),\dots ,X_{t_{n}}(\omega ){\big )}\in C{\big \}}{\Big )}.}$

確率過程の有限次元分布は、一貫性条件として知られる2つの数学的条件を満たす。^[57]

定常性

定常性とは、確率過程のすべての確率変数が同一の分布に従うときに、その確率過程が持つ数学的性質である。言い換えれば、が定常確率過程である場合、任意の確率変数は同じ分布に従う。これは、任意の指標集合値に対して、対応する確率変数が ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle t\in T}$ ${\displaystyle X_{t}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle t_{1},\dots ,t_{n}}$ ${\displaystyle n}$

${\displaystyle X_{t_{1}},\dots X_{t_{n}},}$

すべて同じ確率分布を持つ。定常確率過程の指標集合は通常時間として解釈されるため、整数または実数直線となる。^{[148] [149]}しかし、定常性の概念は点過程や確率場にも存在し、これらの場合指標集合は時間として解釈されない。^{[148] [150] [151]}

指数集合が時間として解釈できる場合、有限次元分布が時間の移動に対して不変であるとき、確率過程は定常であると言われる。この種の確率過程は、定常状態にあるものの依然としてランダムな変動を経験する物理系を記述するために用いることができる。^[148]定常性の背後にある直感は、定常確率過程の分布が時間の経過とともに変化しないということである。^[152]確率変数の列が定常確率過程を形成するのは、それらの確率変数が同一に分布している場合のみである。^[148]${\displaystyle T}$

上記の定常性の定義を持つ確率過程は、厳密に定常であると言われることもありますが、他の形態の定常性も存在します。一例として、離散時間または連続時間の確率過程が広義の定常であると言われる場合、その過程はすべての に対して有限の二次モーメントを持ち、2つの確率変数の共分散はすべての に対して の数のみに依存します。^{[152] [153]}ヒンチンは、広義の定常性という関連概念を導入しました。これは、共分散定常性、広義の定常性などとも呼ばれます。^{[153] [154]}${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle t\in T}$ ${\displaystyle X_{t}}$ ${\displaystyle X_{t+h}}$ ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle t\in T}$

濾過

濾過とは、ある確率空間と、実数の何らかの部分集合であるような何らかの全順序関係を持つ指数集合 に関連して定義されるシグマ代数の増加列である。より正式には、確率過程 が全順序 を持つ指数集合 を持つ場合、確率空間 上の濾過 は、すべての に対してとなるシグマ代数の族であり、および は指数集合 の全順序を表す。^[51]濾過の概念を用いると、における確率過程に含まれる情報量を調べることが可能であり、これは時間 と解釈できる。^{[51] [155]}濾過の背後にある直観は、時間が経つにつれて に関するますます多くの情報が既知または利用可能になり、それが に取り込まれ、 のますます細かい分割が生じるというものである。^{[156] [157]}${\displaystyle \{{\mathcal {F}}_{t}\}_{t\in T}}$ ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},P)}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{s}\subseteq {\mathcal {F}}_{t}\subseteq {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle s\leq t}$ ${\displaystyle t,s\in T}$ ${\displaystyle \leq }$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle X_{t}}$ ${\displaystyle t\in T}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{t}}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle X_{t}}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{t}}$ ${\displaystyle \Omega }$

修正

確率過程の修正とは、元の確率過程と密接に関連した別の確率過程のことである。より正確には、ある確率過程が別の確率過程と同じ指標集合、状態空間、確率空間を持つ場合、次の すべての条件を満たすとき、その確率過程は の修正であると言われる。${\displaystyle X}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle (\Omega ,{\cal {F}},P)}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle t\in T}$

${\displaystyle P(X_{t}=Y_{t})=1,}$

が成り立つ。互いに修正された二つの確率過程は同じ有限次元法則^{[158]を持ち、それらは}確率的に同値である、あるいは同値であると言われる。^[159]

修正の代わりにバージョンという用語も使用されるが^{[150] [160] [161] [162]}、2つの確率過程が同じ有限次元分布を持つが、異なる確率空間上で定義されている場合にバージョンという用語を使用する著者もいる。つまり、互いの修正である2つの過程は、後者の意味で互いのバージョンでもあるが、逆は成り立たない。^{[163] [142]}

連続時間実数値確率過程がその増分に対して特定のモーメント条件を満たす場合、コルモゴロフ連続定理によれば、確率1で連続サンプルパスを持つこの過程の修正版が存在するので、確率過程は連続修正版またはバージョンを持つ。^{[161] [162] [164]}この定理はランダムフィールドにも一般化でき、インデックスセットは次元ユークリッド空間となる^[165] 。また、状態空間として計量空間を持つ確率過程にも一般化できる。^[166]${\displaystyle n}$

区別がつかない

同じ確率空間、同じインデックスセット、セット空間で定義された2つの確率過程は、次の場合、 区別できないと言われる。${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},P)}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle S}$

${\displaystyle P(X_{t}=Y_{t}{\text{ for all }}t\in T)=1,}$

が成り立つ。^{[142] [158]} 2つのと が互いの変形であり、 がほぼ確実に連続している場合、とは区別できない。^[167]${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$

分離可能性

分離可能性とは、確率過程の指数集合と確率測度との関係に基づく性質である。この性質は、確率過程の関数、または非可算な指数集合を持つ確率場が確率変数を形成できるように仮定される。確率過程が分離可能であるためには、他の条件に加えて、その指数集合が分離空間である必要がある。^[b]つまり、指数集合は稠密な可算部分集合を持つ。^{[150] [168]}

