ゼロのパリティ
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この天秤の計量皿には、2 つの等しいグループに分けられたゼロの物体が含まれています。

数学において、ゼロは偶数です。言い換えれば、その偶奇性（整数が偶数か奇数かという性質）は偶数です。これは「偶数」の定義に基づいて簡単に確認できます。ゼロは2の整数倍、具体的には0 × 2です。結果として、ゼロは偶数を特徴付けるすべての特性を共有します。例えば、0の両辺は奇数に隣接し、すべての10進整数はその最後の桁と同じ偶奇性を持ちます。つまり、10が偶数であれば0も偶数になります。また、yが偶数であれば、 y + xはxと同じ偶奇性を持ちます。実際、0 + xとxは常に同じ偶奇性を持ちます。

ゼロは他の偶数によって形成されるパターンにも適合します。偶数−偶数=偶数といった算術の偶奇規則は、 0が偶数であることを要求します。ゼロは偶数群の加法単位元であり、他の偶数の自然数が再帰的に定義される出発点となります。この再帰をグラフ理論から計算幾何学に応用する場合、ゼロが偶数であることが前提となります。0は2で割り切れるだけでなく、 2のあらゆるべき乗で割り切れます。これは、コンピュータで使用される2進数表記システムと関連しています。この意味で、0はすべての数の中で最も「偶数」な数です。[ 1 ]

一般の人々にとって、ゼロの偶奇性は混乱の原因となることがあります。反応時間実験では、ほとんどの人が 0 を偶数と認識するのに 2、4、6、8 よりも時間がかかります。一部の教師 (および数学の授業を受ける生徒) は、ゼロは奇数である、偶数でもあり奇数でもある、あるいはどちらでもないと考えています。数学教育の研究者は、これらの誤解が学習の機会になり得ると提案しています。0 × 2 = 0のような等式を学習することで、生徒の 0 を数と呼んで算数で使用することへの疑問に対処できます。クラスでのディスカッションにより、生徒は定義の重要性など、数学的推論の基本原則を理解できるようになります。この例外的な数の偶奇性を評価することは、数学の広範なテーマ、つまり馴染みのある概念を馴染みのない設定に 抽象化するという初期の例です。

ゼロが偶数である理由

「偶数」の標準的な定義は、ゼロが偶数であることを直接証明するために用いることができます。ある数が2の整数倍である場合、その数は「偶数」と呼ばれます。例えば、10が偶数である理由は、5 × 2に等しいからです。同様に、ゼロは2の整数倍、つまり0 × 2であるため、ゼロは偶数です。[ 2 ]

正式な定義を参照することなく、ゼロが偶数である理由を説明することも可能です。[ 3 ]以下の説明は、ゼロが偶数であるという考えを、基本的な数概念の観点から理解するのに役立ちます。この基礎から、定義そのもの、そしてそれがゼロに適用可能である理由を説明できます。

基本的な説明

左側には、0、2、4 個の白い物体がペアになっているボックスがあります。右側には、1、3、5 個の物体がペアになっていて、ペアになっていない物体は赤くなっています。
物体が0個のボックスには赤い物体は残っていません。[ 4 ]

オブジェクトの集合が与えられた場合、その集合に含まれるオブジェクトの数を数値で表す。ゼロはオブジェクトの個数が0であることを表す。より正式には、空集合に含まれるオブジェクトの個数である。パリティの概念は、2つのオブジェクトのグループを作る際に用いられる。集合内のオブジェクトを2つずつのグループに分けることができ、オブジェクトが1つも残らない場合、オブジェクトの数は偶数である。オブジェクトが1つでも残っている場合、オブジェクトの数は奇数である。空集合には2つのグループが0個含まれており、このグループ分けからオブジェクトが1つも残っていないため、ゼロは偶数である。[ 5 ]

これらの考え方は、物体をペアで描くことで説明できます。2つの物体が0組のグループを描いたり、余剰物体が存在しないことを強調したりするのは難しいため、他のグループを描いて0組と比較すると分かりやすくなります。例えば、5つの物体のグループには2組のペアがあります。さらに重要なのは、余剰物体が存在するため、5は奇数です。4つの物体のグループには余剰物体がないため、4は偶数です。1つの物体のグループにはペアがなく、余剰物体が存在するため、1は奇数です。0つの物体のグループには余剰物体がないため、0は偶数です。[ 6 ]

偶数性にはもう一つ具体的な定義があります。集合内のオブジェクトを等しい大きさの2つのグループに分けられる場合、オブジェクトの数は偶数です。この定義は最初の定義と同じです。ここでも、空集合をそれぞれ0個のアイテムからなる2つのグループに分けることができるため、0は偶数です。[ 7 ]

数は数直線上の点として視覚化することもできます。偶数と奇数を区別すると、特に負の数を含めると、そのパターンは明確になります。

整数 -4 から 10。偶数は白丸、奇数は点

偶数と奇数は交互に現れます。任意の偶数から始めて2ずつ数えていくと、他の偶数に到達します。ゼロを飛ばす必要はありません。[ 8 ]

