ADM形式主義

リチャード・アーノウィット、スタンレー・デザー、チャールズ・マイズナーは、2009年11月に彼らの論文発表50周年を記念して開催されたADM-50: A Celebration of Current GR Innovation会議に出席した^{[ 1 ]}。

アーノウィット・デザー・ミスナー（ADM）形式論（考案者のリチャード・アーノウィット、スタンレー・デザー、チャールズ・W・ミスナーにちなんで名付けられた）は、一般相対論のハミルトン定式化であり、標準的な量子重力理論と数値相対論において重要な役割を果たしている。1959年に初めて発表された。^{[ 2 ]}

著者らが1962年に発表した形式論の包括的なレビュー^{[ 3 ]}は、一般相対性理論と重力誌に再掲載されており^{[ 4 ]}、オリジナルの論文はPhysical Reviewのアーカイブに保存されている^{[ 2 ] [ 5 ]}。

概要

この形式論では、時空は、時間座標⁠ ⁠でラベル付けされ、各スライス上の座標が⁠ ⁠で与えられる、空間的表面の族⁠ ⁠に葉状構造を成していると仮定する。この理論の動的変数は、3次元空間スライス⁠ ⁠の計量テンソルとそれらの共役運動量⁠ ⁠とされる。これらの変数を用いてハミルトニアンを定義し、それによって一般相対性理論の運動方程式をハミルトン方程式の形で記述することができる。 ${\displaystyle \Sigma _{t}}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle x^{i}}$ ${\displaystyle \gamma _{ij}(t,x^{k})}$ ${\displaystyle \pi ^{ij}(t,x^{k})}$

12個の変数⁠ ⁠${\displaystyle \gamma_{ij}}$ と⁠ ⁠${\displaystyle \pi^{ij}}$ に加えて、4つのラグランジュ乗数、すなわち減衰関数⁠ ⁠ 、⁠ ⁠ 、および${\displaystyle N}$ シフトベクトル場の成分⁠ ⁠ 、⁠ ⁠${\displaystyle N_{i}}$ があります。これらは、時空の葉理構造におけるそれぞれの「葉」⁠ ⁠がどのように接合されているかを記述します。これらの変数の運動方程式は自由に指定できます。この自由度は、空間と時間における${\displaystyle \Sigma _{t}}$ 座標系をどのように配置するかを自由に指定できることに対応しています。

表記

ほとんどの文献では、4次元テンソルは抽象添字記法で表記され、ギリシャ添字は(0, 1, 2, 3)の値を取る時空添字、ラテン添字は(1, 2, 3)の値を取る空間添字であるとされています。ここでの導出では、3次元スライスの計量テンソルと完全な4次元時空 の計量テンソルのように、通常3次元版と4次元版の両方を持つ量に上付き文字(4)を付加します。 ${\displaystyle g_{ij}}$ ${\displaystyle {^{(4)}}g_{\mu \nu }}$

ここでのテキストでは、繰り返されるインデックスの合計を想定する アインシュタイン表記法を使用しています。

2種類の微分法が用いられます。 偏微分は演算子、またはコンマを前に付けた添字で表されます。 共変微分は演算子、またはセミコロンを前に付けた添字で表されます。 ${\displaystyle \partial_{i}}$ ${\displaystyle \nabla_{i}}$

計量テンソル係数行列の行列式の絶対値は（添字なし）で表されます。添字なしで書かれたその他のテンソル記号は、対応するテンソルのトレースを表します（例： ）。 ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle \pi =g^{ij}\pi _{ij}}$

ADM分割

ADM分割は、時空計量を3つの空間成分と1つの時間成分（葉理）に分離することを意味します。これにより、時空計量は空間部分と時間部分に分離され、重力場の発展の研究が容易になります。基本的な考え方は、時空計量を、超曲面間の時間発展を表す減衰関数と、これらの超曲面間の空間座標の変化を表すシフトベクトル、そして3次元空間計量を用いて表現することです。数学的には、この分離は次のように表されます。

