四面体

幾何学 において、四面体（テトラヘドロン、複数形：tetrahedra、tetrahedrons）は、三角錐とも呼ばれ、 4つの三角形の面、6本の直線の辺、そして4つの頂点からなる多面体である。四面体は、一般的な凸多面体の中で最も単純なものである。[ 1 ]

四面体は、ユークリッド単体というより一般的な概念の3 次元の場合であり、したがって3 単体とも呼ばれます。

四面体はピラミッドの一種で、平らな多角形の底面と、底面を共通点に結ぶ三角形の面を持つ多面体です。四面体の場合、底面は三角形（4つの面のいずれかを底面とみなすことができる）であるため、「三角錐」とも呼ばれます。

すべての凸多面体と同様に、四面体も一枚の紙から折ることができます。四面体には2つのネットがあります。[ 2 ]

任意の四面体には、4つの頂点すべてが含まれる球面（外接球）と、四面体の面に接する別の球面（内接球）が存在する。 [ 3 ]

正四面体

正四面体とその網目

正四面体とは、4つの面すべてが正三角形である四面体です。言い換えれば、すべての面が同じ大きさと形（合同）であり、すべての辺の長さが同じです。正四面体は最も単純な三角面体であり、すべての面が正三角形である多面体です。他に7つの凸三角面体があります。[ 4 ]

不規則四面体

正四面体の3対の対辺がすべて垂直である場合、それは直心正四面体と呼ばれます。1対の対辺のみが垂直である場合、それは半直心正四面体と呼ばれます。三直角四面体では、立方体の角のように、 1つの頂点における3つの面角が直角です。

等力四面体とは、頂点を反対側の面の内心に結合しているセビアンが並行している四面体です。

等角四面体には、四面体の 内接球面と反対側の面の接点に頂点を結合する平行セビアンがあります。

蝶形骨

立方体の内部に空間を埋め尽くす四面体二蝶形。2辺の二面角は90°、4辺の二面角は60°です。

二蝶形は、4つの合同な三角形を面とする四面体です。これらの三角形は、すべての角が鋭角となります。正四面体は二蝶形の特殊な例です。この形状は、他に二蝶形、二等辺四面体、等面四面体などとも呼ばれます。

オルソスキーム

立方体を 6 つの特徴的なオルソスキームに分割します。

3-正四面体とは、4つの面すべてが直角三角形である四面体です。3-正四面体は、対辺の長さが等しくないため、二蝶形ではありません。直角三角形や鈍角三角形の面を持つ 二蝶形は作図できません。

オルソスキームとは、すべての辺が互いに直交する木の凸包である不規則な単体です。3次元オルソスキームでは、木は4つの頂点すべてを2つの直角に曲がる直線状の経路で結ぶ3つの直交辺で構成されます。3次元オルソスキームは、2つの頂点それぞれに2つの直角を持つ四面体であるため、双直角四面体とも呼ばれます。また、 4つの直角を含むため、四直角四面体とも呼ばれます。 [ 5 ]

コクセターは、正多面体とその対称群との不可分な関係から、四辺形直角四面体を「特性四面体」とも呼んでいる。[ 6 ]例えば、等しい長さの垂直辺を持つ3次元直交配位の特殊なケースは立方体の特性であり、これは立方体をこの直交配位の例に細分化できることを意味する。立方体の3つの垂直辺の長さが単位である場合、残りの辺は長さ√2の2辺と長さ√3の1辺となるため、すべての辺は立方体の辺または対角線となる。立方体は6つの3-直交図に分解できる4つの異なる方法で、6つすべてが同じ√3立方体の対角線を囲みます。立方体は、この同じ特性3直交配位の48個のより小さな例に分解することもできます（すべての対称面を一度に1つの方法で）。立方体の特性四面体は、ヘロン四面体の例です。

正四面体を含むすべての正多面体には、固有の直交配位が存在します。「正四面体の特性四面体」である3-直交配位が存在します。正四面体は特徴的な四面体の24のインスタンスに分割されます対称面によって区別されます。正四面体を構成する24個の特性四面体は、それぞれ12個ずつ、2つの鏡像関係に存在します。

正四面体の特徴[ 7 ]
角 アーク 二面角
𝒍 2{\displaystyle 2}109°28′16″π−2κ{\displaystyle \pi -2\kappa }70°31′44″π−2ψ{\displaystyle \pi -2\psi }
𝟀 43≈1.155{\displaystyle {\sqrt {\tfrac {4}{3}}}\approx 1.155}70°31′44″2κ{\displaystyle 2\kappa }60°π3{\displaystyle {\tfrac {\pi }{3}}}
𝝉 [ a ]1{\displaystyle 1}54°44′8″π2−κ{\displaystyle {\tfrac {\pi }{2}}-\kappa }60°π3{\displaystyle {\tfrac {\pi }{3}}}
𝟁 13≈0.577{\displaystyle {\sqrt {\tfrac {1}{3}}}\approx 0.577}54°44′8″π2−κ{\displaystyle {\tfrac {\pi }{2}}-\kappa }60°π3{\displaystyle {\tfrac {\pi }{3}}}
0R/l{\displaystyle _{0}R/l}32≈1.225{\displaystyle {\sqrt {\tfrac {3}{2}}}\approx 1.225}
1R/l{\displaystyle _{1}R/l}12≈0.707{\displaystyle {\sqrt {\tfrac {1}{2}}}\approx 0.707}
2R/l{\displaystyle _{2}R/l}16≈0.408{\displaystyle {\sqrt {\tfrac {1}{6}}}\approx 0.408}
κ{\displaystyle \kappa }35°15′52″arc sec 32{\displaystyle {\tfrac {{\text{arc sec }}3}{2}}}

