アルキメデスの牛問題
アルキメデスの牛問題に対する最小の解。各アイコンは約10を表す。206,543頭の牛

アルキメデスの牛問題（アルキメデスのうしんじょう、またはアルキメデスのうしんじょう）は、整数解を持つ多項式方程式の研究であるディオファントス解析学における問題である。アルキメデスに帰せられるこの問題は、与えられた制約条件のもとで太陽神の牛の群れの頭数を計算するものである。この問題は、1773年にドイツのヴォルフェンビュッテルにあるヘルツォーク・アウグスト図書館に所蔵されていた44行の詩を含むギリシャ語写本の中で、ゴットホルト・エフライム・レッシングによって発見された。[ 1 ]

この問題は、解を求めるのに膨大な数の計算が困難だったこともあり、長年未解決のままでした。一般解は、1880年にドイツのドレスデンにある聖十字架のギムナジウムの校長であったカール・エルンスト・アウグスト・アムトール（1845-1916）によって発見されました。 [ 2 ] [ 3 ] [ 4 ]彼は対数表を用いて最小解の最初の桁を計算し、それが約7.76 × 10 206 544頭の牛は、観測可能な宇宙に収まる量をはるかに超えています。[ 5 ]小数点以下の数値は人間が正確に計算するには長すぎますが、コンピュータ上の多倍長演算パッケージでは明示的に書き出すことができます。

歴史

1769年、ゴットホルト・エフライム・レッシングは、ドイツのヴォルフェンビュッテルにあるヘルツォーク・アウグスト図書館の司書に任命されました。同図書館には、多くのギリシア語とラテン語の写本が所蔵されていました。[ 6 ]数年後、レッシングは写本の一部を解説付きの翻訳として出版しました。その中には、太陽神の牛の群れの中の牛の数を求める算数問題を含む44行のギリシア詩がありました。これは現在、一般的にアルキメデスの作とされています。[ 7 ] [ 8 ]

問題

アイヴァー・トーマスによる英語への翻訳では、この問題は次のようになっている。[ 9 ]

おお、よそ者よ、もし汝が勤勉かつ賢明であるならば、太陽の牛の数を計算してみよ。その牛は昔、シチリア島のトリナキア島の野原で草を食んでいた。牛は色の異なる4つの群れに分かれており、1つは乳白色、1つは光沢のある黒色、3番目は黄色、最後は斑紋のある毛色であった。それぞれの群れには雄牛がおり、その数はこれらの割合に従って多かった。よそ者よ、理解してみよ、白い雄牛は黒色の2分の1と3分の1に黄色の毛色全体を足したもので、黒い雄牛は斑紋のある雄牛の4分の1と5分の1に黄色の毛色全体を足したものであった。さらに、残りの斑紋のある雄牛は白色の6分の1と7分の1に黄色の毛色全体を足したものであったことにも注目せよ。これが雌牛の割合である。白牛は黒色の群れ全体の3分の1と4分の1に正確に等しかった。黒い牛は、まだら模様の牛の4分の1に相当し、さらに5分の1に相当した。雄牛も含めたすべての牛が一緒に牧草地へ行った時のことである。さて、まだら模様の牛の4分の1は、黄色の牛の5分の1と6分の1に相当した。最後に、黄色の牛の数は、白い牛の6分の1と7分の1に相当した。よそ者よ、もし汝が太陽の牛の数を正確に言い当てることができれば、肥えた雄牛の数と、それぞれの色に応じた雌牛の数を別々に言い当てることができれば、汝は数に疎いとか無知だとは言われないだろうが、それでも賢者の仲間入りは果たせないであろう。

さあ、太陽の牛に関するこれらの条件もすべて理解せよ。白い雄牛が黒い雄牛と数を重ねると、それらは奥行きも幅も等しくしっかりと立ち、あらゆる方向に広がるトリナキアの平原は、その群れで満たされた。また、黄色の雄牛とまだら模様の雄牛が一つの群れに集められると、それらの数は一頭から始まり、徐々に増えて三角形を成すようになり、その中に他の色の雄牛はおらず、欠けているものもなかった。もし汝が、おお、異邦人よ、これらすべてを解明し、それらを心の中にまとめ、すべての関係を述べることができれば、汝は栄光の冠を戴き、この種の知恵において完全であると認められたことを知りながら去るであろう。

解決

問題の最初の部分は、連立方程式を立てることで簡単に解くことができます。白、黒、まだら模様、黄色の雄牛の数をそれぞれおよび と書き、白、黒、まだら模様、黄色の雌牛の数をそれぞれ および と書きます。問題は単に の解を求めることです。 W、B、D、{\displaystyle W,B,D,}はい{\displaystyle Y}わ、b、d、{\displaystyle w,b,d,}y{\displaystyle y}

