代数拡大

抽象代数において、代数拡大は群拡大の環理論的同等物です

正確には、アーベル群Iによる環Rの環拡大は、環Eとアーベル群の 短完全列に適合する環準同型からなるペア（E、 ）である。ϕ{\displaystyle \phi}ϕ{\displaystyle \phi}

0→私→E→ϕR→0.{\displaystyle 0\to I\to E{\overset {\phi}{{}\to {}}}R\to 0.}[ 1 ]

これにより、I はEの両側イデアル と同型になります。

可換環Aが与えられた場合、A拡大またはA代数の拡大は、「環」を「 A上の代数」に、「アーベル群」を「A加群」に置き換えることによって同様に定義されます。

拡大が分裂する場合、それは自明である、または分裂すると言われる。つまり、拡大は環準同型[ 2 ]である切断を許容する( § 例: 自明な拡大 を参照)。 ϕ{\displaystyle \phi}ϕ{\displaystyle \phi}

RのIによる拡大（例えばA上）間の射は、代数準同型E → E 'であり、これはIとR上の恒等写像を誘導する。五つの補題により、そのような射は必然的に同型であり、したがって、二つの拡大の間に射が存在する場合、それらは同値である。

自明な拡張例

Rを可換環、MをR加群とする。E = R ⊕ Mをアーベル群の直和とする。E上の乗法を次のように 定義する

（あ、×）⋅（b、y）＝（あb、あy＋b×）。{\displaystyle (a,x)\cdot (b,y)=(ab,ay+bx).}

( a , x ) をa + εx（ただし ε は 0 の二乗）と同一視し、( a + εx )( b + εy ) を展開すると、上式が得られる。特に、Eは環であることが分かる。これは双対数代数と呼ばれることもある。あるいは、E は次のように定義される。ここではMの対称代数である。[ 3 ]このとき、短完全列 シン⁡（M）/⨁n≥2シンn⁡（M）{\displaystyle \operatorname {Sym} (M)/\bigoplus _{n\geq 2}\operatorname {Sym} ^{n}(M)}シン⁡（M）{\displaystyle \operatorname {Sym} (M)}

0→M→E→pR→0{\displaystyle 0\to M\to E{\overset {p}{{}\to {}}}R\to 0}

ここでpは射影である。したがって、EはMによるRの拡大である。 は切断なので自明である（ はEの乗法単位元なので、この切断は環準同型であることに注意）。逆に、 IによるRの任意の自明な拡大Eはならばと同型である。実際、切断を用いてEの部分環と同一視すると、 を介して が成り立つ。[ 1 ]r↦（r、0）{\displaystyle r\mapsto (r,0)}（1、0）{\displaystyle (1,0)}R⊕私{\displaystyle R\oplus I}私2＝0{\displaystyle I^{2}=0}R{\displaystyle R}（E、ϕ）≃（R⊕私、p）{\displaystyle (E,\phi )\simeq (R\oplus I,p)}e↦（ϕ（e）、e−ϕ（e））{\displaystyle e\mapsto (\phi (e),e-\phi (e))}

この構成の興味深い特徴の一つは、加群Mが何らかの新しい環のイデアルとなることである。永田は著書『局所環論』の中で、この過程をイデアル化の原理と呼んでいる。[ 4 ]

ゼロ平方拡張

特に変形理論においては、環R（可換環か否かに関わらず）の平方が零であるイデアルによる拡大を考えることが一般的である。このような拡大は平方零拡大、平方拡大、あるいは単に拡大と呼ばれる。平方零イデアルIの場合、 I は自身の左消滅子と右消滅子に含まれるため、 Iは-双加群となる。 R/私{\displaystyle R/I}

より一般的には、冪零イデアルによる拡大は冪零拡大と呼ばれる。例えば、ネーター可換環の冪根基による商は冪零拡大である。 R→Rred{\displaystyle R\to R_{\mathrm {red} }}

一般に、

0→私n/私n−1→R/私n−1→R/私n→0{\displaystyle 0\to I^{n}/I^{n-1}\to R/I^{n-1}\to R/I^{n}\to 0}

は平方零拡大です。したがって、冪零拡大は連続する平方零拡大に分解されます。このため、冪零拡大を理解するには、通常は平方零拡大を研究するだけで十分です

参照

参考文献

  1. ^ a b Sernesi 2007 , 1.1.1
  2. ^典型的な文献では、1 が保存されるかどうかは詳しく述べずに、切断が準同型であることを要求しています。しかし、 R をEの部分環として識別できる必要があるため（自明な拡大の例を参照）、1 は保存される必要があるようです。
  3. ^ Anderson, DD; Winders, M. (2009年3月). 「モジュールの理想化」 . Journal of Commutative Algebra . 1 (1): 3– 56. doi : 10.1216/JCA-2009-1-1-3 . ISSN  1939-2346 . S2CID  120720674 .
  4. ^永田正義(1962) 「局所環」インターサイエンス純粋応用数学論集 第13巻 ニューヨーク・ロンドン：インターサイエンス出版社 ジョン・ワイリー・アンド・サンズの一部門ISBN 0-88275-228-6、MR  0155856{{citation}}：ISBN / 日付の非互換性（ヘルプ）

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