半群の特別なクラス

数学において、半群は結合二項演算を伴う空でない集合である。半群の特別なクラスは、追加の特性や条件を満たす半群のクラス である。したがって、可換半群のクラスは、半群内のすべての要素aとbについて二項演算がab = baという交換性特性を満たすすべての半群から構成される。有限半群のクラスは、基礎となる集合が有限の濃度を持つ半群から構成される。ブラント半群のクラスのメンバーは、1 つの条件だけでなく、一連の追加の特性も満たす必要がある。半群の特別なクラスの大規模なコレクションが定義されているが、それらすべてが同様に集中的に研究されているわけではない。

代数的半群理論において、特殊クラスを構成する際には、半群における二項演算によって表現できる性質、制約、条件のみに着目し、場合によっては基底集合の部分集合の濃度や類似の性質にも着目する。基底集合は、順序や位相といった他の数学的構造を持たないものと仮定する。

あらゆる代数理論と同様に、半群理論の主要な問題の一つは、すべての半群の分類とその構造の完全な記述である。半群の場合、二項演算は結合性のみを満たす必要があるため、分類の問題は極めて困難であると考えられる。特定の特殊なクラスの半群については、構造の記述が得られている。例えば、正則半群の冪等集合の構造は完全に既知である。構造の記述は、よりよく知られているタイプの半群を用いて表現される。最もよく知られているタイプの半群は、群である。

以下に、様々な特殊クラスの半群（必然的に不完全なもの）の一覧を示す。定義特性は可能な限り、半群における二項演算を用いて定式化される。参考文献は、定義特性の出典を示す。

表記

半群のさまざまな特殊クラスの定義特性を記述する際に、次の表記規則が採用されます。

表記

表記	意味
S	任意の半群
E	Sのべき等集合
G	Sの単位群
私	Sの最小イデアル
V	Sの正則要素
X	任意の集合
a、b、c	Sの任意の要素
x、y、z 軸	Sの特定の要素
e、f、g	Eの任意の要素
h	Eの特定の要素
l、m、n	任意の正の整数
j、k	特定の正の整数
v、w	Vの任意の元
0	Sの零元
1	Sの単位元
S ^1	1 ∈ S ならS ; 1 ∉ S ならS ∪ { 1 }
a ≤ L b a ≤ R b a ≤ H b a ≤ J b	S ^1a ⊆ S ^1b aS ^1 ⊆ bS ^1S ^1a ⊆ S ^1b およびaS ^1 ⊆ bS ^1S ^1aS ^1 ⊆ S ^1bS ^1
L、R、H、D、J	グリーンの関係
ラ、ラ、ハ、ダ、ジャ​​​​​	グリーンクラスには、
${\displaystyle x^{\omega}}$	xの唯一のべき乗で、冪等である。この元は、半群が（局所的に）有限であると仮定して存在する。この記法の詳細については、 有限半群の多様性を参照のこと。
${\displaystyle |X|}$	Xが有限であると仮定した場合のXの基数。

たとえば、定義xab = xba は次のように読み取られます。

• 半群の元xが存在し、半群のそれぞれのaとbに対して、 xabとxba が等しい。

半群の特殊クラスの一覧

3列目は、この半群の集合が多様体を形成するかどうかを示します。また、この特別なクラスの有限半群の集合が有限半群の多様体を形成するかどうかを示します。この集合が多様体である場合、その有限元の集合は自動的に有限半群の多様体となることに注意してください。

