近似

近似値とは、他のものと意図的に類似しているが、完全に同一ではない値のことです。

語源と用法

approximation （近似値）という言葉は、ラテン語のapproximatus （近似値）に由来し、非常に近いという意味のproximusと、 ～という意味の接頭辞ad-（pの前のad-は同化によってap-になる）から成ります。^{[ 1 ]} approximation、 approximation 、approximationといった単語は、特に技術的または科学的な文脈で用いられます。日常英語では、roughly（ほぼ）、around（あたり）といった単語が同様の意味で用いられます。^{[ 2 ]} approximationはしばしばapproximationと略されます。

この用語は、ほぼ正確ではないが正確ではない、類似しているがまったく同じではない（おおよその時刻は 10 時であるなど）さまざまなプロパティ（値、数量、イメージ、説明など）に適用できます。

近似は数値に最もよく適用されますが、数学関数、形状、物理法則などにも頻繁に適用されます。

科学において、近似とは、正しいモデルの使用が困難な場合に、より単純なプロセスやモデルを使用することを指します。近似モデルは計算を容易にするために使用されます。また、情報が不完全であるために正確な表現が使用できない場合にも、近似が使用されることがあります。

使用される近似のタイプは、利用可能な情報、必要な精度の程度、このデータに対する問題の感度、および近似によって達成できる節約（通常は時間と労力）によって異なります。

数学

近似理論は数学の一分野であり、関数解析の定量的な部分です。ディオファントス近似は、有理数による実数の近似を扱います。

近似値は通常、正確な形式や数値が不明であるか、入手が困難な場合に用いられます。しかし、既知の形式が存在し、それが実際の形式を表せる場合があり、大きな偏差は見られません。例えば、1.5 × 10 ^{6 は}、測定対象の真の値が1,500,000の10万倍であることを意味します（つまり、実際の値は1,450,000から1,550,000の間です）。これは、真の値が1,500,000の1000倍であることを意味する1.500 × 10 ⁶という表記とは対照的です（つまり、真の値は1,499,500から1,500,500の間です）。

有効桁数が少ないと、数値の近似値が得られることがあります。計算には、丸め誤差やその他の近似誤差が含まれる可能性があります。対数表、計算尺、電卓は、ごく単純な計算を除いて、概算値を生成します。コンピュータによる計算結果は通常、限られた有効桁数で表される近似値ですが、より正確な結果を生成するようにプログラムすることも可能です。^{[ 3 ]} 10進数を有限の2進数で表現できない場合、近似値が発生する可能性があります。

関数の近似値に関連するものとして、関数の漸近値、つまり関数の1つまたは複数のパラメータが任意の大きさになったときの値が挙げられます。例えば、和⁠ ⁠は漸近的に${\displaystyle k/2+k/4+k/8+\cdots +k/2^{n}}$ kに等しくなります。数学全体で一貫した表記法は使用されておらず、教科書によっては ≈ を「近似的に等しい」、~ を「漸近的に等しい」という意味で使用しているものもあれば、逆の意味で使用しているものもあります。

タイポグラフィ

記号 (≈) の最初の使用例の一つ「ほぼ等しい」 -アルフレッド・グリーンヒル(1892)

近似等号≈ は、 1892年にイギリスの数学者アルフレッド・グリーンヒルが著書『楕円関数の応用』の中で導入した。^{[ 4 ] [ 5 ]}

≅ ≈
ほぼ等しいほぼ等しい
ユニコード ​	U+2245 ≅ほぼ( ≅, ≅ )に等しいU+2248 ≈ほぼ( ≈, ≈, ≈, ≈, ≈, ≈ )
異なる
異なる	U+2242 ≂マイナスチルダ
関連している
参照	U+2249 ≉ほぼ等しくないU+003D =等号U+2243 ≃漸近的に等しい