正四面体の辺の長さが 𝒍 = 2 の場合、その特性四面体の 6 つの辺の長さは、直角三角形の外面の周りで 、 、 (特性角 𝟀、𝝉、𝟁 の反対側の辺) 、 [ a ]に加え、 、、(正四面体の特性半径の辺) になります。正四面体の直交辺に沿う 3 辺のパスは、、で、最初に四面体の頂点から四面体の辺の中心まで行き、次に 90° 回転して四面体面の中心に行き、最後に 90° 回転して四面体の中心まで行きます。正四面体には 4 つの異なる直角三角形の面があります。外面は60-90-30 の三角形で、四面体面の 6 分の 1 の大きさです。四面体の内部にある 3 つの面は、 、 、 の辺を持つ直角三角形、 、 、 の辺を持つ直角三角形、、、の辺を持つ直角三角形です。43{\displaystyle {\sqrt {\tfrac {4}{3}}}}1{\displaystyle 1}13{\displaystyle {\sqrt {\tfrac {1}{3}}}}32{\displaystyle {\sqrt {\tfrac {3}{2}}}}12{\displaystyle {\sqrt {\tfrac {1}{2}}}}16{\displaystyle {\sqrt {\tfrac {1}{6}}}}1{\displaystyle 1}13{\displaystyle {\sqrt {\tfrac {1}{3}}}}16{\displaystyle {\sqrt {\tfrac {1}{6}}}}1{\displaystyle 1}32{\displaystyle {\sqrt {\tfrac {3}{2}}}}12{\displaystyle {\sqrt {\tfrac {1}{2}}}}13{\displaystyle {\sqrt {\tfrac {1}{3}}}}12{\displaystyle {\sqrt {\tfrac {1}{2}}}}16{\displaystyle {\sqrt {\tfrac {1}{6}}}}43{\displaystyle {\sqrt {\tfrac {4}{3}}}}32{\displaystyle {\sqrt {\tfrac {3}{2}}}}16{\displaystyle {\sqrt {\tfrac {1}{6}}}}

空間充填四面体

空間充填四面体は、それ自身の直接合同な、あるいは鏡像的な（鏡像の）コピーを空間に詰め込む。[ 8 ]立方体は、6 つの 3-直交配位、つまり左手系 3 つと右手系 3 つ（立方体の各面に 1 つずつ）に分割することができ、立方体は空間を充填できるため、立方体の特性 3-直交配位はこの意味で空間充填四面体である。（立方体の特性直交配位は、空間充填四面体の一種であるヒル四面体の一つである。すべての空間充填四面体は、立方体とはさみ合同である。）

二面体は、二面体四面体ハニカムのように、直接合同な意味で空間充填四面体となり得る。しかし、正四面体はそれ自体では空間を充填することができない（さらに、空間を充填できる他の多面体とははさみ合同ではない。ヒルベルトの第三問題を参照）。四面体八面体ハニカムは、正四面体セルと正八面体セルを2:1の比率で 交互に配置して空間を充填する。

基礎領域

ユークリッド三次元空間には、3つの単純かつ関連するグルサ四面体が存在する。これらは立方体上および立方体内部の点として見ることができる。

対称群の基本領域[ 9 ]である不規則四面体は、グールサ四面体の一例である。グールサ四面体は、鏡映写によってすべての正多面体（および他の多くの一様多面体）を生成する。この過程はウィトフの万華鏡的構成と呼ばれる。

多面体の場合、ウィトフの構成では、万華鏡のように3枚の鏡を互いに角度をつけて配置します。円筒形の万華鏡とは異なり、ウィトフの鏡はグルサ四面体の3つの面に配置され、3枚の鏡すべてが1点で交差します。（生成された多面体のコクセター・ディンキン図には、3枚の鏡を表す3つのノードが含まれます。図には、各鏡のペア間の二面角と、多面体の頂点への鏡映によって乗算される単一の生成点の位置がエンコードされています。）

3次元のハニカム構造を生成するグルサ四面体には、正四面体（立方体の特性四面体）、二重正四面体（立方体の特性四面体とその鏡像を面結合したもの）、そして上図に示す空間充填二面体がある。[ 6 ]二面体は、二重正四面体とその鏡像を面結合したものである（四重正四面体）。したがって、これら3つのグルサ四面体、およびそれらが鏡像によって生成するすべての多面体は、立方体の特性四面体に分解することができる。