W＝56B+はい、B＝920D+はい、D＝1342W+はい、わ＝712（B+b）、b＝920（D+d）、d＝1130（はい+y）、y＝1342（W+わ）、{\displaystyle {\begin{aligned}W&={\frac {5}{6}}B+Y,\\B&={\frac {9}{20}}D+Y,\\D&={\frac {13}{42}}W+Y,\\w&={\frac {7}{12}}(B+b),\\b&={\frac {9}{20}}(D+d),\\d&={\frac {11}{30}}(Y+y),\\y&={\frac {13}{42}}(W+w),\end{aligned}}}

これは8つの未知数を持つ7つの方程式からなる連立方程式である。これは不定であり、無限個の解を持つ。7つの方程式を満たす最小の正の整数は

B＝7460514＝4657×1602、W＝10366482＝4657×2226、D＝7358060＝4657×1580、はい＝4149387＝4657×891、b＝4893246、わ＝7206360、d＝3515820、y＝5439213、{\displaystyle {\begin{aligned}B&=7\,460\,514=4657\times 1602,\\W&=10\,366\,482=4657\times 2226,\\D&=7\,358\,060=4657\times 1580,\\Y&=4\,149\,387=4657\times 891,\\b&=4\,893\,246,\\w&=7\,206\,360,\\d&=3\,515\,820,\\y&=5\,439\,213,\end{aligned}}}

合計すると50 389 082頭の牛[ 10 ]であり、他の解はこれらの整数倍です。素数p = 4657の場合、最初の4つの数はpの倍数であり、pとp + 1の両方が以下で繰り返し出現することに注意してください。

問題の2番目の部分では、は平方数であり、は三角数であると述べられています。この問題のこの部分の一般解は、1880年にA. Amthor [ 2 ]によって初めて発見されました。次のバージョンは、H. W. Lenstra [ 5 ]によってペルの方程式に基づいて記述されました。問題の最初の部分に対する上記の解は、 W+B{\displaystyle W+B}はい+D{\displaystyle Y+D}

n＝（×4658j−×−4658j）24657×79072、{\displaystyle n={\frac {(x^{4658j}-x^{-4658j})^{2}}{4657\times 79072}},}

ここでjは任意の正の整数であり、

×＝300426607914281713365609+841295076778583932587766、{\displaystyle x=300\,426\,607\,914\,281\,713\,365{\sqrt {609}}+84\,129\,507\,677\,858\,393\,258{\sqrt {7766}},}

同様に、xを2乗すると

x2=u+v609×7766,{\displaystyle x^{2}=u+v{\sqrt {609\times 7766}},}

ペル方程式の基本解はどこにあるか(u,v){\displaystyle (u,v)}

u2−(609×7766)v2=1.{\displaystyle u^{2}-(609\times 7766)v^{2}=1.}

問題の第一段階と第二段階の両方を満たす最小の群れのサイズはj = 1で与えられ、およそ（アムソーによって最初に解決された）。現代のコンピュータは、答えのすべての桁を簡単に印刷することができる。これは1965年にウォータールー大学でヒュー・C・ウィリアムズ、R・A・ジャーマン、チャールズ・ロバート・ザーンケによって初めて行われた。彼らはIBM 7040とIBM 1620コンピュータを組み合わせて使用​​した。[ 11 ]7.76×10206544{\displaystyle 7.76\times 10^{206\,544}}

ペル方程式

問題の後半部分の制約条件は明確であり、実際に解くべきペル方程式は容易に与えられる。まず、 が平方であるべきかどうか、あるいは上記の値を用いると、 B+W{\displaystyle B+W}

B+W=7460514k+10366482k=(22×3×11×29×4657)k,{\displaystyle B+W=7\,460\,514\,k+10\,366\,482\,k=(2^{2}\times 3\times 11\times 29\times 4657)k,}

したがって、何らかの整数qに対して と設定すればよい。これで最初の条件は解決される。2つ目の条件については、 が三角数となる必要がある。 k=(3×11×29×4657)q2{\displaystyle k=(3\times 11\times 29\times 4657)q^{2}}D+Y{\displaystyle D+Y}

D+Y=t2+t2.{\displaystyle D+Y={\frac {t^{2}+t}{2}}.}

tを解くと、

t=−1±1+8(D+Y)2.{\displaystyle t={\frac {-1\pm {\sqrt {1+8(D+Y)}}}{2}}.}

D + Yとkの値を代入し、この二次方程式の判別式が完全な平方p 2となるようなq 2の値を求めると、ペル方程式を解くことになる。

p2−(22×609×7766×46572)q2=1.{\displaystyle p^{2}-(2^{2}\times 609\times 7766\times 4657^{2})q^{2}=1.}

前のセクションで議論したアムソールのアプローチは、本質的にはで割り切れる最小の値を求めるというものでした。この方程式の基本解は10万桁以上になります。 v{\displaystyle v}2×4657{\displaystyle 2\times 4657}