より正確には、確率空間上の実数値連続時間確率過程が分離可能であるとは、そのインデックス集合が稠密な可算部分集合を持ち、確率が 0 の集合が存在すること、したがって であって、すべての開集合およびすべての閉集合に対して、2 つの事象およびが の部分集合上で最大限に異なることと同値であることを意味する。^{[169] [170] [171]} 分離可能性の定義^[c]は、他のインデックス集合や状態空間についても述べることができる。^[174]例えば、ランダムフィールドの場合、インデックス集合と状態空間は- 次元ユークリッド空間になる。^{[30] [150]}${\displaystyle X}$ ${\displaystyle (\Omega ,{\cal {F}},P)}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle U\subset T}$ ${\displaystyle \Omega _{0}\subset \Omega }$ ${\displaystyle P(\Omega _{0})=0}$ ${\displaystyle G\subset T}$ ${\displaystyle F\subset \mathbb {R} =(-\infty ,\infty )}$ ${\displaystyle \{X_{t}\in F{\text{ for all }}t\in G\cap U\}}$ ${\displaystyle \{X_{t}\in F{\text{ for all }}t\in G\}}$ ${\displaystyle \Omega _{0}}$ ${\displaystyle n}$

確率過程の分離可能性の概念は、ジョセフ・ドゥーブによって導入された。^[168]分離可能性の基本的な考え方は、指数集合の点の可算集合が確率過程の特性を決定するというものである。^[172]可算指数集合を持つ確率過程はいずれも既に分離可能性条件を満たしているため、離散時間確率過程は常に分離可能である。^[175]ドゥーブの定理（ドゥーブの分離可能性定理とも呼ばれる）によれば、任意の実数値連続時間確率過程は分離可能な修正を持つ。^{[168] [170] [176]}この定理のバージョンは、実数直線以外の指数集合と状態空間を持つ、より一般的な確率過程に対しても存在する。^[136]

独立

同じ確率空間で同じインデックスセットを使用して定義された2つの確率過程とが独立であるとは、すべてのおよびすべてのエポックの選択に対して、ランダムベクトルとが独立であるときを言う。^{[177] ：p.515}${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},P)}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$ ${\displaystyle t_{1},\ldots ,t_{n}\in T}$ ${\displaystyle \left(X(t_{1}),\ldots ,X(t_{n})\right)}$ ${\displaystyle \left(Y(t_{1}),\ldots ,Y(t_{n})\right)}$

非相関性

2つの確率過程は、その相互共分散が常にゼロであるとき、無相関であると言われる。 ^{[178] : p. 142}正式には： ${\displaystyle \left\{X_{t}\right\}}$ ${\displaystyle \left\{Y_{t}\right\}}$ ${\displaystyle \operatorname {K} _{\mathbf {X} \mathbf {Y} }(t_{1},t_{2})=\operatorname {E} \left[\left(X(t_{1})-\mu _{X}(t_{1})\right)\left(Y(t_{2})-\mu _{Y}(t_{2})\right)\right]}$

${\displaystyle \left\{X_{t}\right\},\left\{Y_{t}\right\}{\text{ uncorrelated}}\quad \iff \quad \operatorname {K} _{\mathbf {X} \mathbf {Y} }(t_{1},t_{2})=0\quad \forall t_{1},t_{2}}$ 。

独立性は無相関性を意味する

2つの確率過程とが独立している場合、それらは相関していないとも言える。^{[178] : p. 151}${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$

直交性

2つの確率過程は、その相互相関が常にゼロであるとき、直交していると呼ばれる。 ^{[178] : p. 142}正式には： ${\displaystyle \left\{X_{t}\right\}}$ ${\displaystyle \left\{Y_{t}\right\}}$ ${\displaystyle \operatorname {R} _{\mathbf {X} \mathbf {Y} }(t_{1},t_{2})=\operatorname {E} [X(t_{1}){\overline {Y(t_{2})}}]}$

${\displaystyle \left\{X_{t}\right\},\left\{Y_{t}\right\}{\text{ orthogonal}}\quad \iff \quad \operatorname {R} _{\mathbf {X} \mathbf {Y} }(t_{1},t_{2})=0\quad \forall t_{1},t_{2}}$ 。

スコロホード空間

スコロホード空間（Skorohod space）は、や などの実数直線上の何らかの区間で定義され、実数直線上または何らかの距離空間上に値をとる、右連続で左極限を持つすべての関数からなる数学的空間である。 ^{[179] [180] [181]}このような関数は、フランス語のcontinue à droite, limite à gauche の頭字語に基づいて、càdlàg 関数または cadlag 関数と呼ばれる。^{[179] [182]}アナトリー・スコロホード[ ^181]によって導入されたスコロホード関数空間は、しばしば文字 で表されるため[ ^{179] [180] [181] [182]}、関数空間は空間とも呼ばれる。^{[179] [183]​​ [184]}この関数空間の表記には、すべてのcàdlàg関数が定義されている区間も含めることができるため、たとえば、単位区間上で定義されたcàdlàg関数の空間を表します。^{[182] [184] [185]}${\displaystyle [0,1]}$ ${\displaystyle [0,\infty )}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle D[0,1]}$ ${\displaystyle [0,1]}$

スコロホード関数空間は確率過程理論において頻繁に用いられる。これは、連続時間確率過程の標本関数がスコロホード空間に属すると仮定されることが多いためである。^{[181] [183]}​​ このような空間には連続関数が含まれており、これはウィーナー過程の標本関数に対応する。しかし、この空間には不連続性を持つ関数も存在するため、ポアソン過程（実数直線上）のようなジャンプを伴う確率過程の標本関数もこの空間の要素となる。^{[184] [186]}

規則性

確率過程の数学的構成の文脈において、正則性という用語は、確率過程の構成上の問題を解決するために、確率過程に特定の条件を仮定して議論する際に使用される。^{[187] [188]}例えば、非可算な指数集合を持つ確率過程を研究するためには、サンプル関数が連続的であるなど、確率過程が何らかの正則性条件に従っていると仮定される。^{[189] [190]}

その他の例

マルコフ過程と連鎖

マルコフ過程は、伝統的に離散時間または連続時間において、マルコフ性を持つ確率過程である。マルコフ性とは、マルコフ過程の次の値は現在の値に依存するが、確率過程の以前の値とは条件付きで独立であることを意味する。言い換えれば、過程の現在の状態が与えられた場合、将来の過程の挙動は過去の挙動から確率的に独立である。^{[191] [192]}

ブラウン運動過程とポアソン過程（1次元）はどちらも連続時間におけるマルコフ過程の例である^[193]が、整数上のランダムウォークとギャンブラーの破産問題は離散時間におけるマルコフ過程の例である^{[194] [195] 。}

