フォン・ノイマン正則環

数学 において、フォン・ノイマン正則環（フォン・ノイマンせいそくかん）とは、環R（結合的、1 を満たすが、必ずしも可換ではない）において、Rの任意の元aに対し、 a = axa を満たすRの元x が存在する環のことである。xは元aの「弱逆」と考えることができる。一般に、x はaによって一意に定まるわけではない。フォン・ノイマン正則環は、すべての左R加群が平坦であるという特徴を持つため、絶対平坦環とも呼ばれる。

フォン・ノイマン正則環は、フォン・ノイマン代数と連続幾何学の研究の過程で、フォン・ノイマン ( 1936 ) によって「正則環」という名前で導入されました。フォン・ノイマン正則環は、可換代数の無関係な正則環や正則局所環と混同すべきではありません。

環の元a がフォン・ノイマン正則元と呼ばれるのは、 a = axaとなるx が存在するときである。^{[ 1 ]} 環の元a がフォン・ノイマン正則元と呼ばれるのは、 の任意の元aに対しての元x が存在して、 a = axaとなるときである。^{[ 2 ]}${\displaystyle {\mathfrak {i}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {i}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {i}}}$

例

あらゆる体（およびあらゆる歪体）はフォン・ノイマン正則である。a ≠ 0 に対してx = a −1と^することができる。^{[ 1 ]} 整域がフォン・ノイマン正則であるための必要十分条件は、それが体である場合である。フォン・ノイマン正則環のすべての直積もまたフォン・ノイマン正則である。

フォン・ノイマン正則環のもう一つの重要な例として、ある体Kからの要素を持つn行n列の正方行列の環M _n ( K )が挙げられる。rをA ∈ M _n ( K )の階数とすると、ガウスの消去法によって 逆行列UとVが得られ、

${\displaystyle A=U{\begin{pmatrix}I_{r}&0\\0&0\end{pmatrix}}V}$

（ここでI _rはr行r列の単位行列である） 。X = V ⁻¹ U ⁻¹とおくと、

${\displaystyle AXA=U{\begin{pmatrix}I_{r}&0\\0&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}I_{r}&0\\0&0\end{pmatrix}}V=U{\begin{pmatrix}I_{r}&0\\0&0\end{pmatrix}}V=A.}$

より一般的には、任意のフォン・ノイマン正則環上のn × n行列環もまたフォン・ノイマン正則である。 ^{[ 1 ]}

V が体（または歪体）K上のベクトル空間である場合、たとえVが有限次元でなくても、自己準同型環End _K ( V ) はフォン・ノイマン正則である。 ^{[ 3 ]}

上記の例を一般化して、Sが何らかの環であり、MがS -加群であって、 Mのすべての部分加群がMの直和となるようなものとしよう（このような加群Mは半単純 と呼ばれる）。このとき、自己準同型環End _S ( M ) はフォン・ノイマン正則である。特に、すべての半単純環はフォン・ノイマン正則である。実際、半単純環はまさにノイマン・フォン・ノイマン正則環である。

有限フォン・ノイマン代数の関連演算子の環はフォン・ノイマン正則です。

ブール環とは、すべての元がa ² = aを満たす環である。すべてのブール環はフォン・ノイマン正則である。

事実

次のステートメントは、環Rに対して同等です。

• Rはフォン・ノイマン正則である
• すべての主左イデアルは冪等元によって生成される
• すべての有限生成左イデアルは冪等な
• すべての主左イデアルは左R加群Rの直和項である
• 有限生成左イデアルはすべて左R加群Rの直和項である。
• 射影左R加群Pの有限生成部分加群はすべてPの直和項である。
• すべての左R加群は平坦である。これはRが絶対平坦であること、あるいはRが弱次元0を持つこととしても知られている。
• 左R加群のすべての短完全列は純粋完全列である。

右モジュールの対応するステートメントも、Rがフォン ノイマン正則であることと同等です。

すべてのフォン・ノイマン正則環はヤコブソン根基{0} を持ち、したがって半原始的です（「ヤコブソン半単純」とも呼ばれます）。

可換なフォン・ノイマン正則環では、各要素xに対して、 xyx = xかつyxy = yとなる一意の要素yが存在するため、 xの「弱逆元」を選択する標準的な方法があります。

