ネットワーク解析（電気回路）
線形ネットワーク分析
要素

抵抗リアクタンスインピーダンスコンダクタンス

コンポーネント

直列回路と並列回路

インピーダンス変換

Y-Δ変換Δ-Y変換スターポリゴン変換

生成定理 ネットワーク定理

ネットワーク分析手法

2ポートパラメータ

zパラメータyパラメータhパラメータgパラメータSパラメータ

電気工学および電子工学において、ネットワークとは相互接続されたコンポーネントの集合体です。ネットワーク解析とは、ネットワークのすべてのコンポーネントにかかる電圧と電流を求めるプロセスです。これらの値を計算する手法は数多くありますが、その多くは線形コンポーネントを前提としています。特に明記されていない限り、この記事で説明する手法は線形ネットワーク解析 にのみ適用できます。

定義

成分電流が流入または流出する 2 つ以上の端子を備えたデバイス。
ノード2つ以上の部品の端子が接続される点。解析上、抵抗が実質的にゼロの導体はノードとみなされます。
支店2 つのノードを結合するコンポーネント。
メッシュネットワーク内のブランチのグループが完全なループを形成するように結合され、その内部に他のループが存在しない。
ポート一方の端子に流入する電流ともう一方の端子から流出する電流が同一の 2 つの端子。
回路発電機の一方の端子から流れ出た電流が負荷部品を通り、もう一方の端子に戻る。この意味で回路とは1ポートネットワークであり、解析が容易なケースである。他の回路との接続がある場合、非自明なネットワークが形成され、少なくとも2つのポートが存在する必要がある。「回路」と「ネットワーク」はしばしば同じ意味で用いられるが、多くの解析者は「ネットワーク」を理想的なコンポーネントで構成される理想化されたモデルを指すために用いている。[ 1 ]
伝達関数2つのポート間の電流および／または電圧の関係。多くの場合、入力ポートと出力ポートについて議論され、伝達関数はゲインまたは減衰として記述されます。
コンポーネント伝達関数2端子コンポーネント（つまり1ポートコンポーネント）の場合、電流と電圧が入力と出力として扱われ、伝達関数の単位はインピーダンスまたはアドミタンスとなります（電圧と電流のどちらを入力とするかは通常、便宜上の判断です）。3端子（またはそれ以上）のコンポーネントは実質的に2つ（またはそれ以上）のポートを持つため、伝達関数を単一のインピーダンスで表現することはできません。通常は、伝達関数をパラメータの行列として表現します。これらのパラメータはインピーダンスで表現できますが、他にも多くの表現方法があります（2ポートネットワークを参照）。

等価回路

ネットワーク解析において有用な手順の一つは、コンポーネント数を削減してネットワークを簡素化することです。これは、物理的なコンポーネントを、同じ効果を持つ他の概念的なコンポーネントに置き換えることで実現できます。特定の手法では、例えばインピーダンスを直列に結合するなど、コンポーネント数を直接削減する場合があります。一方、単に形態を変えて、後の操作でコンポーネントを削減できるようにする場合もあります。例えば、電圧発生器をノートンの定理を用いて電流発生器に変換することで、後で発生器の内部抵抗と並列インピーダンス負荷を結合できるようになります。

抵抗回路とは、抵抗器、理想電流源、理想電圧源のみで構成される回路です。これらの電源が定数（DC）源である場合、結果はDC回路となります。回路の解析とは、回路に生じる電圧と電流を解くことです。ここで概説する解法の原理は、AC回路の位相解析にも適用されます。

一方のネットワークの端子間の電圧と端子を流れる電流が、もう一方のネットワークの端子の電圧と電流と同じ関係にある 場合、2 つの回路は一対の端子に関して等価であると言われます。

V 1のすべての（実数）値に対してが成り立つ場合、端子abおよびxyに関しては、回路 1 と回路 2 は同等です。 V2＝V1{\displaystyle V_{2}=V_{1}}私2＝私1{\displaystyle I_{2}=I_{1}}

上記は1ポートネットワークに対する十分な定義です。2ポート以上のネットワークでは、対応するポート間の電流と電圧の関係がすべて同じであることを定義する必要があります。例えば、スターネットワークとデルタネットワークは実質的に3ポートネットワークであるため、それらの等価性を完全に規定するには3つの連立方程式が必要です。

直列および並列のインピーダンス

インピーダンスの 2 端子ネットワークは、インピーダンスを直列に、またはインピーダンスを並列に連続して適用することで、最終的に単一のインピーダンスにまで低減できます。

