ボーレン・ピアーススケール
ボーレン・ピアース音階（BP音階）は、1970年代に初めて説明された音楽の調律と音階であり、西洋音楽やその他の音楽で一般的なオクターブ繰り返し音階、 [ 1 ]具体的には平均律の全音階の代替手段を提供します。
3:1の音程（しばしばトリターブという新しい名称で呼ばれる）は、全音階の2:1（オクターブ）を完全12度（完全5度より1オクターブ高い）に置き換える、基本的な倍音比として機能します。BPスケールに含まれる任意の音程については、1つ以上トリターブ高いまたは低いすべての音程もシステムの一部であり、同等とみなされます。
BPスケールは、三重音階を13の音階に分割します。平均律（最も一般的な形式）または等分調律バージョンがあります。オクターブを繰り返すスケールと比較して、BPスケールの音程は特定の種類の音響スペクトルとより調和的です。
この音階は、ハインツ・ボーレン[ 2 ] 、キース・ファン・プロイエン[ 3 ]、ジョン・R・ピアースによってそれぞれ独立に記述された。ピアースはマックス・マシューズらと共に1984年に自身の発見を発表し[ 4 ] 、ボーレンの以前の発表を知った後、ピアース3579b音階とその半音階変種をボーレン・ピアース音階と改名した。ボーレンは、音程と和音のゲシュタルト的印象における複合音の影響を考慮し、同じ音階を提案していた[ 5 ] 。
BPスケールのピッチクラス間の音程は奇数整数の周波数比に基づいています。これは、倍音列に見られる奇数と偶数の両方の比を採用する全音階の音程とは対照的です。具体的には、BPスケールのステップは、3、5、7を因数とする整数の比に基づいています。したがって、このスケールには、3:5:7:9の奇数倍音に基づく協和音が含まれています（ⓘ）。3:5:7の比で形成される弦（ⓘ）は4:5:6コード（長三和音）とほぼ同じ役割を果たしますⓘ）は全音階（3:5:7 = 1:1）+2/3 : 2+1/3そして4:5:6 = 2: 2+1/2 :3 = 1: 1+1/4 : 1+1/2）。
コードと変調
3:5:7のイントネーション感度パターンは4:5:6 （純粋な長調）に似ており、短調よりも類似しています。[ 6 ]この類似性は、私たちの耳が3:5:7を子音としても認識することを示唆しています。
3:5:7のコードはBPスケールの長三和音とみなすことができます。これは、平均律BPの6つの半音の音程で近似されます（ⓘ）が下部に、半音 4 等分音程（半音 0、6、10）がⓘ）。短三和音は、上部に 6 半音、下部に 4 半音(0、4、10;ⓘ）。5:7:9 は、長三和音(0、4、7;ⓘ）。 [ 7 ]
12人のミュージシャンと12人の訓練を受けていない聴衆を対象に、半音階の13音の任意の組み合わせから形成された半音三和音を研究したところ、半音0、1、2が最も不協和なコードであることがわかりました（ⓘ）、しかし0、11、13（ⓘ）は訓練を受けた被験者によって最も子音であると考えられました（オクターブ下がった長三和音のように聞こえるため）そして0、7、10（ⓘ）は訓練を受けていない被験者によって最も子音的であると判断された。 [ 8 ]
ピアス3579bスケールの音は、第2音を除き、すべて長三和音と短三和音である。13のキーが考えられる。単一の音を変化させることで転調が可能。第2音を半音上げると、主音は第3音（半音3）まで上昇し、これは属音とみなされる。第8音（半音10）は下属音に相当すると考えられる。[ 7 ]
音色と三重奏
3:1 は、全音階の 2:1 (オクターブ) に代わる基本的な倍音比として機能します。(ⓘ ) この音程は全音階のでは完全12度音程（1オクターブ下げると完全5度音程機能、しばしば新しい名前、トリターブ（BPの文脈では、擬似オクターブ（ⓘ）の役割を指し、接頭辞「tri-」（3）を使用してオクターブと区別しています。従来の音階では、特定のピッチがシステムの一部である場合、1オクターブ以上高いまたは低いすべてのピッチもシステムの一部であり、さらに同等で。BPスケールでは、特定のピッチが存在する場合、1オクターブ以上高いまたは低いピッチは存在しませんが、1すべてのピッチがシステムの一部であり、同等であるとみなされます。
BPスケールの奇数整数比の使用は、奇数倍音のみを含む音色に適しています。クラリネットのスペクトル（シャリュモー音域）は主に奇数倍音で構成されており、他の多くの木管楽器のようにオクターブではなく12度（またはトライターブ）でオーバーブローするため、ボーレン・ピアース・スケールとの自然な親和性があります。作曲家ゲオルク・ハイドゥの提案により、クラリネット製作者のスティーブン・フォックスは最初のボーレン・ピアース・ソプラノクラリネットを開発し、2006年初頭に販売を開始しました。彼は2010年に最初のBPテナークラリネット（ソプラノの6音下）、2011年に最初のイプシロンクラリネット（ソプラノの4音上）を製作しました。コントラクラリネット（ソプラノより1つ三分音階下）は現在（2020年）、ドイツのリューベック在住のノラ・ミュラーによって演奏されています。
チューニングだけ
