結合代数

数学において、可換環（多くの場合、体）K上の結合代数Aは、環Aと、 KからAの中心への環準同型性を組み合わせたものである。したがって、これは加算、乗算、スカラー乗算（ Kの元の環準同型の像による乗算）を含む代数構造である。加算と乗算の演算により、A は環の構造になり、加算とスカラー乗算の演算により、A はK上のモジュールまたはベクトル空間の構造になる。この記事では、 K上の結合代数の意味で K 代数という用語も使用する。 K代数の標準的な最初の例は、通常の行列乗算を含む、可換環K上の正方行列の環である。

可換代数は、乗算が可換である結合代数、またはそれと同等に、可換環でもある結合代数です。

本稿では、結合代数は乗法単位元（1と表記）を持つと仮定する。明確化のため、結合代数は単位結合代数と呼ばれることもある。数学の一部の分野ではこの仮定は用いられず、そのような構造を非単位結合代数と呼ぶ。また、すべての環は単位環であり、すべての環準同型は単位環であると仮定する。

すべての環はその中心と整数上の結合代数です。

意味

R を可換環とする（したがってRは体になり得る）。結合的R代数A（またはより簡潔にR代数A）とは、環AがR加群でもあり、2つの加法（環の加法と加群の加法）が同じ演算であり、スカラー乗法が次式を満たすようなものである。

r\cdot (xy)=(r\cdot x)y=x(r\cdot y)

Rのすべてのrと代数のすべてのx、yに対して成り立ちます。(この定義は、環は乗法単位元を持つはずなので、環である代数は単位元であることを意味します。)

同様に、結合代数Aは環であり、RからAの中心への環準同型を持つ。fがそのような準同型ならば、スカラー倍は( r , x ) ↦ f ( r ) xとなる（ここでの乗算は環乗算である）。スカラー倍が与えられれば、環準同型はr ↦ r ⋅ 1 _Aとなる。（以下の§ 環準同型からも参照）。

すべての環は結合的なZ代数であり、ここでZ は整数の環を表します。

あ可換代数は、可換環でもある結合代数です。

モジュールのカテゴリにおけるモノイドオブジェクトとして

この定義は、単位結合的R -代数がR -Mod（R -加群のモノイド圏）におけるモノイド対象であると言うことと同義である。定義により、環はアーベル群の圏におけるモノイド対象である。したがって、結合的代数の概念は、アーベル群の圏を加群の圏に置き換えることによって得られる。

この考えをさらに推し進め、ある著者は、加群の圏のように振舞う別の圏におけるモノイド対象として「一般化環」を導入した。実際、この再解釈により、代数Aの元を明示的に参照する必要がなくなる。例えば、結合性は次のように表現できる。加群のテンソル積の普遍性により、乗法（R -双線型写像）は、唯一のR -線型写像に対応する。

m:A\otimes _{R}A\to A

。

結合法則は、次の恒等式を指します。

m\circ ({\operatorname {id} }\otimes m)=m\circ (m\otimes \operatorname {id} ).

環準同型から

結合的代数は、その像が中心にある環準同型である。実際、環Aと、その像がAの中心にある環準同型η : R → Aから始めて、定義することで AをR代数にすることができる。

r\cdot x=\eta (r)x

すべてのr ∈ Rおよびx ∈ Aに対して成り立つ。A が R 代数で x = 1 をとる場合、同じ式は、その像が中心に位置する環準同型η : R → Aを定義する。

環が可換であれば、それはその中心に等しいので、可換R代数は、可換環Aと可換環準同型η : R → Aの組み合わせとして単純に定義できます。

上記に現れる環準同型η は、しばしば構造写像と呼ばれる。可換なケースでは、固定されたRに対する環準同型R → A、すなわち可換R代数を対象とし、その射がRのもとでの環準同型A → A ′であるようなカテゴリを考えることができる。すなわち、R → A → A ′はR → A ′である（すなわち、Rのもとでの可換環のカテゴリのコスライスカテゴリ）。素スペクトル関数 Spec は、このカテゴリとSpec R上のアフィンスキームのカテゴリとの反同値性を決定する。