細分化と類似性クラス

四面体細分化は、計算幾何学および3Dモデリングにおいて、四面体を複数の小さな四面体に分割するプロセスです。このプロセスは、四面体メッシュの複雑さと精細度を向上させるため、数値シミュレーション、有限要素解析、コンピュータグラフィックスにおいて特に有効です。一般的に用いられる細分化手法の一つに、最長辺二分法（LEB）があります。これは、四面体の最長辺を特定し、その中点で二分することで、2つの新しい小さな四面体を生成します。このプロセスを複数回繰り返し、各反復で生成されたすべての四面体を二分するプロセスを反復LEBと呼びます。

相似クラスとは、位置、方向、スケールに関わらず、同一の幾何学的形状を持つ四面体の集合です。したがって、同じ相似クラスに属する任意の2つの四面体は、アフィン変換によって互いに変換できます。反復細分法において相似クラスの数を限定することの効果は、計算モデリングとシミュレーションにおいて重要です。これにより、生成される四面体の形状とサイズのばらつきが低減され、シミュレーション結果に悪影響を与える可能性のある非常に不規則な要素の形成を防ぐことができます。

正四面体の反復LEBは、8つの類似クラスしか生成しないことが示されています。さらに、最長2辺が互いに接続されておらず、最長辺と最短辺の比が 以下であるほぼ正四面体の場合、反復LEBは37を超える類似クラスを生成することはありません。[ 10 ]3/2{\displaystyle {\sqrt {3/2}}}

一般的な特性

一般に、四面体は4つの面、6つの辺、4つの頂点を持つ3次元オブジェクトです。1つの面を底面と見なせる場合はピラミッドと見なすことができます。その1-スケルトンは、スタインイニッツの定理により、プラトングラフの1つである四面体グラフと呼ばれるグラフとして見なすことができます。頂点のすべてのペアに一意の辺があるため、完全グラフです。平面上では、このグラフは3つの頂点が中心の4番目の頂点（普遍頂点）に接続する三角形と見なすことができます。したがって、四面体グラフは車輪グラフです。[ 11 ]K4{\displaystyle K_{4}}

四面体は空間対角線を持たない多面体の一つである。空間対角線を持つ他の多面体には、チャーサール多面体とシェーンハルト多面体がある。[ 12 ]四面体は3次元単体とも呼ばれ、三角形を多次元に一般化したものだ。四面体は自己双対であり、その双対多面体自体が四面体であることを意味する。[ 13 ]四面体のその他の多くの性質については、以降の節で明示的に説明する。

音量

四面体の体積を求める簡単な方法は、体積の公式で与えられます。 ここで、 は底面積、は底辺から頂点までの高さです。この公式は底辺の4つの選択肢のそれぞれに適用され、頂点から反対側の面までの距離は、これらの面の面積に反比例します。別の方法としては、三角柱を3つの部分に分割する方法があります。[ 14 ]V=13Ah.{\displaystyle V={\frac {1}{3}}Ah.}A{\displaystyle A}h{\displaystyle h}

代数的アプローチ

線形代数アプローチは、与えられた頂点をベクトルで表す別の方法である。 行列式 で表すと、四面体の体積は であり、これは3つの収束辺を共有する任意の平行六面体の体積の6分の1である。[ 15 ]a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3),c=(c1,c2,c3),d=(d1,d2,d3).{\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {a} &=(a_{1},a_{2},a_{3}),\\\mathbf {b} &=(b_{1},b_{2},b_{3}),\\\mathbf {c} &=(c_{1},c_{2},c_{3}),\\\mathbf {d} &=(d_{1},d_{2},d_{3}).\end{aligned}}}16det(a−d,b−d,c−d){\textstyle {\frac {1}{6}}\det(\mathbf {a} -\mathbf {d} ,\mathbf {b} -\mathbf {d} ,\mathbf {c} -\mathbf {d} )}

同様に、与えられた頂点によるもう1つのアプローチは、行列式の絶対値を表すスカラー三重積の絶対値によるものである。したがって、 6⋅V=|abc|{\displaystyle 6\cdot V={\begin{vmatrix}\mathbf {a} &\mathbf {b} &\mathbf {c} \end{vmatrix}}}36⋅V2=|a2a⋅ba⋅ca⋅bb2b⋅ca⋅cb⋅cc2|.{\displaystyle 36\cdot V^{2}={\begin{vmatrix}\mathbf {a^{2}} &\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} &\mathbf {a} \cdot \mathbf {c} \\\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} &\mathbf {b^{2}} &\mathbf {b} \cdot \mathbf {c} \\\mathbf {a} \cdot \mathbf {c} &\mathbf {b} \cdot \mathbf {c} &\mathbf {c^{2}} \end{vmatrix}}.}