全音階のボーレン・ピアース音階は、次の正確な比率で構成できます (図は「ラムダ」(λ) 音階を示しています)。
| 注記 | 名前 | C | D | E | F | G | H | J | あ | B | C | ||||||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 程度 |  |  |  |  |  |  |  |  |  | | |||||||||||
| 比率 | 1:1 | 25:21 | 9時7分 | 7時5分 | 5:3 | 9時5分 | 15:7 | 7:3 | 25:9 | 3:1 | |||||||||||
| セント | 0 | 301.85 | 435.08 | 582.51 | 884.36 | 1017.60 | 1319.44 | 1466.87 | 1768.72 | 1901.96 | |||||||||||
| ミディ | ⓘ | ⓘ | ⓘ | ⓘ | ⓘ | ⓘ | ⓘ | ⓘ | ⓘ | ⓘ | |||||||||||
| ステップ | 名前 | T | s | S | T | s | T | S | T | s | |||||||||||
| 比率 | 25:21 | 27:25 | 49:45 | 25:21 | 27:25 | 25:21 | 49:45 | 25:21 | 27:25 | ||||||||||||
| セント | 301.85 | 133.24 | 147.43 | 301.85 | 133.24 | 301.85 | 147.43 | 301.85 | 133.24 | ||||||||||||
BPスケールは、例えばV、II、VI、IVのように4つの3:5:7のコードが重なり合って構成されますが、異なるコードを選択して同様のスケールを作成することもできます。[ 9 ]
（5:3）（7:5） 8 9 3 | III VII I | VI I IV | IV 8 II
ボーレン・ピアース気質
ボーレンはもともと BP 音階を純正律と平均律の両方で表現していました。三重音を 13 の均等なステップに分割する平均律形式が、最も一般的な形式になりました。各ステップは次のステップより13 √ 3 = 3 1 ⁄ 13 = 1.08818… 高く、つまり 1 ステップあたり 1200 log 2 (3 1 ⁄ 13 ) = 146.3…セントになります。オクターブは分数のステップに分割されます。12 四重音では、1 オクターブあたり 12均等な平均律ステップが使用されます。ボーレン–ピアス音階は 8.202087 四重音と記述できます。これは、1 オクターブ (1200 セント) をステップあたり 146.3… セントで割ると、1 オクターブあたり 8.202087 ステップになるからです。
三拍子を 13 の等しいステップに分割すると、245:243 (約 14 セント、ボーレン＝ピアスディエシスと呼ばれることもある) と 3125:3087 (約 21 セント、ボーレン＝ピアス ディエシスと呼ばれることもある) の両方の音程が調律される、つまりユニゾンになります。これは、オクターブを 12 の等しいステップに分割すると、81:80 (シントニック コンマ) と 128:125 ( 5 限界リンマ) の両方がユニゾンになるのと同じです。7限界線形音律は、これらの両方の音程を調律します。結果として得られるボーレン＝ピアス音律は、三拍子相当音階や非オクターブ スケールの使用に適しているという点を除けば、もはやそれらとは関係がありません。この音律では、 1オクターブあたり41等分音階（1200 ⁄ 41 = 1音あたり29.27セント）の調律は非常に理にかなっています。このような調律では、平均律の完全12度（1902.4セント、純正12度より約0.5セント大きい）が65等分音階に分割されるため、一見矛盾が生じます。このオクターブベースの音階の5度ごとに音程を取ると、オクターブベースではない平均律BP音階に非常に近い音階が得られます。さらに、このような 5 つのステップの間隔は、8、9、または 17 の音符を持つ (オクターブベースの) MOS (対称モーメント) を生成し、8 音スケール (41 均等スケールの 0、5、10、15、20、25、30、および 35 度で構成) は、ボーレン - ピアース スケールのオクターブ相当バージョンと考えることができます。
音程とスケール図
この音階の 13 個の音符は次のとおりです (セントは最も近い整数に丸められています)。
正しく調整された
| 間隔（セント） | 133 | 169 | 133 | 148 | 154 | 147 | 134 | 147 | 154 | 148 | 133 | 169 | 133 | |||||||||||||||
| 音符名 | C | D ♭ | D | E | F | ソ♭ | G | H | J ♭ | J | あ | ロ♭ | B | C | ||||||||||||||