${\displaystyle ds^{2}=-N^{2}dt^{2}+g_{ij}(dx^{i}+N^{i}dt)(dx^{j}+N^{j}dt)}$

ここで、 は固有の時間発展を表す減衰関数、は超曲面間の空間座標の変化を表すシフトベクトルです。は各超曲面における3次元空間計量です。この分解により、時空発展方程式を、制約条件（空間超曲面上の初期データを関連付ける）と発展方程式（時空の形状が超曲面間でどのように変化するかを記述する）に分離することができます。 ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle N_{i}}$ ${\displaystyle g_{ij}}$

ADM形式の導出

ラグランジアン定式化

ADM定式化の出発点はラグランジアンである

${\displaystyle {\mathcal {L}}={^{(4)}R}{\sqrt {-^{(4)}g}},}$

これは、全時空における4次元計量テンソルの行列式の平方根とそのリッチスカラーの積である。これは、アインシュタイン・ヒルベルト作用からのラグランジアンである。

導出の目的の結果は、四次元時空における三次元空間スライスの埋め込みを定義することである。三次元スライスの計量は

${\displaystyle g_{ij}={^{(4)}}g_{ij}}$

はハミルトニアン定式化の一般化座標となる。共役運動量は次のように計算できる。

${\displaystyle \pi^{ij}={\sqrt {-^{(4)}g}}\left({^{(4)}}\Gamma_{pq}^{0}-g_{pq}{^{(4)}}\Gamma_{rs}^{0}g^{rs}\right)g^{ip}g^{jq},}$

標準的な手法と定義を用いて、記号は完全な4次元時空の計量に関連付けられた クリストッフェル記号である。${\displaystyle {^{(4)}}\Gamma _{ij}^{0}}$

${\displaystyle N=\left(-{^{(4)}g^{00}}\right)^{-1/2}}$

そしてシフトベクトル

${\displaystyle N_{i}={^{(4)}g_{0i}}}$

4 次元計量テンソルの残りの要素です。

定式化に必要な量を特定したら、次のステップはこれらの変数を用いてラグランジアンを書き直すことです。ラグランジアンの新しい表現は

${\displaystyle {\mathcal {L}}=-g_{ij}\partial _{t}\pi ^{ij}-NH-N_{i}P^{i}-2\partial _{i}\left(\pi ^{ij}N_{j}-{\frac {1}{2}}\pi N^{i}+\nabla ^{i}N{\sqrt {g}}\right)}$

は、２つの新しい量で表すと便利である。

${\displaystyle H=-{\sqrt {g}}\left[^{(3)}R+g^{-1}\left({\frac {1}{2}}\pi ^{2}-\pi ^{ij}\pi _{ij}\right)\right]}$

そして

${\displaystyle P^{i}=-2\pi ^{ij}{}_{;j},}$

これらはそれぞれハミルトン制約と運動量制約として知られています。ラグランジアンでは、このずれとシフトはラグランジュ乗数として現れます。

運動方程式

ラグランジアンの変数は4次元時空に埋め込まれた3次元空間上の計量テンソルを表すが、ラグランジアン力学の通常の手順を用いて計量とその共役運動量の時間発展を記述する「運動方程式」を導くことは可能であり、望ましい。その結果、 ${\displaystyle g_{ij}}$ ${\displaystyle \pi^{ij}}$

${\displaystyle \partial _{t}g_{ij}={\frac {2N}{\sqrt {g}}}\left(\pi _{ij}-{\tfrac {1}{2}}\pi g_{ij}\right)+N_{i;j}+N_{j;i}}$