半群の特殊クラスの一覧

用語	プロパティの定義	有限半群の多様体	参照文献
有限半群	Sは有限集合です。	無限ではない 有限
空半群	S =${\displaystyle \emptyset }$	いいえ
自明な半群	Sの基数は 1 です。	無限 有限
モノイド	1∈S​	いいえ	グリルp. 3
バンド（冪等半群）	2 = 1^​	無限 有限	C&P 4ページ
長方形の帯	aba = aとなるバンド	無限 有限	フェネモア
通常のバンド	abca = acbaとなるバンド	無限 有限	フェネモア
半格子	可換バンドとは、次のものです。 2 = 1^​ ab = ba	無限 有限	C&P 24ページ フェネモア
可換半群	ab = ba	無限 有限	C&P 3ページ
アルキメデスの可換半群	ab = ba a ^k = xbとなるxとkが存在する。		C&P 131ページ
どこにも可換な半群がない	ab = ba   ⇒   a = b		C&P 26ページ
左弱可換性	( ab ) ^k = bxとなるxとkが存在する。		ナジp. 59
右弱可換性	( ab ) ^k = xaとなるようなxとkが存在する。		ナジp. 59
弱可換性	左と右は弱可換である。つまり： ( ab ) ^j = bxとなるxとjが存在する。 ( ab ) ^k = yaとなるようなyとkが存在する。		ナジp. 59
条件付き可換半群	ab = baの場合、すべてのxに対してaxb = bxa となります。		ナジp. 77
R可換半群	アブR ba		ナジp. 69–71
RC可換半群	R可換性と条件付き可換性		ナジp. 93–107
L -可換半群	アブL ba		ナジp. 69–71
LC -可換半群	L可換かつ条件付き可換		ナジp. 93–107
H -可換半群	アブH ba		ナジp. 69–71
準可換半群	あるkに対してab = ( ba ) ^k。		ナジp. 109
右可換半群	xab = xba		ナジp. 137
左可換半群	abx =バックス		ナジp. 137
外部可換半群	axb = bxa		ナジp. 175
中間半群	xaby = xbay		ナジp. 119
E- k半群（kは固定）	( ab ) ^k = a ^k b ^k	無限 有限	ナジp. 183
指数半群	( ab ) ^m = a ^m b ^mすべてのmについて	無限 有限	ナジp. 183
WE- k半群（kは固定）	対(a,b)に依存する正^の^整数^jが存在し、^( ab ) ^k + j = akbk ( ab ) ^j =( ab ) ^jakbkとなる。		ナジp. 199
弱指数半群	WE- mはすべてのmを表す		ナジp. 215
右相殺半群	ba = ca   ⇒   b = c		C&P 3ページ
左相殺半群	ab = ac   ⇒   b = c		C&P 3ページ
相殺的半群	左と右の相殺半群、つまり ab = ac   ⇒   b = c ba = ca   ⇒   b = c		C&P 3ページ
E逆半群（ E稠密半群）	ax ∈ Eとなるようなxが存在する。		C&P 98ページ
正規半群	axa = aとなるxが存在する。		C&P 26ページ
レギュラーバンド	アバカ=アブカとなるバンド	無限 有限	フェネモア
正則内半群	xa ^2y = aとなるxとyが存在します。		C&P 121ページ
左正則半群	xa ^2 = a となるxが存在する。		C&P 121ページ
左レギュラーバンド	aba = abとなるバンド	無限 有限	フェネモア
右正則半群	a ^2x = a となるxが存在する。		C&P 121ページ
右レギュラーバンド	aba = baとなるバンド	無限 有限	フェネモア
完全正則半群	H aはグループです。		グリルp. 75
（逆）クリフォード半群	すべてのべき等元が中心となる正則半群。 同様に有限半群の場合：${\displaystyle a^{\omega }b=ba^{\omega }}$	有限	ペトリッチp. 65
k -正則半群（kは固定）	a ^k xa ^k = a ^kとなる xが存在する。		ハリ
最終的に正則半群（π正則半群、準正則半群）	a ^k xa ^k = a ^kとなるkとx ( aに依存)が存在します。		エドワ・シュム・ヒッグp. 49
準周期半群、エピグループ、群束縛半群、完全（または強）π正則半群、その他多数（リストについては Kelaを参照）	k （ aに依存）が存在し、 k^はSの部分群に属する		ケラ・グリルp. 110ヒッグp. 4
原始半群	0 ≠ eかつf = ef = feの場合、 e = fとなります。		C&P 26ページ
単位正則半群	Gにはaua = aとなるuが存在する。		テレビム
強く単位正則半群	Gにはaua = aとなるuが存在する。 e D f ⇒ f = v ^−1ev （ G内の何らかのvに対して） 。		テレビム