マルコフ連鎖は、離散状態空間または離散インデックスセット（多くの場合、時間を表す）のいずれかを持つマルコフ過程の一種ですが、マルコフ連鎖の正確な定義は異なります。^{[196]たとえば、マルコフ連鎖を、}離散時間または連続時間で可算状態空間を持つマルコフ過程として定義するのが一般的です（したがって、時間の性質には関係ありません）が、^{[197] [198] [199] [200]}が、マルコフ連鎖を、離散時間が可算または連続状態空間にある（したがって、状態空間には関係ない）と定義することも一般的でした。^{[196]ジョセフ・ドゥーブやカイ・ライ・チュンなどの研究者によって2番目の定義が使用されていたにもかかわらず、現在では離散時間を持つという最初の}マルコフ連鎖の定義が使用される傾向があると主張されています。^[201]

マルコフ過程は確率過程の重要なクラスを形成し、多くの分野で応用されています。^{[39] [202]}例えば、マルコフ連鎖モンテカルロ法として知られる一般的な確率シミュレーション手法の基礎となっており、特定の確率分布を持つランダムな物体をシミュレートするために使用され、ベイズ統計学にも応用されています。^{[203] [204]}

マルコフ性の概念はもともと連続時間と離散時間の確率過程を対象としていたが、この性質は次元ユークリッド空間などの他のインデックスセットにも適用され、マルコフ確率場として知られる確率変数の集合を生じる。^{[205] [206] [207]}${\displaystyle n}$

マーチンゲール

マルチンゲールとは、離散時間または連続時間の確率過程であり、その性質として、あらゆる瞬間において、過程の現在の値と過去のすべての値が与えられたとき、すべての将来の値の条件付き期待値が現在の値と等しいというものがあります。離散時間において、この性質が次の値に当てはまる場合、すべての将来の値にも当てはまります。マルチンゲールの正確な数学的定義には、時間の経過に伴って利用可能な情報が増加するという直感に関連する「フィルタリング」という数学的概念に加え、さらに2つの条件が必要です。マルチンゲールは通常、実数値として定義されます^{[208][ 209] [155]}が、複素数値^[210]や、より一般的な複素数値として定義されることもあります^{[211] 。}

対称ランダムウォークとウィーナー過程（ドリフトがゼロ）は、それぞれ離散時間と連続時間におけるマルチンゲールの例である。^{[208] [209]平均がゼロで}、独立かつ同一に分布する確率変数の列に対して、連続する部分和から形成される確率過程は離散時間マルチンゲールである。^[212]この点で、離散時間マルチンゲールは独立確率変数の部分和の考え方を一般化している。^[213]${\displaystyle X_{1},X_{2},X_{3},\dots }$ ${\displaystyle X_{1},X_{1}+X_{2},X_{1}+X_{2}+X_{3},\dots }$

マルチンゲールは、適切な変換を適用することで確率過程から生成することもできます。これは、（実数直線上の）同次ポアソン過程の場合に当てはまり、補償ポアソン過程と呼ばれるマルチンゲールになります。^[209]マルチンゲールは他のマルチンゲールから構築することもできます。^[212]例えば、ウィーナー過程に基づくマルチンゲールがあり、連続時間マルチンゲールを形成します。^{[208] [214]}

マルチンゲールは、妥当な報酬期待を形成できる「公平なゲーム」という概念を数学的に定式化するものであり、^[215]元々はそのようなゲームでは「不公平な」優位性を得ることは不可能であることを示すために開発された。^[216]しかし現在では確率の多くの分野で利用されており、これがマルチンゲールを研究する主な理由の一つとなっている。^{[155] [216] [217]}確率における多くの問題は、問題の中にマルチンゲールを見つけて研究することで解決されてきた。^{[218]マルチンゲールは、そのモーメントにいくつかの条件が与えられれば収束するため、主に}マルチンゲール収束定理により、収束結果を導くためによく利用される。^{[213] [219] [220]}

マルチンゲールは統計学において多くの応用があるが、その利用と応用は統計学、特に統計的推論の分野ではそれほど広く普及していないことが指摘されている。^[221]確率論の待ち行列理論やパーム計算^{[222]などの分野や、経済学[223]や金融[17]}などの分野でも応用されている。

レヴィ過程

レヴィ過程は、連続時間におけるランダムウォークの一般化として考えることができる確率過程の一種である。^{[49] [224]}これらの過程は、金融、流体力学、物理学、生物学などの分野で多くの応用がある。^{[225] [226]これらの過程の主な定義特性は、定常性と独立性であるため、}定常かつ独立した増分を持つ過程として知られている。言い換えれば、確率過程は、非負数に対して、対応する増分 が${\displaystyle X}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle 0\leq t_{1}\leq \dots \leq t_{n}}$ ${\displaystyle n-1}$

${\displaystyle X_{t_{2}}-X_{t_{1}},\dots ,X_{t_{n}}-X_{t_{n-1}},}$

これらはすべて互いに独立しており、それぞれの増分の分布は時間差のみに依存します。^[49]

レヴィ過程は、その状態空間がバナッハ空間のような抽象的な数学的空間となるように定義することもできるが、ユークリッド空間の値をとるように定義されることが多い。添字集合は非負数であり、したがって となり、これが時間の解釈を与える。ウィーナー過程、同次ポアソン過程（1次元）、従属変数などの重要な確率過程はすべてレヴィ過程である。^{[49] [224]}${\displaystyle I=[0,\infty )}$

ランダムフィールド

確率場とは、次元ユークリッド空間または何らかの多様体によってインデックス付けされた確率変数の集合である。一般に、確率場は確率過程またはランダム過程の一例とみなすことができ、インデックス集合は必ずしも実数直線の部分集合とはならない。 ^[30]しかし、インデックスが2次元以上の場合、インデックス付き確率変数の集合はランダム場と呼ばれるという慣習がある。^{[5] [28] [227]}確率過程の特定の定義において、インデックス集合が実数直線の部分集合であることが求められる場合、確率場は確率過程の一般化とみなすことができる。^[228]${\displaystyle n}$

