ブリーザー面

微分幾何学において、ブリーザー面とは、理論物理学に現れる微分方程式であるサイン・ゴルドン方程式のブリーザー解^{[ 1 ]}に対応する、1パラメータの数学的な面族である。これらの面は、曲率が明確に定義されている場合に、一定の曲率を持つという注目すべき性質を持つ。そのため、これらは一般化擬球面の例となる。 ${\displaystyle -1}$

数学的背景

サイン・ゴードン定在ブリーザーは、時間的に変動するキンク・反キンク 2 ソリトン解と結合したものです。

擬球と呼ばれる、曲率-1 の埋め込み面と、サイン・ゴードン方程式の解との間には対応関係があります。この対応関係は、擬球の最も単純な例であるトラクトロイドから構築できます。漸近座標と呼ばれる特殊な座標系において、ガウス・コダッツィ方程式 は、所定の第一基本形式と第二基本形式を持つ面を平坦計量を持つ三次元空間に埋め込むことができる条件を規定する無矛盾方程式であり、サイン・ゴードン方程式に帰着します。

対応関係において、トラクトロイドはサイン・ゴードン解の静的1ソリトン解に対応する。サイン・ゴードンのローレンツ不変性により、静的解に1パラメータのローレンツブースト族を適用することで新たな解を得ることができる。擬球面側では、これらはリー変換と呼ばれ、トラクトロイドをディニ面と呼ばれる1パラメータの曲面族に変形する。

バックルンド変換法を用いると、正弦ゴルドン方程式の多数の異なる解、すなわち多重ソリトン解を構築することができます。例えば、2次元ソリトンはクーン面に対応します。しかし、この変換によって無限の解族が生成されますが、ブリーザー解はその中に含まれません。

ブリーザー解は、正弦ゴルドン方程式の逆散乱法から導出される。 ^{[ 2 ]}ブリーザー解は空間的には局在するが、時間的には振動する。

サイン・ゴードン方程式の各解は、ガウス・コダッツィ方程式を満たす第一基本形と第二基本形を与える。そして、曲面論の基本定理は、規定された第一基本形と第二基本形を回復するパラメータ化された曲面が存在することを保証する。パラメータ化は局所的には適切に行われるが、任意に拡張すると、結果として得られる曲面は自己交差やカスプを持つ可能性がある。実際、ヒルベルトの定理によれば、任意の擬球は に正則に（大まかに言えば、カスプなしで）埋め込むことはできない。 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$

パラメータ化

パラメータによるパラメータ化は次のように与えられる。 ${\displaystyle \sigma :\mathbb {R} ^{2}\rightarrow \mathbb {R} ^{3};(u,v)\mapsto (x,y,z)}$ ${\displaystyle 0<a<1}$

${\displaystyle {\begin{aligned}x&{}=-u+{\frac {2\left(1-a^{2}\right)\cosh(au)\sinh(au)}{w}}\\\\y&{}={\frac {2{\sqrt {1-a^{2}}}\cosh(au)\left(-{\sqrt {1-a^{2}}}\cos(v)\cos \left({\sqrt {1-a^{2}}}v\right)-\sin(v)\sin \left({\sqrt {1-a^{2}}}v\right)\right)}{w}}\\\\z&{}={\frac {2{\sqrt {1-a^{2}}}\cosh(au)\left(-{\sqrt {1-a^{2}}}\sin(v)\cos \left({\sqrt {1-a^{2}}}v\right)+\cos(v)\sin \left({\sqrt {1-a^{2}}}v\right)\right)}{w}}\end{aligned}}}$

どこ

${\displaystyle w={a\left(\left(1-a^{2}\right)\cosh ^{2}(au)+a^{2}\,\sin ^{2}\left({\sqrt {1-a^{2}}}v\right)\right)}}$

ブリーザー表面${\displaystyle a={\frac {2}{5}}{\text{ and }}-14\leq u<14}$ ${\displaystyle {\text{ and }}-37.4\leq v<37.4}$

参考文献

1. Terng, Chuu-Lian; Uhlenbeck, Karen (2000). 「ソリトンの幾何学」(PDF) . AMSの通知. 47 (1): 17– 25. 2022年11月6日閲覧。
2. MJ Ablowitz; DJ Kaup; AC Newell; H. Segur (1973). 「サイン・ゴードン方程式の解法」. Physical Review Letters . 30 (25): 1262– 1264. Bibcode : 1973PhRvL..30.1262A . doi : 10.1103/PhysRevLett.30.1262 .

参照

• ディニの表面
• クエン表面

外部リンク

• Xah Lee Web - サーフェスギャラリー
• バーチャル数学博物館のブリーザーサーフェス