  • 直列インピーダンス：Zeq＝Z1+Z2+⋯+Zn。{\displaystyle Z_{\mathrm {eq} }=Z_{1}+Z_{2}+\,\cdots \,+Z_{n}.}
  • 並列インピーダンス：1Zeq＝1Z1+1Z2+⋯+1Zn。{\displaystyle {\frac {1}{Z_{\mathrm {eq} }}}={\frac {1}{Z_{1}}}+{\frac {1}{Z_{2}}}+\,\cdots \,+{\frac {1}{Z_{n}}}.}
    • 上記は、2つのインピーダンスが並列になっている場合にのみ簡略化されています。Zeq＝Z1Z2Z1+Z2。{\displaystyle Z_{\mathrm {eq} }={\frac {Z_{1}Z_{2}}{Z_{1}+Z_{2}}}.}

デルタ-ワイ変換

3端子を超えるインピーダンスのネットワークは、単一のインピーダンス等価回路に縮小することはできません。n端子ネットワークは、せいぜいn個のインピーダンス（最悪の場合）に縮小できます。 3端子ネットワークの場合、3つのインピーダンスは、3ノードのデルタ（Δ）ネットワークまたは4ノードのスター（Y）ネットワークとして表すことができます。 これら2つのネットワークは同等であり、それらの間の変換を以下に示します。 任意の数のノードを持つ一般的なネットワークは、直列と並列の組み合わせのみを使用してインピーダンスの最小数に縮小することはできません。 一般に、Y-Δ変換とΔ-Y変換も使用する必要があります。 一部のネットワークでは、Y-Δ変換をスターポリゴン変換に拡張する必要がある場合もあります。 （n2）{\displaystyle {\tbinom {n}{2}}}

等価性を得るには、両方のネットワークにおいて任意の端子対間のインピーダンスが等しくなければなりません。その結果、3つの連立方程式が得られます。以下の方程式は抵抗として表されていますが、インピーダンスを用いた一般的な場合にも同様に適用されます。

デルタからスターへの変換方程式

R1つの＝R1つのcR1つのbR1つのc+R1つのb+RbcRb＝R1つのbRbcR1つのc+R1つのb+RbcRc＝RbcR1つのcR1つのc+R1つのb+Rbc{\displaystyle {\begin{aligned}R_{a}&={\frac {R_{\mathrm {ac} }R_{\mathrm {ab} }}{R_{\mathrm {ac} }+R_{\mathrm {ab} }+R_{\mathrm {bc} }}}\\R_{b}&={\frac {R_{\mathrm {ab} }R_{\mathrm {bc} }}{R_{\mathrm {ac} }+R_{\mathrm {ab} }+R_{\mathrm {bc} }}}\\R_{c}&={\frac {R_{\mathrm {bc} }R_{\mathrm {ac} }}{R_{\mathrm {ac} }+R_{\mathrm {ab} }+R_{\mathrm {bc} }}}\end{aligned}}}

スターデルタ変換方程式

R1つのc＝R1つのRb+RbRc+RcR1つのRbR1つのb＝R1つのRb+RbRc+RcR1つのRcRbc＝R1つのRb+RbRc+RcR1つのR1つの{\displaystyle {\begin{aligned}R_{\mathrm {ac} }&={\frac {R_{a}R_{b}+R_{b}R_{c}+R_{c}R_{a}}{R_{b}}}\\R_{\mathrm {ab} }&={\frac {R_{a}R_{b}+R_{b}R_{c}+R_{c}R_{a}}{R_{c}}}\\R_{\mathrm {bc} }&={\frac {R_{a}R_{b}+R_{b}R_{c}+R_{c}R_{a}}{R_{a}}}\end{aligned}}}

ネットワークノード除去の一般的な形式

スター抵抗からデルタ抵抗への変換と直列抵抗への変換は、一般的な抵抗ネットワークのノード除去アルゴリズムの特殊なケースです。N個の抵抗（R 1 … R N ）によってノード1 … Nに接続されているノードは、残りのN個のノードを相互接続する抵抗に置き換えることができます。任意の2つのノードx、y間の抵抗は、次のように表されます。 （北2）{\displaystyle {\tbinom {N}{2}}}

R×y＝R×Ry∑私＝1北1R私{\displaystyle R_{\mathrm {xy} }=R_{x}R_{y}\sum _{i=1}^{N}{\frac {1}{R_{i}}}}

スターデルタ（N = 3）の場合、これは次のように簡略化されます。

R1つのb＝R1つのRb（1R1つの+1Rb+1Rc）＝R1つのRb（R1つのRb+R1つのRc+RbRc）R1つのRbRc＝R1つのRb+RbRc+RcR1つのRc{\displaystyle {\begin{aligned}R_{\mathrm {ab} }&=R_{a}R_{b}\left({\frac {1}{R}}_{a}+{\frac {1}{R}}_{b}+{\frac {1}{R}}_{c}\right)={\frac {R_{a}R_{b}(R_{a}R_{b}+R_{a}R_{c}+R_{b}R_{c})}{R_{a}R_{b}R_{c}}}\\&={\frac {R_{a}R_{b}+R_{b}R_{c}+R_{c}R_{a}}{R_{c}}}\end{aligned}}}