ポイントプロセス

点過程は、実数直線、次元ユークリッド空間、あるいはより抽象的な空間などの数学的空間上にランダムに配置された点の集合である。歴史的には過程という言葉は何らかのシステムの時間的発展を意味していたため、点過程という用語が好まれないこともあり、点過程はランダム点場とも呼ばれる。^[229]点過程には、ランダム計数測度やランダム集合など、様々な解釈がある。^{[230] [231]}点過程と確率過程を異なるオブジェクトとみなす研究者もいる。つまり、点過程は確率過程から生じる、あるいは確率過程と関連するランダムオブジェクトである。^{[232] [233]}ただし、点過程と確率過程の違いは明確ではないと指摘されている。^[233]${\displaystyle n}$

他の研究者は、点過程を確率過程とみなし、その過程は実数直線や次元ユークリッド空間など、それが定義されている基礎空間^{[d]の集合によってインデックス付けされる。 [236] [237]}更新過程や計数過程などの他の確率過程は、点過程理論で研究されている。^{[238] [233]}${\displaystyle n}$

歴史

初期の確率論

確率論は、長い歴史を持つギャンブルに起源を持ち、数千年前からプレイされていたゲームもあるが^[239]、確率の観点からそれらの分析はほとんど行われていない。^[240] 1654年は、フランスの数学者ピエール・フェルマーとブレーズ・パスカルがギャンブルの問題に着想を得て確率に関する書簡を交わしたことから、確率論の誕生とよく考えられている。^{[241] [242]しかし、ギャンブルの確率に関する数学的な研究は、}ジェロラモ・カルダーノが16世紀に執筆し、1663年に死後に出版された『ギャンブルの書』など、以前にも行われていた。^[243]

カルダノの後、ヤコブ・ベルヌーイ^[e]が確率論の歴史において重要な出来事とされる『予想の技法』を著した。ベルヌーイの著書も同じく死後の1713年に出版され、多くの数学者に確率論の研究を促した。 ^{[245] [246]しかし、}ピエール＝シモン・ラプラス、アブラアン・ド・モアブル、カール・ガウス、シメオン・ポアソン、パフヌティ・チェビシェフといった著名な数学者が確率論に貢献したにもかかわらず^{[247] [248]}、数学者コミュニティの大半^[f]は20世紀まで確率論を数学の一部とは考えていなかった。^{[247] [249] [250] [251]}

統計力学

物理科学では、科学者らは 19 世紀に統計力学という分野を発展させた。統計力学では、気体で満たされた容器などの物理システムは、数学的には多数の運動する粒子の集まりとみなされ、扱われる。ルドルフ・クラウジウスなど一部の科学者らは統計物理学にランダム性を取り入れようとしたが、ほとんどの研究にはランダム性がほとんどないか全くなかった。^{[252] [253]} 1859 年にジェームズ・クラーク・マクスウェルが、気体粒子がランダムな方向にランダムな速度で運動するモデルを発表し、この分野、より具体的には気体の運動論に大きく貢献したことで状況は変わった。^{[254] [255]}気体の運動論と統計物理学は 19 世紀後半も発展を続け、主にクラウジウス、ルートヴィヒ・ボルツマン、ジョサイヤ・ギブスらが行った研究は、後にアルベルト・アインシュタインのブラウン運動の数学的モデルに影響を与えることになる。^[256]

測度論と確率論

1900年にパリで開催された国際数学者会議で、ダヴィト・ヒルベルトは数学の問題のリストを提示したが、その中の6番目の問題は、公理を含む物理学と確率の数学的処理を求めていた。^[248] 20世紀初頭頃、数学者たちは数学関数の積分を研究する数学の一分野である測度論を発展させた。その創始者のうち2人はフランスの数学者、アンリ・ルベーグとエミール・ボレルである。1925年、別のフランスの数学者ポール・レヴィは、測度論の考え方を用いた最初の確率論の本を出版した。^[248]

1920年代には、ソ連でセルゲイ・ベルンシュタイン、アレクサンドル・ヒンチン^[g]、アンドレイ・コルモゴロフ^[251 ]などの数学者によって確率論への基本的な貢献がなされた。コルモゴロフは1929年に測度論に基づいて確率論の数学的基礎を提示する最初の試みを発表した。^[257] 1930年代初頭、ヒンチンとコルモゴロフは確率セミナーを開催し、エフゲニー・スルツキーやニコライ・スミルノフ^[258]などの研究者が参加した。そして、ヒンチンは実数直線で添え字が付けられた確率変数の集合として確率過程の最初の数学的定義を与えた。^{[63] [259] [h]}

現代確率論の誕生

1933年、アンドレイ・コルモゴロフはドイツ語で確率論の基礎に関する著書『確率論の基礎』 [ ^i]を出版した。コルモゴロフは測度論を用いて確率論の公理的枠組みを構築した。この本の出版は、確率論と確率過程論が数学の一部となった現代確率論の誕生と広く考えられている。^{[248] [251]}

コルモゴロフの著書の出版後、ヒンチンとコルモゴロフに加え、ジョセフ・ドゥーブ、ウィリアム・フェラー、モーリス・フレシェ、ポール・レヴィ、ヴォルフガング・デーブリン、ハラルド・クラマーといった数学者たちによって、確率論と確率過程に関する更なる基礎研究が行われた。[ 248 ] [ 251 ]^数十 年後、クラマーは1930年代を「数学的確率論の英雄的時代」と呼んだ。^[251] 第二次世界大戦は確率論の発展を大きく阻害し、例えばフェラーがスウェーデンからアメリカ合衆国に移住したことや^[251]、現在では確率過程の先駆者とみなされているデーブリンが亡くなったことなどがその原因となった。^[261]

数学者ジョセフ・ドゥーブは確率過程理論の初期の研究を行い、特にマルチンゲール理論において基礎的な貢献を果たした。^{[262] [260]}彼の著書『確率過程』は確率論の分野で大きな影響力を持つと考えられている。^[263]

