かけやセット
三角筋内で回転する針。回転のどの段階においても（端点が三角筋の尖端にある場合を除く）、針は三角筋に3点で接触している。2つの端点（青）と1つの接点（黒）である。針の中点（赤）は、針の長さの半分の直径を持つ円を描いている。

数学において、カケヤ集合（Kakeya set）またはベシコヴィッチ集合（Besicovitch set ）は、ユークリッド空間内の点の集合であり、あらゆる方向に単位線分を含む。例えば、ユークリッド平面上の半径1/2の円板、あるいは三次元空間上の半径1/2の球は、カケヤ集合を形成する。この分野の研究の多くは、そのような集合がどの程度小さくなり得るかという問題を研究してきた。アブラム・ベシコヴィッチは、測度0のベシコヴィッチ集合が存在することを示した。

カケヤ針集合（カケヤ集合とも呼ばれる）は、平面上の（ベシコヴィッチ）集合であり、より強い性質を持つ。すなわち、単位線分は、その集合内で180度連続的に回転し、向きを逆にして元の位置に戻ることができる。半径1/2の円板もまた、カケヤ針集合の例である。

掛谷針問題

掛谷針問題は、単位長さの針を360°回転させた平面領域の面積が最小となるかどうかを問う問題である。この問題は、凸領域に対して掛谷宗一 （1917 ）によって初めて提起された。凸集合の面積の最小値は、パールが示したように、高さ1、面積1/ √3の正三角形によって達成される。[ 1 ]D{\displaystyle D}

掛谷は、凸性制約のない掛谷最小面積集合は三尖三角錐形状になるだろうと示唆したようだ。しかし、これは誤りである。より小さな非凸の掛谷集合が存在する。 D{\displaystyle D}

ベシコヴィッチ針セット

「ペロン木の発芽」：小さな尺度のカケヤ集合を構成する方法。ここでは、三角形を分割し、その部分を重ね合わせて小さな集合を得る2つの方法を示す。1つ目は三角形を2つ、2つ目は三角形を8つ重ねる方法である。この方法は、元の三角形を細かく切り刻むことで、任意の小さな集合を構成するために使用できる。詳細は[ 2 ]を参照。2n{\displaystyle 2^{n}}

アブラム・ベシコヴィッチは、単位長さの針を回転させることができる領域 の面積に 0 より大きい下限は存在しないことを示すことができた。つまり、任意の に対して、針が 360 度回転する連続運動を行うことができる領域 の面積が存在する。 [ 3 ]これは、各方向に単位セグメントを含む平面集合に関する彼の以前の研究に基づいている。このような集合は現在、ベシコヴィッチ集合と呼ばれている。1919 年のベシコヴィッチの研究では、このような集合は任意に小さい測度を持つ可能性があることが示されたが 、この問題はそれ以前にも解析学者によって検討されていた可能性がある。 D{\displaystyle D}ε>0{\displaystyle \varepsilon >0}ε{\displaystyle \varepsilon }

ベシコヴィッチ集合を構築する方法の一つ（図を参照）は「ペロン木」として知られており、これはベシコヴィッチの元の構成を簡素化したオスカー・ペロンにちなんで名付けられました。 [ 4 ]正確な構成と数値的境界はベシコヴィッチの普及版に記載されています。[ 2 ]

まず注目すべき点は、針は領域を掃引することなく、直線上をどこまでも移動できることです。これは、針が幅ゼロの線分であるためです。Pál の2つ目のトリックは、 Pál joinsと呼ばれ、[ 5 ] は、無視できる面積を掃引しながら、平行な任意の2点間を針を移動させる方法です。針は「N」の形を描きます。最初の位置から「N」の左側を少し上に移動し、中央の対角線まで角度を掃引し、対角線を下に移動して2番目の角度を掃引し、次に「N」の平行な右側を上に移動し、必要な2番目の位置に到達します。掃引される面積がゼロでない領域は、高さ1の2つの三角形と「N」の頂点の角度です。掃引面積はこの角度に比例し、この角度はに比例するため、適切な大きさの を選択することにより、掃引面積を任意に小さくすることができます。 （実際には、掃引される領域は三角形ではなく円の小さな部分ですが、が大きい場合は掃引される合計面積が小さいというのは正しいです。） r{\displaystyle r}1/r{\displaystyle 1/r}r{\displaystyle r}r{\displaystyle r}

