スタック（数学）

数学において、スタックまたは2層とは、大まかに言えば、集合ではなくカテゴリに値を取る層のことです。スタックは、降下理論の主要な構成のいくつかを形式化するために、また、微細モジュライ空間が存在しない 場合に微細モジュライスタックを構成するために使用されます

降下理論は、同型で互換性のある幾何学的対象（位相空間上のベクトル束など）が位相基底の制約内で「接着」できる状況の一般化に関係しています。より一般的な設定では、制約は引き戻しに置き換えられ、ファイバー化圏はそのような接着の可能性を議論するための優れた枠組みとなります。スタックの直感的な意味は、「あらゆる可能な接着が成り立つ」ファイバー化圏であるということです。接着の仕様規定には、接着を考慮できる被覆の定義が必要です。これらの被覆を記述するための一般的な言語は、グロタンディーク位相です。したがって、スタックは、別の基底圏上のファイバー化圏として正式に与えられます。ここで、基底はグロタンディーク位相を持ち、ファイバー化圏は、グロタンディーク位相に関して特定の接着の存在と一意性を保証するいくつかの公理を満たします。

概要

スタックは、代数的スタック（アルティンスタックとも呼ばれる）とドリーニュ・マンフォードスタックの基礎構造であり、スキームと代数空間を一般化し、特にモジュライ空間の研究に役立ちます。包含関係があります

スキーム ⊆ 代数空間 ⊆ ドリーニュ–マンフォード スタック ⊆ 代数スタック (アルティン スタック) ⊆ スタック。

Edidin (2003)とFantechi (2001)はスタックの簡単な入門書であり、Gómez (2001)、Olsson (2007) 、およびVistoli (2005)はより詳細な入門書であり、Laumon & Moret-Bailly (2000) はより高度な理論について説明しています。

動機と歴史

保守的な問題を解決するための結論を導き出し、さまざまなモジュール (プルット、モジュールのスキーマ) を分類し、そのバリエーション (グローバル、無限) を確実に構造 (変数の完全性を確認する) を決定します。単一の存在、定型的な仮説の不正、適切な存在、非単一の存在、イベントの存在、構造の存在と自己同型の存在、行進の技術の確立。

グロタンディークがセールに宛てた手紙、1959年11月5日。

スタックの概念は、グロタンディーク (1959)における有効降下データの定義に由来する。1959年のセールへの手紙の中で、グロタンディークは、良好なモジュライ空間を構築する上で根本的な障害となるのは自己同型の存在であると指摘した。スタックの主要な動機は、自己同型の存在のためにある問題に対するモジュライ空間が存在しない場合でも、モジュライスタックを構築できる可能性があるということである。

マンフォード (1965) は、スタックが定義される以前に、楕円曲線のモジュライスタックのピカール群を研究した。スタックはジロー ( 1966 , 1971 ) によって初めて定義され、「スタック」という用語は、元々は「体」を意味するフランス語の「champ」に由来する、デリーニュとマンフォード (1969)によって導入された。この論文では、彼らはデリーニュ・マンフォードスタックも導入し、これを代数スタックと呼んだが、現在では「代数スタック」という用語は通常、アルティン ( 1974 )によって導入された、より一般的なアルティンスタックを指す。

群作用によるスキームの商を定義する場合、商がスキームでありながら商に求められる望ましい性質を満たすことはしばしば不可能である。例えば、いくつかの点に非自明な安定点がある場合、圏論的商はスキーム間には存在しないが、スタックとして存在する。

同様に、曲線、ベクトル束、その他の幾何学的オブジェクトのモジュライ空間は、スキームではなくスタックとして定義するのが最も適切であることが多い。モジュライ空間の構成は、まず対象となるオブジェクトを媒介変数とするより大きな空間を構築し、次に、自己同型を持つオブジェクトの過剰数を考慮するために群作用で割ることによって進められることが多い。

定義

抽象スタック

圏への関数を持つ圏は、の任意の射と（関数の下で）像を持つの任意の対象に対して、 によるの引き戻しが存在するとき、上のファイバー圏と呼ばれる。これは、像を持つ射であって、像を持つ任意の射が、 の唯一の射によってとして因数分解でき、その関数が に写像されることを意味する。この元はに沿ったの引き戻しと呼ばれ、標準同型を除いて一意である。 ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle F:X\to Y}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle f:x\to y}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle g:z\to y}$ ${\displaystyle G=F\circ H}$ ${\displaystyle g=f\circ h}$ ${\displaystyle h:z\to x}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle x=F^{*}y}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle F}$