ここで、、、および です。変数、、、はそれぞれベクトル 、、、の各ノルムを表します。これは次の式となります。 ギリシャ 語の小文字は頂点 に生じる平面角を表します。角度 は、頂点とを結ぶ2辺間の角度です。角度 は、頂点 と を結ぶ2辺間の角度です。角度 は、頂点とについても同様です。一方、角度 は、頂点との位置によって定義されます。 を考慮すると、 a⋅b=abcos⁡γ{\displaystyle \mathbf {a} \cdot \mathbf {b} =ab\cos {\gamma }}b⋅c=bccos⁡α{\displaystyle \mathbf {b} \cdot \mathbf {c} =bc\cos {\alpha }}a⋅c=accos⁡β.{\displaystyle \mathbf {a} \cdot \mathbf {c} =ac\cos {\beta }.}a{\displaystyle a}b{\displaystyle b}c{\displaystyle c}a{\displaystyle \mathbf {a} }b{\displaystyle \mathbf {b} }c{\displaystyle \mathbf {c} }V=abc61+2cos⁡αcos⁡βcos⁡γ−cos2⁡α−cos2⁡β−cos2⁡γ,{\displaystyle V={\frac {abc}{6}}{\sqrt {1+2\cos {\alpha }\cos {\beta }\cos {\gamma }-\cos ^{2}{\alpha }-\cos ^{2}{\beta }-\cos ^{2}{\gamma }}},\,}d{\displaystyle \mathbf {d} }α{\displaystyle \alpha }d{\displaystyle \mathbf {d} }b{\displaystyle \mathbf {b} }c{\displaystyle \mathbf {c} }β{\displaystyle \beta }a{\displaystyle \mathbf {a} }c{\displaystyle \mathbf {c} }γ{\displaystyle \gamma }a{\displaystyle \mathbf {a} }b{\displaystyle \mathbf {b} }d=0{\displaystyle \mathbf {d} =0}6⋅V=|det(a1b1c1d1a2b2c2d2a3b3c3d31111)|.{\displaystyle 6\cdot V=\left|\det \left({\begin{matrix}a_{1}&b_{1}&c_{1}&d_{1}\\a_{2}&b_{2}&c_{2}&d_{2}\\a_{3}&b_{3}&c_{3}&d_{3}\\1&1&1&1\end{matrix}}\right)\right|\,.}

四面体の頂点間の距離が与えられれば、ケイリー・メンガー行列式を用いて体積を計算できます。 ここで、添え字は頂点 を表し、は頂点間の距離、つまり2つの頂点を結ぶ辺の長さです。行列式 が負の値になる場合、与えられた距離では四面体を構成できないことを意味します。この式はタルタリアの式とも呼ばれ、15世紀の画家ピエロ・デラ・フランチェスカが、1世紀のヘロンの三角形の面積の 公式の3次元版として考案したものです。288⋅V2=|0111110d122d132d1421d1220d232d2421d132d2320d3421d142d242d3420|{\displaystyle 288\cdot V^{2}={\begin{vmatrix}0&1&1&1&1\\1&0&d_{12}^{2}&d_{13}^{2}&d_{14}^{2}\\1&d_{12}^{2}&0&d_{23}^{2}&d_{24}^{2}\\1&d_{13}^{2}&d_{23}^{2}&0&d_{34}^{2}\\1&d_{14}^{2}&d_{24}^{2}&d_{34}^{2}&0\end{vmatrix}}}i,j∈{1,2,3,4}{\displaystyle i,j\in \{1,2,3,4\}}{a,b,c,d}{\displaystyle \{\mathbf {a} ,\mathbf {b} ,\mathbf {c} ,\mathbf {d} \}}dij{\displaystyle d_{ij}}

他のアプローチ

、、を一点で交わる3辺の長さとし、、、を反対の辺の長さとします。四面体の体積は[ 16 ]です。 ここで、 上の式は6つの辺の長さを用いていますが、次の式は3つの辺の長さと3つの角度を用いています。[ 16 ]a{\displaystyle a}b{\displaystyle b}c{\displaystyle c}x{\displaystyle x}y{\displaystyle y}z{\displaystyle z}V{\displaystyle V}V=4a2b2c2−a2X2−b2Y2−c2Z2+XYZ12{\displaystyle V={\frac {\sqrt {4a^{2}b^{2}c^{2}-a^{2}X^{2}-b^{2}Y^{2}-c^{2}Z^{2}+XYZ}}{12}}}X=b2+c2−x2,Y=a2+c2−y2,Z=a2+b2−z2.{\displaystyle {\begin{aligned}X&=b^{2}+c^{2}-x^{2},\\Y&=a^{2}+c^{2}-y^{2},\\Z&=a^{2}+b^{2}-z^{2}.\end{aligned}}}V=abc61+2cos⁡αcos⁡βcos⁡γ−cos2⁡α−cos2⁡β−cos2⁡γ{\displaystyle V={\frac {abc}{6}}{\sqrt {1+2\cos {\alpha }\cos {\beta }\cos {\gamma }-\cos ^{2}{\alpha }-\cos ^{2}{\beta }-\cos ^{2}{\gamma }}}}

四面体の体積はヘロンの公式を用いて求めることができます。次の図のように、四面体の辺の長さを、、、、とします。ここで、最初の3辺は三角形を形成し、その反対側の、、 はそれぞれ三角形の反対側にあります。すると、 U{\displaystyle U}V{\displaystyle V}W{\displaystyle W}u{\displaystyle u}v{\displaystyle v}w{\displaystyle w}u{\displaystyle u}U{\displaystyle U}v{\displaystyle v}V{\displaystyle V}w{\displaystyle w}W{\displaystyle W}V=(−p+q+r+s)(p−q+r+s)(p+q−r+s)(p+q+r−s)192uvw{\displaystyle V={\frac {\sqrt {\,(-p+q+r+s)\,(p-q+r+s)\,(p+q-r+s)\,(p+q+r-s)}}{192\,u\,v\,w}}}

