体拡大

数学、特に代数学において、体拡大とは、 Kの演算がLの演算をKに制限したものとなるような体 のペアです。この場合、LはKの拡大体であり、KはLの部分体です。^{[ 1 ] [ 2 ] [ 3 ]}例えば、通常の加算と乗算の概念では、複素数は実数の拡大体であり、実数は複素数の部分体です ${\displaystyle K\subseteq L}$

体拡大は代数的数論、およびガロア理論による多項式根の研究において基本的なものであり、代数幾何学で広く使用されています。

部分体

体の部分体 とは、体から継承された体演算に関して体となる部分集合です。同様に、部分体とは乗法単位元を含む部分集合であり、加算、減算、乗算、 およびの非零元の逆元を取る演算に関して閉じています${\displaystyle K}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle K\subseteq L}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle K}$

1 – 1 = 0なので、後者の定義は、 と が同じ零元を持つことを意味します。 ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle L}$

例えば、有理数体は実数体の部分体であり、実数体自体は複素数体の部分体である。より一般的には、有理数体は任意の標数体の部分体である（あるいは同型である） 。 ${\displaystyle 0}$

サブフィールドの特性は、より大きなフィールドの特性と同じです。

拡大体

が の部分体であるならば、 は の拡大体、または単に の拡大体であり、この体のペアはの拡大体です。このような拡大体は（「上」と読みます） と表記されます${\displaystyle K}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle L/K}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle K}$

が の拡大であり、それが の拡大である場合、 はの中間体（または中間拡大もしくは部分拡大）であるといわれます。 ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle L/K}$

体拡大 が与えられたとき、より大きな体は-ベクトル空間となる。このベクトル空間の次元は拡大の次数と呼ばれ、 で表される。 ${\displaystyle L/K}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle [L:K]}$

拡大の次数は、2つの体が等しい場合にのみ1となる。この場合、拡大は自明な拡大。2次および3次の拡大は、二次拡大および三次拡大。有限拡大は、有限次数を持つ拡大である。

2つの拡大とが与えられたとき、拡大が有限であるためには、とが両方とも有限である必要があります。この場合、 ${\displaystyle L/K}$ ${\displaystyle M/L}$ ${\displaystyle M/K}$ ${\displaystyle L/K}$ ${\displaystyle M/L}$

${\displaystyle [M:K]=[M:L]\cdot [L:K].}$

体の拡大と の部分集合が与えられたとき、とを含むの最小の部分体が存在する。これはと を含むのすべての部分体の共通部分であり、 で表される（「${\displaystyle L/K}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle K(S)}$ ${\displaystyle K}$ は 上の体であり、は上の生成集合であると言える。 が有限のときの代わりに と書きは であると言える${\displaystyle S}$ ${\displaystyle K(S)}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle K(S)}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle S=\{x_{1},\ldots ,x_{n}\}}$ ${\displaystyle K(x_{1},\ldots ,x_{n})}$ ${\displaystyle K(\{x_{1},\ldots ,x_{n}\}),}$ ${\displaystyle K(S)}$ が 上有限生成である。 が単一の元 からなる、その拡大は単純拡大^{[ 4 ] [ 5 ]}と呼ばれ、 は拡大の原始元^{[ 6 ]}と呼ばれる${\displaystyle K}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle K(s)/K}$ ${\displaystyle s}$

形式の拡張フィールドは、${\displaystyle K(S)}$ toの付加語。 ^{[ 7 ] [ 8 ]}${\displaystyle S}$ ${\displaystyle K}$

標数0において、すべての有限拡大は単純拡大である。これは原始元定理であり、標数が0でない体では成立しない。

単純拡大が有限でない場合、体は上の有理分数体に同型です。 ${\displaystyle K(s)/K}$ ${\displaystyle K(s)}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle K}$

注意点

L / Kという表記は純粋に形式的なものであり、商環や商群、あるいはその他の除算の形成を意味するものではありません。代わりにスラッシュは「over」という語を表します。著者によってはL  : KまたはL | Kという表記を用いる場合もありますが、単にそれが体拡大であることを言葉で示す場合もあります。拡大の塔はしばしば図式的に表されます。例えば、下の図はLがKの拡大であり、KがFの拡大である状況を示しています。 ${\displaystyle L\supset K}$