圏cがグロタンディーク位相を持つ圏C上のプレスタックであるとは、圏 C がC上にファイバー化されており、かつCの任意の対象Uと像Uを持つcの対象x , yに対して、圏 C/U から集合への関数でF : V → Uから Hom( F * x , F * y ) に至るものが層であることを意味する。この用語は層の用語とは一致しない。プレスタックはプレシーブではなく、分離プレシーブの類似物である。一部の著者は、これをプレスタックではなくスタックの性質として要求している。

カテゴリcがC上のプレスタックであり、かつすべての降下データが有効であるとき、それはグロタンディーク位相を持つカテゴリC上のスタックと呼ばれる。降下データは、大まかに言って、 Cの対象Vの族V _iによる被覆、V _i上のファイバー内の元x _i、およびx _iとx _jの制約間の射f _jiから成り、適合条件f _ki = f _kj f _jiを満たすV _ij = V _i × _V V _jとなる。降下データは、元x _iが本質的に像Vを持つ元xの引き戻しである場合に有効と呼ばれる。

スタックは群体におけるスタック、あるいは群体においてもファイバー化されている場合は(2,1)-層と呼ばれます。ファイバー化されている場合、つまりそのファイバー（ Cのオブジェクトの逆像）は群体であることを意味します。一部の著者は、群体におけるスタックというより限定的な概念を指すために「スタック」という単語を使用しています。

代数的スタック

代数的スタックまたはアルティンスタックとは、 fppfサイト上の群Xのスタックであり、 Xの対角写像が表現可能であり、スキーム（に関連付けられたスタック）からXへの滑らかな全射が存在するものです。スタックの射Y Xが表現可能であるとは、スキーム（に関連付けられたスタック）からXへのすべての射S Xに対して、ファイバー積Y  × _X Sが代数空間（に関連付けられたスタック）に同型であることを意味します。スタックのファイバー積は、通常の普遍性を用いて定義され、図式が可換であるという要件を2-可換であるという要件に変更します。詳細については、 代数的スタックの射も参照してください${\displaystyle \rightarrow}$ ${\displaystyle \rightarrow}$  

対角線の表現可能性の背後にある動機は次のとおりです。 対角射が表現可能であるのは、代数空間の任意の射のペアに対して、それらのファイバー積が表現可能である場合のみです。 ${\displaystyle \Delta :{\mathfrak {X}}\to {\mathfrak {X}}\times {\mathfrak {X}}}$ ${\displaystyle X,Y\to {\mathfrak {X}}}$ ${\displaystyle X\times _{\mathfrak {X}}Y}$

デリーニュ・マンフォードスタックとは、あるスキームからXへのエタール射影が存在するような代数スタックXのことである。大まかに言えば、デリーニュ・マンフォードスタックは、その対象が無限小自己同型を持たない代数スタックと考えることができる。

代数スタックの局所構造

代数スタックの誕生以来、代数スタックは という形の局所商スタックであると期待されてきた。ここでは線型簡約代数群である。これは最近証明された。^{[ 1 ]}代数閉体上の有限型の局所的に準分離した代数スタック（その安定化群はアフィンである）と、線型簡約安定化群を持つ滑らかで閉じた点が与えられると、 GIT商のエタール被覆が存在する。ここで であり、図${\displaystyle [{\text{Spec}}(A)/G]}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle {\mathfrak {X}}}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle x\in {\mathfrak {X}}(k)}$ ${\displaystyle G_{x}}$ ${\displaystyle (U,u)\to (N_{x}//G_{x},0)}$ ${\displaystyle N_{x}=(J_{x}/J_{x}^{2})^{\vee}}$

${\displaystyle {\begin{matrix}([W/G_{x}],w)&\to &([N_{x}/G_{x}],0)\\\downarrow &&\downarrow \\(U,u)&\to &(N_{x}//G_{x},0)\end{matrix}}}$