作図は、高さが1で、針が容易に通れる程度の角度を持つ三角形から始まります。目標は、この三角形に対して様々な操作を行い、針が通る方向を一定に保ちながら面積を小さくすることです。まず、三角形を2つに分割し、それぞれの底辺が重なり合うようにして、全体の面積が最小になるように分割します。針は、最初の三角形によって与えられた方向を掃引し、2番目の三角形にジャンプし、さらに2番目の三角形によって与えられた方向を掃引することで、同じ方向を掃引することができます。元の三角形を切断した2本の線は平行であるため、針は「N」技法を用いて三角形をジャンプすることができます。この作図では、線分は実際には元の重なり合う三角形の領域を離れ、新たな（任意の小さな）領域を掃引します。

さて、三角形を2 n個の部分三角形に分割します。図では8つを示しています。連続する三角形のペアごとに、前述の重ね合わせ操作と同じ操作を実行して、2つの重なり合う三角形からなる新しい図形を半分の数だけ作成します。次に、これらの新しい図形の連続するペアを、底辺が重なり合う面積が最小になるようにずらして重ね合わせます。図形が1つになるまで、これをn回繰り返します。ここでも、針は2 n個の部分三角形のそれぞれについて、方向順に針を掃き出すことで、同じ方向を掃き出すことができます。これらの三角形が切断された2本の線は平行であるため、「N」技法を用いて連続する三角形を飛び越えることができます。

残っているのは、最終的な図形の面積を計算することです。難しさや長さの制約のため、最後の議論を完全に含めることはできません。代わりに、例を示します。図を見ると、 2 n個のサブ三角形がかなり重なり合っていることがわかります。すべてが底部で重なり合っており、半分は左の枝の底部で重なり合っており、4 分の 1 は左の枝の底部で重なり合っています。以下同様に重なり合っています。2 i個のサブ三角形からi回のマージ操作で作成された各図形の面積がA iで囲まれているとします。これらの図形のうち 2 つをマージする前は、それらの面積は 2 A iで囲まれています。次に、2 つの図形を一緒に移動して、できるだけ重なり合うようにします。最悪の場合、これら 2 つの領域は互いに垂直な 1 x ε の長方形 2 つになり、重なり合う面積は ε 2のみになります。ただし、構築した 2 つの図形は、細長い場合でも、連続するサブ三角形のグループから作成されているため、ほぼ同じ方向を向いています。ハンドウェービングでは、それらの面積の少なくとも1%が重なり合うとされています。そうすると、結合された面積はA i+1 = 1.99 A iで囲まれます。元の三角形の面積は1で囲まれます。したがって、各部分三角形の面積はA 0 = 2 -nで囲まれ、最終的な形状の面積はA n = 1.99 n × 2 -nで囲まれます。実際には、重なり合っていないすべての面積を注意深く合計すると、最終的な領域の面積ははるかに大きくなり、1/nになります。nが大きくなるにつれて、この面積は0に縮小します。ベシコビッチ集合は、正三角形から作成されたペロンツリーを6回回転させることによって作成できます。同様の構成は平行四辺形でも作成できます。

測度零のベシコヴィッチ集合を構成する方法は、「発芽法」以外にも存在する。例えば、カハネはカントール集合を​​用いて二次元平面における測度零のベシコヴィッチ集合を構成している。[ 6 ]

ペロンの木から作られたカケヤ針セット。

1941 年に、HJ Van Alphen [ 7 ]は、半径 2 + ε (任意の ε > 0) の円の内側に任意の小さな Kakeya 針集合が存在することを示した。1965年には、三角筋よりも面積が小さい単連結Kakeya 針集合が見つかっている。Melvin Bloom とIJ Schoenberg はそれぞれ独立に、面積が、つまりBloom-Schoenberg 数(≈0.2843)に近い Kakeya 針集合を提示した。Schoenberg は、この数が単連結 Kakeya 針集合の面積の下限であると予想した。しかし、1971 年に、F. Cunningham [ 8 ]は、ε > 0 のときに、半径 1 の円に含まれる面積が ε より小さい単連結 Kakeya 針集合が存在することを示した。 π24（5−22）{\displaystyle {\tfrac {\pi }{24}}(5-2{\sqrt {2}})}