四面体の6辺の長さ

どこで そして p=xYZ,q=yZX,r=zXY,s=xyz,{\displaystyle {\begin{aligned}p={\sqrt {xYZ}},&\quad q={\sqrt {yZX}},\\r={\sqrt {zXY}},&\quad s={\sqrt {xyz}},\end{aligned}}}X=(w−U+v)(U+v+w),x=(U−v+w)(v−w+U),Y=(u−V+w)(V+w+u),y=(V−w+u)(w−u+V),Z=(v−W+u)(W+u+v),z=(W−u+v)(u−v+W).{\displaystyle {\begin{aligned}X=(w-U+v)(U+v+w),&\quad x=(U-v+w)(v-w+U),\\Y=(u-V+w)(V+w+u),&\quad y=(V-w+u)(w-u+V),\\Z=(v-W+u)(W+u+v),&\quad z=(W-u+v)\,(u-v+W).\end{aligned}}}

四面体の双中線（向かい合う辺の中点を結ぶ線）を含む平面は、四面体の体積を二等分する。 [ 17 ]

双曲空間または3次元楕円幾何学における四面体の場合、四面体の二面角がその形状、ひいては体積を決定します。これらの場合、体積は村上純と矢野正一[ 18 ]に倣い、村上・矢野の公式によって与えられます。しかし、ユークリッド空間では、四面体を拡大縮小しても体積は変化しますが、二面角は変化しないため、そのような公式は存在しません。

正四面体の任意の2つの対辺は2本の斜線上にあり、その辺間の距離は2本の斜線間の距離として定義されます。ここで計算したように、対辺とによって形成される斜線間の距離を とします。すると、正四面体の体積の別の公式は次のように与えられます 。d{\displaystyle d}a{\displaystyle a}b−c{\displaystyle \mathbf {b} -\mathbf {c} }V{\displaystyle V}V=d|(a×(b−c))|6.{\displaystyle V={\frac {d|(\mathbf {a} \times \mathbf {(b-c)} )|}{6}}.}

三角形に似ている

正四面体は、内球面、外球面、内心正四面体、外球面など、三角形と類似した多くの性質を持つ。正四面体には、内心、外心、外心、シュピーカー中心といった中心と、重心といった点が存在する。しかし、一般的には、交差する高度という意味での垂心は存在しない。[ 19 ]

ガスパール・モンジュは、すべての四面体に存在する中心を発見しました。これは現在モンジュ点として知られています。これは、四面体の6つの中面が交差する点です。中面は、任意の2つの頂点を結ぶ辺に直交し、他の2つの頂点を結んで形成される反対側の辺の重心も含む平面として定義されます。[ 20 ]モンジュ点から任意の面に下ろした直交線は、その面の垂心と反対側の頂点から下ろした高度の足を結ぶ線分の中点でその面と交わります。四面体の高度が交差する場合、モンジュ点と垂心が一致し、直心四面体のクラスが得られます。

四面体の頂点と反対側の面の重心を結ぶ線分は中線と呼ばれ、向かい合う2辺の中点を結ぶ線分は四面体の双中線と呼ばれます。したがって、四面体には4つの中線と3つの双中線があります。これらの7つの線分はすべて、四面体の重心と呼ばれる点で一致しています。 [ 21 ]さらに、4つの中線は重心によって3:1の比率で分割されます。[ 22 ]四面体の重心は、モンジュ点と外心の中点です。これらの点は、三角形の オイラー線に相似した四面体のオイラー線を定義します。

一般三角形の9点円は、正四面体の中位四面体の外接球面にも類似点を持つ。これは12点球面であり、基準となる正四面体の4面の重心に加えて、モンジュ点から4つの頂点それぞれに向かって3分の1ずつ離れた4つの代替オイラー点を通過する。さらに、各オイラー点からそのオイラー点を生成した頂点を含まない面へ下ろす直交直線の4つの底点を通過する。[ 23 ]

12点球の中心もオイラー直線上にあります。三角形の球の中心とは異なり、この中心はモンジュ点から外心に向かって3分の1の距離にあります。さらに、選択した面を通る直交線は、同じ面を通る他の2本の直交線と同一平面にあります。1本目は、対応するオイラー点を通って選択した面へ向かう直交線です。2本目は、選択した面の重心を通る直交線です。12点中心を通るこの直交線は、オイラー点直交線と重心直交線の中間にあります。さらに、任意の面において、12点中心は、対応するオイラー点とその面の垂心の中心にあります。 T{\displaystyle T}M{\displaystyle M}T{\displaystyle T}

