角度分解能
M87*の拡大画像シリーズ。数マイクロ秒角の角度で拡大しており、月面でテニスボールを見るのと同等の大きさです (左上隅から反時計回りに右上隅まで拡大)。

角度分解能とは、光学望遠鏡や電波望遠鏡、顕微鏡、カメラ、目などの画像形成装置が物体の細部を区別する能力のことであり、画像解像度の主要な決定要因となります。これは、光波に適用される光学、電波に適用されるアンテナ理論、音波に適用される音響学において用いられます。「解像度」という用語の口語的な用法は、時に混乱を招きます。光学系が高解像度または高角度分解能を持つと言われる場合、それは解像された隣接する物体間の知覚距離、つまり実際の角度距離が小さいことを意味します。この特性を定量化する値θはレイリー基準によって与えられ、高解像度のシステムでは低くなります。密接に関連する用語である空間分解能は、空間に関する測定精度を指し、画像機器における角度分解能に直接関連しています。レイリーの条件は、結像系が解像できる最小の角度広がりは、回折によって波の波長と開口幅の比に制限されることを示しています。このため、天体望遠鏡、長距離望遠カメラレンズ、電波望遠鏡などの高解像度結像系は、大きな開口を備えています。

用語の定義

分解能とは、撮像素子が小さな角度距離にある物体の点を分離する（すなわち、別個のものとして見る）能力、あるいは光学機器が遠く離れた近接した物体を個々の像に分離する能力のことです。分解能または最小分解距離という用語は、像内で識別可能な物体間の最小距離を指しますが、顕微鏡や望遠鏡の多くのユーザーは、この用語を分解能を表すために漠然と使用しています。後述するように、回折限界分解能は、レイリーの基準によって、2つの点光源の最大値が、もう一方の点光源の回折パターン（エアリーディスク）の最初の最小値に位置する場合の、2つの点光源間の角度差として定義されます。科学的分析において一般的に「分解能」という用語は、あらゆる機器が研究対象の標本またはサンプル内のあらゆる変数を（画像またはスペクトルに）測定および記録する精度を表すために使用されます。

レイリー基準

2つの点光源から発せられた光が、目の瞳孔などの円形の開口部を通過する際に生成されるエアリー回折パターン。遠く離れた点（上）やレイリー基準を満たす点（中央）は区別できます。レイリー基準よりも近い点（下）は区別が困難です。

結像システムの解像度は、収差、または像のぼやけを引き起こす回折によって制限されることがあります。これら2つの現象は原因が異なり、互いに関連がありません。収差は幾何光学によって説明でき、原理的にはシステムの光学品質を向上させることで解決できます。一方、回折は光の波動性に起因し、光学素子の有限な開口部によって決まります。レンズの円形開口部は、単スリット実験の2次元版に似ています。レンズを通過する光は、透過光の波面が出口開口部上で球面または平面である とすると、レンズを通過する光と干渉して、エアリーパターンと呼ばれるリング状の回折パターンを作り出します。

回折と収差の相互作用は、点像分布関数(PSF) によって特徴付けることができます。レンズの開口部が狭いほど、PSF は回折によって支配される可能性が高くなります。その場合、光学系の角度分解能は、レイリー卿によって定義されたレイリー基準によって (開口部の直径と光の波長から) 推定できます。2 つの点光源は、添付の写真に示すように、一方の画像のエアリー ディスクの主な回折最大値 (中心) がもう一方のエアリー ディスクの最初の最小値と一致するときに、ちょうど分解されたと見なされます[ 1 ] [ 2 ]。 (レイリー基準の限界を示す右下の写真では、一方の点光源の中心の最大値がもう一方の最初の最小値の外側にあるように見える場合がありますが、定規で調べると、2 つが交差していることが確認できます。) 距離が大きい場合、2 つの点は十分に分解されており、小さい場合は分解されていないと見なされます。レイリーは、同等の強さの源泉に関するこの基準を擁護した。[ 2 ]

円形の開口部を通した回折を考慮すると、これは次のように変換されます。

θ≈1.22λD（それを考慮すると罪⁡θ≈θ）{\displaystyle \theta \approx 1.22{\frac {\lambda }{D}}\quad ({\text{\sin \theta \approx \theta を考慮すると)}