正統派セミグループ	axa = aとなるxが存在する。 EはSの部分半群である。		グリルp. 57ハウイp. 226
逆半群	axa = aかつxax = x となる唯一のxが存在します。		C&P 28ページ
左逆半群（R -単零）	R a には一意のhが含まれます。		グリルp. 382
右逆半群（L -単零）	L a には一意のhが含まれます。		グリルp. 382
局所逆半群（擬逆半群）	axa = aとなるxが存在する。 Eは擬似半格子です。		グリルp. 352
M -逆半群	baxc = bcかつbyac = bcとなるようなxとyが存在します。		C&P 98ページ
豊富な半群	クラスL * a とR * a（ ac = ad ⇔ bc = bdの場合はa L * b 、 ca = da ⇔ cb = dbの場合は a R * b ）には、べき等性が含まれます。		チェン
Rpp半群（右主射影半群）	クラスL * a（ ac = ad ⇔ bc = bdの場合にa L * b ）には、少なくとも 1 つのべき等性が含まれます。		シュム
Lpp半群（左主射影半群）	クラスR * a （ ca = da ⇔ cb = dbの場合にa R * b ）には、少なくとも 1 つのべき等性が含まれます。		シュム
ヌル半群 （ゼロ半群）	0 ∈ S ab = 0 同様にab = cd	無限 有限	C&P 4ページ
左零半群	ab = a	無限 有限	C&P 4ページ
左ゼロバンド	左零半群は帯となる。つまり： ab = a aa = a	無限 有限	フェネモア
左派グループ	左単純かつ右相殺的な半群。 左零半群とアーベル群の直積。		C&P 37、38ページ
右零半群	ab = b	無限 有限	C&P 4ページ
右ゼロバンド	右零半群は帯となる。つまり： ab = b aa = a	無限 有限	フェネモア
右グループ	右単純かつ左相殺的な半群。 右零半群と群の直積。		C&P 37、38ページ
右アーベル群	右単純かつ条件付き可換な半群。 右零半群とアーベル群の直積。		ナジp. 87
単能半群	Eはシングルトンです。	無限 有限	C&P 21ページ
左簡約半群	すべてのxについてxa = xbであれば、a = bです。		C&P 9ページ
右簡約半群	すべてのxに対してax = bxであれば、a = bです。		C&P 4ページ
簡約半群	すべてのxについてxa = xbであれば、a = bです。 すべてのxに対してax = bxであれば、a = bです。		C&P 4ページ
分離半群	ab = a ^2 = b ^2   ⇒   a = b		C&P 130～131ページ
可逆半群	Sa ∩ Sb ≠ Ø aS ∩ bS ≠ Ø		C&P 34ページ
右可逆半群	Sa ∩ Sb ≠ Ø		C&P 34ページ
左可逆半群	aS ∩ bS ≠ Ø		C&P 34ページ
非周期半群	（aに依存して）a ^k = a ^k+1となるkが存在する。 同様に、有限半群の場合、各aに対して、となります。${\displaystyle a^{\omega }a=a^{\omega }}$		KKM 29ページ ピンp. 158
ω-半群	Eはa ≤ H bの順序で可算な降順連鎖である		グリルp. 233–238
左クリフォード半群（LC半群）	aS ⊆ Sa		シュム
右クリフォード半群（RC半群）	Sa ⊆ aS		シュム
オルソグループ	H aはグループです。 EはSの部分半群である		シュム
完全可換半群	ab = ba a ^kは、何らかのkに対してSのサブグループに属します。 Eの空でない部分集合にはすべて最小値が存在します。		グリルp. 110
ニル半群（冪零半群）	0 ∈ S aに依存するある整数kに対して、 a ^k = 0 となります。 同様に、有限半群の場合、各要素xとyに対して、 .${\displaystyle yx^{\omega }=x^{\omega }=x^{\omega }y}$	有限	グリルp. 99 ピンp. 148
初等半群	ab = ba SはG∪Nの形をとり、 Gは群であり、1∈Gである。 Nはイデアル、ニル半群、0∈Nである。		グリルp. 111
E -ユニタリ半群	axa = aかつxax = xとなる唯一のxが存在します。 ea = e   ⇒   a ∈ E		グリルp. 245
有限に提示された半群	S には、 XとRが有限であるプレゼンテーション( X ; R )があります。		グリルp. 134
基本半群	S上の等式はHに含まれる唯一の合同です。		グリルp. 88
冪等生成半群	SはEによって生成された半群に等しい。		グリルp. 328
局所有限半群	Sのすべての有限生成部分半群は有限である。	無限ではない 有限	グリルp. 161
N半群	ab = ba xと正の整数nが存在し、 a = xb ^nとなります。 斧 = ヤー   ⇒   x = y xa = ya   ⇒   x = y E = Ø		グリルp. 100