乗算の導入により、パリティは算術式を用いてより形式的に扱うことができるようになりました。すべての整数は(2 × ▢) + 0または(2 × ▢) + 1のいずれかの形をとります。前者は偶数で、後者は奇数です。例えば、1は1 = (2 × 0) + 1なので奇数であり、 0は0 = (2 × 0) + 0なので偶数です。これらの事実を表にすることで、上記の数直線の図式が強化されます。[ 9 ]

パリティの定義

「偶数」が「2の整数倍」を意味するといった数学用語の正確な定義は、結局のところ慣習に過ぎません。「偶数」とは異なり、一部の数学用語は、自明なケースや退化している場合を意図的に排除するように構築されています。素数はその有名な例です。20世紀以前は素数の定義に一貫性がなく、ゴールドバッハ、ランバート、ルジャンドル、ケーリー、クロネッカーといった著名な数学者たちは、 1を素数であると記していました。[ 10 ]現代の「素数」の定義は「ちょうど2つの因数を持つ正の整数」であるため、1は素数ではありません。この定義は、素数に関する数学定理に自然に適合するという点を観察することで合理化できます。例えば、 1を素数と見なさない方が、算術の基本定理を述べやすくなります。[ 11 ]

同様に、「偶数」という用語をゼロを含まないように再定義することも可能です。しかし、この場合、新しい定義は偶数に関する定理を述べることをより困難にします。その影響は、偶数と奇数を支配する代数的規則に既に現れています。[ 12 ]最も関連性の高い規則は、加算、減算、乗算に関するものです。

偶数 ± 偶数 = 偶数
奇数±奇数＝偶数
偶数 × 整数 = 偶数

これらの規則の左側に適切な値を挿入すると、右側に 0 が生成されます。

2 − 2 = 0
−3 + 3 = 0
4 × 0 = 0

したがって、ゼロが偶数でなければ、上記の規則は誤りとなる。[ 12 ]せいぜい修正する必要があるだろう。例えば、ある試験対策ガイドでは、偶数は2の整数倍であるが、ゼロは「偶数でも奇数でもない」としている。[ 13 ]したがって、このガイドの偶数と奇数に関する規則には例外が含まれている。

偶数 ± 偶数 = 偶数（またはゼロ）
奇数±奇数 = 偶数（またはゼロ）
偶数 ×非ゼロ整数 = 偶数[ 13 ]

偶数の定義においてゼロを例外とすることは、偶数に関する規則にも同様の例外を設けることを強制する。別の観点から見ると、正の偶数に従う規則を整数にも適用することを要求することは、通常の定義とゼロの偶数性を強制することになる。[ 12 ]

数学的な文脈

数論における無数の結果は算術の基本定理と偶数の代数的性質に言及しており、上記の選択は広範囲にわたる影響を持つ。例えば、正の数は一意に因数分解できるという事実は、ある数が偶数個か奇数の異なる素因数を持つかを判断できることを意味する。1は素数ではなく、また素因数も持たないため、0個の異なる素数の積となる。0は偶数であるため、1は偶数個の異なる素因数を持つ。これはメビウス関数がμ(1) = 1という値を取ることを意味し、これはメビウス関数が乗法関数であるため、またメビウスの逆関数公式が成立するために必要である。[ 14 ]

奇妙ではない

n = 2 k + 1となる整数kが存在する場合、 nは奇数である。0 が奇数でないことを証明する方法の一つは、背理法である。0 = 2 k + 1ならばk = −1/2となり、これは整数ではない。[ 15 ] 0 は奇数ではないので、未知の数が奇数であることが証明されれば、その数は 0 ではない。この一見自明な観察は、奇数がなぜ 0 でないのかを説明する便利で示唆に富む証明となり得る。

グラフ理論の古典的な結果によれば、奇数次（頂点の数が奇数）のグラフには必ず偶数次 の頂点が少なくとも 1 つ存在する。（この命題自体には、ゼロが偶数であることが要求される。つまり、空のグラフは偶数次であり、孤立した頂点は偶数次である。）[ 16 ]この命題を証明するには、実はもっと強い結果を証明する方が簡単である。すなわち、任意の奇数次グラフには、偶数次の頂点が奇数個存在するということである。この奇数の出現は、握手補題として知られるさらに一般的な結果によって説明される。すなわち、任意のグラフには、奇数次 の頂点が偶数個存在するということである。[ 17 ]最後に、奇数頂点が偶数であることは、次数の総和の公式によって自然に説明される。

スペルナーの補題は、同じ戦略のより高度な応用である。この補題は、単体の三角形分割上のある種の彩色には、すべての色を含む部分単体が存在することを述べている。そのような部分単体を直接構築するよりも、帰納的議論を通してそのような部分単体が奇数個存在することを証明する方が便利である。[ 18 ]この補題のより強力な表現は、なぜこの数が奇数なのかを説明する。単体の2つの可能な向きを考えると、自然に( n + 1) + nと分解されるからである。 [ 19 ]