| 音価（セント） | 0 | 133 | 302 | 435 | 583 | 737 | 884 | 1018 | 1165 | 1319 | 1467 | 1600 | 1769 | 1902 | ||||||||||||||
平均律
| 間隔（セント） | 146 | 146 | 146 | 146 | 146 | 146 | 146 | 146 | 146 | 146 | 146 | 146 | 146 | |||||||||||||||
| 音符名 | C | C ＃ / D ♭ | D | E | F | F ＃ / G ♭ | G | H | H ＃ / J ♭ | J | あ | A ＃ / B ♭ | B | C | ||||||||||||||
| 音価（セント） | 0 | 146 | 293 | 439 | 585 | 732 | 878 | 1024 | 1170 | 1317 | 1463 | 1609 | 1756 | 1902 | ||||||||||||||
| 手順 | 名前 | EQインターバル | EQのセント | 純正律音程 | 伝統的な名前 | 純正律のセント | 違い |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 0 | C | 3 0 ⁄ 13 = 1.00 | 0.00 | 1:1 = 1.00 | ユニゾン | 0.00 | 0.00 |
| 1 | C#/D♭ | 3 1 ⁄ 13 = 1.09 | 146.30 | 27:25 = 1.08 | グレート・リマ | 133.24 | 13.06 |
| 2 | D | 3 2 ⁄ 13 = 1.18 | 292.61 | 25:21 = 1.19 | 準平均律の短3度 | 301.85 | −9.24 |
| 3 | E | 3 3 ⁄ 13 = 1.29 | 438.91 | 9:7 = 1.29 | 7度音程の長3度 | 435.08 | 3.83 |
| 4 | F | 3 4 ⁄ 13 = 1.40 | 585.22 | 7:5 = 1.40 | 小七分音 | 582.51 | 2.71 |
| 5 | F#/G♭ | 3 5 ⁄ 13 = 1.53 | 731.52 | 75:49 = 1.53 | BP 5位 | 736.93 | −5.41 |
| 6 | G | 3 6 ⁄ 13 = 1.66 | 877.83 | 5:3 = 1.67 | 正六度 | 884.36 | −6.53 |
| 7 | H | 3 7 ⁄ 13 = 1.81 | 1024.13 | 9:5 = 1.80 | 長短七度 | 1017.60 | 6.53 |
| 8 | H#/J♭ | 3 8 ⁄ 13 = 1.97 | 1170.44 | 49:25 = 1.96 | BP 8位 | 1165.02 | 5.42 |
| 9 | J | 3 9 ⁄ 13 = 2.14 | 1316.74 | 15:7 = 2.14 | 七分音符の短九度 | 1319.44 | −2.70 |
| 10 | あ | 3 10 ⁄ 13 = 2.33 | 1463.05 | 7:3 = 2.33 | 最小十度七分音符 | 1466.87 | −3.82 |
| 11 | A#/B♭ | 3 11 ⁄ 13 = 2.53 | 1609.35 | 63:25 = 2.52 | 準平均律の長10度音程 | 1600.11 | 9.24 |
| 12 | B | 3 12 ⁄ 13 = 2.76 | 1755.66 | 25:9 = 2.78 | 古典的な増11度音程 | 1768.72 | −13.06 |
| 13 | C | 3 13 ⁄ 13 = 3.00 | 1901.96 | 3:1 = 3.00 | ちょうど12番目、「トリタベ」 | 1901.96 | 0.00 |
音楽と作曲
ボーレン＝ピアース音階を用いた音楽は、美的にどのような響きを持つのだろうか？デイブ・ベンソンは、クラリネットやシンセサイザー音など、奇数倍音のみの音を使うのが効果的だと示唆しているが、「一部の音程は（より馴染みのある）十二音音階の音程に少し似ているが、ひどく音程がずれている」ため、平均的なリスナーは社会的な条件付けによって「何かがおかしい」と感じ続けるだろうと主張している。[ 10 ]
マシューズとピアースは、明瞭で記憶に残るメロディーはBPスケールで作曲できる可能性があり、「対位法は問題なく聞こえる」、そして「和音のパッセージはハーモニーのように聞こえる」、つまりおそらく進行を意味するが、「大きな緊張感や解決感はない」と結論付けている。[ 11 ] 1989年の協和音判断の研究では、訓練を受けた音楽家が最も協和的であると評価した5つのコードの両方の音程がほぼ全音階の音程であり、これは彼らの訓練が選択に影響を与え、BPスケールでの同様の経験も同様に彼らの選択に影響を与えたことを示唆している。[ 8 ]