12 点球の半径は、基準となる四面体の円周半径の 3 分の 1 です。

一般的な四面体の面のなす角度には次の関係がある[ 24 ]

|−1cos⁡(α12)cos⁡(α13)cos⁡(α14)cos⁡(α12)−1cos⁡(α23)cos⁡(α24)cos⁡(α13)cos⁡(α23)−1cos⁡(α34)cos⁡(α14)cos⁡(α24)cos⁡(α34)−1|=0{\displaystyle {\begin{vmatrix}-1&\cos {(\alpha _{12})}&\cos {(\alpha _{13})}&\cos {(\alpha _{14})}\\\cos {(\alpha _{12})}&-1&\cos {(\alpha _{23})}&\cos {(\alpha _{24})}\\\cos {(\alpha _{13})}&\cos {(\alpha _{23})}&-1&\cos {(\alpha _{34})}\\\cos {(\alpha _{14})}&\cos {(\alpha _{24})}&\cos {(\alpha _{34})}&-1\\\end{vmatrix}}=0\,}

面と の間の角度はどこにあるか。 αij{\displaystyle \alpha _{ij}}i{\displaystyle i}j{\displaystyle j}

四面体の頂点位置座標の幾何学的中線と等角中心は、三角形の場合と類似の状況で関連しています。ローレンツ・リンデレフは、任意の四面体に対応して、現在では等角中心として知られる点 があり、そこでは面によって囲まれる立体角が等しく、共通の値srを持ち、そこでは向かい合う辺によって囲まれる角度が等しいことを発見しました。[ 25 ] sr の立体角は、空間全体によって囲まれる立体角の 4 分の 1 です。四面体の頂点のすべての立体角がsr より小さい場合、は四面体の内側にあります。 から頂点までの距離の合計が最小であるため、 は頂点の幾何学的中線と一致します。頂点の 1 つで立体角がちょうどsr と測定される場合、と は一致します。ただし、四面体にsrよりも大きな立体角を持つ頂点がある場合、は に対応しますが、四面体の外側にあります。 O{\displaystyle O}π{\displaystyle \pi }π{\displaystyle \pi }π{\displaystyle \pi }O{\displaystyle O}O{\displaystyle O}O{\displaystyle O}M{\displaystyle M}v{\displaystyle v}π{\displaystyle \pi }O{\displaystyle O}M{\displaystyle M}v{\displaystyle v}v{\displaystyle v}π{\displaystyle \pi }M{\displaystyle M}v{\displaystyle v}O{\displaystyle O}

三角法とあらゆる図形の空間

正弦定理の四面体における図解

通常の正弦定理の系として、頂点、、、を持つ四面体において、 は次のように表され ます 。この恒等式の2辺は、面の時計回りと反時計回りの向きに対応していると考えることができます。4つの頂点のいずれかを の役割に置くと、4つの恒等式が得られますが、そのうち独立しているのは最大で3つです。そのうち3つの恒等式の「時計回り」の辺を掛け合わせた結果が、同じ3つの恒等式の「反時計回り」の辺の積に等しいと推論されます。したがって、両辺の共通因数は消去され、結果は4番目の恒等式となります。 O{\displaystyle O}A{\displaystyle A}B{\displaystyle B}C{\displaystyle C}sin⁡∠OAB⋅sin⁡∠OBC⋅sin⁡∠OCA=sin⁡∠OAC⋅sin⁡∠OCB⋅sin⁡∠OBA.{\displaystyle \sin \angle OAB\cdot \sin \angle OBC\cdot \sin \angle OCA=\sin \angle OAC\cdot \sin \angle OCB\cdot \sin \angle OBA.}O{\displaystyle O}

3つの角がある三角形の角であるためには、その和が180°（πラジアン）である必要があります。12の角がある四面体の12の角となるためには、どのような条件が必要かつ十分でしょうか？四面体のどの辺の角も和が180°でなければなりません。そのような三角形が4つあるため、角の和には4つの制約があり、自由度の数は12から8に減少します。この正弦法則によって与えられる4つの関係は、4番目の制約が最初の3つの制約と独立していないため、自由度の数を8から4ではなく5にさらに減少させます。したがって、すべての四面体の形状の空間は5次元です。[ 26 ]

, ,を正四面体の点とする。頂点に対向する面の面積を、辺に隣接する正四面体の2つの面の間の二面角を とする。正四面体の面の面積と頂点の周りの二面角を関連付ける正四面体の余弦定理は、次の関係式で表される。[ 27 ]P1{\displaystyle P_{1}}P2{\displaystyle P_{2}}P3{\displaystyle P_{3}}P4{\displaystyle P_{4}}Δi{\displaystyle \Delta _{i}}Pi{\displaystyle P_{i}}θij{\displaystyle \theta _{ij}}PiPj{\displaystyle P_{i}P_{j}}Δi2=Δj2+Δk2+Δl2−2(ΔjΔkcos⁡θil+ΔjΔlcos⁡θik+ΔkΔlcos⁡θij){\displaystyle \Delta _{i}^{2}=\Delta _{j}^{2}+\Delta _{k}^{2}+\Delta _{l}^{2}-2(\Delta _{j}\Delta _{k}\cos \theta _{il}+\Delta _{j}\Delta _{l}\cos \theta _{ik}+\Delta _{k}\Delta _{l}\cos \theta _{ij})}