偶奇交替

0->1->2->3->4->5->6->... が交互に表示されます
自然数パリティの再帰的定義

ゼロが偶数であるという事実と、偶数と奇数が交互に現れるという事実は、他のすべての自然数の偶奇性を決定するのに十分である。この考え方は、偶数自然数の集合の 再帰的定義として形式化できる。

  • 0 は偶数です。
  • ( n + 1) が偶数となるのは、nが偶数でない場合のみです。

この定義は、自然数の最小限の基礎、すなわち0と後続の存在のみに依存するという概念的な利点を持つ。そのため、 LFやイザベル定理証明器などのコンピュータ論理システムには有用である。[ 20 ]この定義によれば、0の偶数は定理ではなく公理となる。実際、「0は偶数である」は、偶数の自然数がモデルとなっているペアノ公理の一つとして解釈することができる。 [ 21 ]同様の構成により、偶奇性の定義が超限順序数に拡張される。すなわち、すべての極限順序数は0を含めて偶数であり、偶数順序数の後続順序数は奇数である。[ 22 ]

矢印が貫通する非凸多角形。外側に 0、内側に 1、外側に 2 などのラベルが付けられます。
多角形内の点のテスト

計算幾何学における古典的な多角形内点判定法は、上記の考え方を応用したものである。ある点が多角形の内部にあるかどうかを判断するには、無限遠からその点へ光線を投じ、その光線が多角形のエッジと交差する回数を数える。その点が多角形の外側にある場合のみ、交差回数は偶数となる。このアルゴリズムは、光線が多角形を一度も交差しない場合、その交差回数は0（偶数）となり、点は外側にあるため有効である。光線が多角形を交差するたびに、交差回数は偶数と奇数の間を交互に変化し、その先端の点は外側と内側の間を交互に変化する。[ 23 ]

9つの頂点を持つグラフ。左の頂点からの距離でラベル付けされ、色が交互になっている。
二分割の構築

グラフ理論において、二部グラフとは、頂点が2色に分割され、隣接する頂点が異なる色を持つグラフのことである。連結グラフに奇数閉路がない場合、二分グラフは、基点vを選択し、 vからの距離が偶数か奇数かに応じて、すべての頂点を黒または白に着色することで構築できる。vと自身の間の距離は0であり、0は偶数であるため、基点vは、距離1にある隣接する頂点とは異なる色で着色される。[ 24 ]

代数パターン

-4から+4までの整数がらせん状に並び、偶数の間は直線で結ばれている
2 Z（青）をZのサブグループとして

抽象代数学において、偶数はゼロを含む様々な代数構造を形成する。加法上の単位元（ゼロ）が偶数であるという事実は、偶数の和と加法上の逆元が偶数であること、そして加法の結合法則と相まって、偶数は群を形成することを意味する。さらに、加法のもとでの偶数の群は、すべての整数の群の部分群となる。これは部分群の概念の基本的な例である。 [ 16 ]前述の「偶数 − 偶数 = 偶数」という規則は0を偶数にすることを強制するという観察は、一般的なパターンの一部である。すなわち、減算のもとで閉じている加法群の空でない部分集合は必ず部分群であり、特に単位元を必ず含む。[ 25 ]

偶数は整数の部分群を形成するため、整数を剰余類に分割する。これらの剰余類は、次の同値関係x ~ yの同値類として記述することができる。( x − y )が偶数の場合。ここで、ゼロの偶数は二項関係~の反射性として直接的に表現される。[ 26 ]この部分群には剰余類が偶数と奇数の2つしかないため、指数は2である。

同様に、交代群はn字対称群の指数2の部分群である。交代群の元は偶順列と呼ばれ、偶数の転置の積である。恒等写像は転置のない空積であり、0は偶数であるため偶順列である。これは群の恒等元である。[ 27 ]

「偶数 × 整数 = 偶数」という規則は、偶数が整数環においてイデアルを形成することを意味し、上記の同値関係はこのイデアルを法とする同値関係として記述できる。特に、偶数整数とは、k ≡ 0 (mod 2)となる整数kのことである。この定式化は、多項式における整数零点を調べるのに有用である。[ 28 ]

2進順序

2の倍数の中には、他の倍数よりも「偶数」であるものがあります。4の倍数は2で2回割り切れるため、「二重偶数」と呼ばれます。ゼロは4で割り切れるだけでなく、 2のあらゆるべき乗で割り切れるというユニークな性質を持っているため、「偶数性」において他のすべての数を凌駕しています。[ 1 ]

この事実の帰結の一つは、クーリー・テューキー高速フーリエ変換などの一部のコンピュータアルゴリズムで使用される整数データ型のビット反転順序に現れている。この順序は、数値の2進展開において最初の1が左に現れるほど、つまり2で割り切れる回数が多いほど、1が先に現れるという特性を持つ。ゼロのビット反転は依然としてゼロであり、2で何度でも割り切れ、その2進展開には1が含まれないため、常に最初に現れる。[ 29 ]