ここで、θは角度分解能（ラジアン）、λは光の波長、Dはレンズの口径です。係数 1.22 は、回折パターンの中心エアリーディスクを囲む最初の暗い円形リングの位置の計算から導き出されます。この数値はより正確には 1.21966989... ( OEIS :  A245461 ) であり、これは第一種 1 次ベッセル関数の最初の零点をπで割った値です。 J1（×）{\displaystyle J_{1}(x)}

正式なレイリー基準は、イギリスの天文学者WRドーズが以前に等輝度の近接した連星で人間の観測者をテストして発見した経験的分解能の限界に近い。その結果、 θ = 4.56/ D （ Dはインチ、θは秒角）は、レイリー基準で計算されたものよりもわずかに狭い。エアリーディスクを点像分布関数として使用した計算では、ドーズの限界では2つの最大値の間に5%のディップがあるのに対し、レイリー基準では26.3%のディップがあることがわかった。[ 3 ]点像分布関数のデコンボリューションを含む現代の画像処理技術により、さらに角度の分離が小さい連星の分解能も可能になっている。

小角近似を用いると 、角度分解能は、角度（ラジアン）と物体までの距離を乗じることで空間分解能Δ ℓに変換できます。顕微鏡の場合、その距離は対物レンズの焦点距離fにほぼ等しくなります。この場合、レイリーの基準は次のようになります。

Δℓ≈1.22fλD{\displaystyle \Delta \ell \approx 1.22{\frac {f\lambda }{D}}}。

これは、結像面において、平行光線を焦点に集めることができる最小のスポットの半径であり、レンズが分解できる最小の物体のサイズにも対応します。[ 4 ]サイズは波長λに比例するため、たとえば青色光は赤色光よりも小さなスポットに焦点を絞ることができます。レンズが有限の範囲の光線（レーザー光線など）を焦点に集めている場合、 Dの値はレンズではなく光線の直径に対応します。 [注1 ]空間解像度はDに反比例するため、広い光線は狭いスポットよりも小さなスポットに焦点を絞ることができるという少し意外な結果につながります。この結果はレンズの フーリエ特性に関連しています。

同様の結果は、小さなセンサーで無限遠にある被写体を撮影する場合にも当てはまります。角度解像度は、fをイメージセンサーまでの距離としてセンサー上の空間解像度に変換できます。これは、画像の空間解像度とF値の関係を示しています。f /#:

Δℓ≈1.22fλD＝1.22λ⋅（f/#）{\displaystyle \Delta \ell \approx 1.22{\frac {f\lambda }{D}}=1.22\lambda \cdot (f/\#)}。

これはエアリーディスクの半径なので、解像度は直径で見積もった方がよい。2.44λ⋅（f/#）{\displaystyle 2.44\lambda \cdot (f/\#)}

具体的な事例

様々な光波長における回折限界における開口径と角度分解能の両対数プロットを、様々な天文機器と比較した図。例えば、青い星印はハッブル宇宙望遠鏡が可視スペクトルにおいて0.1秒角でほぼ回折限界に達していることを示しています。一方、赤い円印は人間の目の分解能が理論上は20秒角であることを示していますが、実際には60秒角に過ぎません。

単一の望遠鏡

角度分解能よりも小さい角度で離れた点状光源は分解できません。単一の光学望遠鏡では1秒角未満の角度分解能を実現できますが、天体シーイングやその他の大気の影響により、この分解能を達成することは非常に困難です。

望遠鏡の 角度分解能Rは通常、次のように近似できる。

R＝λD{\displaystyle R={\frac {\lambda }{D}}}

ここで、λは観測される放射の波長、Dは望遠鏡の対物レンズの直径です。得られるRはラジアンで表されます。例えば、波長 580 nmの黄色光の場合 、0.1 秒角の分解能を得るには D=1.2 m が必要です。角度分解能よりも大きい光源は拡散光源または拡散光源と呼ばれ、小さい光源は点光源と呼ばれます。