任意に小さい正の測度のカケヤ針集合と測度 0 のベシコビッチ集合は存在するが、測度 0 のカケヤ針集合は存在しない。

掛谷予想

声明

これらのベシコヴィッチ集合がどれほど小さくなり得るかという同じ疑問が、高次元においても提起され、カケヤ予想として総称されるいくつかの予想を生み出し、幾何学的測度論として知られる数学の分野の開拓に貢献した。特に、測度ゼロのベシコヴィッチ集合が存在するならば、それらが存在する空間の次元よりも小さいいくつかの次元において、s次元ハウスドルフ測度ゼロを持つ可能性はあるだろうか？この疑問から、以下の予想が導かれる。

掛谷集合予想: ユークリッド空間内のあらゆる方向に単位線分を含む集合は、その空間の次元に等しいハウスドルフ次元を持つ必要がある。

これはn = 1、2 の場合に当てはまることが分かっていますが、高次元では部分的な結果しか分かっていません。

掛谷予想は制限予想、ボホナー・リース予想、局所平滑化予想と密接に関連している。[ 9 ] [ 10 ]

2025年2月、 n = 3の場合の証明がHong WangとJoshua ZahlによってarXivに投稿されました。 [ 11 ] 3次元におけるKakeya予想は「幾何学的測度論における最も求められている未解決問題の一つ」と評されており、その証明は画期的なものと考えられています。[ 12 ] [ 13 ] [ 14 ]

掛谷最大関数

この問題への現代的なアプローチは、特定の種類の極大関数を考えることである。これは次のように構築される。S n −1 ⊂ R nをn次元空間の単位球面とする。長さ1、半径δ > 0、中心が点a ∈ R nで、長辺が単位ベクトルe ∈ S n −1の方向に平行な円筒を とする。そして、局所的に積分可能な関数fに対して、 fのKakeya極大関数を次のように 定義する。Teδ（1つの）{\displaystyle T_{e}^{\delta }(a)}

f∗δ（e）＝すする1つの∈Rn1メートル（Teδ（1つの））∫Teδ（1つの）|f（y）|dメートル（y）、{\displaystyle f_{*}^{\delta }(e)=\sup _{a\in \mathbf {R} ^{n}}{\frac {1}{m(T_{e}^{\delta }(a))}}\int _{T_{e}^{\delta }(a)}|f(y)|dm(y),}

ここで、mはn次元ルベーグ測度を表します。球面S n −1上のベクトルeに対して定義されていることに注意してください。 f∗δ{\displaystyle f_{*}^{\delta }}

そして、これらの関数には、もし真であれば、高次元の Kakeya 集合予想を意味する予想があります。

掛谷最大関数予想: ε > 0 のすべてに対して、定数C ε > 0 が存在し、任意の関数fとすべての δ > 0 に対して、(表記については lp スペースを参照)
‖f∗δ‖Ln（Sn−1）⩽Cϵδ−ϵ‖f‖Ln（Rn）。{\displaystyle \left\|f_{*}^{\delta }\right\|_{L^{n}(\mathbf {S} ^{n-1})}\leqslant C_{\epsilon }\delta ^{-\epsilon }\|f\|_{L^{n}(\mathbf {R} ^{n})}。

結果

掛谷予想を証明するためのいくつかの結果は次のとおりです。

  • 掛谷予想はn = 1（自明）およびn = 2（Davies [ 15 ]）のときに成り立つ。
  • 任意のn次元空間において、Wolff [ 16 ]はKakeya集合の次元は少なくとも( n +2)/2でなければならないことを示した。
  • 2002年にKatzとTao [ 17 ]はWolffの境界を に改良し、n > 4の場合により優れた値になった。（2−2）（n−4）+3{\displaystyle (2-{\sqrt {2}})(n-4)+3}
  • 2000年にKatz、 Łaba、Tao [ 18 ]は3次元のKakeya集合のミンコフスキー次元が5/2よりも大きいことを証明した。
  • 2000年にジャン・ブルガンはカケヤ問題を、調和解析と加法数論を含む算術的組合せ論[ 19 ] [ 20 ]に関連付けました。
  • 2017年に、KatzとZahl [ 21 ]は、3次元のBesicovitch集合のハウスドルフ次元の下限を絶対定数に対してまで改良しました。5/2+ϵ{\displaystyle 5/2+\epsilon }ϵ>0{\displaystyle \epsilon >0}
  • 2025年に、WangとZahl [ 11 ]は、n = 3の場合のKakeya予想の潜在的な証明をarXivに投稿しました。