級数縮小（N = 2）の場合、これは次のように縮小されます。

R1つのb＝R1つのRb（1R1つの+1Rb）＝R1つのRb（R1つの+Rb）R1つのRb＝R1つの+Rb{\displaystyle R_{\mathrm {ab} }=R_{a}R_{b}\left({\frac {1}{R}}_{a}+{\frac {1}{R}}_{b}\right)={\frac {R_{a}R_{b}(R_{a}+R_{b})}{R_{a}R_{b}}}=R_{a}+R_{b}}

ぶら下がり抵抗器 ( N = 1 ) の場合、次の理由により抵抗器が除去されます。 （12）＝0{\displaystyle {\tbinom {1}{2}}=0}

ソース変換

内部インピーダンスを持つ発電機（すなわち非理想的な発電機）は、理想的な電圧発生器、または理想的な電流発生器にインピーダンスを加えた形で表すことができます。これら2つの形式は等価であり、変換式は以下で示されます。2つの回路網が端子a～bに関して等価である場合、VとIは両方の回路網で必ず等しくなります。したがって、

Vs＝R私s{\displaystyle V_{\mathrm {s} }=RI_{\mathrm {s} }\,\!}または私s＝VsR{\displaystyle I_{\mathrm {s} }={\frac {V_{\mathrm {s} }}{R}}}
  • ノートンの定理によれば、任意の 2 端子線形ネットワークは理想的な電流発生器と並列インピーダンスに簡略化できます。
  • テブナンの定理によれば、任意の 2 端子線形ネットワークは、理想的な電圧発生器と直列インピーダンスの組み合わせに簡略化できます。

シンプルなネットワーク

非常に単純なネットワークは、より体系的なアプローチを適用する必要なく分析できます。

直列部品の電圧分割

n個のインピーダンスが直列に接続されている場合を考えます。任意のインピーダンスにかかる電圧は V私{\displaystyle V_{i}}Z私{\displaystyle Z_{i}}

V私＝Z私私＝（Z私Z1+Z2+⋯+Zn）V{\displaystyle V_{i}=Z_{i}I=\left({\frac {Z_{i}}{Z_{1}+Z_{2}+\cdots +Z_{n}}}\right)V}

並列コンポーネントの電流分割

n個のアドミタンスが並列に接続されている場合を考えます。任意のアドミタンスを流れる電流は 私私{\displaystyle I_{i}}はい私{\displaystyle Y_{i}}

私私＝はい私V＝（はい私はい1+はい2+⋯+はいn）私{\displaystyle I_{i}=Y_{i}V=\left({\frac {Y_{i}}{Y_{1}+Y_{2}+\cdots +Y_{n}}}\right)I}

のために私＝1、2、。。。、n。{\displaystyle i=1,2,...,n.}

特殊なケース: 2つの並列コンポーネントの電流分割

私1＝（Z2Z1+Z2）私{\displaystyle I_{1}=\left({\frac {Z_{2}}{Z_{1}+Z_{2}}}\right)I}
私2＝（Z1Z1+Z2）私{\displaystyle I_{2}=\left({\frac {Z_{1}}{Z_{1}+Z_{2}}}\right)I}

節点解析

節点解析では、節点電圧の概念を用い、節点電圧を未知変数とみなす。[ 2 ] : 2-8 - 2-9 選択された基準節点を除くすべての節点において、節点電圧は、その節点から基準節点までの電圧降下として定義される。したがって、N個の節点を持つ回路では、N-1個の節点電圧が存在する。[ 2 ] : 2-10

原理的には、節点解析ではN-1個の節点におけるキルヒホッフの電流則（KCL）を用いて、N-1個の独立した方程式を導出します。KCLで生成される方程式は節点に出入りする電流に基づいているため、これらの電流の値が不明な場合は、未知の変数（節点電圧）で表す必要があります。抵抗器やコンデンサなどの一部の要素では、要素電流を節点電圧で表すことは簡単です。

これが不可能な一般的な要素については、特殊な手法が開発されています。例えば、独立した電圧源を持つ回路には、スーパーノードと呼ばれる概念が用いられます。[ 2 ] : 2-12 - 2-13

  1. 回路内のすべてのノードにラベルを付けます。任意のノードを参照として選択できます。
  2. 残りのすべてのノードから基準ノードまでの電圧変数を定義します。これらの電圧変数は、基準ノードを基準として電圧が上昇するにつれて定義する必要があります。
  3. 参照を除くすべてのノードに対して KCL 方程式を記述します。
  4. 結果として得られる連立方程式を解きます。

メッシュ解析

メッシュ - 内部ループを含まないループ。

  1. 回路内の「窓ガラス」の数を数えます。それぞれの窓ガラスにメッシュ電流を割り当てます。
  2. 電流が不明なメッシュごとに、キルヒホッフの電圧法則(KVL) 方程式を記述します。
  3. 得られた方程式を解く