L -ユニポテント半群（右逆半群）	L a には一意のeが含まれます。		グリルp. 362
R -ユニポテント半群（左逆半群）	R a には一意のeが含まれます。		グリルp. 362
左単純半群	L a = S		グリルp. 57
右単純半群	R a = S		グリルp. 57
部分基本半群	ab = ba S = C ∪ Nであり、 Cは相殺半群、Nはニル半群または 1 要素半群です。 NはSのイデアルです。 NのゼロはSの 0 です。 Sのx、y、Cのcの場合、cx = cyはx = yを意味します。		グリルp. 134
対称半群（完全変換半群）	マッピングの合成を二項演算として行った、 Xからそれ自身へのすべてのマッピングの集合。		C&P 2ページ
弱簡約半群	S内のすべてのzについてxz = yzかつzx = zyであれば、x = yです。		C&P 11ページ
右一義的半群	x、y ≥ R zの場合、 x ≥ R yまたはy ≥ R xとなります。		グリルp. 170
左曖昧性のない半群	x、y ≥ L zの場合、 x ≥ L yまたはy ≥ L xとなります。		グリルp. 170
明確な半群	x、y ≥ R zの場合、 x ≥ R yまたはy ≥ R xとなります。 x、y ≥ L zの場合、 x ≥ L yまたはy ≥ L xとなります。		グリルp. 170
左0-明確	0∈S​ 0 ≠ x ≤ L y、z   ⇒   y ≤ L zまたはz ≤ L y		グリルp. 178
右0-明確	0∈S​ 0 ≠ x ≤ R y、z   ⇒   y ≤ L zまたはz ≤ R y		グリルp. 178
0-一義的半群	0∈S​ 0 ≠ x ≤ L y、z   ⇒   y ≤ L zまたはz ≤ L y 0 ≠ x ≤ R y、z   ⇒   y ≤ L zまたはz ≤ R y		グリルp. 178
左プッチャ半群	a ∈ bS ^1   ⇒   あるnに対してa ^n ∈ b ^2S ^1。		ナジp. 35
右プッチャ半群	a ∈ S ^1b   ⇒   a ^n ∈ S ^1b ^2（あるnに対して） 。		ナジ p. 35
プッチャ半群	a ∈ S ^1b S ^1   ⇒   a ^n ∈ S ^1b ^2S ^1（ある正の整数nに対して）		ナジ p. 35
双単純半群（D単純半群）	D a = S		C&P 49ページ
0-双単純半群	0 ∈ S S - {0} はSのDクラスです。		C&P 76ページ
完全に単純な半群	SA ⊆ Aかつ AS ⊆ Aとなるような A ⊆ S、A ≠ Sは存在しません。 Eにはh が存在し、 hf = f かつ fh = f のときはいつでもh = f が成り立ちます。		C&P 76ページ
完全に0単純半群	0 ∈ S S ^2 ≠ 0 A ⊆ SがAS ⊆ AかつSA ⊆ Aとなるような場合、 A = 0 またはA = Sとなります。 Eには0 以外のhが存在し、 hf = f、 fh = f、f ≠ 0のときは常にh = fとなります。		C&P 76ページ
D単純半群（双単純半群）	D a = S		C&P 49ページ
半単純半群	J ( a ) = S ^1aS ^1 , I ( a ) = J ( a ) − J aとする。各リース因子半群J ( a )/ I ( a ) は0単純または単純である。		C&P 71～75ページ
${\displaystyle \mathbf {CS} }$ : 単純半群	Ja = S 。（ SA ⊆ Aかつ AS ⊆ Aとなるような A ⊆ S、A ≠ Sは存在しない。） 同様に、有限半群に対しては、および となります。${\displaystyle a^{\omega }a=a}$ ${\displaystyle (aba)^{\omega }=a^{\omega }}$	有限	C&P 5ページ ヒッグp. 16 ピンpp. 151, 158
0単純半群	0 ∈ S S ^2 ≠ 0 A ⊆ S がAS ⊆ AかつSA ⊆ Aとなるような場合、 A = 0 となります。		C&P 67ページ
左0単純半群	0 ∈ S S ^2 ≠ 0 A ⊆ SであってSA ⊆ Aとなるような 場合、 A = 0 となります。		C&P 67ページ
右0単純半群	0 ∈ S S ^2 ≠ 0 A ⊆ SがAS ⊆ Aとなるような場合、 A = 0 と なります。		C&P 67ページ
巡回半群 （一元半群）	S = { w , w ^2 , w ^3 , ... } （Sに含まれるwについて）	無限ではない 有限ではない	C&P 19ページ
周期的半群	{ a , a ^2 , a ^3 , ... } は有限集合です。	無限ではない 有限	C&P 20ページ
二環式半群	1∈S Sはプレゼンテーション を認めます。${\displaystyle \langle x,y\mid xy=1\rangle }$		C&P 43～46ページ
完全変換半群T X（対称半群）	マッピングの合成を二項演算として行う、 Xからそれ自身へのすべてのマッピングの集合。		C&P 2ページ