は直交座標系であり、エタール射が存在する

${\displaystyle f:([W/G_{x}],w)\to ({\mathfrak {X}},x)}$

およびにおける安定群の同型性を誘導する。 ${\displaystyle w}$ ${\displaystyle x}$

例

基本的な例

• グロタンディーク位相を持つ圏の層はすべて、標準的にスタックに変換できます。オブジェクト に対しては、集合の代わりに、そのオブジェクトが の元であり、その射が恒等射である群体が存在します。${\displaystyle {\mathcal {F}}:C^{op}\to 集合}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle X\in {\text{Ob}}(C)}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}(X)}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}(X)}$
• より具体的には、反変関数を${\displaystyle h}$

${\displaystyle h:(Sch/S)^{op}\to 集合}$

そして、この関数は次のカテゴリを決定する。${\displaystyle H}$

1. オブジェクトは、スキームと要素のペアです。${\displaystyle (X\to S,x)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle (Sch/S)^{op}}$ ${\displaystyle x\in h(X)}$
2. 射はとなる の射から構成される。${\displaystyle (X\to S,x)\to (Y\to S,y)}$ ${\displaystyle \phi :X\to Y}$ ${\displaystyle (Sch/S)}$ ${\displaystyle h(\phi )(y)=x}$

忘却関手 を介して、圏は にファイバー化された圏となる。例えば、が のスキームである場合、 は反変関手を決定し、対応するファイバー化された圏は${\displaystyle p:H\to (Sch/S)}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle (Sch/S)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle (Sch/S)}$ ${\displaystyle h=\operatorname {Hom} (-,X)}$ Xに関連付けられたスタック。スタック（またはプレスタック）は、この構成の変形として構築できます。実際、準コンパクト対角線を持つ、スキームに関連付けられた代数的スタックです。${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$

オブジェクトのスタック

• 群スタック
• ベクトル束のモジュライスタック：ベクトル束V → Sの圏は、位相空間Sの圏上のスタックです。V → SからW → Tへの射は、 SからTおよびVからWへの連続写像（ファイバー上の線型）で構成され、自明な平方が可換となります。これがファイバー付きカテゴリーであるという条件は、位相空間の連続写像上でベクトル束の引き戻しを行うことができることから成り立ち、降下データムが有効であるという条件は、開被覆の要素上のベクトル束を接着することによって空間上のベクトル束を構成できることから成り立ちます
• スキーム上の準コヒーレント層のスタック（ fpqc位相とより弱い位相に関して）
• 基本スキーム上のアフィンスキームのスタック（これもfpqc位相またはより弱い位相に関して）

スタックを使った構成

スタック商

がスキームで、が に作用する滑らかなアフィン群スキームである 場合、商代数スタックが存在する。^{[ 2 ] は}、への同変写像を持つ-スキーム上の -torsorの群にスキームを適用する。明示的に、 -作用を持つ空間が与えられた場合、スタック を形成する。これは（直感的に言えば）空間をプルバック図式の群に送る。${\displaystyle X}$ ${\displaystyle (Sch/S)}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle [X/G]}$ ${\displaystyle Y\to S}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle [X/G]}$ ${\displaystyle Y}$

${\displaystyle [X/G](Y)={\begin{Bmatrix}Z&{\xrightarrow {\Phi }}&X\\\downarrow &&\downarrow \\Y&{\xrightarrow {\phi }}&[X/G]\end{Bmatrix}}}$

ここで、は空間の -同変射であり、は主-バンドルです。このカテゴリの射は、右辺の矢印が等しく、左辺の矢印が主-バンドルの射であるような図式の射です。 ${\displaystyle \Phi}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle Z\to Y}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$

分類スタック

X が点であるときのこの特別なケースは、滑らかなアフィン群スキームGの分類スタックBGを与えます。これは、 Y上のファイバーであるカテゴリが、まさに Y上の主 -バンドルのカテゴリであるため、このように名付けられています。自体は、 Y上の主G -バンドルのモジュライスタックであるスタックと見なすことができることに注意してください${\displaystyle {\textbf {B}}G:=[pt/G].}$ ${\displaystyle \mathbf {B} G(Y)}$ ${\displaystyle \operatorname {パン} _{G}(Y)}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle \operatorname {パン} _{G}(Y)}$

