漸近解析

数学的解析において、漸近解析 (漸近論とも呼ばれる) は、限界動作を記述する方法です。

例として、関数 $f (n)の$ $n$ が非常に大きくなるにつれて変化する性質に注目するとします。 $f (n) = n 2 + 3 n$ $とすると、 n が$ 非常に大きくなるにつれて、 $3 n$ の項は $n 2$ と比較して重要ではなくなります。関数 $f (n)は「$ $n$ $\to \infty$ のとき、 $n$ $2$ に漸近的に等しい」と言われます。これはしばしば $f$ $($ $n$ $) ~$ $n$ $2$ と記号的に表記され、「 $f$ $($ $n$ $)は$ $n$ $2$ に漸近的である」と読みます。

重要な漸近的結果の一例として、素数定理が挙げられます。π $(x)$ を素数計算関数（定数piとは直接関係ありません）とすると、 $π(x)は$ $x$ 以下の素数の個数です。このとき、定理は次のように述べます。 $\pi (x)\sim {\frac {x}{\ln x}}.$

意味

正式には、関数 $f (x)$ と $g (x)が与えられたとき、$ 二項関係を定義する。 $f(x)\sim g(x)\quad ({\text{as }}x\to \infty )$ もし、そしてその場合に限り( de Bruijn 1981、§1.4) $\lim _{x\to \infty}{\frac {f(x)}{g(x)}}=1.$

記号 $~は$ チルダです。この関係は $x$ の関数の集合上の同値関係です。関数 $f$ と $gは$ 漸近的に同値であると言われています。 $f$ と $g$ の定義域は、極限が定義される任意の集合、例えば実数、複素数、正の整数などです。

同じ記法は、極限に到達する他の方法にも用いられます。例： $x \to 0$ 、 $x ↓ 0$ 、 $| x | \to 0$ 。文脈から明らかな場合は、極限に到達する方法が明示的に示されないことがよくあります。

上記の定義は文献では一般的ですが、 $xが極限値に近づくにつれて$ $g (x)$ が0になる頻度が無限に多い場合は問題があります。そのため、一部の研究者は別の定義を用いています。別の定義は、小文字のo表記で、 $f$ $~$ $g$ が次の場合のみ成り立つというものです。 $f(x)=g(x)(1+o(1)).$

$この定義は、 g (x)$ が極限値の近傍でゼロでない場合、前の定義と同等である。 ^{[ 1 ]}^{[ 2 ]}

プロパティ

もし $f\sim g$ そして $a\sim b$ すると、いくつかの穏やかな条件下では、次のことが成り立ちます。

$f^{r}\sim g^{r}$ $、すべての実数r$ に対して
$\log(f)\sim \log(g)$ もし $\lim g\neq 1$
$f\times a\sim g\times b$
$f/a\sim g/b$

このような特性により、漸近的に等価な関数を多くの代数式で自由に交換できるようになります。

また、さらに $g\sim h$ すると、漸近線は推移関係なので、 $f\sim h$ 。

漸近公式の例

階乗 $n!\sim {\sqrt {2\pi n}}\left({\frac {n}{e}}\right)^{n}$ これはスターリングの近似である
パーティション関数
正の整数nの場合、分割関数p ( n ) は、加数の順序を考慮せずに整数n を正の整数の和として表す方法の数を与えます。 $p(n)\sim {\frac {1}{4n{\sqrt {3}}}}e^{\pi {\sqrt {\frac {2n}{3}}}}$
エアリー機能
エアリー関数Ai( x ) $は微分方程式$ $y″ -xy = 0$ の解であり、物理学において多くの応用があります。 $\operatorname {Ai} (x)\sim {\frac {e^{-{\frac {2}{3}}x^{\frac {3}{2}}}}{2{\sqrt {\pi }}x^{1/4}}}$
ハンケル関数 ${\begin{aligned}H_{\alpha }^{(1)}(z)&\sim {\sqrt {\frac {2}{\pi z}}}e^{i\left(z-{\frac {2\pi \alpha -\pi }{4}}\right)}\\H_{\alpha }^{(2)}(z)&\sim {\sqrt {\frac {2}{\pi z}}}e^{-i\left(z-{\frac {2\pi \alpha -\pi }{4}}\right)}\end{aligned}}$