0は他のどの数よりも2で割り切れる回数が多いが、その回数を正確に定量化するのは簡単ではない。任意の非ゼロ整数nについて、 nの2進位数をnが2で割り切れる回数と定義することができる。しかし、この記述は0には当てはまらない。0を何度2で割っても、必ず再び2で割り切れるからである。むしろ、通常の慣習では、0の2位を特別なケースとして無限大に設定する。 [ 30 ]この慣習は2位に特有のものではなく、高等代数における加法的な評価の公理の一つである。[ 31 ]

2の累乗（1、2、4、8、…）は、2進数の増加を伴う単純な数列を形成します。2進数では、このような数列は実際にはゼロに収束します。 [ 32 ]

教育

棒グラフ。本文の説明を参照
時間の経過に伴う回答率[ 33 ]

ゼロの偶奇性というテーマは、偶数と奇数の概念が導入され、発展するにつれて、初等教育の最初の2、3年間で扱われることが多い。 [ 34 ]

学生の知識

右のグラフ[ 33 ]は、イギリスの教育制度において、 1年生（5～6歳）から6年生（10～11歳）へと進むにつれて、子供たちがゼロの確率についてどのように認識しているかを示しています。このデータは、イギリスの児童を対象に2つの調査を実施したレン・フロビッシャーによるものです。フロビッシャーは、1桁の確率に関する知識が、複数桁の確率に関する知識にどのように変換されるかに興味を持っており、その結果においてゼロが大きな役割を果たしています。[ 35 ]

7歳児約400名を対象とした予備調査では、ゼロの偶奇性を尋ねられた際、45%が奇数より偶数を選択しました。[ 36 ]追跡調査では、より多くの選択肢が提示されました。「どちらでもない」、 「両方」、「わからない」です。今度は、同じ年齢層でゼロを偶数と判断する子供の数は32%に減少しました。[ 37 ]ゼロを偶数と判断する成功率は、最初は急上昇し、その後、3年生から6年生では約50%で横ばいになります。[ 38 ]ちなみに、最も簡単な課題である1桁の偶奇性を判断する場合の成功率は、約85%で横ばいになります。[ 39 ]

フロビッシャーはインタビューで生徒たちの推論を引き出しました。5年生の生徒の一人は、0は2の倍数表にあるので偶数だと決めつけました。4年生の生徒数名は、0を均等に分割できることに気付きました。別の4年生は、「1は奇数で、下に行くと偶数になる」と推論しました。[ 40 ]インタビューでは、誤った回答の背後にある誤解も明らかになりました。2年生の生徒は、「0は数える最初の数だから」という理由で、0が奇数だと「確信していた」のです。[ 41 ] 4年生の生徒は、0を「ゼロ」と呼び、「0は数ではない」ので、奇数でも偶数でもないと考えていました。[ 42 ]別の研究では、アニー・キースは15人の2年生のクラスを観察しました。生徒たちは、偶奇の交互作用と、0のグループを2つの均等なグループに分割できる可能性に基づいて、0は偶数だと互いに納得し合っていました。[ 43 ]

エスター・レベンソン、ペシア・ツァミール、ディナ・ティロシュは、より詳細な調査を行いました。彼らは、数学の授業で優秀な成績を収めていたアメリカの6年生2名にインタビューを行いました。片方の生徒は数学的主張について演繹的な説明を好み、もう片方の生徒は実例を好みました。両生徒とも当初、0は偶数でも奇数でもないと考えていましたが、その理由はそれぞれ異なっていました。レベンソンらは、生徒たちの推論がゼロと除算の概念をどのように反映しているかを示しました。[ 44 ]

学生の主張[ 45 ]
「ゼロは偶数でも奇数でもありません。」
「ゼロは偶数かもしれない。」
「ゼロは奇数ではない。」
「ゼロは偶数でなければなりません。」
「ゼロは偶数ではありません。」
「ゼロは常に偶数になります。」
「ゼロは常に偶数になるわけではありません。」
「ゼロは偶数です。」
「ゼロは特別だ」

デボラ・ローエンバーグ・ボールは、アメリカの小学3年生が4年生のグループと議論していた偶数と奇数、そしてゼロについての考えを分析した。生徒たちはゼロの偶奇性、偶数の規則、そして数学の進め方について議論した。ゼロに関する主張は、右のリストに示すように、様々な形で現れた。[ 45 ]ボールと共著者たちは、このエピソードは、数学という学問を通常の演習の機械的な解法に矮小化するのではなく、生徒がどのようにして「学校で数学を実践できるか」を示していると主張した。[ 46 ]