LaTeX記号

LaTeX記号の一般的な意味。

• ${\displaystyle \approx}$ ( \approx) : とほぼ等しい。${\displaystyle \pi \approx 3.14}$
• ${\displaystyle \not \approx }$ ( \not\approx) : 近似値 ( ) にかかわらず不等式です。${\displaystyle 1\not \approx 2}$
• ${\displaystyle \simeq}$ ( \simeq) : 関数の漸近同値性、同様。 ${\displaystyle f(n)\simeq 3n^{2}}$
  • したがって、広く使用されているにもかかわらず、この定義では は間違っています。${\displaystyle \pi \simeq 3.14}$
• ${\displaystyle \sim}$ ( \sim) : 関数の比例性。で使用されるのはです。${\displaystyle f(n)}$ \simeq${\displaystyle f(n)\sim n^{2}}$
• ${\displaystyle \cong}$ ( \cong) : 図形の合同、 と同様。${\displaystyle \Delta ABC\cong \Delta A'B'C'}$
• ${\displaystyle \eqsim}$ ( \eqsim) : 定数まで等しい。
• ${\displaystyle \lessapprox }$ ( \lessapprox) および( ) : 不等式が成立するか、または等式に近似します。${\displaystyle \gtrapprox }$ \gtrapprox

ユニコード

近似等式は波線または点線の記号で表されます。^{[ 6 ]}

U+223C ∼チルダ演算子	比例性を示す場合もあります。
U+223D ∽逆チルダ	比例性を示す場合もあります。
U+2243 ≃漸近的に等しい	漸近等式を表す "≈" と "=" の組み合わせ。
U+2245 ≅ほぼ等しい	同型性または合同性を表す "≈" と "=" の組み合わせ。
U+2246 ≆ほぼ等しいが実際には等しくない
U+2247 ≇近似的にも実際的にも等しくない
U+2248 ≈ほぼ等しい
U+2249 ≉ほぼ等しくない
U+224A ≊ほぼ等しい	同等性または近似同等性を表す「≈」と「=」の組み合わせ。
U+2250 ≐限界に近づく	yのような変数が限界に近づいていることを表します。例えば、。[ 7 ]${\displaystyle \lim _{x\to \infty }y(x)\doteq 0}$
U+2252 ≒ほぼ等しいかそのイメージ	日本、台湾、韓国では「≈」または「≃」に相当します。
U+2253 ≓またはほぼ等しい	「≒」（U+2252）の逆順変形。
U+225F ≟疑問 等しい
U+2A85 ⪅より小さいか近似している
U+2A86 ⪆より大きいか近似値

科学

科学実験では、近似値は自然に生じます。科学理論の予測値は実際の測定値と異なる場合があります。これは、理論には考慮されていない現実の状況の要因が存在することが原因である可能性があります。例えば、大気中の運動の単純な計算では、空気抵抗の影響が考慮されない場合があります。このような状況では、理論は現実の近似値となります。また、測定技術の限界によって差異が生じる場合もあります。この場合、測定値は実際の値の近似値となります。

科学の歴史は、以前の理論や法則が、より深い法則の近似値となり得ることを示しています。対応原理によれば、新しい科学理論は、古い理論が機能する領域において、古くから確立された理論の結果を再現するはずです。^{[ 8 ]}古い理論は新しい理論の近似値となります。

物理学における問題の中には、直接的な解析では解決できないほど複雑であったり、利用可能な解析ツールによって進展が制限されたりするものがあります。そのため、正確な表現が分かっている場合でも、近似によって十分に正確な解が得られ、問題の複雑さを大幅に軽減できる場合があります。物理学者は、地球の形状をより正確な表現が可能であるにもかかわらず、球体として近似することがよくあります。これは、多くの物理的特性（例えば、重力）が他の形状よりも球体の方が計算がはるかに容易であるためです。

近似法は、恒星を周回する複数の惑星の運動を解析する際にも用いられる。これは、惑星同士の重力相互作用が複雑に絡み合うため、極めて困難である。^{[ 9 ]}近似解は、反復計算を実行することで得られる。最初の反復計算では、惑星の重力相互作用は無視され、恒星は固定されていると仮定される。より正確な解が必要な場合は、最初の反復計算で特定された惑星の位置と運動を用い、各惑星から他の惑星への一次重力相互作用を加えた、別の反復計算を実行する。このプロセスは、十分に正確な解が得られるまで繰り返すことができる。