ボーレン＝ピアース音階を使った作品には、カーティス・ローズの「Clang-Tint」第1楽章「Purity」などがある。[ 12 ] BP音階を使った他のコンピュータ作曲家には、ジョン・アップルトン、リシャール・ブーランジェ（Solemn Song for Evening（1990））、ゲオルグ・ハイドゥ、フアン・レイエスのppP（1999-2000）、[ 13 ]アミ・ラドゥンスカヤの「A Wild and Reckless Place」（1990）、[ 14 ]チャールズ・カーペンター（Frog à la Pêche（1994）とSplat）、[ 15 ] [ 16 ]エレイン・ウォーカー（Stick Men（1991）、Love Song、Greater Good（2011））などがある。[ 17 ]
トロント大学の建築学准教授であるデイヴィッド・リーバーマンは、ボーレン＝ピアース音階に調弦された弦楽器「ストレディチ」の開発を指揮しました。全長5メートルのこの楽器は、2012年にボストンで開催されたコンサートで使用されました。[ 18 ]
シンポジウム
第1回ボーレン＝ピアース・シンポジウムは、2010年3月7日から9日にかけてボストンで開催されました。主催は、作曲家ゲオルク・ハイドゥ（ハンブルク音楽演劇大学）とボストン微分音協会です。共催は、ボストン・ゲーテ・インスティテュート、バークリー音楽大学、ノースイースタン大学、ニューイングランド音楽院です。シンポジウムの参加者には、ハインツ・ボーレン、マックス・マシューズ、クラレンス・バーロウ、カーティス・ローズ、デイヴィッド・ウェッセル、プシュケ・ルイ、リチャード・ブーランジェ、ゲオルク・ハイドゥ、ポール・エルリッヒ、ロン・ソード、ジュリア・ウェルンツ、ラリー・ポランスキー、マンフレート・スタンケ、スティーブン・フォックス、エレイン・ウォーカー、トッド・ハロップ、ゲイル・ヤング、ヨハネス・クレッツ、アルトゥーロ・グロリムンド、ケビン・フォスターがおり、ボーレン・ピアース音階の歴史と特性に関する 20 件の論文を発表し、この新しいシステムで 40 曲以上の楽曲を演奏し、いくつかの新しい楽器を紹介しました。出演者には、ボーレン＝ピアース・クラリネットのドイツ人ミュージシャン、ノラ＝ルイーズ・ミュラーとアコス・ホフマン、ボーレン＝ピアース・パンフルートのアルトゥーロ・グロリムンド、カナダのアンサンブル、トランスペクトラ、エレイン・ウォーカー率いるアメリカの異声音楽バンドZIAが含まれていた。
その他の珍しい調律や音階
ボーレン[ 19 ]が研究した他の非オクターブ調律には、エンリケ・モレノ[ 20 ]がA12と名付けた12音階のトリターブ調律があり、4:7:10のコードに基づいています。ⓘ、オクターブで7つのステップ（7四重奏）または同様の11ステップのトリターブ、および5:7:9に基づくオクターブで8つのステップⓘであり、そのうちの正しいバージョンのみが使用される。さらに、ペンタヴは8つのステップに分割でき、5:9:13:17:21:25の形に近似する。 [ 21 ]ボーレンの833セント・スケールはフィボナッチ数列に基づいている複合音から作成されており、積み重ねられた833セント音程の一致する倍音を含むため、複雑な倍音関係のネットワークを含んでいる。例えば、「ステップ10はベーストーンのオクターブ（1200セント）と一致し、同時に黄金比をいる」。 [ 22 ]
平均律のステップの大きさを示すことで、代替音階を指定することもできます。例えば、ウェンディ・カルロスの78セントアルファ音階と63.8セントベータ音階、ゲイリー・モリソンの88セント音階（1オクターブあたり13.64ステップ、または1232セント伸長オクターブあたり14ステップ）などがあります。[ 23 ]この場合、アルファ音階は1オクターブあたり15.39ステップ、ベータ音階は1オクターブあたり18.75ステップとなります。[ 24 ]
拡張
39音均等分割の三分音符
パウル・エルリッヒは、ボーレン＝ピアース音階の各音を3分の1に分割し、トリターブを13の等音階ではなく39の等音階に分割することを提案しました。この音階は、3つのボーレン＝ピアース音階を均等にずらした音階と見なすことができ、奇数倍音が追加されます。13音階は、3:1、5:3、7:3、7:5、9:5、9:7、15:7の奇数倍音を含みます。 39 段階の音階には、これらすべてとさらに多くの音 (11:5、13:5、11:7、13:7、11:9、13:9、13:11、15:11、21:11、25:11、27:11、15:13、21:13、25:13、27:13、33:13、35:13) が含まれますが、偶数倍音のほとんどすべてがまだ含まれていません (2:1、3:2、5:2、4:3、8:3、6:5、8:5、9:8、11:8、13:8、15:8 を含む)。この音階の大きさは、1オクターブよりわずかに大きい比率で約25の等しいステップなので、39の等しいステップのそれぞれは、標準音階の12の等しいステップの半分よりわずかに小さくなります。[ 25 ]
| 平均律のステップ数 | 平均律 | 平均律音程の大きさ（セント） | 正しく調律された音程 | 正しく調律された音程の大きさ（セント） | 誤差（セント） |
|---|---|---|---|---|---|