内点

体積 の四面体における任意の内点をとし、その頂点を、、、 とし、その反対面の面積を、、、 とする。このとき、[ 28 ]P{\displaystyle P}V{\displaystyle V}A{\displaystyle A}B{\displaystyle B}C{\displaystyle C}D{\displaystyle D}Fa{\displaystyle F_{a}}Fb{\displaystyle F_{b}}Fc{\displaystyle F_{c}}Fd{\displaystyle F_{d}}PA⋅Fa+PB⋅Fb+PC⋅Fc+PD⋅Fd≥9V.{\displaystyle PA\cdot F_{\mathrm {a} }+PB\cdot F_{\mathrm {b} }+PC\cdot F_{\mathrm {c} }+PD\cdot F_{\mathrm {d} }\geq 9V.}

頂点、、、 、内点、および から面への垂線の足、、、 について、面の面積が等しいと仮定すると、次の式が成り立ちます。 [ 29 ]A{\displaystyle A}B{\displaystyle B}C{\displaystyle C}D{\displaystyle D}P{\displaystyle P}J{\displaystyle J}K{\displaystyle K}L{\displaystyle L}M{\displaystyle M}P{\displaystyle P}PA+PB+PC+PD≥3(PJ+PK+PL+PM).{\displaystyle PA+PB+PC+PD\geq 3(PJ+PK+PL+PM).}

内半径

正四面体の内接半径を、三角形の面の内接半径を とすると、次の式が成り立ちます。[ 30 ] 正四面体の場合に限り、等式が成り立ちます。 r{\displaystyle r}r1{\displaystyle r_{1}}i=1,2,3,4{\displaystyle i=1,2,3,4}1r12+1r22+1r32+1r42≤2r2,{\displaystyle {\frac {1}{r_{1}^{2}}}+{\frac {1}{r_{2}^{2}}}+{\frac {1}{r_{3}^{2}}}+{\frac {1}{r_{4}^{2}}}\leq {\frac {2}{r^{2}}},}

、、が各面の面積を表す場合、の値は次のように与えられる 。A1{\displaystyle A_{1}}A2{\displaystyle A_{2}}A3{\displaystyle A_{3}}A4{\displaystyle A_{4}}r{\displaystyle r}r=3VA1+A2+A3+A4.{\displaystyle r={\frac {3V}{A_{1}+A_{2}+A_{3}+A_{4}}}.}

この式は、正四面体を、元の面の3点と内心を頂点とする4つの正四面体に分割することで得られます。4つの部分正四面体は体積を満たすので、次の式が成り立ちます。 V=13A1r+13A2r+13A3r+13A4r.{\displaystyle V={\frac {1}{3}}A_{1}r+{\frac {1}{3}}A_{2}r+{\frac {1}{3}}A_{3}r+{\frac {1}{3}}A_{4}r.}

円周半径

正四面体の円周半径をRとする。頂点で交わる3辺の長さをa、b、cとし、反対側の辺の長さをA、B、Cとする。正四面体の体積をVとする。すると[ 31 ] [ 32 ]

R=(aA+bB+cC)(aA+bB−cC)(aA−bB+cC)(−aA+bB+cC)24V.{\displaystyle R={\frac {\sqrt {(aA+bB+cC)(aA+bB-cC)(aA-bB+cC)(-aA+bB+cC)}}{24V}}.}

外心

四面体の外心は、3つの二等分面の交点として求められる。二等分面とは、四面体の辺を中心とし、かつその辺に直交する平面と定義される。この定義によれば、頂点x 0、x 1、x 2、x 3を持つ四面体の外心Cは、行列ベクトル積として定式化できる。[ 33 ]

C=A−1Bwhere A=([x1−x0]T[x2−x0]T[x3−x0]T) and B=12(‖x1‖2−‖x0‖2‖x2‖2−‖x0‖2‖x3‖2−‖x0‖2){\displaystyle {\begin{aligned}C&=A^{-1}B&{\text{where}}&\ &A=\left({\begin{matrix}\left[x_{1}-x_{0}\right]^{T}\\\left[x_{2}-x_{0}\right]^{T}\\\left[x_{3}-x_{0}\right]^{T}\end{matrix}}\right)&\ &{\text{and}}&\ &B={\frac {1}{2}}\left({\begin{matrix}\|x_{1}\|^{2}-\|x_{0}\|^{2}\\\|x_{2}\|^{2}-\|x_{0}\|^{2}\\\|x_{3}\|^{2}-\|x_{0}\|^{2}\end{matrix}}\right)\\\end{aligned}}}

鈍角三角形とは異なり、鈍角四面体では外心は必ずしも外側にあるとは限らない（つまり、1つ以上の二面角が より大きい場合）。また、鋭角四面体では外心は必ずしも内側にあるとは限らない（つまり、すべての二面角が より小さい場合）。 [ 34 ]π/2{\displaystyle \pi /2}π/2{\displaystyle \pi /2}

整数四面体

整数値の辺の長さ、面面積、体積を持つ四面体が存在する。これらはヘロン四面体と呼ばれる。例えば、1辺の長さが896、対辺の長さが990、残りの4辺の長さが1073である。2つの面は面積が2の二等辺三角形である。436 800で、他の2つは面積が47 120、ボリュームは124 185 600 . [ 35 ]