摂動を用いて誤差を補正することで、より正確な解を得ることができます。惑星や恒星の運動のシミュレーションも、より正確な解をもたらします。

科学哲学の最も一般的なバージョンでは、経験的測定は常に近似値であり、測定対象を完全には表さないことが認められています。

法

欧州連合（EU）において、「近似化」とは、各国の既存の法的枠組みの違いに関わらず、 EU法を加盟国の国内法に組み入れ、実施していくプロセスを指します。近似化は、新規加盟国にとっては加盟前手続きの一環として義務付けられており^{[ 10 ]} 、 EU指令で義務付けられている場合は継続的なプロセスとしても実施されます。「近似化」は指令の名称の中で一般的に用いられるキーワードであり、例えば2015年12月16日の商標指令は「商標に関する加盟国の法律を近似させる」ことを目的としています^{[ 11 ]} 。欧州委員会は、法の近似化を「欧州連合加盟国に特有の義務」と表現しています^{[ 10 ] 。}

参照

• 近似アルゴリズム – 最適化問題の近似解を求めるアルゴリズムのクラス
• 近似計算 – ほぼ正確な結果の計算
• πの近似値 – 円周率を計算するために使用されるさまざまな方法リダイレクト先の簡単な説明を表示するページ
• 二項近似 – いくつかの二項式の累乗の近似
• 合同関係 – 代数における同値関係
• 二重チルダ（曖昧さ回避）  – ~~ または ≈ のさまざまな意味
• 推定 – 近似値を求めるプロセス
• フェルミ問題 – 物理学や工学教育における推定問題
• 理想化（科学哲学）  - 科学的モデルは事実を仮定する
• 最小二乗法 – 統計学における近似法
• 線形近似 – ある点における接線による関数の近似
• ニュートン法 – 関数の零点を求めるアルゴリズム
• 近似の順序 – 近似精度を表す表現
• 粗集合 – 数学的集合の近似
• ルンゲ・クッタ法 – 暗黙的および明示的な反復法のファミリー
• 有効数字 – 測定分解能内の数値の任意の桁。偽の桁とは対照的。
• 小角近似 – 基本的な三角関数の簡略化
• 逐次比較型ADC  – アナログ-デジタルコンバーターの一種
• テイラー級数 – 関数の数学的近似
• 許容関係 – 反射的かつ対称的な数学関係
• 直感 – 意識的な推論なしに知識を獲得する能力

参考文献

1. コンサイス・オックスフォード辞典、第8版、1990年、ISBN 0-19-861243-5
2. ロングマン現代英英辞典、ピアソン・エデュケーション社 2009年、ISBN 978 1 4082 1532 6
3. 「数値計算ガイド」 . 2016年4月6日時点のオリジナルよりアーカイブ。2013年6月16日閲覧。
4. グリーンヒル、アルフレッド・G・サー（1892年）『楕円関数の応用』ロンドン：マクミラン社、340頁。ISBN 978-1163949573。
5. シリング、アン、ナハターゲール、ブルーノ、ランカム、イザヤ（2016年1月）。「13.3：一般的な数学記号と略語」。抽象数学入門としての線形代数。カリフォルニア大学デービス校：LibreTexts。doi：10.1142/ 9808。ISBN 978-981-4723-79-4。
6. 「数学演算子 – Unicode」（PDF） . 2013年4月20日閲覧。
7. D & D 標準石油・ガス略語. ペンウェル. 2006年. p. 366. ISBN 9781593701086. 2020年5月21日閲覧。≐限界に近づく
8. 対応原理–ブリタニカ百科事典
9. 三体問題
10. 欧州委員会、「欧州連合の環境法の近似に関するガイド」、最終更新日2019年8月2日、アクセス日2022年11月15日
11. EUR-Lex、 2015年12月16日の欧州議会および理事会の指令（EU）2015/2436、商標に関する加盟国の法律を近似させる（改正）（EEA関連のテキスト）、2015年12月23日公開、2022年11月15日アクセス

外部リンク

• ウィキメディア・コモンズの近似値に関するメディア