この式は、波長が約 562 nm の光の場合、ドーズの限界とも呼ばれます。

この場合の天体観測によるガウス分散の角度分解能の単位は半電力直径であり、これは望遠鏡からの電力の半分が中心となる角度直径である。[ 5 ]

望遠鏡アレイ

望遠鏡の最高の角度分解能は、天文干渉計と呼ばれる望遠鏡アレイによって達成されます。これらの装置は、光波長で0.001秒角の角度分解能を達成でき、X線波長ではさらに高い分解能を達成できます。開口合成画像化を行うには、必要な画像分解能の数分の1（0.25倍）よりも優れた寸法精度で、多数の望遠鏡を2次元的に配置する必要があります。

干渉計アレイの角度分解能Rは通常、次のように近似できる。

R＝λB{\displaystyle R={\frac {\lambda }{B}}}

ここで、λは観測される放射の波長、Bはアレイ内の望遠鏡間の最大物理的距離（基線）の長さです。Rはラジアンで表されます。角度分解能よりも大きい光源は拡散光源または拡散光源と呼ばれ、小さい光源は点光源と呼ばれます。

たとえば、波長 580 nm の黄色光で 1 ミリ秒角の解像度の画像を形成するには、145 nm 以上の寸法精度で 120 m × 120 m のアレイに配置された望遠鏡が必要です。

顕微鏡

解像度R（ここでは距離として測定されますが、前のサブセクションの角度解像度と混同しないでください）は角度開口 に依存する：[ 6 ]α{\displaystyle \alpha}

R＝1.22λ北あコンデンサー+北あ客観的{\displaystyle R={\frac {1.22\lambda }{\mathrm {NA} _{\text{コンデンサー}}+\mathrm {NA} _{\text{目的}}}}}どこ。北あ＝n罪⁡θ{\displaystyle \mathrm {NA} =n\sin \theta }

ここで、NA は開口数、はレンズの開先角の半分（レンズの直径と焦点距離によって決まる）、はレンズと標本間の媒体の屈折率、は標本を照らす光または（蛍光顕微鏡の場合）標本から発せられる光の波長です。 θ{\displaystyle \theta }α{\displaystyle \alpha }n{\displaystyle n}λ{\displaystyle \lambda }

したがって、最高の解像度を得るには、対物レンズとコンデンサーの両方のNAを可能な限り高くする必要があります。両方のNAが同じ場合、式は次のように簡略化されます。

R=0.61λNA≈λ2NA{\displaystyle R={\frac {0.61\lambda }{\mathrm {NA} }}\approx {\frac {\lambda }{2\mathrm {NA} }}}

実用的な限界は約70°です。乾燥した対物レンズまたはコンデンサーでは、最大NAは0.95になります。高解像度の油浸レンズでは、屈折率1.52の油浸油を使用した場合、最大NAは通常1.45です。これらの制限により、可視光を使用する光学顕微鏡の解像度限界は約200 nmです 。可視光の最短波長が紫（）であることを考えると、 θ{\displaystyle \theta }λ≈400nm{\displaystyle \lambda \approx 400\,\mathrm {nm} }

R=1.22×400nm1.45 + 0.95=203nm{\displaystyle R={\frac {1.22\times 400\,{\mbox{nm}}}{1.45\ +\ 0.95}}=203\,{\mbox{nm}}}

これは約200 nmです。

油浸対物レンズは、被写界深度が浅く、作動距離が極めて短いため、実用上困難を伴うことがあります。そのため、非常に薄い（0.17 mm）カバーガラス、または倒立顕微鏡の場合は薄いガラス底のペトリ皿を使用する必要があります。

しかし、この理論限界を下回る解像度は、超解像顕微鏡を用いることで達成できます。これには、近接場光（近接場走査光学顕微鏡）や4Pi STED顕微鏡と呼ばれる回折技術が含まれます。どちらの技術でも、30 nmほどの小さな物体が解像されています。[ 7 ] [ 8 ]さらに、光活性化局在顕微鏡法は、そのサイズの構造を解像できるだけでなく、Z方向（3D）の情報も提供できます。