長方形の帯	aba = aとなるバンド 同様にabc = ac	無限 有限	フェネモア
長方形半群	ax、ay、bx、by のうち 3 つが等しい場合は、 4 つすべてが等しくなります。		C&P 97ページ
対称逆半群I X	Xの1 対 1部分変換の半群。		C&P 29ページ
ブラント半群	0 ∈ S （ac = bc ≠ 0 またはca = cb ≠ 0 ） ⇒   a = b （ab ≠0かつbc ≠0）⇒abc   ≠ 0 a ≠ 0の場合、 xa = a、ay = a、za = yとなる一意のx、y、zが存在します。 ( e ≠ 0 かつ f ≠ 0 ) ⇒   eSf ≠ 0。		C&P 101ページ
自由半群F X	Xの要素の有限列の集合。演算は( x 1 , ..., x m )( y 1 , ..., y n ) = ( x 1 , ..., x m , y 1 , ..., y n )となる。		グリルp. 18
リース行列半群	G ^0 0 が隣接するグループG。 P  : Λ × I → G ^0マップ。 I × G ^0 × Λの演算を( i , g , λ ) ( j , h , μ ) = ( i , g P( λ, j ) h , μ ) によって定義します。 ( I , G ^0 , Λ )/( I × { 0 } × Λ ) は、リース行列半群M ^0 ( G ^0 ; I , Λ ; P ) です。		C&P p.88
線形変換の半群	関数の合成のもとでの体F上のベクトル空間Vの線型変換の半群。		C&P p.57
二項関係B Xの半群	X上の合成に関するすべての二項関係の集合		C&P p.13
数値半群	0 ∈ S ⊆ N = { 0,1,2, ... } が + の下で成り立つ。 N - Sは有限である		デルグ
反転を伴う半群（*-半群）	Sにはa ** = aかつ ( ab )* = b * a *となるような単項演算a → a *が存在する。		ハウィ
ベール・レヴィ半群	X − f ( X ) が無限大となるような、Xの 1 対 1 変換fの半群。		C&P II Ch.8
U半群	Sには単項演算a → a 'が存在し、( a ')' = aとなります。		ハウイp.102
I -半群	Sには単項演算a → a ' が存在し、 ( a ')' = aかつaa ' a = aとなります。		ハウイp.102
セミバンド	そのべき等元によって生成される正規半群。		ハウイp.230
グループ	すべての a に対して、ah = ha = aとなるようなh が存在する。 ax = xa = hとなるようなx ( aに依存)が存在する。	無限ではない 有限
位相半群	位相空間でもある半群。半群積は連続である。	適用できない	ピンp. 130
統語的半群	別の半群のサブセットを認識できる最小の有限モノイド。		ピンp. 14
${\displaystyle \mathbf {R} }$ : R -自明なモノイド	R自明。つまり、各R同値類は自明である。 同様に、有限半群の場合: 。${\displaystyle (ab)^{\omega }a=(ab)^{\omega }}$	有限	ピンp. 158
${\displaystyle \mathbf {L} }$ : L -自明なモノイド	L自明。つまり、各L同値類は自明である。 同様に、有限モノイドの場合、。${\displaystyle b(ab)^{\omega }=(ab)^{\omega }}$	有限	ピンp. 158
${\displaystyle \mathbf {J} }$ : J -自明なモノイド	J -自明なモノイド。つまり、すべてのJ -同値類は自明である。 同様に、 L -自明かつR -自明なモノイド。	有限	ピンp. 158
${\displaystyle \mathbf {R_{1}} }$ : 冪等かつR自明なモノイド	R自明。つまり、各R同値類は自明である。 同様に、有限モノイドの場合、aba = abとなります。	有限	ピンp. 158
${\displaystyle \mathbf {L_{1}} }$ : 冪等かつL自明なモノイド	L自明。つまり、各L同値類は自明である。 同様に、有限モノイドの場合、aba = baとなります。	有限	ピンp. 158
${\displaystyle \mathbb {D} \mathbf {S} }$ : 正則Dが半群である 半群	同様に、有限モノイドの場合も次のようになります。${\displaystyle (a^{\omega }a^{\omega }a^{\omega })^{\omega }=a^{\omega }}$ 同様に、通常のHクラスはグループであり、 同様に、v ≤ J a はv R vaとv L avを意味する。 同様に、各冪等なeに対して、 e≤Jaとなるaの集合は積に関して閉じている（つまり、この集合は部分半群である） 同様に、 e J fであってef J eではないようなeとfは存在しない。 同様に、モノイドは${\displaystyle B_{2}^{1}}$ ${\displaystyle S\times S}$	有限	ピンpp. 154, 155, 158