重ね合わせ

この方法では、各発電機の影響を順に計算します。検討対象の発電機以外のすべての発電機は取り外され、電圧発電機の場合は短絡、電流発電機の場合は開放されます。そして、特定の分岐を流れる電流の合計、または分岐にかかる電圧の合計は、個々の電流または電圧をすべて合計することで計算されます。

この手法の根底には、電流または電圧の総和がその部分の線形重ね合わせであるという仮定があります。したがって、非線形要素が存在する場合、この手法は使用できません。[ 2 ] : 6–14 電力の重ね合わせは、線形回路であっても、要素が消費する総電力を求めるために使用することはできません。電力は総電圧または総電流の2乗に応じて変化し、和の2乗は一般に2乗の和とは等しくありません。要素の総電力は、電圧と電流にそれぞれ重ね合わせを適用し、総電圧と総電流から電力を計算することで求めることができます。

方法の選択

手法の選択[ 3 ] : 112–113 はある程度好みの問題です。ネットワークが非常に単純な場合、または特定の電流または電圧のみが必要な場合は、より体系的な手法に頼ることなく、いくつかの単純な等価回路をアドホックに適用することで答えが得られる可能性があります。

  • 節点解析：電圧変数の数、つまり解くべき連立方程式の数は、節点数から1を引いた数に等しくなります。基準節点に接続される電圧源ごとに、未知数と方程式の数が1つずつ減少します。
  • メッシュ解析：電流変数の数、つまり解くべき同時方程式の数は、メッシュの数に等しい。メッシュ内の電流源ごとに未知数の数が1つ減少する。メッシュ解析は、交差する要素のない平面ネットワークとして描画できるネットワークでのみ使用できる。[ 3 ] : 94
  • 重ね合わせは、概念的にはおそらく最も単純な方法ですが、ネットワークが大きくなるにつれて、方程式の数が多くなり、インピーダンスの組み合わせが複雑になります。
  • 有効媒質近似：高密度のランダム抵抗器からなるネットワークでは、個々の要素の正確な解を求めることは非現実的あるいは不可能である。その代わりに、有効抵抗と電流分布特性は、グラフ測度とネットワークの幾何学的特性を用いてモデル化することができる。[ 4 ]

伝達関数

伝達関数は、ネットワークの入力と出力の関係を表します。抵抗ネットワークの場合、これは常に単純な実数、または実数になる式になります。抵抗ネットワークは、連立代数方程式で表されます。ただし、一般的な線形ネットワークの場合、ネットワークは連立線形微分方程式で表されます。ネットワーク分析では、微分方程式を直接使用するのではなく、最初にラプラス変換を実行し、次に結果を一般に複素数であるラプラスパラメータ s で表すのが通常の方法です。これは、s 領域で作業していると言われています。方程式を直接操作する場合は、結果が時間によって変化する量として表されるため、時間 (または t) 領域で作業していると言われています。ラプラス変換は、s 領域と t 領域間を変換する数学的な方法です。

このアプローチは制御理論の標準であり、たとえばフィードバック付きの増幅器におけるシステムの 安定性を判断するのに役立ちます。

2つの端末コンポーネントの伝達関数

2端子部品の場合、伝達関数、あるいはより一般的には非線形素子の場合の構成方程式は、デバイスへの電流入力とそれに伴う電圧の関係を表します。したがって、伝達関数Z(s)の単位はインピーダンス（オーム）です。電気回路網に見られる3つの受動部品の場合、伝達関数は以下のとおりです。

抵抗器Z（s）＝R{\displaystyle Z(s)=R\,\!}
インダクタZ（s）＝sL{\displaystyle Z(s)=sL\,\!}
コンデンサZ(s)=1sC{\displaystyle Z(s)={\frac {1}{sC}}}

安定した AC 信号のみが適用されるネットワークの場合、s はjωに置き換えられ、AC ネットワーク理論からのより一般的な値が得られます。

抵抗器Z(jω)=R{\displaystyle Z(j\omega )=R\,\!}
インダクタZ(jω)=jωL{\displaystyle Z(j\omega )=j\omega L\,\!}
コンデンサZ(jω)=1jωC{\displaystyle Z(j\omega )={\frac {1}{j\omega C}}}

最後に、安定した DC のみが適用されるネットワークの場合、s はゼロに置き換えられ、DC ネットワーク理論が適用されます。

抵抗器Z=R{\displaystyle Z=R\,\!}
インダクタZ=0{\displaystyle Z=0\,\!}
コンデンサZ=∞{\displaystyle Z=\infty \,\!}

2ポートネットワーク伝達関数

制御理論において、伝達関数は一般に記号H(s)で表されます。電子工学では、伝達関数は出力電圧と入力電圧の比として定義され、記号A(s)で表されます。あるいは、解析は常に正弦波応答で行われるため、より一般的にはA ( jω )と表されます。 A(jω)=VoVi{\displaystyle A(j\omega )={\frac {V_{o}}{V_{i}}}}