この構成の重要な部分例として、主 -バンドルのモジュライスタック が挙げられます。主 -バンドルのデータは階数ベクトルバンドルのデータと等価であるため、これは階数ベクトルバンドルのモジュライスタックと同型です。 ${\displaystyle \mathbf {B} GL_{n}}$ ${\displaystyle GL_{n}}$ ${\displaystyle GL_{n}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle Vect_{n}}$

線束のモジュライスタック

直線束のモジュライスタックは、すべての直線束が主 - 束と標準同型であるので、である。実際、スキーム 上の直線束が与えられたとき、相対的な仕様は${\displaystyle B\mathbb {G} _{m}}$ ${\displaystyle \mathbb {G} _{m}}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle S}$

${\displaystyle {\underline {\text{Spec}}}_{S}({\text{Sym}}_{S}(L^{\vee }))\to S}$

は幾何学的な直線束を与える。零切断の像を除去すると、主- 束が得られる。逆に、表現 から、関連する直線束を再構成することができる。 ${\displaystyle \mathbb {G} _{m}}$ ${\displaystyle id:\mathbb {G} _{m}\to {\text{Aut}}(\mathbb {A} ^{1})}$

ガーベ

ガーベとは、局所的に空でない群の積み重ねです。例えば、ある群に対して、各スキームにそのスキーム上の主 -バンドルの群を割り当てる自明なガーベが あります${\displaystyle BG}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$

相対的な仕様とプロジェクト

A がスキームS上の代数スタックXにおける準連接代数層である場合、可換環Aのスペクトル Spec( A ) の構成を一般化するスタック Spec( A ) が存在する。Spec( A )の対象は、 S -スキームT 、 X ( T )の対象x 、およびx *( A ) からTの座標環O ( T )への代数層の射によって与えられる。

A がスキームS上の代数スタックX内の次数付き代数の準コヒーレント層である場合、次数付きリングAの射影スキーム Proj( A )の構築を一般化するスタック Proj( A ) が存在する。

モジュライスタック

曲線のモジュライ

• マンフォード（1965）は、楕円曲線のモジュライスタックM _1,1を研究し、そのピカール群が12次の巡回群であることを示しました。複素数上の楕円曲線の場合、対応するスタックは、モジュラー群の作用による上半平面の商に類似しています
• 与えられた種数の滑らかな曲線の普遍的な族として定義される代数曲線のモジュライ空間は、 代数多様体としては存在しません。これは特に、非自明な自己同型を許容する曲線が存在するためです。しかし、モジュライスタック が存在し 、これは、存在しない滑らかな種数曲線の細かいモジュライ空間の良い代替となります。より一般的には、マークされた点を持つ種数曲線のモジュライスタック があります。一般にこれは代数スタックであり、 またはまたは (言い換えれば、曲線の自己同型群が有限である場合) に対しては Deligne–Mumford スタックです。このモジュライスタックには、( および が与えられた場合) 安定曲線のモジュライスタック からなる完備化があり、これは Spec Z上で適切です。たとえば、は射影一般線型群の分類スタックです。( を定義する際には、それを構成するスキームではなく代数空間を使用する必要があるという微妙な点があります。)${\displaystyle {\mathcal {M}}_{g}}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle {\mathcal {M}}_{g}}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle {\mathcal {M}}_{g,n}}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle g\geq 2}$ ${\displaystyle g=1,n\geq 1}$ ${\displaystyle g=0,n\geq 3}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle {\mathcal {M}}_{0}}$ ${\displaystyle B{\text{PGL}}(2)}$ ${\displaystyle {\mathcal {M}}_{1}}$

コンツェビッチモジュライ空間

モジュライ空間のもう一つの広く研究されているクラスは、固定された種数の曲線から、その像が固定されたコホモロジー類を表す固定された空間への安定写像の空間をパラメータ化するコンツェビッチモジュライ空間である。これらのモジュライ空間は^{[ 3 ]}と表記される。${\displaystyle X}$