参考文献

  1. ^レッシング、ゴットホルト・エフライム (1773)。Zur Geschichte und Litteratur: aus den Schätzen der Herzoglichen Bibliothek zu Wolfenbüttel, Zweyter Beytrag [歴史と文学について: ヴォルフェンビュッテルの公爵図書館の宝物より、第 2 回の記事] (ドイツ語とギリシャ語)。ブラウンシュヴァイク、(ドイツ): Fürstlicher Waysenhaus。 pp.  421–425。2018-09-17のオリジナルからアーカイブ。2018年9月17日に取得。ページ 422–423 より: " Denn, wie gesagt, das 問題解決、ウェン エス ニヒト フォン デム アルキメデス selbst abgefaßt worden、doch von ihm für werth erkannt seyn、daß er es den Eratosthenes geschicket hätte、um es den Meßkünstern zu Alexandria zur Auflösung vorzulegen. Dieses besagt die Aufschrift;  ... " (というのは、[上で] 述べたように、この問題 [ギリシャ語: ΠΡΟΒΛΗΜΑ] は、アルキメデス [ギリシャ語: Α'ΡΧΙΜΗΔΗΣ] 自身によって構成されていなかったとしても、まだ認識されているはずです。彼はそれを送るのにふさわしい人だったエラトステネス（ギリシャ語：ΕΡΑΤΟΣΘΕΝΗΝ）は、アレクサンドリアの測量士に提出して解決を依頼した。題名にはこうある。 …）423～424ページ（ギリシャ語）参照。
  2. ^ a bクランビーゲル、B.;アムソール、A. (1880)。「Das Problema bovinum des Archimedes」 [アルキメデスの牛の問題]。Zeitschrift für Mathematik und Physik: Historisch-literarische Abtheilung [数学と物理学ジャーナル: 歴史文学セクション] (ドイツ語、ギリシャ語、ラテン語)。25：121～ 136、153 ～ 171。
  3. ^オーガスト・アムソーの経歴:
    • アムソールのフルネームは次の文献に掲載されています: (学校管理) (1876)。Programm des Gymnasiums zum Heiligen Kreuz in Dresden [ドレスデン聖十字架体育館プログラム] (ドイツ語)。ドレスデン、ドイツ: K. Blochmann und Sohn。 p. 31.
    • アムソールの略歴は、シンガー、イザドール、デ・レオン、エドワード・ウォーレン編（1910年）「アムソール、オーガスト（博士号）」『国際保険百科事典』第1巻、米国ニューヨーク州ニューヨーク：アメリカ百科事典図書館協会、18ページに掲載されています。
  4. ^この問題は、1895年にアメリカ合衆国イリノイ州ヒルズボロの測量士兼土木技師アダム・ヘンリー・ベルによって独立して解決されました。参照:
    • ベル, AH (1895). 「アルキメデスの有名な『牛問題』について」.数学雑誌. 2 : 163–164 .
    • ベル、AH (1895). 「紀元前251年のアルキメデスの『牛問題』」アメリカ数学月刊誌. 2 : 140–141 .
    • ベルのフルネームは、ベイトマン、ニュートン、セルビー、ポール編（1918年）「フィッシュ、アルバート・E.」『イリノイ歴史百科事典』第2巻、シカゴ、イリノイ州、米国：マンセル出版社、pp. 1049– 1050に掲載されています 。; 1050ページを参照。
    • ベルの職業については、メリマン・マンスフィールド著（1905年11月）「アルキメデスの牛問題」『ポピュラーサイエンス・マンスリー』 67巻、660～ 665ページに掲載されている。; 664ページを参照。
  5. ^ a b Lenstra, HW Jr. (2002)、「ペル方程式の解法」(PDF)、アメリカ数学会誌、49 (2): 182– 192、MR 1875156 
  6. ^ロレス、クリス. 「アルキメデスの牛問題（声明）」 . 2007年1月24日時点のオリジナルよりアーカイブ。 2007年1月24日閲覧。
  7. ^フレイザー, PM (1972). 『プトレマイオス朝アレクサンドリア』オックスフォード大学出版局.
  8. ^ Weil, A. (1972).数論、歴史を通じたアプローチ. Birkhäuser .
  9. ^ 「The Cattle Problem Statement (English)」ニューヨーク大学。 2022年7月11日閲覧。
  10. ^メリマン、マンスフィールド（1905年11月）「アルキメデスの牛問題」『ポピュラーサイエンス・マンスリー』67 : 660-665。
  11. ^ Harold AlkemaとKenneth McLaughlin (2007). 「ウォータールー大学におけるコンピューティングのアンバンドリング」 .ウォータールー大学. 2011年4月4日時点のオリジナルよりアーカイブ。 2011年4月5日閲覧。（写真付き）

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