代数的整数

代数的整数論において、代数的整数とは、整数について整式となる複素数である。つまり、代数的整数とは、係数が整数である単項多項式（主係数が1である多項式）の複素根である。すべての代数的整数の集合 $A$ は、加法、減法、乗法に関して閉じており、したがって複素数の可換部分環となる。

数体 $K$ の整数環（ $O$ $K$ と表記）は、 $K$ と $A$ の交点である。また、体 $K$ の最大位数としても特徴付けられる。各代数的整数は、何らかの数体の整数環に属する。数 $α$ が代数的整数となるための必要十分条件は、その環がアーベル群、すなわち-加群として有限生成となることである。 $\mathbb {Z} [\alpha ]$ $\mathbb {Z}$

定義

以下は代数的整数の同値な定義です。K $を$ 数体（すなわち、有理数体の有限拡大）とします。言い換えれば、原始元定理により、ある代数的数に対してとなります。 $\mathbb {Q}$ $K=\mathbb {Q} (\theta )$ $\theta \in \mathbb {C}$

$α\inK は、$ $f$ $($ $α$ $)=0$ となるような $単項多項式が存在する場合、$ 代数的整数である。 $f(x)\in \mathbb {Z} [x]$
$α \in K$ が代数的整数であるとは、上の $αの$ 最小単項多項式がに含まれる。 $\mathbb {Q}$ $\mathbb {Z} [x]$
$α\in K$ $は、$ 有限生成 - 加群の場合、代数的整数です。 $\mathbb {Z} [\alpha ]$ $\mathbb {Z}$
$α\inK が代数的整数であるとは、$ $αM\subseteqM$ $と$ なるような非ゼロの有限生成-部分加群 $が$ 存在する場合である。 $\mathbb {Z}$ $M\subset \mathbb {C}$

代数的整数は環拡大の整数元の特殊なケースである。特に、代数的整数は有限拡大の整数元である。 $K/\mathbb {Q}$

$P (x)$ が整数係数を持つがモニックではない原始多項式であり、 $P$ がで既約である場合、 $P$ の根はいずれも代数的整数ではない（ただし代数的数である）ことに注意されたい。ここで「原始的」とは、 $P$ の係数の最大公約数が 1 であるという意味で用いられており、これは係数が互いに素であることを要求するよりも弱い意味である。 $\mathbb {Q}$

例

有理数集合に含まれる代数的整数は整数のみです。言い換えれば、 Aと $A$ の交わりはちょうどです。有理数 $⁠$ $\mathbb {Q}$ $\mathbb {Z}$ $1つの / b ⁠ は、$ $b が$ $a$ を割り切れない限り、代数的整数ではありません。多項式 $bx$ $-$ $a$ の主係数は整数 $b$ です。
非負整数 $n$ の平方根は代数的整数ですが、 $nが$ 完全平方でない限り無理数です。 ${\sqrt {n}}$
$d$ が平方自由整数ならば、拡大は有理数の二次体となる。代数的整数環 $O$ $K$ $は、これがモニック多項式x$ $2$ $-$ $d$ の根であるため、を含む。さらに、 $d$ $\equiv 1$ $mod$ $4$ ならば、元も代数的整数となる。これは多項式 $x$ $2$ $-$ $x$ $+$ $⁠を満たす。$ $K=\mathbb {Q} ({\sqrt {d}}\,)$ ${\sqrt {d}}$ ${\textstyle {\frac {1}{2}}(1+{\sqrt {d}}\,)}$ $1 / 4 ⁠ (1 - d)$ ここで定数項 $⁠$ $1 / 4 ⁠ (1 - d)$ は整数です。整数の完全環はそれぞれまたは。詳しくは二次整数を参照してください。 ${\sqrt {d}}$ ${\textstyle {\frac {1}{2}}(1+{\sqrt {d}}\,)}$
体 α = 3 √ m の整数環は、 $2$ $つ$ $の$ $平方$ 自由互いに素な整数 $h$ と $k$ に対して $m$ $=$ $hk$ $2$ $と$ 書くと、次の積分基底を持つ: ^[¹^] $F=\mathbb {Q} [\alpha ]$ ${\begin{cases}1,\alpha ,{\dfrac {\alpha ^{2}\pm k^{2}\alpha +k^{2}}{3k}}&m\equiv \pm 1{\bmod {9}}\\1,\alpha ,{\dfrac {\alpha ^{2}}{k}}&{\text{otherwise}}\end{cases}}$
$ζ n が$ の原始 $n$ 乗根である場合、円分体の整数環はちょうどになります。 $\mathbb {Q} (\zeta _{n})$ $\mathbb {Z} [\zeta _{n}]$
$α$ が代数的整数ならば、 $β = n \sqrt α$ $は別の代数的整数である。βの$ 多項式は、 $α$ の多項式に $x n を$ 代入することで得られる。