可換性仮定をいかに弱めるかは、非可換代数幾何学、そしてより最近では導来代数幾何学の主題である。一般行列環も参照。

代数準同型

二つのR代数間の準同型はR 線型環準同型である。明示的に、φ : A1 → A2_が結合代数準同型であるのは _、

{\begin{aligned}\varphi (r\cdot x)&=r\cdot \varphi (x)\\\varphi (x+y)&=\varphi (x)+\varphi (y)\\\varphi (xy)&=\varphi (x)\varphi (y)\\\varphi (1)&=1\end{aligned}}

すべてのR代数のクラスとそれらの間の代数準同型はカテゴリを形成し、R -Algと表記されることもあります。

可換R代数のサブカテゴリは、コスライスカテゴリR / CRingとして特徴付けることができます。ここで、CRing は可換環のカテゴリです。

例

最も基本的な例は環自体である。環は、その中心、あるいは中心にある任意の部分環上の代数である。特に、任意の可換環は、その任意の部分環上の代数である。代数学のみならず、他の数学の分野にも、他にも多くの例がある。

代数

任意の環AはZ -代数とみなせる。ZからAへの環準同型は、Aの単位元に 1 を送らなければならないという事実によって一意に決定される。したがって、環とZ -代数は、アーベル群とZ -加群が同値であるのと同様に、同値の概念である。
同様に、特性nの任意の環は( Z / n Z )-代数である。
R加群Mが与えられたとき、Mの自己準同型環End _R ( M ) は、 ( r · φ )( x ) = r · φ ( x )と定義することによりR代数になります。
可換環Rに係数を持つ任意の行列環は、行列の加法と乗法に関してR -代数を形成する。これは、 M が有限生成自由R -加群である場合の前の例と一致する。
- 特に、体Kからの要素を持つn行n列の正方行列は、 K上の結合代数を形成します。
複素数は実数上の 2 次元可換代数を形成します。
四元数は、実数上の 4 次元結合代数を形成します (ただし、複素数は四元数の中心にないため、複素数上の代数ではありません)。
任意の多項式環R [ x ₁ , ..., x _n ]は可換R -代数である。実際、これは集合{ x ₁ , ..., x _n }上の自由可換R -代数である。
集合E上の自由R 代数は、Rの係数と集合Eから取られた非可換な不定値を持つ「多項式」の代数です。
R加群のテンソル代数は、当然結合的なR加群である。外積代数や対称代数などの商についても同様のことが言える。圏論的に言えば、R加群をそのテンソル代数に写す関数は、 R加群をその基となるR加群に写す関数の左随伴関数である（乗法構造は考慮しない）。
可換環R上の加群Mが与えられたとき、 Mが無限小元から成ると考えることで、加群R ⊕ Mの直和はR代数の構造を持つ。すなわち、乗算は( a + x )( b + y ) = ab + ay + bxと与えられる。この概念は双対数代数と呼ばれることもある。
クンツとクィレンによって導入された準自由代数は、代数的に閉じた体上の自由代数と半単純代数の一種の一般化です。

表現論

リー代数の普遍包絡代数は、与えられたリー代数を研究するために使用できる結合代数です。
Gが群であり、Rが可換環であるとき、 GからRへの有限台関数全体の成す集合は、畳み込みを乗算とするR -代数を形成する。これはGの群代数と呼ばれる。この構成は、（離散）群の研究への応用の出発点となる。
G が代数群（例えば半単純複素リー群）である場合、 Gの座標環はGに対応するホップ代数Aである。Gの多くの構造はAの構造に変換される。
有向グラフのクィーバー代数（またはパス代数）は、グラフ内のパスによって生成される体上の自由結合代数です。