漸近展開

関数 $f$ $($ $x$ $)$ の漸近展開とは、実際には、その関数を級数で表現したものである。級数の部分和は必ずしも収束するわけではないが、任意の初期部分和をとることで $f$ の漸近式が得られる。これは、次々に現れる項が $f$ の成長の順序を次第に正確に記述していくという考え方である。

記号的に言えば、それは $f\sim g_{1},$ だけでなく、 $f-g_{1}\sim g_{2}$ そして $f-g_{1}-\cdots -g_{k-1}\sim g_{k}$ それぞれの固定されたkについて。 $\sim$ 記号、最後の式は $f-(g_{1}+\cdots +g_{k})=o(g_{k})$ 小文字のo表記では、 $f-(g_{1}+\cdots +g_{k})$ よりもはるかに小さい $g_{k}.$

関係 $f-g_{1}-\cdots -g_{k-1}\sim g_{k}$ 完全な意味を持つのは $g_{k+1}=o(g_{k})$ すべてのkに対して、つまり $g_{k}$ 漸近尺度を形成する。その場合、一部の著者は乱用的に $f\sim g_{1}+\cdots +g_{k}$ 声明を示す $f-(g_{1}+\cdots +g_{k})=o(g_{k}).$ しかし、これは標準的な使用法ではないことに注意する必要がある。 $\sim$ 記号であり、 § 定義の定義に対応していないことに注意してください。

現状では、この関係は $g_{k}=o(g_{k-1})$ 実際にはステップkとk −1を組み合わせることで得られる。 $f-g_{1}-\cdots -g_{k-2}=g_{k-1}+o(g_{k-1})$ から $f-g_{1}-\cdots -g_{k-2}-g_{k-1}=g_{k}+o(g_{k}),$ 1つは $g_{k}+o(g_{k})=o(g_{k-1}),$ すなわち $g_{k}=o(g_{k-1}).$

漸近展開が収束しない場合、引数の任意の値に対して、最適な近似値を与える特定の部分和が存在し、追加の項を加えると精度が低下します。この最適な部分和は、引数が極限値に近づくにつれて、通常、より多くの項を持ちます。

漸近展開の例

ガンマ関数 ${\frac {e^{x}}{x^{x}{\sqrt {2\pi x}}}}\Gamma (x+1)\sim 1+{\frac {1}{12x}}+{\frac {1}{288x^{2}}}-{\frac {139}{51840x^{3}}}-\cdots \ (x\to \infty )$
指数積分 $xe^{x}E_{1}(x)\sim \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}n!}{x^{n}}}\ (x\to \infty )$
誤差関数 ${\sqrt {\pi }}xe^{x^{2}}\operatorname {erfc} (x)\sim 1+\sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n}{\frac {(2n-1)!!}{n!(2x^{2})^{n}}}\ (x\to \infty )$ ここで、 $m!!$ は二重階乗です。

実例

漸近展開は、通常の級数がその収束領域外の値を取ることを強制する形式表現で用いられる場合によく発生します。例えば、形式的な冪級数から始めるとします。 ${\frac {1}{1-w}}=\sum _{n=0}^{\infty }w^{n}$

左の式は複素平面全体で有効である $w\neq 1$ 、一方、右辺は、 $|w|<1$ . 掛け算 $e^{-w/t}$ そして両辺を積分すると $\int _{0}^{\infty }{\frac {e^{-{\frac {w}{t}}}}{1-w}}\,dw=\sum _{n=0}^{\infty }t^{n+1}\int _{0}^{\infty }e^{-u}u^{n}\,du$