そして

${\displaystyle {\begin{aligned}\partial _{t}\pi ^{ij}=&-N{\sqrt {g}}\left(R^{ij}-{\tfrac {1}{2}}Rg^{ij}\right)+{\frac {N}{2{\sqrt {g}}}}g^{ij}\left(\pi ^{mn}\pi _{mn}-{\tfrac {1}{2}}\pi ^{2}\right)-{\frac {2N}{\sqrt {g}}}\left(\pi ^{in}{\pi _{n}}^{j}-{\tfrac {1}{2}}\pi \pi ^{ij}\right)\\&+{\sqrt {g}}\left(\nabla ^{i}\nabla ^{j}N-g^{ij}\nabla ^{n}\nabla _{n}N\right)+\nabla _{n}\left(\pi ^{ij}N^{n}\right)-{N^{i}}_{;n}\pi ^{nj}-{N^{j}}_{;n}\pi ^{ni}\end{aligned}}}$

は非線形偏微分方程式の集合です。

減衰とシフトに関する変化をとることで制約方程式が得られる

${\displaystyle H=0}$

そして

${\displaystyle P^{i}=0,}$

また、座標系が空間と時間の両方で自由に指定できることを反映して、経過とシフト自体も自由に指定できます。

アプリケーション

量子重力への応用

ADM定式化を用いると、量子力学において与えられたハミルトニアンに対応するシュレーディンガー方程式を構築するのと同じ方法で、重力の量子理論を構築しようとすることが可能である。つまり、正準運動量と空間計量関数を線形関数微分演算子に置き換えるのである。 ${\displaystyle \pi ^{ij}(t,x^{k})}$

${\displaystyle {\hat {g}}_{ij}(t,x^{k})\mapsto g_{ij}(t,x^{k}),}$

${\displaystyle {\hat {\pi }}^{ij}(t,x^{k})\mapsto -i{\frac {\delta }{\delta g_{ij}(t,x^{k})}}.}$

より正確には、古典変数を演算子に置き換えることは交換関係によって制限されます。ハットは量子論における演算子を表します。これはウィーラー・デウィット方程式につながります。

アインシュタイン方程式の数値解への応用

アインシュタイン場の方程式には、比較的少数の正確な解が知られています。他の解を見つけるために、数値相対論と呼ばれる活発な研究分野があり、スーパーコンピュータを用いて方程式の近似解を求めています。このような解を数値的に構築するために、ほとんどの研究者は、ADM定式化に密接に関連するアインシュタイン方程式の定式化から始めます。最も一般的なアプローチは、ADM形式に基づく 初期値問題から始まります。

ハミルトン定式化の基本は、2階方程式の組を別の1階方程式の組に置き換えることです。この2階方程式の組は、ハミルトン定式化によって簡単に得ることができます。もちろん、これは数値物理学において非常に有用です。なぜなら、微分方程式の階数を下げれば、コンピュータ用の方程式を準備する際に便利な場合が多いからです。

ADMエネルギーと質量

ADMエネルギーは、一般相対論におけるエネルギーを定義する特別な方法であり、明確に定義された計量テンソルに無限遠で漸近的に近づく特殊な時空幾何学、例えばミンコフスキー空間に漸近的に近づく時空にのみ適用されます。これらの場合のADMエネルギーは、計量テンソルが所定の漸近形からどれだけずれているかの関数として定義されます。言い換えれば、ADMエネルギーは無限遠における重力場の強度として計算されます。

要求される漸近形が時間非依存（ミンコフスキー空間自体など）である場合、それは時間並進対称性を尊重します。すると、ネーターの定理はADMエネルギーが保存されることを意味します。一般相対性理論によれば、全エネルギーの保存則は、より一般的な時間依存の背景では成立しません。例えば、物理宇宙論では完全に破られています。特に宇宙インフレーションは、真空のエネルギー密度がほぼ一定であるにもかかわらず、宇宙の体積が指数関数的に増加するため、「無」からエネルギー（および質量）を生み出すことができます。

修正重力への応用

2009年にDeruelleらは、ADM分解と追加の補助場を導入することで、 「ラグランジアンがリーマンテンソルの任意の関数である」修正重力理論のギボンズ・ホーキング・ヨーク境界項を見つける方法を発見した。^{[ 6 ]}