分析への応用

いささか意外なことに、これらの予想は他の分野、特に調和解析における多くの問題と関連していることが示されている。例えば、1971年にチャールズ・フェファーマンはベシコヴィッチ集合構成を用いて、1次元より大きい次元では、原点を中心とし半径が無限大に向かう球面上の切断フーリエ積分は、p ≠ 2のときL pノルムに収束する必要がないことを示した（これは、そのような切断積分が収束する1次元の場合とは対照的である）。[ 22 ]

掛谷問題の類似問題と一般化

円と球を含むセット

Kakeya 問題に類似したものとしては、円など、線よりも一般的な形状を含む集合を考えることが挙げられます。

  • 1997年[ 23 ]と1999年[ 24 ]に、ウォルフは、あらゆる半径の球を含む集合は必ず全次元、つまりその次元がその球が存在する空間の次元に等しいことを証明し、カケヤ最大関数に類似した円形最大関数の境界を証明することによってこれを証明した。
  • 測度零点の周囲に球面を含む集合が存在すると予想された。エリアス・スタイン[ 25 ]の結果は、そのような集合はすべてn ≥ 3の場合には正の測度を持つことを証明し、マルストランド[ 26 ]はn = 2の場合にも同様のことを証明した。

k次元円板を含む集合

掛谷予想の一般化は、あらゆる方向の線分ではなく、例えばk次元部分空間の一部を含む集合を考えることである。( n , k )-ベシコビッチ集合Kを、ルベーグ測度がゼロであるすべてのk次元単位円板の並進を含むR n内のコンパクト集合として定義する。つまり、B がゼロを中心とする単位球を表す場合、すべてのk次元部分空間Pに対して、 ( P ∩ B ) + x ⊆ Kとなるようなx ∈ R nが存在する。したがって、( n , 1)-ベシコビッチ集合は、前述の標準的なベシコビッチ集合である。

( n , k )-ベシコビッチ予想: k > 1の場合、( n , k )-ベシコビッチ集合は存在しない。

1979年、Marstrand [ 27 ] は(3, 2)-ベシコヴィッチ集合は存在しないことを証明した。しかし、ほぼ同時期にFalconer [ 28 ]は2 k > nに対して( n , k )-ベシコヴィッチ集合は 存在しないことを証明した。現在までに最も優れた境界値はBourgain [ 29 ]によるもので、彼は2 k −1 + k > nに対してそのような集合は存在しないことを証明した。

有限体上のベクトル空間におけるカケヤ集合

1999 年、ウォルフは、この予想を解く技術がユークリッドの場合にも応用できると期待して、カケヤ問題に類似した 有限体の問題を提起した。

有限体カケヤ予想：F を有限体とし、K ⊆ F n をカケヤ集合とします。つまり、各ベクトルy ∈ F nに対して、 K が直線 { x + ty  : t ∈ F } を含むようなx ∈ F nが存在するとします。すると、集合K の大きさは少なくともc n | F | nとなります。ただし、 c n >0 はnのみに依存する定数です。

ジーヴ・ドヴィルは2008年にこの予想を証明し、c n = 1/ n ! のときこの命題が成り立つことを示した。[ 30 ] [ 31 ]証明の中で、彼はカケヤ集合上で消滅するn変数| F |未満の次数の多項式は必ず恒等的にゼロになる、と指摘した。一方、n変数| F |未満の次数の多項式は次元ベクトル空間を形成する。

（|F|+n−1n）≥|F|nn!。{\displaystyle {|\mathbf {F} |+n-1 \choose n}\geq {\frac {|\mathbf {F} |^{n}}{n!}}.}

したがって、| F |未満の次数の非自明な多項式のうち、点数がこの数より少ない任意の集合上では少なくとも1つは消滅する多項式が存在する。これら2つの観察結果を組み合わせると、Kakeya集合は少なくとも | F | n / n ! 個の点を持つ必要があることがわかる。

この手法が元のカケヤ予想の証明にまで拡張できるかどうかは明らかではないが、この証明は本質的に代数的な反例をあり得ないようにすることで、元の予想に信憑性を与えている。Dvirは有限体カケヤ問題の進展と乱数抽出器との関係に関するサーベイ論文を執筆している。[ 32 ]

参照

注記

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参考文献

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