第二次世界大戦後の確率過程

第二次世界大戦後、確率論と確率過程の研究は数学者からより多くの注目を集め、確率と数学の多くの分野で重要な貢献がなされ、新しい分野が創出されました。^{[251] [264]} 1940年代から、伊藤清はウィーナー運動またはブラウン運動過程に基づく確率積分と確率微分方程式を含む確率計算の分野を発展させる論文を発表しました。^[265]

1940年代には、確率過程、特にマルチンゲールと数学のポテンシャル理論との関連が、初期のアイデアである角谷静雄、その後のジョセフ・ドゥーブの研究によって確立され始めました。^{[264] 1950年代には、}ギルバート・ハントがマルコフ過程とポテンシャル理論を結びつける先駆的な研究を行いました。これはレヴィ過程の理論に大きな影響を与え、伊藤らが開発した手法を用いたマルコフ過程の研究への関心が高まりました。^{[21] [266] [267]}

1953年、ドゥーブは著書『確率過程』を出版し、これは確率過程理論に大きな影響を与え、確率における測度論の重要性を強調した。^{[264] [263]}ドゥーブはまた、主にマルチンゲール理論を展開し、後にポール＝アンドレ・マイヤーが重要な貢献をした。それ以前の研究はセルゲイ・バーンスタイン、ポール・レヴィ、ジャン・ヴィルによって行われ、ヴィルは確率過程にマルチンゲールという用語を採用した。^{[268] [269]}マルチンゲール理論の手法は、様々な確率問題を解くために普及した。マルコフ過程を研究するための手法と理論が開発され、その後マルチンゲールに適用された。逆に、マルチンゲール理論の手法はマルコフ過程を扱うために確立された。^[264]

確率過程の研究には、他の確率分野も発展し、用いられてきました。その中でも主要なアプローチの一つが大偏差理論です。^[264]この理論は統計物理学をはじめとする様々な分野に応用されており、その中核となるアイデアは少なくとも1930年代にまで遡ります。1960年代後半から1970年代にかけて、ソ連のアレクサンダー・ウェンツェルとアメリカ合衆国のモンロー・D・ドンスカーとシュリニヴァーサ・バラダンによって基礎研究が行われ、 ^[270]後にバラダンは2007年のアーベル賞を受賞することになります。^[271] 1990年代と2000年代には、シュラム・レーヴナー進化論^[272]とラフパス^[142]の理論が導入され、確率過程や確率論における他の数学的対象を研究するために発展し、その結果、2008年にヴェンデリン・ヴェルナー^[273]に、 2014年にマーティン・ヘアラーにフィールズ賞が授与されました^。[274]

確率過程の理論は今でも研究の焦点であり続け、確率過程をテーマにした国際会議が毎年開催されている。^{[45] [225]}

特定の確率過程の発見

ヒンチンは1930年代に確率過程の数学的定義を与えたが、^{[63] [259]}ブラウン運動過程やポアソン過程など、特定の確率過程はすでにさまざまな設定で発見されていた。^{[21] [24]}点過程や再生過程などの確率過程のいくつかのファミリーは、何世紀にもわたる長く複雑な歴史を持っている。^[275]

ベルヌーイ過程

ベルヌーイ過程は、偏ったコインを投げる数学的モデルとして利用でき、おそらく研究された最初の確率過程である。^[81]この過程は独立したベルヌーイ試行の連続であり、^[82]ヤコブ・ベルヌーイにちなんで名付けられた。ベルヌーイは、この試行を用いて、クリスティアーン・ホイヘンスによって提唱・研究された確率問題を含む偶然のゲームを研究した。^[276]ベルヌーイ過程を含むベルヌーイの研究は、 1713年に彼の著書『予想の技術』として出版された。^[277]

ランダムウォーク

1905年、カール・ピアソンは、生物学への応用を動機として平面上のランダムウォークを記述する問題を提起した際に、ランダムウォークという用語を造語したが、ランダムウォークを含むそのような問題は既に他の分野で研究されていた。数世紀も前に研究されたギャンブルの問題の中には、ランダムウォークを含む問題と見なせるものもある。 ^{[89] [277]}例えば、「ギャンブラーの破産」として知られる問題は、単純なランダムウォークに基づいており、^{[195] [278]}吸収障壁のあるランダムウォークの例である。^{[241] [279]}パスカル、フェルマー、ユイエンスはいずれもこの問題の数値解を与えたが、その手法の詳細は示さなかった。^[280]その後、ヤコブ・ベルヌーイとアブラハム・ド・モアブルによってより詳細な解が提示された。^[281]

ジョージ・ポリアは、1919年と1921年に、次元整数格子におけるランダムウォークについて、対称ランダムウォークが格子内の前の位置に戻る確率を研究した論文を発表しました。ポリアは、格子内のどの方向にも等確率で進む対称ランダムウォークは、1次元および2次元では確率1で無限回格子内の前の位置に戻るが、3次元以上では確率0で戻ることを示し、その結果、対称ランダムウォークは、格子内のどの方向にも等確率で進むが、1次元および2次元では確率1で無限回格子内の前の位置に戻ることが示されました。^{[282] [283]}${\displaystyle n}$

ウィーナー過程

ウィーナー過程、あるいはブラウン運動過程は、統計学、金融、物理学など、様々な分野に起源を持つ。^[21] 1880年、デンマークの天文学者 トルヴァルド・ティーレは最小二乗法に関する論文を執筆し、この過程を用いて時系列解析におけるモデルの誤差を研究した。^{[284] [285] [286]この研究は現在、}カルマンフィルタリングとして知られる統計手法の初期の発見とみなされているが、この研究は広く見過ごされてきた。ティーレの論文に示されたアイデアは、当時の数学および統計学界全体には理解されにくいほど先進的であったと考えられている。^[286]

ノーバート・ウィーナーはウィーナー過程の存在を初めて数学的に証明した。この数学的対象は、それ以前にもトーヴァル・ティーレ、ルイ・バシュリエ、アルバート・アインシュタインの研究で明らかにされていた。^[21]