${\displaystyle {\begin{array}{c}L\\{\Big |}\\K\\{\Big |}\\F\end{array}}}$

小さな体が実際には大きな体に含まれず、自然に埋め込まれているような状況では、体拡大について議論することが望ましい場合がしばしばあります。この目的のために、体拡大を抽象的に2つの体間の入射的な環準同型として定義します。 体間のすべての環準同型は、体が非自明な真イデアルを持たないため、入射的です。したがって、体拡大はまさに体のカテゴリにおける射です。

今後は、注入準同型性を抑制し、実際の部分体を扱っていると仮定します。

例

複素数体は実数体の拡大体であり、同様に有理数体の拡大体です。したがって、明らかに体拡大でもあります。は基底なので、拡大は有限です。これは（連続体の濃度）なので単純拡大です。したがって、この拡大は無限です ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle \mathbb {C} /\mathbb {Q} }$ ${\displaystyle [\mathbb {C} :\mathbb {R} ]=2}$ ${\displaystyle \{1,i\}}$ ${\displaystyle \mathbb {C} /\mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {C} =\mathbb {R} (i).}$ ${\displaystyle [\mathbb {R} :\mathbb {Q} ]={\mathfrak {c}}}$

体

${\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt {2}})=\left\{a+b{\sqrt {2}}\mid a,b\in \mathbb {Q} \right\},}$

は明らかに単純拡大体であり、拡大体でもあります。基底として使える ため、次数は2です${\displaystyle \mathbb {Q} ,}$ ${\displaystyle \left\{1,{\sqrt {2}}\right\}}$

体

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbb {Q} \left({\sqrt {2}},{\sqrt {3}}\right)&=\mathbb {Q} \left({\sqrt {2}}\right)\left({\sqrt {3}}\right)\\&=\left\{a+b{\sqrt {3}}\mid a,b\in \mathbb {Q} \left({\sqrt {2}}\right)\right\}\\&=\left\{a+b{\sqrt {2}}+c{\sqrt {3}}+d{\sqrt {6}}\mid a,b,c,d\in \mathbb {Q} \right\},\end{aligned}}}$

は、それぞれ次数2と次数4の拡大体である。また、次式が示すように、単純拡大体でもある ${\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt {2}})}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} ,}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbb {Q} ({\sqrt {2}},{\sqrt {3}})&=\mathbb {Q} ({\sqrt {2}}+{\sqrt {3}})\\&=\left\{a+b({\sqrt {2}}+{\sqrt {3}})+c({\sqrt {2}}+{\sqrt {3}})^{2}+d({\sqrt {2}}+{\sqrt {3}})^{3}\mid a,b,c,d\in \mathbb {Q} \right\}.\end{aligned}}}$

の有限拡大は代数体とも呼ばれ、数論において重要です。有理数体のもう一つの拡大体は、有限拡大ではありませんが、素数pに対するp 進数体であり、これも数論において重要です。 ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle \mathbb {Q} _{p}}$

与えられた多項式f ( X ) の根を「作成」するために、与えられた体Kの拡大体を多項式環K [ X ]の商環として構成することが一般的です。例えば、Kにx ² = −1となる元xが含まれていないとします。この場合、多項式はK [ X ]において既約となり、結果としてこの多項式によって生成されるイデアルは最大となり、平方値が −1 となる元（つまりXの留数類）を含むKの拡大体となります。 ${\displaystyle X^{2}+1}$ ${\displaystyle L=K[X]/(X^{2}+1)}$

上記の構成を繰り返すことで、 K [ X ]から任意の多項式の分解体を構築できます。これは、与えられた多項式が線形因子の積に分解される Kの拡大体Lです。

p が任意の素数でn が正の整数である場合、 p ⁿ元を持つ唯一の有限体 （同型を除いて）が存在します。これは、 p元を持つ素体の拡大体です。 ${\displaystyle GF(p^{n})=\mathbb {F} _{p^{n}}}$ ${\displaystyle \operatorname {GF} (p)=\mathbb {F} _{p}=\mathbb {Z} /p\mathbb {Z} }$

体Kが与えられたとき、変数Xに属する、係数がKに属するすべての有理関数の体K ( X ) を考えることができる。K ( X )の元はK上の2つの多項式の分数であり、実際、K ( X ) は多項式環 K [ X ] の分数体である。この有理関数の体はKの拡大体である。この拡大は無限である。

リーマン面Mが与えられたとき、 M上で定義されるすべての有理型関数の集合は体であり、 で表されます。これは、すべての複素数をM上で定義された対応する定数関数と同一視すれば、 の超越拡大体となります。より一般的には、ある体K上の代数多様体Vが与えられたとき、V上で定義された有理関数からなる関数体K ( V ) はKの拡大体となります。 ${\displaystyle \mathbb {C} (M).}$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$