Aは減衰、または増幅を表します。これは文脈によって異なります。一般的には、これはjωの複素関数となり、ネットワーク内のインピーダンスとそれぞれの伝達関数の解析から導き出されます。解析者が関心を持つのはゲインの大きさだけで、位相角は考慮しない場合もあります。この場合、伝達関数から複素数を取り除くことができ、次のように表すことができます。 A(ω)=|VoVi|{\displaystyle A(\omega )=\left|{\frac {V_{o}}{V_{i}}}\right|}

2つのポートパラメータ

2 ポート ネットワークの概念は、ネットワーク解析においてブラック ボックスアプローチとして役立ちます。 2 ポート ネットワークを大規模ネットワーク内で動作させる場合、その動作は必ずしも内部構造を詳細に記述しなくても、完全に特徴付けることができます。 ただし、そのためには、前述の A(jω) 以上の情報が必要になります。 2 ポート ネットワークを完全に特徴付けるには、4 つのパラメーターが必要であることがわかります。これらは、順方向伝達関数、入力インピーダンス、逆方向伝達関数 (つまり、出力に電圧を印加したときに入力に現れる電圧)、および出力インピーダンスです。 他にも多くのパラメーターがありますが (完全なリストについてはメイン記事を参照)、その 1 つは 4 つのパラメーターすべてをインピーダンスとして表現します。 通常、4 つのパラメーターは行列として表現されます。 [V1V0]=[z(jω)11z(jω)12z(jω)21z(jω)22][I1I0]{\displaystyle {\begin{bmatrix}V_{1}\\V_{0}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}z(j\omega )_{11}&z(j\omega )_{12}\\z(j\omega )_{21}&z(j\omega )_{22}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}I_{1}\\I_{0}\end{bmatrix}}}

マトリックスは、代表的な要素に省略される場合があります。

[z(jω)]{\displaystyle \left[z(j\omega )\right]}あるいは単に[z]{\displaystyle \left[z\right]}

これらの概念は、2ポート以上のネットワークにも拡張可能です。しかし、実際には、ポートは純粋に入力か純粋に出力のいずれかとして扱われることが多いため、実際にはほとんど適用されません。逆方向の伝達関数を無視すれば、多ポートネットワークは常に複数の2ポートネットワークに分解できます。

分散コンポーネント

ネットワークが個別のコンポーネントで構成されている場合、2 ポート ネットワークを使用した解析は選択の問題であり、必須ではありません。ネットワークは、常に、個々のコンポーネントの伝達関数に関して代わりに解析できます。ただし、伝送線路の場合のように、ネットワークに分布コンポーネントが含まれている場合は、個々のコンポーネントが存在しないため、それらに関して解析することはできません。これに対する最も一般的なアプローチは、線路を 2 ポート ネットワークとしてモデル化し、2 ポート パラメーター (またはそれらと同等のもの) を使用して特性評価することです。この手法の別の例として、高周波トランジスタのベース領域を横切るキャリアのモデル化が挙げられます。ベース領域は、集中コンポーネントではなく、分布抵抗と分布容量としてモデル化する必要があります。

画像解析

伝送線路や特定のフィルタ設計では、伝達パラメータを決定するためにイメージ法が用いられます。この方法では、同一ネットワークを無限に縦続接続したチェーンの挙動を考慮します。そして、この無限に長いチェーンの入出力インピーダンス、および順方向および逆方向の伝送関数を計算します。このようにして得られた理論値は、実際には正確に実現することはできませんが、多くの場合、チェーンが短すぎない限り、有限のチェーンの挙動の非常に良い近似値として機能します。

シミュレーションによる時間ベースのネットワーク分析

ほとんどの解析手法は、メモリレスコンポーネントのみで構成される回路である静的ネットワークの電圧と電流値を計算しますが、複雑な動的ネットワークでは困難を伴います。一般に、動的回路の挙動を記述する方程式は、微分代数方程式系（DAE）の形式をとります。DAEは解くのが難しく、その解法は（2010年現在）まだ十分に理解・開発されていません。また、DAEの解が存在し、かつ一意であることを保証する一般的な定理も存在しません。[ 5 ]：204-205 特殊なケースでは、動的回路の方程式は常微分方程式（ODE）の形式をとります。ODEを解く数値解析法は1800年代後半にまで遡る豊富な歴史を持つため、ODEはより容易に解くことができます。ODE解法をDAEに適応させる戦略の一つは直接離散化と呼ばれ、回路シミュレーションにおいて選択される手法です。[ 5 ]：204-205