分析

任意のバナッハ空間Xが与えられたとき、連続線型演算子A : X → Xは結合代数を形成します（演算子の合成を乗算として使用します）。これがバナッハ代数です。
任意の位相空間Xが与えられると、 X上の連続した実数値または複素数値関数は実数または複素数の結合代数を形成します。ここで、関数は点ごとに加算および乗算されます。
フィルタリングされた確率空間(Ω, F , ( F _t ) _t_≥0 , P)上で定義されたセミマルチンゲールの集合は、確率積分の下で環を形成します。
ワイル代数
東谷代数

幾何学と組合せ論

幾何学や物理学で役立つクリフォード代数。
局所有限半順序集合の接続代数は、組合せ論で考慮される結合代数です。
分割代数とその部分代数。これにはBrauer 代数とTemperley-Lieb 代数が含まれます。
微分次数代数は、次数と微分を併せ持つ結合代数です。例えば、多様体M上の微分p形式からなるド・ラーム代数は、微分次数代数です。 ${\textstyle \Omega (M)=\bigoplus _{p=0}^{n}\Omega ^{p}(M)}$ ${\textstyle \Omega ^{p}(M)}$

数理物理学

ポアソン代数は、リー代数の構造を伴った体上の可換結合代数であり、リー括弧 {,} はライプニッツ則を満たします。つまり、{ fg , h } = f { g , h } + g { f , h }です。
ポアソン代数が与えられたとき、上の形式的冪級数のベクトル空間を考える。がの乗法を伴う結合代数の構造を持ち、に対して、 ${\mathfrak {a}}$ ${\mathfrak {a}}[\![u]\!]$ ${\mathfrak {a}}$ ${\mathfrak {a}}[\![u]\!]$ $*$ $f,g\in {\mathfrak {a}}$
$f*g=fg-{\frac {1}{2}}\{f,g\}u+\cdots ,$

はの変形量子化と呼ばれます。

{\mathfrak {a}}[\![u]\!]

{\mathfrak {a}}

量子化された包絡代数。このような代数の双対は結合代数（ § 結合代数の双対を参照）となり、哲学的に言えば、量子群の（量子化された）座標環となる。
ゲルステンハーバー代数

建設

部分代数: R代数Aの部分代数は、 Aの部分集合であり、かつAの部分環かつ部分加群でもある。つまり、加法、環乗法、スカラー乗法に関して閉じており、かつAの単位元を含んでいなければならない。
商代数: A をR代数とする。Aの任意の環論的イデアルIは、 r · x = ( r 1 _A ) xより、自動的にR加群となる。これにより、商環A / IはR加群の構造、ひいてはR代数の構造を持つ。したがって、Aの任意の環準同型像もまたR代数となる。
直接製品: R代数の族の直積は環論的直積である。これは明らかなスカラー乗法を持つR代数となる。
無料製品: 群の自由積と同様の方法で、R-代数の自由積を形成することができる。自由積は、 R-代数の圏における余積である。
テンソル積: 2つのR-代数のテンソル積も、自然な形でR-代数となる。詳しくは代数のテンソル積を参照のこと。可換環Rと任意の環Aが与えられたとき、テンソル積R⊗ZA はr ·( s⊗a ) =( rs⊗a )と定義することでR-代数の構造を持つことができる。A_を R⊗ZAへ送る関数は、R-_代数をその基となる環へ送る関数の左随伴関数である（加群構造は考慮しない）。環の変換も参照のこと。
自由代数: 自由代数とは、記号によって生成される代数です。交換法則、すなわち交換子による商を課すと、多項式代数が得られます。

結合代数の双対

A を可換環R上の結合代数とする。Aは特に加群なので、Aの双対加群A ^*をとることができる。先験的には、双対A ^*は結合代数の構造を持つ必要はない。しかし、A が追加の構造（つまりホップ代数の構造）を持つ場合、双対も結合代数となる。