四面体は整数の体積と連続する整数の辺を持つことができ、例としては辺が6、7、8、9、10、11で体積が48の四面体が挙げられる。[ 36 ]

アプリケーション

四面ダイスとピラモルフィクス

紀元前2600年に遡るウル王のゲームは、正四面体サイコロを用いて行われました。特にロールプレイングにおいては、この立体は4面体サイコロと呼ばれ、最も一般的な多面体サイコロの一つで、出た目はサイコロの底部または頂点に表示されます。ルービックキューブに似たパズルの中には、ピラミンクスやピラモルフィクスなど、正四面体を使ったものもあります。

スタンリー・キューブリックは当初、『2001年宇宙の旅』に登場するモノリスを四面体で表現しようとしていたと、認知科学者で人工知能の専門家であるマービン・ミンスキーは述べている。彼はキューブリックにHAL9000コンピュータや映画のその他の要素について助言した。キューブリックは、映像を見た観客がそれが何なのか分からなかったため、四面体を使用するというアイデアを断念した。彼は映画の中で一般の人々が理解できないものを作りたくなかったのだ。[ 37 ]

正四面体は、6本の折れていないマッチ棒を使って4つの正三角形を作るという古いパズルの解答です。この解答では、マッチ棒を四面体の辺に沿って配置します。[ 38 ]

空間内の不規則な体積は、不規則な三角形の表面と不規則な四面体の体積要素で近似できます。
ひし​

工学関連分野における四面体のいくつかの応用は次のとおりです。

四面体は、立体化学では四面体分子構造として記述することができる。[ 46 ]この化学構造は、水Hで見ることができる。2Oおよびメタン（CH4）。[ 47 ]四面体の形状は、自然界では共有結合した分子に見られます。すべてのsp 3混成原子は、四面体の4つの頂点にある原子（または孤立電子対）に囲まれています。このため、有機化学の主要なジャーナルの1つはTetrahedronと呼ばれています。完全な四面体の場合、任意の2つの頂点間の中心角はarccos(− ⁠1/3⁠）、または約109.47°です。[ 48 ]

化学物質の混合物の四元系状態図は、四面体としてグラフ化されます。しかし、通信工学における四元系状態図は、二次元平面上にグラフ化されます。

正四面体の頂点は、トムソン問題（球面上の荷電粒子の最小エネルギー配置に関する問題）とタムス問題（点間の最小距離を最大化する球面コードの構築に関する問題）の両方において知られている最小解として適用されます。[ 49 ]n=4{\displaystyle n=4}n{\displaystyle n}

6つの等しい抵抗器をはんだ付けして四面体を形成すると、任意の2つの頂点間で測定された抵抗は、1つの抵抗器の抵抗の半分になります。[ 50 ]シリコンは固体電子機器で使用される最も一般的な半導体であり、シリコンの原子価は4であるため、シリコン内の4つの化学結合の四面体形状は、シリコンの結晶がどのように形成され、どのような形状になるか に大きな影響を与えます。

四面体は、輝度軸が色空間を斜めに分割する場合（RGB、CMYなど）に特に使用される色空間変換アルゴリズムです。[ 51 ]

ウィリアム・ローシアン・グリーンによって最初に発表された四面体仮説は、地球が四面体の形状で形成されたことを説明するものである。[ 52 ]この仮説は20世紀初頭まで人気があった。[ 53 ] [ 54 ]

正四面体だけでは空間をタイル状に敷き詰めることはできないが、アリストテレスがそれが可能だと主張したように、この結果は十分にあり得る。しかし、二つの正四面体を八面体と組み合わせることで、四面体八面体ハニカムのように空間をタイル状に敷き詰めることができる菱形面体が得られる。一方、不規則四面体もいくつか知られており、そのコピーで空間をタイル状に敷き詰めることができる。例えば、立方体の特徴的な正方格子や、二面体四面体ハニカムの二面体などである。完全なリストは未だに未解決の問題である。[ 55 ]

四面体がすべて同じ形である必要があるという条件を緩和すれば、四面体だけを使って様々な方法で空間をタイル張りすることができます。例えば、八面体を4つの同じ四面体に分割し、それらを再び2つの正四面体と組み合わせることができます。（ちなみに、これら2種類の四面体の体積は同じです。）

四面体は均一な多面体の中では平行な面を持たない点で独特です。

参照

注記

  1. ^ a b ( Coxeter 1973 ) では、正多面体の3つの特性角𝟀、𝝓、𝟁 のいずれかを表すためにギリシャ文字 𝝓 (ファイ) が用いられています。𝝓 は黄金比定数 ≈ 1.618 を表すのに一般的に用いられますが、Coxeter はこの定数に � (タウ) を用いています。そこで、ここでは Coxeter の慣例を逆にし、特性角を表すのに � を用います。

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書誌

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2～10次元の基本凸正則多面体と一様多面体
家族アン​B nI 2 ( p ) / D nE 6 / E 7 / E 8 / F 4 / G 2H n
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