時間ベースネットワーク解析のためのシミュレーションベースの手法は、初期値問題（IVP）として提示された回路を解きます。つまり、メモリを持つコンポーネントの値（たとえば、コンデンサの電圧やインダクタを流れる電流）が初期時点t 0で与えられ、解析は時間 に対して行われます。[ 5 ]：206-207 t 0からt fまでの無限の数の時点について数値結果を求めることは不可能であるため、この時間間隔は離散的な時間インスタンスに離散化され、各インスタンスについて数値解が求められます。時間インスタンス間の時間はタイムステップと呼ばれ、シミュレーション全体を通して固定することも、適応的に変更することもできます。 t0≤t≤tf{\displaystyle t_{0}\leq t\leq t_{f}}

IVPでは、時刻t n+1の解を求める際に、時刻t nの解は既に分かっています。そこで、時間的離散化を用いて、微分を差分に置き換えます。例えば、後退オイラー法では、h n+1が時間ステップです。[ 5 ] : 266 x′(tn+1)≈xn+1−xnhn+1{\displaystyle x'(t_{n+1})\approx {\frac {x_{n+1}-x_{n}}{h_{n+1}}}}

すべての回路部品が線形であるか、回路が事前に線形化されている場合、この時点での方程式系は線形方程式系であり、数値線形代数法で解くことができます。そうでない場合は、非線形代数方程式系であり、根探索アルゴリズムなどの非線形数値解法で解くことができます。

他の方法との比較

シミュレーション手法は、ラプラス変換に基づく手法（例えば伝達関数）よりもはるかに適用範囲が広く、コンデンサとインダクタを含む単純な動的ネットワークにしか適用できません。また、ラプラス変換に基づく手法では、ネットワークへの入力信号を任意に定義することはできません。

非線形ネットワーク

現実には、ほとんどの電子設計は非線形です。半導体デバイスを含まない設計はほとんどありません。これらのデバイスは必ず非線形です。理想的な半導体pn接合の伝達関数は、まさに非線形な関係で表されます。

i=Io(ev/VT−1){\displaystyle i=I_{o}\left(e^{{v}/{V_{T}}}-1\right)}

どこ;

  • iとvは瞬間電流と電圧です。
  • I oは逆漏れ電流と呼ばれる任意のパラメータであり、その値はデバイスの構造によって異なります。
  • V Tは熱電圧と呼ばれる温度に比例するパラメータであり、室温では約 25mV に等しくなります。

ネットワークにおいて非線形性が現れる方法は他にも数多くあります。線形重ね合わせを用いる手法は、非線形要素が存在する場合、どれもうまく機能しません。回路の種類や解析者が得たい情報に応じて、非線形性に対処する方法はいくつかあります。

構成方程式

上記のダイオード方程式は、一般的な形式の 要素構成方程式の例である。

f(v,i)=0{\displaystyle f(v,i)=0}

これは非線形抵抗器と考えることができます。非線形インダクタとコンデンサに対応する構成方程式はそれぞれ以下のとおりです。

f(v,φ)=0{\displaystyle f(v,\varphi )=0}
f(v,q)=0{\displaystyle f(v,q)=0}

ここで、 fは任意の関数、φは蓄積された磁束、qは蓄積された電荷です。

存在、独自性、安定性

非線形解析において重要な考慮事項は、一意性の問題です。線形コンポーネントで構成されたネットワークでは、与えられた境界条件に対して、常に唯一の一意の解が存在します。しかし、非線形回路では必ずしもそうとは限りません。例えば、固定電流が印加された線形抵抗器の場合、抵抗器にかかる電圧の解は1つしかありません。一方、非線形トンネルダイオードでは、与えられた電流に対して最大3つの電圧の解が存在します。つまり、ダイオードを流れる電流の特定の解は一意ではなく、同様に有効な他の解が存在する可能性があります。場合によっては、解が全く存在しないこともあります。その場合、解の存在性の問題を考慮する必要があります。

もう一つの重要な考慮事項は安定性の問題です。特定の解が存在するとしても、それは安定ではなく、わずかな刺激でその点から急速に逸脱してしまう可能性があります。あらゆる条件に対して絶対的に安定なネットワークは、それぞれの条件に対して、ただ一つの解しか持たないことが示されます。[ 6 ]

方法

スイッチングネットワークのブール解析

スイッチングデバイスとは、非線形性を利用して2つの相反する状態を作り出すデバイスです。例えば、デジタル回路のCMOSデバイスは、出力が正または負の電源レールのいずれかに接続され、デバイスがスイッチングしている過渡期を除き、その中間の電位には決して接続されません。この場合、非線形性は極端に高く設計されており、解析者はその特性を利用できます。このようなネットワークは、 2つの状態（「オン」/「オフ」、「正」/「負」など、使用される状態）をブール定数「0」と「1」に割り当てることで、ブール代数を用いて解析できます。

この解析では、過渡現象は無視され、デバイスの状態とブール値に割り当てられた公称状態との間のわずかな差異も考慮されません。例えば、ブール値「1」は+5Vの状態に割り当てられている場合があります。デバイスの出力は+4.5Vであっても、解析者はこれをブール値「1」とみなします。デバイスメーカーは通常、データシートにおいて、未定義とみなされる（つまり、結果が予測不可能となる）値の範囲を指定します。