研究文献におけるテーマの一つは、生徒の偶数の概念イメージと概念定義との間の緊張関係である。[ 47 ]レベンソンらの研究対象となった6年生は、偶数を2の倍数または2で割り切れる数と定義していたが、当初はゼロにこの定義を適用することができなかった。ゼロを2で掛け算したり割ったりする方法が分からなかったためである。面接官は最終的に、ゼロは偶数であると結論づけた。生徒たちは、イメージ、定義、実践的な説明、抽象的な説明など、様々な経路を用いてこの結論に至った。別の研究では、デイビッド・ディッカーソンとダミアン・ピットマンが、数学専攻の上級生5名の定義の使用状況を調査した。その結果、学部生は「偶数」の定義をゼロにほぼ適用できたものの、概念イメージと矛盾するため、この推論に納得できなかったことが分かった。[ 48 ]

教師の知識

ミシガン大学の数学教育研究者たちは、「0は偶数である」という正誤問題という設問を、教師の教科知識を測定するために設計された250問以上の質問データベースに収録しました。彼らにとって、この設問は「教養の高い成人なら誰もが持つべき常識」を体現しており、伝統的な数学と改革的な数学で答えが変わらないという点で「イデオロギー的に中立」です。2000年から2004年にかけて米国の小学校教師700人を対象に行われた研究では、これらの設問に対する全体的な成績が、教師の授業を受けた生徒の標準テストの成績向上を有意に予測することが示されました。 [ 49 ] 2008年に行われたより詳細な研究では、研究者たちは、他のすべての基準で模範的な教師を含む、すべての教師が0は奇数でも偶数でもないと考えている学校を発見しました。この誤解は、その学校の数学コーチによって広められたものでした。[ 50 ]

教師がゼロについてどれほどの誤解を抱いているかは不明である。ミシガン大学の研究では、個々の質問に関するデータは公表されていない。サウスフロリダ大学の数学教育准教授であるベティ・リヒテンバーグは、1972年の研究で、小学校​​教員志望者グループに「ゼロは偶数である」という項目を含む正誤問題を与えたところ、約3分の2が「間違い」と答え、この質問が「難しい質問」であると感じられたと報告している。[ 51 ]

指導への影響

数学的には、ゼロが偶数であることを証明するのは定義を適用するだけの簡単な作業ですが、教育の文脈ではより詳細な説明が必要です。一つの問題は証明の基礎に関するものです。「偶数」を「2の整数倍」と定義することは、必ずしも適切ではありません。初等教育1年生の生徒は、「整数」や「倍数」の意味をまだ学んでいない可能性があり、ましてや0を掛け算する方法など知りません。 [ 52 ]さらに、これまで研究されてきた偶数が正の数だけであった場合、すべての整数に対する偶数の定義を述べることは、恣意的な概念的近道のように思えるかもしれません。数の概念が正の整数からゼロや負の整数を含むように拡張されるにつれて、偶数などの数の性質も非自明な方法で拡張されることを認識することは有益です。[ 53 ]

数値認識

0～8の数字が2回繰り返され、複雑な配置になっている。0は上にあり、点線で区切られている。
実験データの統計分析。0の分離を示しています。この最小空間分析では、データのクラスタリングのみが意味を持ち、軸は任意です。[ 54 ]

ゼロが偶数であると信じている大人でも、ゼロを偶数と考えることに慣れていないことがあり、反応時間実験で測定可能なほど遅くなることがあります。数値認知の分野の先駆者であるスタニスラス・ドゥハーン氏は、 1990年代初頭にこのような一連の実験を行いました。被験者のモニターに数字が表示され、被験者が2つのボタンのうち1つを押してその数字が奇数か偶数かを識別するのにかかる時間をコンピューターが記録します。結果、ゼロは他の偶数よりも処理が遅いことがわかりました。実験のいくつかのバリエーションでは、平均反応時間の約10％に相当する60ミリ秒もの遅延が見られました。これは小さな差ですが、重要な差です。[ 55 ]

ドゥハーンの実験は、0を特に調査するためではなく、パリティ情報がどのように処理され抽出されるかに関する競合モデルを比較するために設計された。最も具体的なモデルである暗算仮説は、0への反応は速いはずだと示唆している。0は小さな数であり、0 × 2 = 0を計算するのは簡単だからである。（被験者は、0を掛け算する結果を0以外の数で掛け算するよりも速く計算し、結果を言うことが知られているが、2 × 0 = 0のような提案された結果を検証するのは遅い。）実験結果は、全く異なる何かが起こっていることを示唆した。パリティ情報は、素数であることや2のべき乗であることなど、関連する一連の特性とともに記憶から想起されていたようだ。2のべき乗の列と、正の偶数の列2、4、6、8、…はどちらも、その構成要素が典型的には偶数である、明確に区別できる精神的カテゴリーである。0はどちらのリストにも属さないため、反応が遅いのである。[ 56 ]