環拡張の有限生成

$任意のα$ に対して、整数 $αによる$ 環拡大（体の拡大と同等の意味で）は、で表され、 $α が$ 代数的整数である場合に限り、有限生成である。 $\mathbb {Z} [\alpha ]\equiv \left\{\sum _{i=0}^{n}\alpha ^{i}z_{i}|z_{i}\in \mathbb {Z} ,n\in \mathbb {Z} \right\}$

証明は代数的数に関する対応する事実の証明と類似していますが、ここではがに置き換えられ、体の拡大次数の概念は有限生成 ( が有限生成であるという事実を使用) に置き換えられています。必要な変更は、 $α$ の非負の累乗のみが証明に含まれるという点のみです。 $\mathbb {Q}$ $\mathbb {Z}$ $\mathbb {Z}$

この類推が可能なのは、代数的整数と代数的数は、それぞれまたは上の単項多項式の根として定義されているためです。 $\mathbb {Z}$ $\mathbb {Q}$

指輪

2つの代数的整数の和、差、積は代数的整数である。一般に、それらの商は代数的整数ではない。したがって、代数的整数は環を形成する。

これは、有理数の代わりに整数を使用して、代数的数の対応する証明と同様に示すことができます。 $\mathbb {Z}$ $\mathbb {Q}$

一般に元の代数的整数よりも次数が高い、関係するモニック多項式を、結果式と因数分解によって明示的に構成することもできます。たとえば、 $x 2 - x - 1 = 0$ 、 $y 3 - y - 1 = 0 、$ $z = xy$ とすると、 $z$ $-$ $xy$ $= 0$ と、結果式を使用して $x$ と $y$ が満たす多項式から $x$ と $y を消去すると、$ $z$ $6$ $- 3$ $z$ $4$ $- 4$ $z$ $3$ $+$ $z$ $2$ $+$ $z$ $- 1 = 0$ が得られ、これは既約であり、積が満たすモニック方程式です。（ $xyが$ $z$ $-$ $xy$ と $x$ $2$ $-$ $x$ $- 1$ の $x$ 結果式の根であることを確認するには、結果式がその 2 つの入力多項式によって生成されるイデアルに含まれているという事実を使用できます。）

積分閉鎖

係数が代数的整数である単項多項式のすべての根は、それ自体が代数的整数である。言い換えれば、代数的整数は、その拡大のいずれにおいても整閉環となる環を形成する。

繰り返しますが、この証明は代数的数が代数的に閉じていることに対する対応する証明に類似しています。

追加情報

根、加法、乗法を持つ整数から構成可能な任意の数は代数的整数である。しかし、すべての代数的整数がこのように構成できるわけではない。単純な意味では、既約五次数の大部分の根は構成できない。これがアーベル・ルフィニの定理である。
代数的整数環は主イデアル定理の結果としてベズー領域となる。
代数的整数に関連付けられた単項多項式に定数項 1 または -1 がある場合、その代数的整数の逆数も代数的整数であり、それぞれが代数的整数環の単位群の要素である単位です。
$x$ が代数的数であるとき、 $a n x$ は代数的整数である。ここで、 $x は$ 整数係数の多項式 $p (x)を満たし、$ $a n x n は$ $p (x)$ の最高次項である。値 $y = a n xは$ $q$ $($ $y$ $) =$ $a$ の根であるため、代数的整数である。 $n - 1 n p (y / a n)$ 、ここで $q (y)$ は整数係数の単項多項式です。
$x$ が代数的数である場合、それは代数的整数と非ゼロ代数的整数の比として表すことができます。実際、分母は常に正の整数にすることができます。比は $| a n | x / | a n |$ で、 $x は$ 整数係数の多項式 $p (x)を満たし、$ $a n x n は$ $p (x)$ の最高次項です。
有理代数的整数は整数のみです。つまり、 $x が$ 代数的整数である場合、となります。これは、単項多項式の場合の有理根定理から直接導かれる結果です。 $x\in \mathbb {Q}$ $x\in \mathbb {Z}$

参照

参考文献

^マーカス, ダニエル A. (1977).数体論（第3版）. ベルリン, ニューヨーク:シュプリンガー・フェアラーク. 第2章, p. 38 and ex. 41. ISBN 978-0-387-90279-1。

スタイン、ウィリアム.代数的数論：計算的アプローチ(PDF) . 2013年11月2日時点のオリジナルよりアーカイブ(PDF) 。

[1] マーカス, ダニエル A. (1977).数体論（第3版）. ベルリン, ニューヨーク:シュプリンガー・フェアラーク. 第2章, p. 38 and ex. 41. ISBN 978-0-387-90279-1。

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