可換環Rに対して、次のステートメントは同値です。

• Rはフォン・ノイマン正規です。
• RはKrull 次元0を持ち、簡約されます。
• 最大イデアルにおけるRのすべての局所化は体である。
• Rは、 x ∈ Rの「弱逆」 （ xyx = xかつyxy = yとなる唯一の元y）をとる閉じた体の積の部分環です。
• RはVリングである。^{[ 4 ]}
• Rはt↦ ( t ,0)によって決定される環準同型Z [ t ]→ Z [ t ^± ]× Zに対して右持ち上げ特性を持ち、幾何学的に言えば、すべての正則関数はスキームの射影を通して因数分解される。^{[ 5 ]}${\textstyle \mathrm {Spec} (R)\to \mathbb {A} ^{1}}$ ${\displaystyle \{0\}\sqcup \mathbb {G} _{m}\to \mathbb {A} ^{1}}$

また、以下のものは同値である。可換環Aに対して

• R = A / nil( A )はフォン・ノイマン正則です。
• Aのスペクトルはハウスドルフ（ザリスキー位相幾何学）である。
• Spec( A )の構成可能位相とザリスキー位相は一致する。

一般化と専門化

フォン ノイマン正則環の特殊なタイプには、単位正則環と強フォン ノイマン正則環および階数環が含まれます。

環Rが単位正則であるとは、 Rの任意のaに対して、 a = aua を満たす単位u がRに存在し、かつa = aua を満たすことを言う。任意の半単純環は単位正則であり、単位正則環は直接有限環である。通常のフォン・ノイマン正則環は必ずしも直接有限である必要はない。

環Rが強くフォン・ノイマン正則であるとは、Rの任意のaに対して、 a = aaxとなるようなx がRに存在することを意味する。この条件は左右対称である。強くフォン・ノイマン正則環は単位正則である。すべての強くフォン・ノイマン正則環は、分環の直積である。ある意味では、これは体の部分直積である可換フォン・ノイマン正則環の性質をよりよく模倣している。可換環の場合、フォン・ノイマン正則環と強くフォン・ノイマン正則環は同値である。一般に、環Rについて以下は同値である。

• Rは強くフォン・ノイマン正則である
• Rはフォン・ノイマン正則縮約である
• Rはフォン・ノイマン正則であり、Rのすべてのべき等元は中心的である。
• Rの全ての主左イデアルは中心冪等元によって生成される

フォン・ノイマン正則環の一般化には、 π正則環、左/右半遺伝環、左/右非特異環、半原始環が含まれます。

参照

• 正規半群
• 弱逆関数

注記

1. カプランスキー 1972、p. 110
2. カプランスキー 1972、112ページ
3. スコルニャコフ 2001
4. ミヒラー＆ビジャマヨール 1973
5. ブルクランド、シュランク、ユアン 2022

参考文献

• バークランド、ロバート。シュランク、トマー M.ユアン、アレン (2022-07-20)、「The Chromatic Nullstellensatz」、p. 50、arXiv : 2207.09929 [ math.AT ]
• カプランスキー、アーヴィング（1972）、フィールドとリング、シカゴ数学講義（第2版）、シカゴ大学出版局、ISBN 0-226-42451-0、Zbl  1001.16500
• ミヒラー, GO; ヴィラマヨール, OE (1973年4月)、「単純加群が単射である環について」、代数ジャーナル、25 (1): 185– 201、doi : 10.1016/0021-8693(73)90088-4、hdl : 20.500.12110/paper_00218693_v25_n1_p185_ミヒラー
• Skornyakov, LA (2001) [1994]、「正則環（フォン・ノイマンの意味で）」、数学百科事典、EMSプレス
• フォン・ノイマン, ジョン(1936), 「正則環について」, Proc. Natl. Acad. Sci. USA , 22 (12): 707– 713, Bibcode : 1936PNAS...22..707V , doi : 10.1073/pnas.22.12.707 , JFM  62.1103.03 , PMC  1076849 , PMID  16577757 , Zbl  0015.38802

さらに読む

• Goodearl, KR (1991), von Neumann regular rings (2 ed.), Malabar, FL: Robert E. Krieger Publishing Co. Inc., pp. xviii+412, ISBN 0-89464-632-X、MR  1150975、Zbl  0749.16001
• フォン・ノイマン、ジョン（1960）、連続幾何学、プリンストン大学出版局、Zbl  0171.28003