過渡現象は解析者にとって全く無関心というわけではありません。スイッチングの最大速度は、ある状態から別の状態への遷移速度によって決まります。解析者にとって幸いなことに、多くのデバイスでは、遷移の大部分はデバイスの伝達関数の線形部分で発生するため、線形解析を適用することで、少なくともおおよその答えを得ることができます。

2つ以上の状態を持つブール代数を数学的に導出することは可能です。3状態デバイスは比較的よく使われていますが、電子機器ではあまり使われていません。

バイアスとシグナルの分析の分離

この手法は、回路の動作は本質的に線形であるべきであるが、それを実現するデバイスが非線形である場合に用いられます。トランジスタアンプはこの種のネットワークの一例です。この手法の本質は、解析を2つの部分に分けることです。まず、非線形手法を用いてDCバイアスを解析します。これにより、回路の静止動作点が確定します。次に、線形ネットワーク解析を用いて回路の小信号特性を解析します。これら2つの段階で使用可能な手法の例を以下に示します。

DC解析のグラフィカル手法

多くの回路設計において、DCバイアスは抵抗器（または抵抗器ネットワーク）を介して非線形部品に供給されます。抵抗器は線形部品であるため、伝達関数のグラフから非線形デバイスの静止動作点を特定するのは特に簡単です。その方法は次のとおりです。線形ネットワーク解析から、抵抗器ネットワークとそれらを駆動する発電機の出力伝達関数（つまり、出力電圧と出力電流の関係）を計算します。これは直線（負荷線と呼ばれます）となり、非線形デバイスの伝達関数プロットに容易に重ね合わせることができます。これらの直線が交差する点が静止動作点です。

おそらく最も簡単な実用的な方法は、（線形）ネットワークの開回路電圧と短絡電流を計算し、それらを非線形デバイスの伝達関数上にプロットすることです。この2点を結ぶ直線が、ネットワークの伝達関数です。

実際には、回路設計者はここで説明した手順とは逆の手順で作業を進めます。非線形デバイスのメーカーデータシートに記載されているグラフから出発して、設計者は所望の動作点を選択し、それを実現するために必要な線形部品の値を計算します。

バイアス対象となるデバイスが、ダイオードなど、それ自体が非線形である別のデバイスを介してバイアスを受けている場合でも、この方法を使用することは可能です。ただし、この場合、バイアス対象となるデバイスへのネットワーク伝達関数のプロットは直線ではなくなり、結果として作業が複雑になります。

小信号等価回路

この方法は、ネットワークにおける入力信号と出力信号の偏差が、非線形デバイスの伝達関数の実質的に線形な部分内に収まる場合、または伝達関数の曲線が線形とみなせるほど小さい場合に使用できます。これらの特定の条件下では、非線形デバイスは等価な線形ネットワークで表すことができます。この等価回路は完全に概念的なものであり、小さな信号偏差に対してのみ有効であることに留意する必要があります。デバイスのDCバイアスには全く適用できません。

単純な2端子デバイスの場合、小信号等価回路は2つの部品で構成できます。動作点における電圧/電流曲線の傾きに等しい抵抗（動抵抗）で、曲線に接します。この接線は一般に原点を通らないため、発電機として機能します。端子数が増えると、より複雑な等価回路が必要になります。

トランジスタ製造業者の間では、小信号等価回路を指定するための一般的な形式として、[h] パラメータと呼ばれる 2 ポート ネットワーク パラメータを使用する方法があります。これらは [z] パラメータと同様に 4 つのパラメータのマトリックスですが、[h] パラメータの場合は、インピーダンス、アドミタンス、電流ゲイン、電圧ゲインが混在した値です。このモデルでは、3 端子トランジスタは 2 ポート ネットワークであると見なされ、一方の端子は両方のポートに共通です。[h] パラメータは、どちらの端子を共通端子として選択するかによって大きく異なります。トランジスタにとって最も重要なパラメータは通常、エミッタ接地構成における順方向電流ゲイン h 21です。これはデータシートでは h feと表記されます。

2ポートパラメータを用いた小信号等価回路は、従属発生器の概念につながります。つまり、電圧発生器または電流発生器の値は、回路内の他の場所の電圧または電流に線形に依存します。例えば、[z]パラメータモデルは、この図に示すように、従属電圧発生器につながります。

[z]パラメータ等価回路図における従属電圧発生器

2ポートパラメータ等価回路には、常に従属関係にある生成器が存在します。これは[h]パラメータだけでなく、[z]パラメータやその他のパラメータにも当てはまります。これらの依存関係は、より大規模な線形ネットワーク解析において方程式を展開する際にも維持されなければなりません。