繰り返し行われた実験により、様々な年齢、国籍、言語的背景を持つ被験者が、数字の形、綴り、鏡像で綴られた数名を提示された際に、ゼロ点における遅延が見られることが示された。ドゥアンヌらは、数学の専門知識という一つの差別化要因を発見した。彼らの実験の一つでは、高等師範学校の学生を文学を学ぶグループと数学、物理学、生物学を学ぶグループの2つに分けた。ゼロ点における遅延は「基本的に文学を学ぶグループで見られた」ものであり、実際、「実験前には、L群の被験者の中にはゼロが奇数か偶数か分からず、数学的な定義を思い出さなければならなかった者もいた」という。[ 57 ]

この強い慣れへの依存は、暗算仮説を再び覆すものである。[ 58 ]この効果はまた、偶数と奇数をグループとして比較する実験にゼロを含めることは不適切であることを示唆している。ある研究が述べているように、「ほとんどの研究者は、ゼロは典型的な偶数ではなく、暗算数直線の一部として調査すべきではないことに同意しているようだ。」[ 59 ]

日常的な状況

ゼロの偶奇性が現れる文脈の中には、純粋に修辞的なものもあります。言語学者ジョセフ・グライムズは、夫婦に「ゼロは偶数ですか？」と尋ねることは、彼らの意見の相違を解消する良い方法であると述べています。[ 60 ]ゼロは偶数でも奇数でもないと考える人は、ゼロの偶奇性を、すべての規則には反例があることの証明として、あるいは[ 61 ]あるいはひっかけ問題の例として使うかもしれません。[ 62 ]

2000年頃、メディアは2つの珍しい出来事を報じました。「1999年11月19日」は、長い間発生しなかった、すべて奇数で構成された暦の日付であり、「2000年2月2日」は、長い間発生しなかった、すべて偶数で構成された日付でした。 [ 63 ]これらの結果は0が偶数であることを利用しているが、一部の読者はこの考えに異議を唱えました。[ 64 ]

標準化されたテストで、偶数の振る舞いについて質問された場合、ゼロは偶数であることを念頭に置く必要があるかもしれません。[ 65 ] GMATとGREテストに関する公式出版物はどちらも、ゼロは偶数であると述べています。[ 66 ]

ゼロの偶数は奇偶配給制に関係しており、ナンバープレートの最後の桁の奇数に応じて、車は隔日でガソリンを運転または購入できる。ある範囲の数字の半分は 0、2、4、6、8 で終わり、残りの半分は 1、3、5、7、9 で終わるため、0 を他の偶数に含めるのは理にかなっている。しかし、1977 年にパリで実施された配給制によって混乱が生じた。奇数日のみの日に、警察は 0 が偶数かどうかわからなかったため、ナンバープレートが 0 で終わるドライバーに罰金を科すことを避けたのである[ 67 ]。こうした混乱を避けるため、関連法でゼロは偶数であると規定されることもあり、ニューサウスウェールズ州[ 68 ]やメリーランド州[ 69 ]ではそのような法律が可決されている。

米海軍艦艇では、偶数番号の区画は左舷側に配置され、中心線と交差する区画は0番で区切られています。つまり、左舷から右舷にかけて6-4-2-0-1-3-5の番号が付けられます。[ 70 ]

ルーレットでは、数字の0は偶数か奇数かとしてカウントされないため、カジノはそのような賭けで有利になります。[ 71 ]同様に、ゼロのパリティは、結果がランダムな数字が奇数か偶数かによって決まり、それが0になるプロップベットの配当に影響を与える可能性があります。[ 72 ]

「奇数と偶数」のゲームも影響を受けます。両方のプレイヤーが指を0本出した場合、指の合計数は0本なので、偶数プレイヤーが勝ちます。[ 73 ]ある教師用マニュアルでは、0は2で割り切れるという概念を子供たちに教える方法としてこのゲームをプレイすることを推奨しています。[ 74 ]