${\displaystyle {\overline {\mathcal {M}}}_{g,n}(X,\beta )}$

等しくない次元の要素を持つような可約スタックであるなど、ワイルドな挙動を示すことがある。例えば、^{[ 3 ]}モジュライスタック

${\displaystyle {\overline {\mathcal {M}}}_{1,0}(\mathbb {P} ^{2},3[H])}$

は、開部分集合 によって媒介変数化された滑らかな曲線を持つ。曲線が縮約曲線に退化する可能性のあるモジュライ空間の境界上には、種数成分と種数成分が1点で交差する縮約曲線を媒介変数化するサブスタックが存在し、写像は種数曲線を点に写す。このような種数曲線はすべて によって媒介変数化されており、さらにこれらの曲線が種数曲線上で交差する場所について次元の選択もできるため、境界成分の次元は となる。 ${\displaystyle U\subset \mathbb {P} ^{9}=\mathbb {P} (\Gamma (\mathbb {P} ^{2},{\mathcal {O}}(3)))}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle 10}$

その他のモジュライスタック

• ピカールスタックはピカール多様体を一般化します
• 形式群法則のモジュライスタックは、形式群法則を分類します。
• 無限射影空間や形式スキームなどのind -schemeはスタックです。
• シュトゥカのモジュライスタックは、幾何学的ラングランズ計画で使用されます。（シュトゥカも参照。）

幾何学的スタック

重み付き射影スタック

重み付き射影空間の 構築には、いくつかの商多様体を-作用で取ることが関係します。特に、この作用は組を送信します${\displaystyle \mathbb {A} ^{n+1}-\{0\}}$ ${\displaystyle \mathbb {G} _{m}}$

${\displaystyle g\cdot (x_{0},\ldots ,x_{n})\mapsto (g^{a_{0}}x_{0},\ldots ,g^{a_{n}}x_{n})}$

そしてこの作用の商は重み付き射影空間を与える。これはスタック商としてとることができるので、重み付き射影スタック^{[ 4 ] pg 30}は${\displaystyle \mathbb {WP} (a_{0},\ldots ,a_{n})}$

${\displaystyle {\textbf {WP}}(a_{0},\ldots ,a_{n}):=[\mathbb {A} ^{n}-\{0\}/\mathbb {G} _{m}]}$

線束内の重み付き多項式の消失軌跡をとると、積み重ねられた重み付き射影多様体が得られます。 ${\displaystyle f\in \Gamma ({\textbf {WP}}(a_{0},\ldots ,a_{n}),{\mathcal {O}}(a))}$

積み重ね曲線

積み重ね曲線、またはオービカーブは、曲線の射影を一般点の被覆のモノドロミー群で積み重ね商を取ることによって構成できます。例えば、射影射を考えます

${\displaystyle {\text{Proj}}(\mathbb {C} [x,y,z]/(x^{5}+y^{5}+z^{5}))\to {\text{Proj}}(\mathbb {C} [x,y])}$

これは一般にエタールである。 による定義域のスタック商は、 -チャートの1の5乗根に安定群を持つスタック点を持つスタックを与える。これは、これらの点が被覆が分岐する点だからである。 ${\displaystyle \mu _{5}}$ ${\displaystyle \mathbb {P} ^{1}}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} /5}$ ${\displaystyle x/y}$

非アフィンスタック

非アフィンスタックの例としては、スタック原点を2つ持つ半直線が挙げられます。これは、 の2つの包含の余極限として構成できます。 ${\displaystyle [\mathbb {G} _{m}/(\mathbb {Z} /2)]\to [\mathbb {A} ^{1}/(\mathbb {Z} /2)]}$

代数スタック上の準コヒーレント層

代数スタック上では、スキーム上の準連接層のカテゴリに類似した準連接層のカテゴリを構築できます。

準コヒーレント層とは、おおよそ環上の加群の層と局所的に類似する層です。最初の問題は、「局所的に」とはどういう意味かということです。これはグロタンディーク位相の選択を伴いますが、これには多くの選択肢があり、いずれも何らかの問題を抱えており、完全に満足できるものはありません。グロタンディーク位相は、スタックがこの位相において局所アフィンとなるように十分に強力である必要があります。スキームはザリスキー位相において局所アフィンであるため、これはスキームにとって良い選択です。セールが発見したように、代数空間とドリーニュ・マンフォード・スタックはエタール位相において局所アフィンであるため、通常はこれらにエタール位相を使用します。一方、代数スタックは滑らかな位相において局所アフィンであるため、この場合は滑らかな位相を使用できます。一般代数スタックの場合、エタール位相には十分な開集合がありません。たとえば、G が滑らかな連結グループである場合、分類スタック BG の唯一のエタール被覆は BG のコピーの和集合であり、これでは準コヒーレント層の正しい理論を与えるのに十分ではありません。