フランスの数学者ルイ・バシュリエは1900年の学位論文^{[287] [288]}でウィーナー過程を用いてパリ証券取引所の価格変動をモデル化したが^[289]、彼はティールの研究を知らなかった^{[21] 。バシュリエは}ジュール・ルニョーのランダムウォークモデルから着想を得たのではないかと推測されているが、バシュリエはルニョーを引用しておらず^[290]、現在ではバシュリエの学位論文は金融数学の分野における先駆的なものと考えられている^{[289 ]。 [290]}

バシュリエの研究は、1950年代にレナード・サベージによって再発見されるまで数十年間ほとんど注目されず忘れ去られていたと一般に考えられています。その後、1964年にバシュリエの論文が英訳されてから人気が高まりました。しかし、数学界ではその研究が忘れ去られることはありませんでした。バシュリエは1912年に自分の考えを詳述した本を出版し、^[290]ドゥーブ、フェラー^{[290] 、コルモゴロフ[21]}などの数学者に引用されました。その本は引用され続けましたが、1960年代に入ると、経済学者がバシュリエの研究を引用し始め、バシュリエの元の論文が彼の本よりも多く引用されるようになりました。^[290]

1905年、アルバート・アインシュタインは、液体中の粒子の一見ランダムな運動を、気体運動論の考え方を用いて説明するため、ブラウン運動の物理的観察を研究した論文を発表しました。アインシュタインは、空間の特定の領域に粒子が存在する確率を記述する拡散方程式として知られる微分方程式を導き出しました。アインシュタインのブラウン運動に関する最初の論文の直後、マリアン・スモルホフスキーはアインシュタインを引用した論文を発表しましたが、彼は別の方法を用いて同等の結果を独自に導き出したと述べています。^[291]

アインシュタインの研究とジャン・ペランの実験結果は、後に1920年代にノーバート・ウィーナーに影響を与え、パーシー・ダニエルによって開発された測度論とフーリエ解析を用いてウィーナー過程が数学的対象として存在することを証明した。^{[21 ]}

ポアソン過程

ポアソン過程は、その定義がポアソン分布を含んでいることからシメオン・ポアソンにちなんで名付けられたが、ポアソンはこの過程を研究しなかった。^{[22] [293]}ポアソン過程の初期の用途や発見については多くの主張がある。^{[22] [24]} 20世紀初頭、ポアソン過程は異なる状況で独立して発生した。^{[22] [24]} 1903年、スウェーデンでフィリップ・ルンドベリは、現在では基礎的かつ先駆的であると考えられている研究を含む論文を発表し、その中で同次ポアソン過程を用いて保険金請求をモデル化することを提案した。^{[294] [295]}

1909年、デンマークでもう一つの発見がありました。AKアーランは、有限時間間隔における着信電話件数に関する数学モデルを開発する際に、ポアソン分布を導き出しました。アーランは当時、ポアソンの以前の研究を知らず、各時間間隔における着信電話件数は互いに独立していると仮定していました。そして、彼は極限ケースを発見しました。これは、事実上、ポアソン分布を二項分布の極限として書き直すものです。^[22]

1910年、アーネスト・ラザフォードとハンス・ガイガーはアルファ粒子の計数に関する実験結果を発表しました。彼らの研究に触発されたハリー・ベイトマンは、計数問題を研究し、微分方程式族の解としてポアソン確率を導き出し、ポアソン過程を独自に発見しました。^[22]その後、ポアソン過程に関する研究と応用は数多く行われましたが、その初期の歴史は複雑で、生物学者、生態学者、エンジニア、そして様々な物理学者によって、様々な分野でこの過程が応用されたことで説明されています。^[22]

マルコフ過程

マルコフ過程とマルコフ連鎖は、20世紀初頭にマルコフ連鎖を研究したアンドレイ・マルコフにちなんで名付けられました。マルコフは、独立したランダムシーケンスの拡張を研究することに興味を持っていました。1906年に発表されたマルコフ連鎖に関する最初の論文で、マルコフは、特定の条件下ではマルコフ連鎖の平均結果が固定された値のベクトルに収束することを示し、独立性の仮定なしに大数の弱い法則を証明しました。 ^{[296] [297] [298]}この独立性の仮定は、そのような数学的法則が成立するための必要条件であると一般に考えられていました。^{[298]マルコフは後に、}アレクサンドル・プーシキンの『エフゲニー・オネーギン』における母音の分布を研究するためにマルコフ連鎖を使用し、そのような連鎖の中心極限定理を証明しました。

1912年、ポアンカレはカードシャッフルの研究を目的として、有限群上のマルコフ連鎖を研究した。マルコフ連鎖の初期の応用としては、 1907年にポール・エーレンフェストとタチアナ・エーレンフェストによって導入された拡散モデルや、マルコフの研究に先立つ1873年にフランシス・ゴルトンとヘンリー・ウィリアム・ワトソンによって導入された分岐過程などが挙げられる。 ^{[296] [297]}ゴルトンとワトソンの研究の後、彼らの分岐過程は約30年前にイレネー＝ジュール・ビエネメによって独立に発見・研究されていたことが明らかになった。^[299] 1928年からモーリス・フレシェはマルコフ連鎖に興味を持ち始め、最終的に1938年にマルコフ連鎖に関する詳細な研究を発表した。^{[296] [300]}

アンドレイ・コルモゴロフは、 1931年の論文で、連続時間マルコフ過程の初期理論の大部分を展開した。^{[251] [257]}コルモゴロフは、1900年のルイ・バシュリエの株式市場の変動に関する研究や、ノーバート・ウィーナーのアインシュタインのブラウン運動モデルに関する研究に部分的に影響を受けた。^{[257] [301]}彼は、拡散過程として知られるマルコフ過程の特定のセットを導入して研究し、その過程を記述する微分方程式のセットを導出した。^{[257] [302]}コルモゴロフの研究とは独立して、シドニー・チャップマンは、ブラウン運動を研究しながら、1928年の論文で、現在ではチャップマン・コルモゴロフ方程式と呼ばれている方程式を、コルモゴロフほど数学的に厳密ではない方法で導出した。 ^[303]この微分方程式は現在ではコルモゴロフ方程式^[304]またはコルモゴロフ・チャップマン方程式と呼ばれています。^[305]マルコフ過程の基礎に大きく貢献した他の数学者としては、1930年代からウィリアム・フェラー、そして1950年代からユージン・ディンキンが挙げられます。^[251]