左辺の積分は指数積分で表すことができます。右辺の積分は、代入後の $u=w/t$ はガンマ関数として認識される。両者を評価すると、漸近展開が得られる。 $e^{-{\frac {1}{t}}}\operatorname {Ei} \left({\frac {1}{t}}\right)=\sum _{n=0}^{\infty }n!\;t^{n+1}$

ここで、右辺はtが0以外の値であれば収束しないことは明らかである。しかし、 tを小さく保ち、右辺の級数を有限項で切り捨てることで、次の値のかなり良い近似値を得ることができる。 $\operatorname {Ei} (1/t)$ . 代入 $x=-1/t$ そして、 $\operatorname {Ei} (x)=-E_{1}(-x)$ この記事の前半で示した漸近展開が結果として得られます。

漸近分布

数理統計学において、漸近分布とは、ある意味で分布列の「極限」分布とも言える仮説的な分布です。分布とは、ある正の整数 $n$ に対して、 $i$ $= 1, \dots,$ $nとなる確率変数$ $Z i$ の順序集合です。漸近分布では、 $i の$ 範囲は無限大、つまり $n$ は無限大となります。

漸近分布の特殊なケースとして、後続の要素がゼロになる場合、つまり $i が無限大に近づくにつれて$ $Z i が$ ゼロになる場合が挙げられます。「漸近分布」という表現の中には、この特殊なケースのみを指すものもあります。

これは、独立変数が無限大に近づくにつれて定数値（漸近線）にきれいに近づく漸近関数の概念に基づいています。ここでの「きれい」とは、任意の望ましい近さイプシロンに対して、独立変数のある値があり、それを超えると関数は定数からイプシロン以上異なることはないことを意味します。

漸近線とは、曲線が近づくものの、交わったり交差したりしない直線のことです。非公式には、曲線が漸近線に「無限遠点で」交わるという表現が用いられますが、これは正確な定義ではありません。 $y={\frac {1}{x}},$ xが増加すると、 y の大きさは任意に小さくなります。

アプリケーション

漸近解析はいくつかの数理科学において用いられている。統計学においては、漸近理論は尤度比統計量や逸脱度の期待値といった標本統計量の確率分布の極限近似を与える。しかし、漸近理論は標本統計量の有限標本分布を評価する方法を提供しない。非漸近的な境界は近似理論の手法によって提供される。

応用例は以下のとおりです。

応用数学では、漸近解析は方程式の解を近似する数値手法を構築するために使用されます。
数理統計学と確率論では、漸近解析はランダム変数と推定値の長期的または大規模なサンプルの挙動の分析に使用されます。
コンピュータサイエンスでは、アルゴリズムの分析はアルゴリズムのパフォーマンスを評価し、ビッグオー表記法で表現されます。
物理システムの挙動。例としては統計力学が挙げられます。
事故分析では、特定の時間と空間における多数の衝突事故数をカウントモデリングして衝突事故の原因を特定する場合。

漸近解析は、現実世界の現象を数学的にモデル化する際に生じる常微分方程式と偏微分方程式を解析するための重要なツールです。 ^[³^]わかりやすい例として、流体の流れを支配する完全なナビエ-ストークス方程式から境界層方程式を導出することが挙げられます。多くの場合、漸近展開は小さなパラメータ $ε$ のべき乗で表されます。境界層の場合、これは境界層の厚さと問題の典型的な長さスケールの無次元比です。実際、数学的モデル化における漸近解析の応用は、多くの場合^[³^]問題のスケールを考慮して小さいことが示されている、または小さいと仮定されている無次元パラメータを中心に行われます。

漸近展開は、典型的には、特定の積分の近似（ラプラス法、鞍点法、最急降下法）や確率分布の近似（エッジワース級数）において生じる。量子場の理論におけるファインマングラフは、しばしば収束しない漸近展開のもう一つの例である。