例えば、Aをコンパクト群G上の連続関数環とします。すると、Aは結合代数であるだけでなく、共乗法Δ( f )( g , h ) = f ( gh )と共単位法ε ( f ) = f (1)も伴います。^{[ 1 ]}ここで「共」とは、代数公理における通常の乗法と共単位法の双対を満たすことを意味します。したがって、双対A ^{*は結合代数です。共乗法と共単位法は、結合代数の表現のテンソル積を形成する上でも重要です（以下の}「表現」の項を参照）。

包絡代数

可換環R上の結合代数Aが与えられたとき、Aの包絡代数A ^eは代数A ⊗ _R A ^opまたはA ^op ⊗ _R Aである（著者によって異なる）。^[²^]

A上の双加群はまさにA ^e上の左加群であることに注意してください。

分離可能な代数

A を可換環R上の代数とする。すると、代数Aは、作用x ⋅ ( a ⊗ b ) = axb を伴うA ^e := A ^op ⊗ _R A上の右^{[ a ]}加群となる。すると、定義により、乗法写像A ⊗ _R A → A : x ⊗ y ↦ xyがA ^e -線型写像^[³^]に分解するとき、 Aは分離可能という。ここでA ⊗ Aは、 ( x ⊗ y ) ⋅ ( a ⊗ b ) = ax ⊗ ybによりA ^e -加群となる。同様に、^[^b^] AがA ^e上の射影加群である場合、 A は分離可能である。したがって、AのA ^e -射影次元は、Aの二次元とも呼ばれ、分離不可能性の尺度となる。

有限次元代数

A を体k上の有限次元代数とする。このときAはアルティン環である。

可換ケース

Aはアルティン体なので、可換ならば、アルティン局所環の有限積であり、その剰余体は基底体k上の代数である。ここで、被約アルティン局所環は体であり、したがって以下の式は同値である^{[ 4 ]}

$A$ 分離可能です。
$A\otimes {\overline {k}}$ は簡約され、ここではkの何らかの代数的閉包である。 ${\overline {k}}$
$A\otimes {\overline {k}}={\overline {k}}^{n}$ あるnに対して。
$\dim _{k}A$ は -代数準同型写像の数です。 $k$ $A\to {\overline {k}}$

kの有限ガロア拡大のprofinite 群をとする。するとは、有限次元可分k -代数のカテゴリと、連続 -作用を持つ有限集合のカテゴリとの反同値となる。^[⁵^] $\Gamma =\operatorname {Gal} (k_{s}/k)=\varprojlim \operatorname {Gal} (k'/k)$ $A\mapsto X_{A}=\{k{\text{-algebra homomorphisms }}A\to k_{s}\}$ $\Gamma$

非可換な場合

単純アルティン環は分環上の（完全）行列環であるため、Aが単純代数ならば、Aはk上の分環D上の（完全）行列代数となる。すなわち、A = M _n ( D )。より一般的には、Aが半単純代数ならば、それは（様々な分環k上の）行列代数の有限積となる。この事実はアルティン・ウェダーバーン定理として知られている。

Aがアルティン環であるという事実は、ヤコブソン根基の概念を簡素化します。アルティン環の場合、Aのヤコブソン根基は、すべての（両側）極大イデアルの交差です（対照的に、一般に、ヤコブソン根基は、すべての左極大イデアルの交差、またはすべての右極大イデアルの交差です）。

ウェダーバーンの主定理は次のように述べている: ^{[ 6 ]}有限次元代数Aとべき零イデアルIに対して、包絡代数( A / I ) ^e上の加群としてのA / Iの射影次元が高々1であれば、自然射影p : A → A / I は分裂する。つまり、Aは部分代数Bを含み、 p | _B : B〜→A / Iは同型である。I をヤコブソン根号とすると、この定理は特に、ヤコブソン根号が半単純代数によって補集合化されることを述べている。この定理は、リー代数に対するレヴィの定理の類似である。