角度分解能による望遠鏡とアレイのリスト

名前画像角度分解能（秒角）波長タイプサイト年
グローバルミリ波VLBIアレイ（協調ミリ波VLBIアレイの後継）0.000012 (12 μas)ラジオ（1.3 cm）さまざまな電波望遠鏡の超長基線干渉計アレイ地球上および宇宙のさまざまな場所[ 9 ]2002年 - 
超大型望遠鏡/ PIONIER0.001（1マス）光（1-2マイクロメートル）[ 10 ]4つの反射望遠鏡を備えた最大の光学アレイパラナル天文台、アントファガスタ地方、チリ2002/2010 -
ハッブル宇宙望遠鏡0.04光（500 nm付近）[ 11 ]宇宙望遠鏡地球軌道1990年 -
ジェイムズ・ウェッブ宇宙望遠鏡0.1 [ 12 ]赤外線（2000 nm）[ 13 ]宇宙望遠鏡太陽-地球 L22022年 -

参照

注記

  1. ^レーザービームの場合、ガウス光学解析はレイリー基準よりも適切であり、上記の式で示されるよりも小さな回折限界スポットサイズを明らかにする可能性がある。

参考文献

  1. ^ Born, M. ; Wolf , E. (1999).光学原理.ケンブリッジ大学出版局. p.  461. ISBN 0-521-64222-1。
  2. ^ a bレイリー卿（FRS）（1879年）「分光器を中心とした光学研究」『哲学雑誌』5.8（49）261–274 . doi：10.1080/14786447908639684 .
  3. ^ Michalet, X. (2006). 「光子統計を用いた顕微鏡解像度の向上」 . Proceedings of the National Academy of Sciences . 103 (13): 4797– 4798. Bibcode : 2006PNAS..103.4797M . doi : 10.1073/pnas.0600808103 . PMC 1458746. PMID 16549771 .  
  4. ^ 「回折：円形開口部におけるフラウンホーファー回折」（PDF） . Melles Griot Optics Guide . Melles Griot . 2002年.オリジナル（PDF）から2011年7月8日にアーカイブ。 2011年7月4日閲覧。
  5. ^ 「5. X線望遠鏡（XRT）」 . www.astro.isas.jaxa.jp . 2025年7月9日閲覧。
  6. ^ Davidson, MW 「解像度」 . NikonのMicroscopyU . Nikon . 2017年2月1日閲覧。
  7. ^ Pohl, DW; Denk, W.; Lanz, M. (1984). 「光学式聴診法：解像度λ/20の画像記録」 .応用物理学論文集. 44 (7): 651. Bibcode : 1984ApPhL..44..651P . doi : 10.1063/1.94865 .
  8. ^ Dyba, M. 「4Pi-STED-Microscopy...」マックス・プランク協会、ナノバイオフォトニクス部門。2017年2月1日閲覧。
  9. ^ 「天文学における最高角度解像度の画像」マックス・プランク電波天文学研究所2022年5月13日. 2022年9月26日閲覧。
  10. ^ de Zeeuw, Tim (2017). 「天文学の新たな高みへ - ESO長期展望」. The Messenger . 166 : 2. arXiv : 1701.01249 . Bibcode : 2016Msngr.166....2D .
  11. ^ 「ハッブル宇宙望遠鏡」 NASA 2007年4月9日2022年9月27日閲覧。
  12. ^ダルカントン, ジュリアンヌ; シーガー, サラ; エグレイン, スザンヌ; バテル, スティーブ; ブラント, ニール; コンロイ, チャーリー; フェインバーグ, リー; ゲザリ, スヴィ; ギヨン, オリヴィエ; ハリス, ウォルト; ヒラタ, クリス; マザー, ジョン; ポストマン, マーク; レディング, デイブ; シミノビッチ, デイビッド; スタール, H. フィリップ; タムリンソン, ジェイソン (2015). 「宇宙の誕生から生きている地球へ：UVOIR宇宙天文学の未来」. arXiv : 1507.04779 [ astro-ph.IM ].
  13. ^ 「FAQ Full General Public Webb Telescope/NASA」 . jwst.nasa.gov . 2002年9月10日. 2022年9月27日閲覧。
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