代数スタックでは滑らかな位相を用いる代わりに、Lis-Et位相（Lisse-Etaleの略。lisseはフランス語で「滑らかな」を意味する）と呼ばれる修正版が用いられることが多い。これは滑らかな位相と同じ開集合を持つが、開被覆は滑らかな写像ではなくエタールによって与えられる。これは通常、準連接層の同等のカテゴリにつながるように思われるが、より使いやすく、例えば代数空間上のエタール位相と比較しやすい。Lis-Et位相には微妙な技術的問題がある。スタック間の射は、一般には対応するトポス間の射を与えない。 （問題は、topoiの幾何射に必要な一対の随伴関数f _*、f *を構築できる一方で、関数f *は一般に正確なままではないということです。この問題は、出版された論文や書籍でいくつかの誤りを引き起こしたことで有名です。^{[ 5 ]}）これは、スタックの射の下で準コヒーレント層のプルバックを構築するには余分な労力が必要であることを意味します。

より細かい位相を用いることも可能です。「十分に大きい」グロタンディーク位相の妥当性は、その多くが準連接層の同値なカテゴリにつながるように見えますが、位相が大きくなるほど扱いが難しくなるため、一般には十分な開集合を持つ限り、より小さな位相を用いることが好まれます。例えば、大きなfppf位相は、Lis-Et位相と本質的に同じ準連接層のカテゴリにつながりますが、微妙な問題があります。この位相における準連接層のO _X加群への自然な埋め込みは正確ではありません（一般に核を保存しません）。

その他のスタックの種類

微分可能スタックと位相スタックは代数スタックと同様の方法で定義されますが、アフィン スキームの基礎カテゴリが滑らかな多様体または位相空間のカテゴリに置き換えられる点が異なります。

より一般的には、 n層またはn -1スタックの概念を定義することができます。これは、 n -1個のカテゴリに値を持つ層の一種です。これを定義する方法はいくつかありますが、それらは等価ではありません。1層は層と同じであり、2層はスタックと同じです。これらは高次スタックと呼ばれます。

非常に類似した拡張として、スタック理論を非離散的オブジェクト（すなわち、空間は代数位相幾何学におけるスペクトルである）に展開することが挙げられます。結果として得られるスタックオブジェクトは導来スタック（またはスペクトルスタック）と呼ばれます。ジェイコブ・ルリーが執筆中の著書『スペクトル代数幾何学』では、彼がスペクトル・ドリーニュ・マンフォード・スタックと呼ぶ一般化が研究されています。定義上、これはE _∞環のエタールスペクトルをエタール局所的に表す環付き∞ トポスです（この概念は、少なくとも標数ゼロにおいては、 導来スキームの概念を包含します）。

集合論的問題

スタック理論の通常の基礎には、いくつかの小さな集合論的問題があります。なぜなら、スタックはしばしば集合の圏への特定の関数として定義され、したがって集合ではないからです。この問題に対処する方法はいくつかあります

• グロタンディーク宇宙を扱うことも可能です。スタックは、ある固定されたグロタンディーク宇宙のクラス間の関手となり、これらのクラスとスタックはより大きなグロタンディーク宇宙内の集合となります。このアプローチの欠点は、十分な数のグロタンディーク宇宙が存在することを仮定しなければならないことであり、これは本質的に大きな基数公理となります。
• スタックを、十分に大きなランクを持つ集合の集合への関手として定義し、使用する様々な集合のランクを注意深く記録しておくことができます。ただし、この方法の問題点は、やや面倒な記録作業がいくつか必要になることです。
• 集合論の反射原理を使用すると、ZFC 公理の任意の有限部分の集合モデルを見つけることができ、すべての集合の宇宙に十分近い近似値である集合を自動的に見つけることができることが示されます。
• 問題を単に無視することもできます。多くの著者がそうしています。