参照

• 標準座標
• ハミルトン・ヤコビ・アインシュタイン方程式
• ペレスメトリック
• 形状ダイナミクス
• 移動面の微積分

注記

1. 「ADM-50：現在のGRイノベーションを祝う」 2011年7月20日時点のオリジナルよりアーカイブ。2021年3月25日閲覧。
2. Arnowitt, R.; Deser, S.; Misner, C. (1959). 「一般相対論における動的構造とエネルギーの定義」(PDF) . Physical Review . 116 (5): 1322– 1330. Bibcode : 1959PhRv..116.1322A . doi : 10.1103/PhysRev.116.1322 .
3. Louis Witten (編)『重力：現在の研究への入門』 Wiley:ニューヨーク、1962年、第7章（pp. 227–265）
4. Arnowitt, R.; Deser, S.; Misner, C. (2008). 「一般相対性理論のダイナミクスの再出版」.一般相対性理論と重力. 40 (9): 1997– 2027. arXiv : gr-qc/0405109 . Bibcode : 2008GReGr..40.1997A . doi : 10.1007/s10714-008-0661-1 . S2CID 14054267 . 
5. 論文は以下のとおりです。
   • Arnowitt, R.; Deser, S. (1959). 「重力の量子論：一般的な定式化と線形化理論」（PDF） . Physical Review . 113 (2): 745– 750. Bibcode : 1959PhRv..113..745A . doi : 10.1103/PhysRev.113.745 .
   • Arnowitt, R.; Deser, S.; Misner, C. (1960). 「一般相対論の正準変数」(PDF) . Physical Review . 117 (6): 1595– 1602. Bibcode : 1960PhRv..117.1595A . doi : 10.1103/PhysRev.117.1595 . S2CID  120715041 .
   • Arnowitt, R.; Deser, S.; Misner, C. (1960). 「古典点粒子の有限自己エネルギー」(PDF) . Physical Review Letters . 4 (7): 375– 377. Bibcode : 1960PhRvL...4..375A . doi : 10.1103/PhysRevLett.4.375 .
   • Arnowitt, R.; Deser, S.; Misner, C. (1960). 「一般相対論におけるエネルギーと放射の基準」(PDF) . Physical Review . 118 (4): 1100– 1104. Bibcode : 1960PhRv..118.1100A . doi : 10.1103/PhysRev.118.1100 . S2CID  120947085 .
   • Arnowitt, R.; Deser, S.; Misner, C. (1960). 「重力-電磁結合と古典的自己エネルギー問題」(PDF) . Physical Review . 120 (1): 313– 320. Bibcode : 1960PhRv..120..313A . doi : 10.1103/PhysRev.120.313 . S2CID  122767689 .
   • Arnowitt, R.; Deser, S.; Misner, C. (1960). 「内部シュワルツシルト解とソース項の解釈」(PDF) . Physical Review . 120 (1): 321– 324. Bibcode : 1960PhRv..120..321A . doi : 10.1103/PhysRev.120.321 . S2CID  121420368 .
   • Arnowitt, R.; Deser, S.; Misner, C. (1961). 「一般相対論における波動領域」(PDF) . Physical Review . 121 (5): 1556– 1566. Bibcode : 1961PhRv..121.1556A . doi : 10.1103/PhysRev.121.1556 . S2CID  123381338 .
   • Arnowitt, R.; Deser, S.; Misner, C. (1961). 「一般相対論における座標不変性とエネルギー表現」(PDF) . Physical Review . 122 (3): 997– 1006. Bibcode : 1961PhRv..122..997A . doi : 10.1103/PhysRev.122.997 .
6. Deruelle, Nathalie ; Sasaki, Misao; Sendouda, Yuuiti; Yamauchi, Daisuke (2010). 「f(Riemann)重力理論のハミルトン定式化」. Progress of Theoretical Physics . 123 (1): 169– 185. arXiv : 0908.0679 . Bibcode : 2010PThPh.123..169D . doi : 10.1143/PTP.123.169 . S2CID 118570242 . 

参考文献

• キーファー、クラウス（2007年）『量子重力』オックスフォード大学出版局（ニューヨーク）ISBN 978-0-19-921252-1。