代数的拡大

体拡大の元xがK上代数的であるとは、それがKに係数を持つ非零多項式の根である場合です。例えば、は有理数上代数的です。なぜなら、 は の根だからです。Lの元x が K 上代数的である場合、xを根とする最低次数のモニック多項式はxの最小多項式と呼ばれます。この最小多項式はK上既約です ${\displaystyle L/K}$ ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$ ${\displaystyle x^{2}-2.}$

Lの元sがK上代数的であるための必要十分条件は、単純拡大K ( s ) / Kが有限拡大となることである。この場合、拡大の次数は最小多項式の次数に等しく、 Kベクトル空間K ( s )の基底はで構成される。ここで、dは最小多項式の次数である。 ${\displaystyle 1,s,s^{2},\ldots ,s^{d-1},}$

Lの元のうちK上代数的であるものの集合は部分拡大を形成し、これはLにおけるKの代数的閉包と呼ばれる。これは前述の特徴づけから導かれる。すなわち、sとt が代数的であれば、拡大K ( s ) / KとK ( s )( t ) / K ( s )は有限である。したがって、K ( s , t ) / Kも有限であり、部分拡大K ( s ± t ) / K、K ( st ) / K、K (1/ s ) / K ( s ≠ 0の場合) も有限である。したがって、s ± t、st、 1/ sはすべて代数的である。

代数的拡大とは、 Lのすべての元がK上代数的となるような拡大のことである。同様に、代数的拡大とは代数的元によって生成される拡大のことである。例えば、は の代数的拡大である。なぜなら、とは 上代数的であるからである。${\displaystyle L/K}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt {2}},{\sqrt {3}})}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$ ${\displaystyle {\sqrt {3}}}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} .}$

単純拡大が代数的であるための必要十分条件は、それが有限である場合である。これは、拡大が代数的であるための必要十分条件は、それがその有限部分拡大の和集合である場合であり、またすべての有限拡大は代数的であることを意味する。

任意の体Kには代数的閉包があり、これはKの最大の拡大体でK上代数的であるものと同型であり、またKを係数とするすべての多項式がその中に根を持つような最小の拡大体でもある。例えば、は の代数的閉包であるが、 の代数的閉包ではない。なぜなら は 上代数的ではないからである（例えばπは 上代数的ではない）。 ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$

超越的拡張

体拡大が与えられたとき、 Lの部分集合S がK上で代数的に独立であるとは、 Sの元の間にKを係数とする非自明な多項式関係が存在しないことを意味する。代数的に独立な集合の最大濃度は、L / Kの超越次数と呼ばれる。 K上で代数的に独立で、L / K ( S ) が代数的であるような集合Sを見つけることは常に可能である。そのような集合SはL / Kの超越基底と呼ばれる。すべての超越基底は同じ濃度を持ち、拡大の超越次数に等しい。拡大は次のように表現される。${\displaystyle L/K}$ ${\displaystyle L/K}$ 純粋超越的とは、 L=K(Sを満たす超越基底S。このような拡大は、Kの元を除くLK上で超越的であるが、この性質を持ちながらも純粋超越的ではない拡大も存在する。そのような拡大のクラスは、LとK が両方とも代数的に閉じている場合にL/K。 ${\displaystyle L/K}$

L / Kが純粋超越的で、S が拡大の超越基底である場合、必ずしもL = K ( S ) となるわけではありません。逆に、超越基底が分かっていても、拡大が純粋分離可能かどうかを判断するのは難しい場合があり、純粋分離可能であれば、L = K ( S ) となる超越基底 S を見つけるのは難しい場合があります。

例えば、がに対して超越的であり、 が方程式 の根であるような拡張 を考えてみましょう。このような拡張は として定義でき、とはと の同値類です。明らかに、単集合 はに対して超越的であり、拡張 は代数的であるため、 は拡張 を生成しない超越基底です。同様に、は拡張 全体を生成しない超越基底です。しかし、拡張 は純粋に超越的であると言えます。なぜなら、もし 1 つの集合と が存在するならば、は拡張 全体を生成できるからです。 ${\displaystyle \mathbb {Q} (x,y)/\mathbb {Q} ,}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} ,}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle y^{2}-x^{3}=0.}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} (X)[Y]/\langle Y^{2}-X^{3}\rangle ,}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y.}$ ${\displaystyle \{x\}}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle \mathbb {Q} (x,y)/\mathbb {Q} (x)}$ ${\displaystyle \{x\}}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} (x,y)/\mathbb {Q} (x)}$ ${\displaystyle \{y\}}$ ${\displaystyle t=y/x,}$ ${\displaystyle x=t^{2}}$ ${\displaystyle y=t^{3},}$ ${\displaystyle t}$