| 91 | 12.9802 | 4437.90 | 13/1 | 4440.53 | -2.63 |
| 85 | 10.9617 | 4145.29 | 11月1日 | 4151.32 | -6.03 |
| 69 | 6.9845 | 3365.00 | 7月1日 | 3368.83 | -3.83 |
| 57 | 4.9812 | 2779.78 | 5/1 | 2786.31 | -6.53 |
| 49 | 3.9761 | 2389.64 | 4月1日 | 2400.00 | -10.36 |
| 39 | 3.0000 | 1901.96 | 3月1日 | 1901.96 | 0.00 |
| 38 | 2.9167 | 1853.19 | 225/77 | 1856.39 | -3.21 |
| 35/12 | 1853.18 | 0.00 | |||
| 32/11 | 1848.68 | 4.50 | |||
| 189/65 | 1847.85 | 5.34 | |||
| 37 | 2.8357 | 1804.42 | 99/35 | 1800.09 | 4.33 |
| 36 | 2.7569 | 1755.65 | 36/13 | 1763.38 | -7.73 |
| 135/49 | 1754.53 | 1.12 | |||
| 11月7日 | 1751.32 | 4.33 | |||
| 35 | 2.6803 | 1706.88 | 35/13 | 1714.61 | -7.73 |
| 34 | 2.6059 | 1658.11 | 13/5 | 1654.21 | 3.90 |
| 33 | 2.5335 | 1609.35 | 63/25 | 1600.11 | 9.24 |
| 33/13 | 1612.75 | -3.40 | |||
| 32 | 2.4631 | 1560.58 | 11月27日 | 1554.55 | 6.03 |
| 31 | 2.3947 | 1511.81 | 12月5日 | 1515.64 | -3.83 |
| 117/49 | 1506.79 | 5.02 | |||
| 30 | 2.3282 | 1463.04 | 7月3日 | 1466.87 | -3.83 |
| 29 | 2.2635 | 1414.27 | 11月25日 | 1421.31 | -7.04 |
| 147/65 | 1412.77 | 1.51 | |||
| 28 | 2.2006 | 1365.51 | 11月5日 | 1365.00 | 0.50 |
| 27 | 2.1395 | 1316.74 | 7月15日 | 1319.44 | -2.70 |
| 26 | 2.0801 | 1267.97 | 27/13 | 1265.34 | 2.63 |
| 25 | 2.0223 | 1219.20 | 99/49 | 1217.58 | 1.63 |
| 24 | 1.9661 | 1170.43 | 49/25 | 1165.02 | 5.41 |
| 23 | 1.9115 | 1121.67 | 11月21日 | 1119.46 | 2.20 |
| 22 | 1.8584 | 1072.90 | 7月13日 | 1071.70 | 1.20 |
| 21 | 1.8068 | 1024.13 | 9/5 | 1017.60 | 6.53 |
| 20 | 1.7566 | 975.36 | 135/77 | 972.03 | 3.33 |
| 7/4 | 968.83 | 6.54 | |||
| 19 | 1.7078 | 926.59 | 12月7日 | 933.13 | -6.54 |
| 77/45 | 929.92 | -3.33 | |||
| 18 | 1.6604 | 877.83 | 5/3 | 884.36 | -6.53 |
| 17 | 1.6143 | 829.06 | 21/13 | 830.25 | -1.20 |
| 16 | 1.5694 | 780.29 | 11月7日 | 782.49 | -2.20 |
| 15 | 1.5258 | 731.52 | 75/49 | 736.93 | -5.41 |
| 14 | 1.4835 | 682.75 | 49/33 | 684.38 | -1.63 |
| 13 | 1.4422 | 633.99 | 9月13日 | 636.62 | -2.63 |
| 12 | 1.4022 | 585.22 | 7/5 | 582.51 | 2.70 |
| 11 | 1.3632 | 536.45 | 11月15日 | 536.95 | -0.50 |
| 10 | 1.3254 | 487.68 | 65/49 | 489.19 | -1.51 |
| 33/25 | 480.65 | 7.04 | |||
| 9 | 1.2886 | 438.91 | 9月7日 | 435.08 | 3.83 |
| 8 | 1.2528 | 390.14 | 49/39 | 395.17 | -5.02 |
| 5/4 | 386.31 | 3.83 | |||