参照

• 代数的スタック
• スタックのチャウ群
• ドリーニュ・マンフォード・スタック
• 代数幾何学の用語集
• スタックの追求
• 代数的スタックの商空間
• モジュラー形式の環
• 単体的前層
• スタックス・プロジェクト
• トーリックスタック
• 一般化空間

注記

1. Alper, Jarod; Hall, Jack; Rydh, David (2020). 「代数スタックのためのルナ・エタールスライス定理」Annals of Mathematics . 191 (3): 675–738 . arXiv : 1504.06467 . doi : 10.4007/annals.2020.191.3.1 . hdl : 10150/641331 . ISSN  0003-486X . JSTOR  10.4007/annals.2020.191.3.1 . S2CID  3225788
2. Heinloth, Jochen (2009年1月29日)、「曲線上のベクトルバンドルのモジュライスタックに関する講義」、Affine Flag Manifolds and Principal Bundles、バーゼル：Springer Basel（2010年出版）、pp.  123– 153、doi：10.1007/978-3-0346-0288-4_4、ISBN 978-3-0346-0287-7
3. マッサレンティ、アレズ。「安定写像のモジュライ、グロモフ・ウィッテン不変量、そして量子コホモロジー」(PDF) pp.  1– 4. 2018年1月23日時点のオリジナルからアーカイブ(PDF)
4. Fantechi, Barbara; Mann, Etienne; Nironi, Fabio (2009-09-22). 「滑らかなトーリックDMスタック」. arXiv : 0708.1254 [ math.AG ].
5. たとえば、 Olsson、Martin (2007) を参照。 「Artin スタック上の束」。数学に関するジャーナル。2007 (603): 55–112。土井: 10.1515/CRELLE.2007.012。MR 2312554。S2CID 15445962。  

参考文献

教育学

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• エディディン、ダン（2003）「スタックとは何か？」（PDF）、AMSの通知、50（4）：458-459

文献ガイド

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• ローモン、ジェラール。 Moret-Bailly、Laurent (2000)、Champs algébriques、Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete。 3.フォルゲ。数学における現代調査シリーズ、vol. 39、ベルリン、ニューヨーク: Springer-Verlag、ISBN 978-3-540-65761-3、MR  1771927残念ながら、本書では代数的スタックの射がリッセ＝エタール・トポイの射を誘導するという誤った主張を用いています。これらの誤りのいくつかはOlsson (2007)によって修正されました
• ラズロ、イヴ。 Olsson、Martin (2008)、「Artin スタック上の層の 6 つの操作。I. 有限係数」、オート・エチュード科学研究所。出版物 Mathématiques、107 (1): 109–168、arXiv : math/0512097、doi : 10.1007/s10240-008-0011-6、MR  2434692、S2CID  371801
• マンフォード、デイヴィッド (1965)、「モジュライ問題のピカール群」、シリング、OFG (編)、『算術代数幾何学』（パーデュー大学会議紀要、1963年）、ニューヨーク：ハーパー＆ロウ、pp.  33– 81、MR  0201443
• Olsson、Martin Christian (2007)、Geraschenko、Anton (編)、数学 274: スタックのコース ノート(PDF)
• オルソン、マーティン（2016）、代数的空間とスタック、コロキウム出版、第62巻、アメリカ数学会、ISBN 978-1470427986
• ヴィストリ、アンジェロ (2005)、「グロタンディーク位相、ファイバー圏、降下理論」、基礎代数幾何学、Math. Surveys Monogr.、第123巻、プロビデンス、ロードアイランド州：アメリカ数学協会、pp.  1-104、arXiv : math/0412512、Bibcode : 2004math.....12512V、MR  2223406

さらに詳しい情報

• モラヴァ、ジャック(2012). 「あらゆるものの理論」. arXiv : 1202.0684 [ math.CT ]

外部リンク

• nラボのスタック
• nラボの降下
• デ・ヨング、愛瀬ヨハン、スタックス・プロジェクト
• フルトン、ウィリアム、「スタックとは何か？」、MSRIビデオ講義とノート
• ベルトラン・トーアン (2007)、クール・ド・マスター 2 : シャン・アルジェブリケ (2006-2007)
• 「代数スタックに関する良い入門書はありますか？」