参考文献

  1. ^ a b Arnold 1919、p. 21「同じテストにより、ゼロは「偶数性」においてすべての数を上回ります。」; Wong 1997、p. 479「したがって、整数b 000⋯000 = 0は最も「偶数」です。
  2. ^ Penner 1999 , p. 34:補題B.2.2,整数 0 は偶数であり、奇数ではない。Pennerは存在量化子である数学記号 ∃ を用いて証明を述べている。「0 が偶数であると証明するには、 ∃ k (0 = 2 k )であることを証明しなければならない。これは等式0 = 2 ⋅ 0から導かれる。」
  3. ^ Ball、Lewis、Thames (2008、p. 15) は、数学的事実の数学的理由を説明したいが、生徒が同じ定義を使用していないか、定義が導入されたとしても理解しないであろうという小学校教師のこの課題について論じています。
  4. ^リヒテンベルクの比較(1972 年、p. 535) 図 1
  5. ^ Lichtenberg 1972、pp. 535–536 「…数字はオブジェクトの集合がいくつあるかという問いに答えます…ゼロは空集合の数の性質です…各集合の要素が2つずつ区切られている場合…その集合の数は偶数です。」
  6. ^ Lichtenberg 1972、pp. 535–536「2つの星のゼログループが円で囲まれています。星は残っていません。したがって、ゼロは偶数です。」
  7. ^ディッカーソン＆ピットマン 2012、191ページ。
  8. ^ Lichtenberg 1972、537ページ。彼女の図3と比較してください。「偶数が何らかの特別な方法で識別される場合、パターンからゼロを省略する理由はまったくありません。」
  9. ^ Lichtenberg 1972、pp. 537–538「より高度なレベルでは... (2 × ▢) + 0と表される数は偶数であり... ゼロはこのパターンにうまく適合します。」
  10. ^コールドウェル＆シオン 2012、5～6頁。
  11. ^ Gowers 2002、p. 118「一見恣意的に見える1を素数の定義から除外することは、数に関する深い事実を表現しているわけではない。それは単に、任意の数を素因数分解する方法が1つしかないようにするために採用された、便利な慣習に過ぎないのだ。」より詳細な議論については、 Caldwell & Xiong (2012)を参照のこと。
  12. ^ a b c当事者 1978、p. xxi
  13. ^ a b Stewart 2001、p. 54 これらの規則は示されていますが、そのまま引用されているわけではありません。
  14. ^デブリン 1985、30～33ページ
  15. ^ペナー 1999、34ページ。
  16. ^ a b Berlinghoff、Grant、Skrien 2001孤立頂点についてはp. 149を参照、群についてはp. 311を参照。
  17. ^ロヴァーシュ、ペリカン、ヴェスターゴンビ、2003 年、127–128 ページ
  18. ^スター 1997、58～62ページ
  19. ^ボーダー 1985、23～25ページ
  20. ^ローレンツ、1994 年、5–6 ページ。ロバス & フェニング 2008、p. 115;ニプコウ、ポールソン、ウェンゼル 2002 年、p. 127
  21. ^バンチ 1982、165ページ
  22. ^ザルツマンら。 2007 年、p. 168
  23. ^ワイズ 2002、66～67ページ
  24. ^アンダーソン、2001、p. 53;ハーツフィールド & リンゲル 2003、p. 28
  25. ^ダミット＆フット 1999、48ページ
  26. ^アンドリュース 1990、100ページ
  27. ^タバチニコワ & スミス 2000、p. 99;アンダーソンとフェイル、2005 年、437 ～ 438 ページ
  28. ^バーボー 2003、98ページ
  29. ^ウォン 1997、479ページ
  30. ^ Gouvêa 1997、p. 25 一般的な素数pについて：「ここでの推論は、0 をpで割ることができるというものであり、答えは 0 であり、これをpで割ることができる。また、答えは 0 であり、これをpで割ることができる…」（省略記号は原文のまま）
  31. ^クランツ 2001、4ページ
  32. ^ザルツマンら。 2007 年、p. 224
  33. ^ a bフロビッシャー 1999、p. 41
  34. ^これは米国、カナダ、英国、オーストラリア、イスラエルにおける時間枠です。Levenson、Tsamir、Tirosh（2007、p.85）を参照してください。
  35. ^ Frobisher 1999、pp. 31（序論）、40-41（数字のゼロ）、48（教育への影響）
  36. ^ Frobisher 1999、pp. 37、40、42; 結果は1992年の夏学期半ばに実施された調査によるものです。
  37. ^ Frobisher 1999、p. 41「2年生がゼロを偶数と判断する割合は、前回の調査の45％に対して32％と、はるかに低い」
  38. ^ Frobisher 1999、p. 41 「ゼロが偶数であると判断する成功率は年齢とともに上がり続けず、2年生から6年生のそれぞれで約2人に1人の子供が「偶数」のボックスにチェックマークを入れています...」
  39. ^ Frobisher 1999、pp. 40–42, 47。これらの結果は1999年2月の調査によるもので、さまざまな達成レベルの3つの学校の481人の子供が含まれています。
  40. ^ Frobisher 1999、p. 41、「ジョナサン」によるものとされている
  41. ^フロビッシャー、1999 年、p. 41、「ヨセフ」の作とされる
  42. ^ Frobisher 1999、p. 41、「リチャード」による