レヴィ過程

ウィーナー過程や実数直線上のポアソン過程などのレヴィ過程は、1930年代に研究を始めたポール・レヴィにちなんで名付けられているが^{[225] 、}無限に割り切れる分布との関連は1920年代にまで遡る。^[224] 1932年の論文で、コルモゴロフはレヴィ過程に関連する確率変数の特性関数を導出した。この結果は後にレヴィによって1934年にさらに一般的な条件下で導出され、続いてヒンチンが1937年に独立にこの特性関数の別の形を与えた^{[251] [306]}レヴィ、ヒンチン、コロモゴロフに加えて、ブルーノ・ド・フィネッティと伊藤清によってもレヴィ過程理論への初期の基礎的貢献がなされた^[224]。

数学的構成

数学においては、数学的対象の構築が必要であり、確率過程も同様に、それらが数学的に存在することを証明する必要がある。^[57]確率過程を構築するには、主に2つのアプローチがある。1つは、関数の測定可能な空間を考慮し、確率空間からこの関数の測定可能な空間への適切な測定可能な写像を定義し、対応する有限次元分布を導出するアプローチである。^[307]

もう一つのアプローチは、特定の有限次元分布を持つランダム変数の集合を定義し、コルモゴロフの存在定理^[j]を用いて対応する確率過程が存在することを証明することである。^{[57] [307]}この定理は無限積空間上の測度の存在定理であり、^[311]は、任意の有限次元分布が整合性条件と呼ばれる2つの条件を満たす場合、それらの有限次元分布を持つ確率過程が存在することを述べている。^[57]

建設上の問題

連続時間確率過程を構築する際には、離散時間過程には存在しない、無数な指数集合のために、ある種の数学的困難が生じる。^{[58] [59]}一つの問題は、同じ有限次元分布を持つ確率過程が複数存在する可能性があることである。例えば、ポアソン過程の左連続修正と右連続修正は、どちらも同じ有限次元分布を持つ。^[312]これは、確率過程の分布が、必ずしも確率過程の標本関数の特性を一意に規定するわけではないことを意味する。^{[307] [313]}

もう一つの問題は、指標集合の無数の点に依存する連続時間過程の関数は測定できない可能性があり、そのため特定の事象の確率が明確に定義できない可能性があることである。^[168]例えば、確率過程や確率場の上限は必ずしも明確に定義された確率変数ではない。^{[30] [59]}連続時間確率過程の場合、指標集合の無数の点に依存する他の特性には以下が含まれる。^[168]${\displaystyle X}$ ${\displaystyle T}$

• 確率過程のサンプル関数はの連続関数です。${\displaystyle X}$ ${\displaystyle t\in T}$
• 確率過程のサンプル関数はの有界関数であり、${\displaystyle X}$ ${\displaystyle t\in T}$
• 確率過程のサンプル関数はの増加関数です。${\displaystyle X}$ ${\displaystyle t\in T}$

ここで、記号∈は「集合のメンバー」と読み取ることができ、集合のメンバーのようになります。 ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle T}$

上で述べた2つの困難、すなわち「複数の...」と「...の機能」を克服するために、異なる仮定とアプローチが可能である。^[69]

建設問題の解決

ジョセフ・ドゥーブによって提案された確率過程の数学的構成上の問題を回避する一つのアプローチは、確率過程が分離可能であると仮定することである。^[314]分離可能性は、標本関数が本質的に指標集合内の点の稠密な可算集合上の値によって決定されることを要求することにより、無限次元分布が標本関数の特性を決定することを保証する。^[315]さらに、確率過程が分離可能であれば、指標集合の無数の点の関数は測定可能であり、それらの確率を調べることができる。^{[168] [315]}

アナトリー・スコロホッドとアンドレイ・コルモゴロフ[ ^316]によって開発された、任意の計量空間を状態空間とする連続時間確率過程に対する別のアプローチも可能である。このような確率過程の構築では、確率過程の標本関数が何らかの適切な関数空間に属すると仮定する。この関数空間は通常、左極限を持つ右連続関数すべてからなるスコロホッド空間である。このアプローチは現在では分離可能性仮定よりも多く用いられているが^{[69] [262]}、このアプローチに基づく確率過程は自動的に分離可能となる。^[317]

分離可能性の仮定はあまり使われていないが、すべての確率過程には分離可能なバージョンが存在するため、より一般的なものと考えられている。^[262]また、スコロホード空間で確率過程を構築できない場合にも使用される。^[173]例えば、確率場を構築して研究する場合、確率変数の集合が実数直線以外の集合、例えば次元ユークリッド空間によってインデックス付けされるときに、分離可能性が仮定される。^{[30] [318]}${\displaystyle n}$

応用

金融における応用

ブラック・ショールズモデル

金融における確率過程の最も有名な応用例の一つは、オプション価格決定のためのブラック＝ショールズ・モデルである。フィッシャー・ブラック、マイロン・ショールズ、ロバート・ソローによって開発されたこのモデルは、確率過程の一種である幾何ブラウン運動^{を用いて資産価格の変動を記述する。 [319] [320]}このモデルは、株価が連続時間確率過程に従うと仮定し、ヨーロピアン・オプションの価格決定のための閉形式の解を提供する。ブラック＝ショールズ式は金融市場に大きな影響を与え、現代のオプション取引の多くを支える基礎となっている。

ブラック＝ショールズ・モデルの主要な仮定は、株式などの金融資産の価格は対数正規分布に従い、その連続収益率は正規分布に従うというものです。このモデルには、ボラティリティ一定という仮定などの限界はあるものの、その単純さと実用性から、広く利用されています。

確率的ボラティリティモデル

金融における確率過程のもう一つの重要な応用は、確率的ボラティリティモデルである。これは、市場ボラティリティの時間変動性を捉えることを目的としている。ヘストンモデル^[321]はよく知られた例であり、資産価格のボラティリティがそれ自身の確率過程に従うことを想定している。ボラティリティが一定であると仮定するブラック＝ショールズモデルとは異なり、確率的ボラティリティモデルは、特に不確実性が高い時期や市場ストレスの時期において、市場ダイナミクスをモデル化するためのより柔軟な枠組みを提供する。