格子と秩序

R を分数体K（例えばZ , Q ）を持つノイザン整域とする。有限次元Kベクトル空間Vの格子Lは、 Vを張るVの有限生成R部分加群である。言い換えれば、L ⊗ _R K = Vである。

A _Kを有限次元K -代数とする。A _Kの位数はR -部分代数であり、格子となる。一般に、位数は格子の数よりもはるかに少ない。例えば、⁠1/2⁠ ZはQの格子であるが順序ではない（代数ではないため）。^{[ 7 ]}

最大順序とは、すべての順序の中で最大の順序です。

表現

代数Aの表現は、 Aから何らかのベクトル空間（または加群）Vの自己準同型代数への代数準同型ρ : A → End( V )である。 ρが代数準同型であるという性質は、 ρ が乗法演算を保存すること（つまり、Aのすべてのxとyについてρ ( xy ) = ρ ( x ) ρ ( y )が成立すること）と、ρ がAの単位元を End( V )の単位元（つまり、Vの恒等自己準同型）に送ることを意味する。

AとB が2 つの代数であり、ρ : A → End( V )とτ : B → End( W )が 2 つの表現である場合、ベクトル空間V ⊗ W上のテンソル積代数 A ⊗ B の(標準的な) 表現A ⊗ B → End( V ⊗ W )が存在する。しかし、何らかの追加条件を課すことなしに、結果が同じ代数の表現 (それ自身とのテンソル積ではない) となるような方法で、単一の結合代数の 2 つの表現のテンソル積を定義する自然な方法はない。ここで、表現のテンソル積によって、通常の意味が意図されている。つまり、結果は積ベクトル空間上の同じ代数の線型表現であるべきである。このような追加の構造を課すことは、通常、以下に示すように、ホップ代数またはリー代数の概念につながる。

ホップ代数の動機

例えば、2つの表現σ : A → End( V )とτ : A → End( W )を考えてみましょう。積ベクトル空間への作用に応じて、テンソル積表現ρ : x ↦ σ ( x ) ⊗ τ ( x )を形成しようとすると、

\rho (x)(v\otimes w)=(\sigma (x)(v))\otimes (\tau (x)(w)).

しかし、そのような地図は線形ではない。

\rho (kx)=\sigma (kx)\otimes \tau (kx)=k\sigma (x)\otimes k\tau (x)=k^{2}(\sigma (x)\otimes \tau (x))=k^{2}\rho (x)

k ∈ Kに対してである。この試みを救い、線形性を回復するには、代数準同型Δ : A → A ⊗ Aを定義し、テンソル積表現を次のように定義することで、追加の構造を課すことができる。

\rho =(\sigma \otimes \tau )\circ \Delta .

このような準同型 Δ は、特定の公理を満たす場合、共乗法と呼ばれます。結果として得られる構造は双代数と呼ばれます。結合代数の定義と整合するために、余代数は共結合的でなければならず、代数がユニタルである場合、余代数も共ユニタルでなければなりません。ホップ代数は、追加の構造（いわゆる対掌体）を持つ双代数であり、これにより、2つの表現のテンソル積だけでなく、2つの表現のホム加群も定義できます（これも、群の表現論で行われる方法と同様です）。

リー代数の動機

テンソル積をより巧妙に定義してみることもできる。例えば、

x\mapsto \rho (x)=\sigma (x)\otimes {\mbox{Id}}_{W}+{\mbox{Id}}_{V}\otimes \tau (x)

テンソル積空間への作用は次のように与えられる。

\rho (x)(v\otimes w)=(\sigma (x)v)\otimes w+v\otimes (\tau (x)w)

。

この写像は明らかにxに関して線型なので、前述の定義の問題は生じません。しかし、乗法は保存されません。

\rho (xy)=\sigma (x)\sigma (y)\otimes {\mbox{Id}}_{W}+{\mbox{Id}}_{V}\otimes \tau (x)\tau (y)