${\displaystyle \mathbb {D} \mathbf {A} }$ : 正則Dが非周期半群である 半群	各正則Dクラスは非周期半群である 同様に、すべての通常のDクラスは長方形の帯である。 同様に、正則Dクラスは半群であり、さらにSは非周期的である。 同様に有限モノイドの場合、正則Dクラスは半群であり、さらに${\displaystyle aa^{\omega }=a^{\omega }}$ 同様に、e ≤ J a はeae = e を意味する。 同様に、e ≤ J f はefe = eを意味します。	有限	ピンp. 156, 158
${\displaystyle \ell \mathbf {1} }$ / : 左利き自明な半群 ${\displaystyle \mathbf {K} }$	e : eS = e , 同様に、IはEに等しい左零半群である。 同様に有限半群に対しては、Iは左零半群であり、${\displaystyle S^{|S|}}$ 同様に、有限半群に対して、${\displaystyle a_{1}\dots a_{n}y=a_{1}\dots a_{n}}$ 同様に、有限半群の場合: 。${\displaystyle a^{\omega }b=a^{\omega }}$	有限	ピンpp. 149, 158
${\displaystyle \mathbf {r1} }$ / : 右自明半群 ${\displaystyle \mathbf {D} }$	e : Se = e , 同様に、IはEに等しい右零半群である。 同様に有限半群に対して、Iは右零半群であり、${\displaystyle S^{|S|}}$ 同様に、有限半群に対して、${\displaystyle ba_{1}\dots a_{n}=a_{1}\dots a_{n}}$ 同様に、有限半群の場合: 。${\displaystyle ba^{\omega }=a^{\omega }}$	有限	ピンpp. 149, 158
${\displaystyle \mathbb {L} \mathbf {1} }$ : 局所的に自明な半群	eSe = e , 同様に、IはEに等しい。 同様に、eaf = ef、 同様に、有限半群に対して、${\displaystyle ya_{1}\dots a_{n}=a_{1}\dots a_{n}}$ 同様に、有限半群に対して、${\displaystyle a_{1}\dots a_{n}ya_{1}\dots a_{n}=a_{1}\dots a_{n}}$ 同様に、有限半群の場合: 。${\displaystyle a^{\omega }ba^{\omega }=a^{\omega }}$	有限	ピン150、158ページ
${\displaystyle \mathbb {L} \mathbf {G} }$ : ローカルグループ	eSeはグループであり、 同様に、E ⊆ I、 同様に、有限半群の場合: 。${\displaystyle (a^{\omega }ba^{\omega })^{\omega }=a^{\omega }}$	有限	ピン151ページ、158ページ

順序半群の特殊クラスの一覧

用語	プロパティの定義	バラエティ	参照文献
順序付き半群	半順序関係≤を持つ半群で、a≤bであればc • a≤c •bかつa•c≤b•cとなる。	有限	ピンp. 14
${\displaystyle \mathbf {N} ^{+}}$	べき零有限半群、${\displaystyle a\leq b^{\omega }}$	有限	ピンpp. 157, 158
${\displaystyle \mathbf {N} ^{-}}$	べき零有限半群、${\displaystyle b^{\omega }\leq a}$	有限	ピンpp. 157, 158
${\displaystyle \mathbf {J} _{1}^{+}}$	半格子と${\displaystyle 1\leq a}$	有限	ピンpp. 157, 158
${\displaystyle \mathbf {J} _{1}^{-}}$	半格子と${\displaystyle a\leq 1}$	有限	ピンpp. 157, 158
${\displaystyle \mathbb {L} \mathbf {J} _{1}^{+}}$ 局所的に正のJ-自明な半群	を満たす有限半群${\displaystyle a^{\omega }\leq a^{\omega }ba^{\omega }}$	有限	ピンpp. 157, 158

参考文献

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