| 7 | 1.2180 | 341.38 | 11月9日 | 347.41 | -6.03 |
| 6 | 1.1841 | 292.61 | 11月13日 | 289.21 | 3.40 |
| 25/21 | 301.85 | -9.24 | |||
| 5 | 1.1512 | 243.84 | 15/13 | 247.74 | -3.90 |
| 4 | 1.1193 | 195.07 | 39/35 | 187.34 | 7.73 |
| 3 | 1.0882 | 146.30 | 12月11日 | 150.64 | -4.33 |
| 49/45 | 147.43 | -1.12 | |||
| 13/12 | 138.57 | 7.73 | |||
| 2 | 1.0580 | 97.54 | 35/33 | 101.87 | -4.33 |
| 1 | 1.0286 | 48.77 | 65/63 | 54.11 | -5.34 |
| 33/32 | 53.27 | -4.50 | |||
| 36/35 | 48.77 | 0.00 | |||
| 77/75 | 45.56 | 3.21 | |||
| 0 | 1.0000 | 0.00 | 1/1 | 0.00 | 0.00 |
65音均等分割の三分音符
ボーレン＝ピアース音階の各音程を5度に分割すると（三度音程は65音程に分割されます）、非常に正確なオクターブ（41音程）と完全5度（24音程）が得られ、他の純正音程の近似値も得られます。この音階は、各音程がわずかに小さい（1音程あたり100分の1セント未満）ことを除けば、オクターブを41音均等に分割したものと実質的に同一です。
| 平均律のステップ数 | 平均律 | 平均律音程の大きさ（セント） | 正しく調律された音程 | 正しく調律された音程の大きさ（セント） | 誤差（セント） |
|---|---|---|---|---|---|
| 65 | 3.0000 | 1901.96 | 3月1日 | 1901.9550 | 0.00 |
| 64 | 2.9497 | 1872.69 | 144/49 | 1866.2582 | 6.44 |
| 63 | 2.9003 | 1843.43 | 32/11 | 1848.6821 | -5.25 |
| 62 | 2.8517 | 1814.17 | 20/7 | 1817.4878 | -3.32 |
| 61 | 2.8039 | 1784.91 | 14/5 | 1782.5122 | 2.40 |
| 60 | 2.7569 | 1755.65 | 135/49 | 1754.5269 | 1.12 |
| 11月4日 | 1751.3179 | 4.33 | |||
| 59 | 2.7107 | 1726.39 | 10月27日 | 1719.5513 | 6.84 |
| 58 | 2.6653 | 1697.13 | 8月3日 | 1698.0450 | -0.92 |
| 57 | 2.6206 | 1667.87 | 8月21日 | 1670.7809 | -2.91 |
| 56 | 2.5767 | 1638.61 | 18/7 | 1635.0841 | 3.52 |
| 55 | 2.5335 | 1609.35 | 81/32 | 1607.8200 | 1.53 |
| 54 | 2.4910 | 1580.09 | 5/2 | 1586.3137 | -6.23 |
| 53 | 2.4493 | 1550.82 | 11月27日 | 1554.5471 | -3.72 |
| 52 | 2.4082 | 1521.56 | 12月5日 | 1515.6413 | 5.92 |
| 51 | 2.3679 | 1492.30 | 64/27 | 1494.1350 | -1.83 |
| 50 | 2.3282 | 1463.04 | 7月3日 | 1466.8709 | -3.83 |
| 49 | 2.2892 | 1433.78 | 16/7 | 1431.1741 | 2.61 |
| 48 | 2.2508 | 1404.52 | 9月4日 | 1403.9100 | 0.61 |
| 47 | 2.2131 | 1375.26 | 9月20日 | 1382.4037 | -7.14 |
| 46 | 2.1760 | 1346.00 | 11月24日 | 1350.6371 | -4.64 |
| 45 | 2.1395 | 1316.74 | 7月15日 | 1319.4428 | -2.70 |
| 44 | 2.1037 | 1287.48 | 21/10 | 1284.4672 | 3.01 |
| 43 | 2.0684 | 1258.22 | 33/16 | 1253.2729 | 4.94 |
| 42 | 2.0337 | 1228.96 | 55/27 | 1231.7667 | -2.81 |
| 41 | 1.9996 | 1199.69 | 2/1 | 1200.0000 | -0.31 |