。

しかし、一般的には、これは

\rho (x)\rho (y)=\sigma (x)\sigma (y)\otimes {\mbox{Id}}_{W}+\sigma (x)\otimes \tau (y)+\sigma (y)\otimes \tau (x)+{\mbox{Id}}_{V}\otimes \tau (x)\tau (y)

。

これは、テンソル積のこの定義があまりにも単純すぎることを示しています。明らかな修正は、中間の2つの項が打ち消されるように反対称的に定義することです。これはリー代数の概念につながります。

非ユニタル代数

一部の著者は、必ずしも乗法単位元を持たない構造を指すために「結合代数」という用語を使用し、したがって必ずしも単位元ではない準同型を考慮します。

非ユニタル結合代数の一例としては、x が無限大に近づくにつれて極限が 0 になるすべての関数f : R → Rの集合が挙げられます。

もう1つの例は、連続周期関数のベクトル空間と畳み込み積です。

参照

注記

^編集者注: 結局のところ、興味深いケースではA ^eは完全な行列環であり、行列を右から作用させるのがより一般的です。
^同値性を確認するには、 A ⊗ _R A → Aの切断線を使用して全射の切断線を作成できることに注意してください。

引用

^ Tjin 1992、例1
^ Vale 2009、定義3.1
^コーン 2003、§4.7
^ウォーターハウス 1979、§ 6.2
^ウォーターハウス 1979、§ 6.3
^ Cohn 2003、定理4.7.5
^アルティン 1999、第IV章、§1

参考文献

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ブルバキ、N. (1989)。代数 I。スプリンガー。ISBN 3-540-64243-9。
コーン, PM (2003). Further Algebra and Applications (第2版). Springer. ISBN 1852336676. Zbl 1006.00001 .
ジェイコブソン、ネイサン (1956).環の構造. コロキウム出版. 第37巻. アメリカ数学会. ISBN 978-0-8218-1037-8。{{citation}}: ISBN / Date incompatibility (help)
ショー、ジェームズ・バーニー（1907年）『線形結合代数の概要』コーネル大学歴史数学モノグラフ。
ストリート、ロス (1998).量子群：現代代数学への入り口. 2005年8月25日時点のオリジナルよりアーカイブ. 2017年7月10日閲覧.インデックスフリー表記法の概要。
Tjin, T. (1992年10月10日). 「量子化リー群と量子代数入門」. International Journal of Modern Physics A. 07 ( 25): 6175–6213 . arXiv : hep-th/9111043 . Bibcode : 1992IJMPA...7.6175T . doi : 10.1142/S0217751X92002805 . ISSN 0217-751X . S2CID 119087306 .
Vale, R. (2009). 「準自由代数に関するノート」(PDF) .
ウォーターハウス、ウィリアム(1979).アフィン群スキーム入門. 大学院数学テキスト. 第66巻. ベルリン、ニューヨーク: Springer-Verlag . doi : 10.1007/978-1-4612-6217-6 . ISBN 978-0-387-90421-4. MR 0547117 .

[3] 編集者注: 結局のところ、興味深いケースではA ^eは完全な行列環であり、行列を右から作用させるのがより一般的です。

[5] 同値性を確認するには、 A ⊗ _R A → Aの切断線を使用して全射の切断線を作成できることに注意してください。

[FOOTNOTETjin1992Example_1-1] Tjin 1992、例1

[FOOTNOTEVale2009Definition_3.1-2] Vale 2009、定義3.1

[FOOTNOTECohn2003§_4.7-4] コーン 2003、§4.7

[FOOTNOTEWaterhouse1979§_6.2-6] ウォーターハウス 1979、§ 6.2

[FOOTNOTEWaterhouse1979§_6.3-7] ウォーターハウス 1979、§ 6.3

[FOOTNOTECohn2003Theorem_4.7.5-8] Cohn 2003、定理4.7.5

[FOOTNOTEArtin1999Ch._IV,_§_1-9] アルティン 1999、第IV章、§1

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