生物学への応用

人口動態

生物学における確率過程の主要な応用の一つは、個体群動態である。個体群が予測可能な方法で変化すると仮定する決定論的モデルとは対照的に、確率モデルは出生、死亡、そして移住に内在するランダム性を考慮する。出生死亡過程^[322]は、単純な確率モデルであり、ランダムな出生と死亡によって個体群が時間とともにどのように変動するかを記述する。これらのモデルは、絶滅危惧種や小規模な微生物個体群のように、ランダムな事象が大きな影響を与える可能性のある小規模個体群を扱う際に特に重要である。

もう一つの例は分岐過程^[322]です。これは、各個体が独立して繁殖する集団の成長をモデル化したものです。分岐過程は、特に疫学において、集団内の感染症の蔓延をモデル化するために、集団の絶滅や爆発を説明するためによく用いられます。

コンピュータサイエンスにおける応用

ランダム化アルゴリズム

確率過程はコンピュータサイエンス、特にランダム化アルゴリズムの分析と開発において重要な役割を果たします。これらのアルゴリズムは、ランダムな入力を用いて問題解決を簡素化したり、複雑な計算タスクのパフォーマンスを向上させたりします。例えば、マルコフ連鎖は、GoogleのPageRankのような検索エンジンで使用されているような、最適化やサンプリングタスクのための確率的アルゴリズムで広く使用されています。^[323]これらの手法は計算効率と精度のバランスをとっており、大規模なデータセットの処理に非常に役立ちます。ランダム化アルゴリズムは、暗号、大規模シミュレーション、人工知能など、不確実性を効果的に管理する必要がある分野でも広く応用されています。^[323]

待ち行列理論

コンピュータサイエンスにおける確率過程のもう一つの重要な応用は、待ち行列理論です。これは、システムにおけるタスクのランダムな到着と処理をモデル化するものです。^[324]これは特にネットワークトラフィック分析とサーバー管理に関連しています。例えば、待ち行列モデルは、Webサーバーや通信ネットワークにおける遅延の予測、リソース割り当ての管理、スループットの最適化に役立ちます。確率モデルの柔軟性により、研究者は高トラフィック環境のパフォーマンスをシミュレートし、改善することができます。例えば、待ち行列理論は効率的なデータセンターやクラウドコンピューティングインフラストラクチャの設計に不可欠です。^[325]

参照

• 確率過程トピックのリスト
• 共分散関数
• 決定論的システム
• マルコフ粒子のダイナミクス
• エントロピー率（確率過程の場合）
• エルゴード過程
• ギレスピーアルゴリズム
• 相互作用粒子システム
• マルコフ連鎖
• 確率的セルオートマトン
• ランダムフィールド
• ランダム性
• 定常過程
• 統計モデル
• 確率計算
• 確率制御
• 確率的オウム
• 確率過程と境界値問題

注記

1. ブラウン運動という用語は、物理的過程（ブラウン運動とも呼ばれる）と確率過程（数学的対象）の両方を指すことがあるが、曖昧さを避けるために、この記事では後者に対して、例えばギクマンとスコロホッド^{[19]やローゼンブラット[20]に似たスタイルで、}ブラウン運動過程またはウィーナー過程という用語を使用する。
2. 「分離可能」という用語はここで2つの異なる意味を持って2回登場する。最初の意味は確率論的な意味で、2番目の意味は位相論的および解析学的な意味で用いられる。確率過程が（確率論的な意味で）分離可能であるためには、その指数集合が（位相論的または解析的な意味で）分離可能な空間であることに加え、他の条件も満たさなければならない。^[136]
3. 連続時間実数値確率過程の分離可能性の定義は他の方法でも述べることができる。^{[172] [173]}
4. 点過程の文脈では、「状態空間」という用語は、実数直線などの点過程が定義されている空間を意味することがあり、^{[234] [235]}これは確率過程の用語におけるインデックスセットに対応する。
5. ジェームズ・ベルヌーイ、ジャック・ベルヌーイとも呼ばれる。^[244]
6. 注目すべき例外としてはロシアのサンクトペテルブルク学派が挙げられ、そこではチェビシェフに率いられた数学者たちが確率論を研究していた。^[249]
7. ヒンチンという名前は英語ではKhintchineとも表記される（または音訳される）。^[63]
8. ドゥーブはキンチンを引用する際に「偶然変数」という用語を使用しているが、これはかつて「ランダム変数」の別名であった。^[260]
9. 後に英訳され、1950年に『確率論の基礎』として出版された^[248]
10. この定理にはコルモゴロフの無矛盾定理^[308] 、 コルモゴロフの拡張定理^[309]、ダニエル・コルモゴロフの定理^{[310]など他の名前もあります。}

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さらに読む

記事

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本

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• ロバート・J・アドラー、ジョナサン・E・テイラー（2009年）『ランダムフィールドと幾何学』Springer Science & Business Media. ISBN 978-0-387-48116-6。
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• ジョセフ・L・ドゥーブ（1990）『確率過程』ワイリー社。
• アンダース・ハルド（2005年）『確率と統計の歴史とその応用 1750年以前』ジョン・ワイリー・アンド・サンズ、ISBN 978-0-471-72517-6。
• クリスピン・ガーディナー（2010年）『確率論的手法』シュプリンガー、ISBN 978-3-540-70712-7。
• イオシフ・I・ギクマン、アナトリー・ウラジミロヴィッチ・スコロホド（1996年）『ランダム過程理論入門』クーリエ社、ISBN 978-0-486-69387-3。
• エマニュエル・パルゼン（2015年）『確率過程』クーリエ・ドーバー出版。ISBN 978-0-486-79688-8。
• マレー・ローゼンブラット（1962年）『ランダムプロセス』オックスフォード大学出版局

外部リンク

• ウィキメディア・コモンズにおける確率過程に関連するメディア