| 40 | 1.9661 | 1170.43 | 49/25 | 1165.0244 | 5.41 |
| 39 | 1.9332 | 1141.17 | 27/14 | 1137.0391 | 4.13 |
| 38 | 1.9008 | 1111.91 | 40/21 | 1115.5328 | -3.62 |
| 37 | 1.8689 | 1082.65 | 8月15日 | 1088.2687 | -5.62 |
| 36 | 1.8376 | 1053.39 | 11月6日 | 1049.3629 | 4.03 |
| 35 | 1.8068 | 1024.13 | 9/5 | 1017.5963 | 6.53 |
| 34 | 1.7765 | 994.87 | 9月16日 | 996.0900 | -1.22 |
| 33 | 1.7468 | 965.61 | 7/4 | 968.8259 | -3.22 |
| 32 | 1.7175 | 936.35 | 12月7日 | 933.1291 | 3.22 |
| 31 | 1.6887 | 907.09 | 27/16 | 905.8650 | 1.22 |
| 30 | 1.6604 | 877.83 | 5/3 | 884.3587 | -6.53 |
| 29 | 1.6326 | 848.56 | 11月18日 | 852.5921 | -4.03 |
| 28 | 1.6052 | 819.30 | 8/5 | 813.6863 | 5.62 |
| 27 | 1.5783 | 790.04 | 63/40 | 786.4222 | 3.62 |
| 26 | 1.5518 | 760.78 | 9月14日 | 764.9159 | -4.13 |
| 25 | 1.5258 | 731.52 | 32/21 | 729.2191 | 2.30 |
| 24 | 1.5003 | 702.26 | 3/2 | 701.9550 | 0.31 |
| 23 | 1.4751 | 673.00 | 81/55 | 670.1883 | 2.81 |
| 72/49 | 666.2582 | 6.74 | |||
| 22 | 1.4504 | 643.74 | 11月16日 | 648.6821 | -4.94 |
| 21 | 1.4261 | 614.48 | 10月7日 | 617.4878 | -3.01 |
| 20 | 1.4022 | 585.22 | 7/5 | 582.5122 | 2.70 |
| 19 | 1.3787 | 555.96 | 11月8日 | 551.3179 | 4.64 |
| 18 | 1.3556 | 526.70 | 27/20 | 519.5513 | 7.14 |
| 17 | 1.3329 | 497.43 | 4/3 | 498.0450 | -0.61 |
| 16 | 1.3105 | 468.17 | 21/16 | 470.7809 | -2.61 |
| 15 | 1.2886 | 438.91 | 9月7日 | 435.0841 | 3.83 |
| 14 | 1.2670 | 409.65 | 80/63 | 413.5778 | -3.93 |
| 81/64 | 407.8200 | 1.83 | |||
| 13 | 1.2457 | 380.39 | 5/4 | 386.3137 | -5.92 |
| 12 | 1.2249 | 351.13 | 11月9日 | 347.4079 | 3.72 |
| 11 | 1.2043 | 321.87 | 6/5 | 315.6413 | 6.23 |
| 10 | 1.1841 | 292.61 | 32/27 | 294.1350 | -1.53 |
| 9 | 1.1643 | 263.35 | 7/6 | 266.8709 | -3.52 |
| 8 | 1.1448 | 234.09 | 8月7日 | 231.1741 | 2.91 |
| 7 | 1.1256 | 204.83 | 9月8日 | 203.9100 | 0.92 |
| 6 | 1.1067 | 175.57 | 10月9日 | 182.4037 | -6.84 |
| 5 | 1.0882 | 146.30 | 12月11日 | 150.6371 | -4.33 |
| 49/45 | 147.4281 | -1.12 | |||
| 4 | 1.0699 | 117.04 | 15/14 | 119.4428 | -2.40 |
| 16/15 | 111.7313 | 5.31 | |||
| 3 | 1.0520 | 87.78 | 21/20 | 84.4672 | 3.32 |
| 2 | 1.0344 | 58.52 | 28/27 | 62.9609 | -4.44 |
| 33/32 | 53.2729 | 5.25 | |||
| 1 | 1.0170 | 29.26 | 49/48 | 35.6968 | -6.44 |
| 50/49 | 34.9756 | -5.71 | |||