代数閉体の純粋超越的拡大は、有理多様体の関数体として現れる。有理多様体の有理数媒介変数化を求める問題は、全体の拡大を生成する超越基底を求める問題と同値である。

正規拡大、可分拡大、ガロア拡大

代数的拡大が正規であるとは、 K [ X ]のLに根を持つすべての既約多項式がL上の線型因子に完全に因数分解できることを意味する。すべての代数的拡大F / Kは正規閉包Lを許容する。これはFの拡大体であり、が正規であり、この性質を満たす最小のものである。 ${\displaystyle L/K}$ ${\displaystyle L/K}$

代数的拡大が分離可能と呼ばれるのは、 LのK上のすべての元の最小多項式が分離可能、すなわちK上の代数的閉包において重根を持たない場合である。ガロア拡大は、正規かつ分離可能な体拡大である。 ${\displaystyle L/K}$

原始元定理の帰結として、すべての有限の分離可能な拡張には原始元（つまり単純）があるということが述べられます。

任意の体拡大 が与えられたとき、その自己同型群を考えることができる。これは、 Kの任意のxに対してα ( x ) = x を満たすすべての体自己同型α : L → Lからなる。拡大がガロア群である場合、この自己同型群は拡大のガロア群と呼ばれる。ガロア群がアーベル群である拡大はアーベル拡大と呼ばれる。 ${\displaystyle L/K}$ ${\displaystyle {\text{Aut}}(L/K)}$

与えられた体拡大 に対して、中間体F（Kを含むLの部分体）に関心が寄せられることがよくあります。ガロア拡大とガロア群の重要性は、中間体を完全に記述できることです。中間体とガロア群の部分群の間には一対一の関係があり、これはガロア理論の基本定理によって記述されます。 ${\displaystyle L/K}$

一般化

体拡大は、環とその部分環の1つからなる環拡大に一般化できます。より近い非可換な類似物は中心単純代数（CSA）です。これは体上の環拡大で、単純代数（体の場合と同様に、非自明な2辺イデアルはありません）であり、環の中心はまさに体です。例えば、実数の唯一の有限体拡大は複素数ですが、四元数は実数上の中心単純代数であり、実数上のすべてのCSAは実数または四元数とブラウアー同値です。CSAはさらにアズマヤ代数に一般化でき、基底体は可換局所環に置き換えられます

スカラーの拡張

体拡大が与えられた場合、付随する代数的対象に「スカラーを拡張」することができます。例えば、実ベクトル空間が与えられた場合、複素化によって複素ベクトル空間を生成できます。ベクトル空間に加えて、多項式や群代数、および付随する群表現など、体上に定義された結合代数に対してスカラーの拡張を行うことができます。多項式のスカラーの拡張は、係数をより大きな体の元と見なすだけで暗黙的に使用されることがよくありますが、より形式的に考えることもできます。スカラーの拡張には、「スカラーの拡張：応用」で 説明されているように、多くの応用があります

参照

• 場の理論
• 場の理論用語集
• 場の塔
• プライマリーエクステンション
• 通常エクステンション

注記

1. Fraleigh (1976 , p. 293)
2. ハーシュタイン（1964年、167ページ）
3. マッコイ（1968年、116ページ）
4. フレイリー（1976年、298ページ）
5. ハーシュタイン（1964年、193ページ）
6. フレイリー（1976年、363ページ）
7. フレイリー（1976年、319ページ）
8. ハーシュタイン（1964年、169ページ）

参考文献

• フレイリー、ジョン・B. (1976)、『抽象代数学入門』（第2版）、アディソン・ウェスレー社、ISBN 0-201-01984-1
• ハースタイン、IN (1964)、『代数学のトピックス』、ウォルサム：ブレイズデル出版、ISBN 978-1114541016
• ラング、セルジュ（2004年）、代数学、大学院数学テキスト、第211巻（訂正第4刷、改訂第3版）、ニューヨーク：シュプリンガー・フェアラーク、ISBN 978-0-387-95385-4
• マッコイ、ニール・H.（1968年）『現代代数学入門 改訂版』ボストン：アリン・アンド・ベーコン、LCCN  68015225

外部リンク

• 「体の拡大」『数学百科事典』EMS Press、2001年 [1994]