区分線形法

この方法では、非線形デバイスの伝達関数を複数の領域に分割します。各領域は直線で近似されます。したがって、伝達関数は特定の点までは線形ですが、その点を超えると不連続点が生じます。この点を超えると、伝達関数は再び線形になりますが、傾きが異なります。

この手法のよく知られた応用例は、pn接合ダイオードの伝達関数の近似です。理想ダイオードの伝達関数は、この（非線形）セクションの冒頭で示しました。しかし、この式はネットワーク解析ではほとんど用いられず、代わりに区分近似が用いられます。電圧が低下すると、ダイオード電流は急速に-I oまで減少することがわかります。この電流は、ほとんどの場合、無視できるほど小さいです。電圧が上昇すると、電流は指数関数的に増加します。ダイオードは、指数曲線の屈曲点までは開回路としてモデル化され、屈曲点を超えると半導体材料のバルク抵抗に等しい抵抗としてモデル化されます。

遷移点電圧の一般的な値は、シリコンデバイスでは0.7V、ゲルマニウムデバイスでは0.3Vです。スイッチングアプリケーションで時々使用される、ダイオードのさらに単純なモデルは、順方向電圧の場合は短絡、逆方向電圧の場合は開回路です。

ほぼ一定の 0.7V を持つ順方向バイアス PN 接合のモデルは、増幅器設計におけるトランジスタのベース-エミッタ接合電圧の近似値としてもよく使用されます。

区分法は小信号法と類似しており、線形ネットワーク解析手法は信号が一定の範囲内に収まっている場合にのみ適用できます。信号が不連続点を通過すると、モデルは線形解析には有効ではなくなります。しかし、区分法は小信号法に比べて、信号とDCバイアスに同様に適用できるという利点があります。そのため、これらは同じ操作で解析でき、線形に重ね合わせることができます。

時間変動成分

線形解析では、ネットワークの構成要素は不変であると仮定されますが、掃引発振器、電圧制御増幅器、可変イコライザーなど、一部の回路ではこの仮定は当てはまりません。多くの場合、構成要素の値の変化は周期的です。例えば、周期信号で励起される非線形構成要素は、周期的に変化する線形構成要素として表すことができます。シドニー・ダーリントンは、このような周期的な時間変動回路を解析する方法を公開しました。彼は、ロナルド・M・フォスターとヴィルヘルム・カウアーが線形回路の解析に用いた標準回路形式に類似した標準回路形式を開発しました。 [ 7 ]

ベクトル回路理論

スカラー量に基づく回路理論をベクトル電流へと一般化することは、スピン回路のような新しく進化する回路にとって不可欠です。一般化された回路変数は、スカラー電流とx、y、z方向のベクトルスピン電流の4つの要素で構成されます。電圧と電流はそれぞれベクトル量となり、コンダクタンスは4x4のスピンコンダクタンス行列として記述されます。

参照

参考文献

  1. ^ Belevitch V (1962年5月). 「回路理論の歴史の要約」. Proceedings of the IRE . 50 (5): 849. doi : 10.1109/JRPROC.1962.288301 . S2CID  51666316 .「IRE回路標準規格：線形受動相互時不変ネットワークの用語定義、1960年」を引用。IRE会議録。48 ( 9):1609。1960年9月。doi : 10.1109/JRPROC.1960.287676。この定義を正当化するために。Sidney Darlington Darlington S (1984). 「抵抗、インダクタ、コンデンサからなる回路のネットワーク合成とフィルタ理論の歴史」IEEE Transactions on Circuits and Systems . 31 (1): 4. doi : 10.1109/TCS.1984.1085415 .ベレヴィッチ氏に従いますが、現在では「ネットワーク」が口語的にも多く使われていることにも注目しています。
  2. ^ a b c d陳、ワイカイ（2005年）。回路解析とフィードバック増幅器理論。CRCプレス。ISBN 1420037277。
  3. ^ a bニルソン, ジェームズ・W.; リーデル, スーザン・A. (2007).電気回路（第8版）. ピアソン・プレンティス・ホール. ISBN 978-0-13-198925-2。
  4. ^ Kumar, Ankush; Vidhyadhiraja, NS; Kulkarni, G. U . (2017). 「導電性ナノワイヤネットワークにおける電流分布」. Journal of Applied Physics . 122 (4): 045101. Bibcode : 2017JAP...122d5101K . doi : 10.1063/1.4985792 .
  5. ^ a b c d Najm, Farid N. (2010).回路シミュレーション. John Wiley & Sons. ISBN 9780470538715。
  6. ^ Ljiljana Trajković、「非線形回路」、電気工学ハンドブック（Wai-Kai Chen編）、p. 79–81、Academic Press、2005 ISBN 0-12-170960-4
  7. ^米国特許3265973、シドニー・ダーリントン、アーウィン・W・サンドバーグ、「周期的に時間変化する要素を持つ2ポートネットワークの合成」、1966年8月9日発行 
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