| 55/54 | 31.7667 | -2.51 | |||
| 56/55 | 1943年31日 | -1.93 | |||
| 64/63 | 27.2641 | 2.00 | |||
| 0 | 1.0000 | 0.00 | 1/1 | 0.0000 | 0.00 |
参照
参考文献
- ^ a bピアス、ジョン・R. (2001). 「協和音と音階」クック、ペリー・R. (編). 『音楽、認知、そしてコンピュータ化された音：心理音響学入門』 MITプレス. p. 183. ISBN 978-0-262-53190-0。
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- ^プロイジェン、キース・ヴァン (1978)。「平均律の理論」。インターフェース。7 : 45–56 .土井: 10.1080/09298217808570248 。2012 年11 月 27 日に取得。
- ^ Mathews, MV; Roberts, LA; Pierce, JR (1984). 「非連続整数比和音に基づく4つの新しいスケール」 . J. Acoust. Soc. Am. 75, S10(A) (S1): S10. Bibcode : 1984ASAJ...75...10M . doi : 10.1121/1.2021272 .
- ^マシューズ、マックス・V.; ピアース、ジョン・R. (1989). 「ボーレン・ピアース・スケール」. マシューズ、マックス・V.; ピアース、ジョン・R. (編). Current Directions in Computer Music Research . MIT Press. p. 167. ISBN 9780262631396。
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- ^ a bマシューズ＆ピアース（1989）、169ページ
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- ^微分音CDのディスコグラフィー、ホイヘンス・フォッカー財団、 2016年12月13日閲覧。。
- ^ d'Escrivan, Julio (2007). Collins, Nick (編). 『ケンブリッジ電子音楽コンパニオン』ケンブリッジ音楽コンパニオンズ229ページ. ISBN 9780521868617。
- ^ベンソン、デイブ (2006).音楽：数学的な贈り物. p. 237. ISBN 9780521853873。
- ^ "コンサート" . Bohlen-Pierce-Conference.org . 2012年11月27日閲覧。
- ^ 「David LiebermanがElectric Fields and Mini-Maker Faireに参加 | Daniels」www.daniels.utoronto.ca . 2023年1月4日閲覧。
- ^ボーレン (1978)。脚注 26、84 ページ。
- ^ 「その他の珍しいスケール」 The Bohlen–Pierce Site . 2012年11月27日閲覧。引用：モレノ、エンリケ・イグナシオ（1995年12月）「等ピッチ空間の埋め込みと拡張クロマの問題：実験的アプローチ」スタンフォード大学博士論文、12-22ページ。
- ^「その他の珍しいスケール」、 The Bohlen–Pierce Site。2012年11月27日閲覧。引用：Bohlen (1978)、pp. 76–86。
- ^ボーレン、ハインツ。「833セントのスケール」。ボーレン・ピアース・サイト。2012 年11 月 27 日に取得。
- ^セサレス、ウィリアム(2004).チューニング、音色、スペクトル、スケール. p. 60. ISBN 1-85233-797-4。
- ^カルロス、ウェンディ(2000) [1986]. 「ライナーノーツ」. 『ビューティー・イン・ザ・ビースト』（CD）. ウェンディ・カルロス. ESD. 81552.
- ^ 「BPスケール構造」 .ボーレン・ピアース・サイト. 2012年11月27日閲覧。
外部リンク
- 「ボーレン・ピアーススケール」研究、ZiaSpace.com。
- 「Stephen Fox Clarinets」、Bohlen-Pierce クラリネットおよびその他の楽器、SFoxClarinets.com。
- 「ボーレン・ピアースサイト：代替調和音階のウェブページ」、Huygens-Fokker.org。
- 「Kees van Prooijen: 3 次高調波の 13 音」、Kees.cc。
- ボーレン・ピアス・スケールの曲：「17tppp4 Walker Love Song」、Xenharmonic.Wikispaces.com。
- 「ボーレン・ピアース・シンポジウム」、Bohlen-Pierce-Conference.org。
- 「ボーレン・ピアーススケールシンポジウム、ボストン 2010」[再生リスト]、YouTube.com。