  43. ^ Keith 2006、35～68ページ 「ゼロが偶数であるという考えについては、ほとんど異論はありませんでした。学生たちは2つの議論で、確信を持てない少数の学生を説得しました。最初の議論は、数は奇数、偶数、奇数、偶数、奇数、偶数というパターンで表され、2は偶数で1は奇数なので、1の前の数字、つまり分数でない数字はゼロになるというものです。つまり、ゼロは偶数でなければならないということです。2つ目の議論は、もし人がゼロのものを2つの等しいグループに分けたら、どちらのグループにもゼロがあるはずです。2つのグループには同じ量のゼロがあるはずです。」
  44. ^レベンソン、ツァミル、ティロシュ、2007 年、83–95 ページ
  45. ^ a b Ball, Lewis & Thames 2008、p. 27、図1.5「ゼロに関する数学的主張」
  46. ^ボール、ルイス＆テムズ 2008年、16ページ。
  47. ^レベンソン、ツァミール、ティロシュ 2007 ;ディッカーソン、ピットマン 2012
  48. ^ディッカーソン＆ピットマン 2012 .
  49. ^ボール、ヒル＆バス 2005年、14～16ページ
  50. ^ヒルら2008年、446-447頁。
  51. ^リヒテンベルグ 1972、535ページ
  52. ^ Ball, Lewis & Thames 2008、p. 15。適切な定義に関するさらなる議論については、Ballの基調講演も参照のこと。
  53. ^ Levenson、Tsamir、Tirosh（2007、p.93）がFreudenthal（1983、p.460）結論付けたように
  54. ^ Nuerk、Iversen、Willmes (2004、p. 851)：「ゼロは、左手で反応するか右手で反応するかに関係なく、他のすべての数字とは大きく異なることもわかります。（ゼロと他の数字を分ける線を参照してください。）
  55. ^ Dehaene、Bossini & Giraux (1993)全体のデータ、およびNuerk、Iversen & Willmes (2004、p. 837) による要約を参照。
  56. ^デハエン、ボッシーニ、ジロー 1993 年、pp. 374–376
  57. ^デハエン、ボッシーニ、ジロー、1993 年、pp. 376–377
  58. ^ Dehaene, Bossini & Giraux 1993 , p. 376 「直感的に言えば、パリティの概念は2より大きい数についてのみ馴染み深い。実際、実験前には、Lの被験者の中には0が奇数か偶数か分からず、数学的な定義を思い出さなければならなかった者もいた。要するに、この証拠は、パリティ情報は2で割り切れるという基準を用いて即座に計算されるのではなく、他の多くの意味的特性と共に記憶から取り出されることを示唆している…パリティ判断において意味的記憶が利用されるならば、被験者の数概念に対する馴染みの深さに応じて個人差が見られるはずである。」
  59. ^ Nuerk、Iversen、Willmes 2004、pp. 838、860–861
  60. ^ Grimes 1975、p. 156 「…知り合いの夫婦に次のような質問をすることができます。(1) ゼロは偶数ですか？…多くの夫婦は同意しません…」
  61. ^ワイルデン＆ハマー、1987、p. 104
  62. ^スノー 2001 ;モーガン 2001
  63. ^スタインバーグ 1999 ;シーゲル 1999 ;スティングル 2006
  64. ^ Sones & Sones 2002「ゼロは偶数であり、2000年2月20日でこのパズルは見事に解ける。しかし、ゼロを偶数と呼ぶことに人々がどれほど悩むのかには驚かされる…」；コラム8読者 2006a「…数学者によれば、ゼロは負の数や分数と同様に、偶数でも奇数でもない」とイータンは書いている…」；コラム8読者 2006b「ゼロが偶数であることには同意するが、バンダー教授が0 = 2 x 0と述べてそれを『証明』するのは賢明だろうか？その論理（しかも数理論理学の博士号を持つ教授の論理によれば）によれば、0 = 1 x 0なので、これも奇数だ！教授はこれに異議を唱えるだろうし、論理的にはそれには十分な根拠があるが、私たちはこの話題を少し行き過ぎているのかもしれない…」
  65. ^カプランスタッフ 2004、227ページ
  66. ^経営学大学院入学審査委員会 2005年、108、295～297頁;教育試験サービス 2009年、1頁
  67. ^ Arsham 2002 ; この引用は1977年10月1日のheute放送によるものとされている。Arshamの説明はCrumpacker (2007、p.165)によって繰り返されている。
  68. ^ Sones & Sones 2002「ペンシルベニア州立大学の数学者ジョージ・アンドリュースは、オーストラリアでガソリンが配給されていた時代を回想しています。…当時、ニューサウスウェールズ州議会の誰かが、ナンバープレートの番号がゼロではガソリンが手に入らないと主張しました。『ゼロは奇数でも偶数でもない』からです。そこでニューサウスウェールズ州議会は、ガソリン配給の目的において、ゼロは偶数であると決定しました。」
  69. ^ 1980年のメリーランド州法では、「(a) 偶数暦日には、数字を含まない個人用ナンバープレート、または最後の桁が偶数で終わるナンバープレートを装着した車両の運転者のみがガソリンを購入できる。これにはアマチュア無線家のナンバープレートは含まれない。ゼロは偶数である。(b) 奇数暦日には…」と規定されている。これは、立法参考省（1974年）『メリーランド州法』第2巻、3236ページから一部引用したもので、 2013年6月2日取得。
  70. ^カトラー 2008、237～238ページ
  71. ^ブリスマン 2004、153ページ
  72. ^スモック 2006 ;ホーマン 2007 ;ターナー 1996
  73. ^ダイアグラムグループ 1983、p. 213
  74. ^バロディ＆コスリック 1998、1.33ページ

参考文献

さらに読む

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