漸近解析と数値解析

De Bruijn は、数値解析学者の NA 博士と漸近解析学者の AA 博士の間の次の対話で漸近解析の使用法を説明しています。

NA: 自分の機能を評価したい $f(x)$ 大きな値の場合 $x$ 相対誤差は最大1%です。
AA: $f(x)=x^{-1}+\mathrm {O} (x^{-2})\qquad (x\to \infty )$ 。
NA: 申し訳ありませんが、わかりません。
AA: $|f(x)-x^{-1}|<8x^{-2}\qquad (x>10^{4}).$
NA: でも私の価値観は $x$ たった100です。
AA: なぜそう言わなかったのですか？私の評価では
$|f(x)-x^{-1}|<57000x^{-2}\qquad (x>100).$
NA: これは私にとっては新しいことではありません。すでに知っています $0<f(100)<1$ 。
AA: 推定値に少し近づいたようです。
$|f(x)-x^{-1}|<20x^{-2}\qquad (x>100).$
NA: 私は 20% ではなく 1% を要求しました。
AA: ほぼ最高のものですね。もっと大きな値を取ってみてはいかがでしょうか？ $x$ ?
NA: !!! 私の電子計算機に聞いたほうがいいと思います。
マシン: f(100) = 0.01137 42259 34008 67153
AA: そう言ったでしょう？私が見積もった20%という数字は、実際の誤差である14%とそれほどかけ離れてはいませんでした。
NA: !!! . . . !
数日後、NAさんはf(1000)の値を知りたがりましたが、彼女の計算では答えを出すのに1ヶ月かかるとのことでした。彼女は漸近法の同僚のもとに戻り、完全に満足のいく答えを得ました。^{[ 4 ]}

参照

漸近線 – 無限大に向かう点における接線の極限
漸近的計算複雑性 – 計算複雑性の測定
漸近密度 – 数論における概念Pages displaying short descriptions of redirect targets
漸近理論（統計学） - 統計的推定量の収束特性の研究
漸近論 – 極限状況における応用数学システムの扱い
Big O記法 – 関数のおおよその挙動を記述する
最大次数項 – 数式中、最も大きい次数を持つ項
支配的バランス法 – 簡略化された方程式の解
整合漸近展開法 – 数学における近似
ワトソンの補題 – 積分の漸近挙動に関する数学的補題

注記

^ 「漸近的等式」、数学百科事典、EMSプレス、2001 [1994]
^エストラーダとカンワル (2002、§1.2)
^ ^a ^b Howison, S. (2005),実用応用数学, Cambridge University Press
^ Bruijn、Nicolaas Govert de (1981)。分析における漸近的手法。高度な数学に関するドーバーの本。ニューヨーク：ドーバーパブ。 p. 19.ISBN 978-0-486-64221-5。

参考文献

Balser, W. (1994), 「発散べき級数から解析関数へ」 , Springer-Verlag , ISBN 9783540485940
de Bruijn、NG (1981)、Asymptotic Methods in Analysis、Dover Publications、ISBN 9780486642215
エストラーダ、R.; カンワル、RP (2002) 『漸近論への分布的アプローチ』ビルクハウザー、ISBN 9780817681302
ミラー、PD（2006）、応用漸近解析、アメリカ数学会、ISBN 9780821840788
マレー、JD（1984）、漸近解析、シュプリンガー、ISBN 9781461211228
パリス、RB; カミンスキー、D. (2001)、漸近論とメリン・バーンズ積分、ケンブリッジ大学出版局

外部リンク

漸近解析—IOS Press が発行するジャーナルのホームページ
漸近分布を用いた時系列解析に関する論文

[1] 「漸近的等式」、数学百科事典、EMSプレス、2001 [1994]

[2] エストラーダとカンワル (2002、§1.2)

[Howison-3] Howison, S. (2005),実用応用数学, Cambridge University Press

[4] Bruijn、Nicolaas Govert de (1981)。分析における漸近的手法。高度な数学に関するドーバーの本。ニューヨーク：ドーバーパブ。 p. 19.ISBN 978-0-486-64221-5。

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