超楕円面

数学において、超楕円面（ちょうだいえん、英: hyperelliptic surface ）または双楕円面（びようだいえん、英: bi-elliptic surface）とは、アルバネーゼ射が特異繊維を持たない楕円繊維化である極小曲面である。このような曲面は、2つの楕円曲線の積を有限アーベル群で割った商として表すことができる。超楕円面は、エンリケス・コダイラ分類において、コダイラ次元0の曲面の類の一つである。

不変量

小平次元は0です。

ホッジダイヤモンド:

任意の超楕円面は、商 ( E × F )/ Gで、E = C /Λ かつFが楕円曲線であり、G がFの部分群（Fに平行移動作用する）であり、 Eに平行移動作用だけでなく平行移動作用もする。次の表に示すように、超楕円面には7つの族がある。

Kの順序	Λ	G	GのEへの作用
2	どれでも	Z /2 Z	e → − e
2	どれでも	Z /2 Z ⊕ Z /2 Z	e → − e、e → e + c、 − c = c
3	Z ⊕ Z ω	Z /3 Z	e → ω e
3	Z ⊕ Z ω	Z /3 Z ⊕ Z /3 Z	e → ω e、e → e + c、ω c = c
4	Z ⊕ Z i;	Z /4 Z	e → i e
4	Z ⊕ Z i	Z /4 Z ⊕ Z /2 Z	e → i e、e → e + c、 i c = c
6	Z ⊕ Z ω	Z /6 Z	e → −ω e

ここで、ω は1 の原始 3 乗根であり、i は 1 の原始 4 乗根です。

準超楕円面は、標準因子が数値的に 0 に等しく、アルバネーゼ写像が楕円曲線に写像され、そのすべてのファイバーがカスプを持つ有理数である曲面です。これらは、特性2 または 3にのみ存在します。第 2ベッティ数は 2 で、第 2チャーン数はゼロ、正則オイラー特性はゼロです。これらは ( Bombieri & Mumford 1976 )によって分類され、特性 3 では 6 つのケース (この場合は 6 K = 0)、特性 2 では 8 つのケース (この場合は 6 Kまたは 4 Kがゼロ) が見つかりました。任意の準超楕円面は商 ( E × F )/ Gです。ここで、 Eは1 つのカスプを持つ有理曲線、Fは楕円曲線、GはFの有限部分群スキーム(平行移動によってFに作用する) です。

バース、ウルフ P.ヒューレック、クラウス。ピーターズ、クリスAM。 Van de Ven、Antonius (2004)、Compact Complex Surfaces、Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete。 3. フォルゲ、vol. 4、シュプリンガー・フェルラーク、ベルリン、ISBN 978-3-540-00832-3、MR 2030225- コンパクトで複雑な表面の標準的な参考書
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ボンビエリ, エンリコ;マンフォード, デイヴィッド(1977), 「エンリケスの曲面分類 II 章」『複素解析と代数幾何学』岩波書店, pp. 23– 42, MR 0491719