カタランの推測

カタランの予想（カタランのけいじょう、またはミハイレスクの定理）は、1844年に数学者ウジェーヌ・シャルル・カタランによって予想され、 2002年にパダーボルン大学のプレダ・ミハイレスクによって証明された数論の定理である。^[¹^]^[²^] 整数2 ³と3 ²は、それぞれ8と9の値が連続する自然数の2つの完全冪（つまり、指数が1より大きい冪）である。この定理は、これが2つの連続する完全冪の唯一の場合であることを述べている。つまり、

カタランの予想—自然数の唯一の解

x^{a}-y^{b}=1

$a 、 b > 1$ 、 $x 、 y > 0$ の場合、 $x = 3$ 、 $a = 2$ 、 $y = 2$ 、 $b = 3$ となります。

歴史

この問題の歴史は少なくともガーソニデスにまで遡る。彼は1343年に、( x , y )が(2,3)または(3,2)に制限されるという予想の特別なケースを証明した。カタラン予想の後、最初の重要な進展は1850年にヴィクトル＝アメデ・ルベーグがb = 2の場合を扱ったときにもたらされた。 ^{[ 3 ]}

1976年、ロバート・ティデマンは超越理論におけるベイカー法を応用してa、bの境界を確立し、 x、yをa、bに関して制限する既存の結果を使用してx、y、a、bの有効上限を与えた。ミシェル・ランジュバンはこの境界の値を計算し、 ^[⁴^]有限個の場合を除いてカタランの予想を解決した。 $\exp \exp \exp \exp 730\approx 10^{10^{10^{10^{317}}}}$

カタラン予想は2002年4月にプレダ・ミハイレスクによって証明された。証明は2004年のJournal für die reine und angewandte Mathematikに掲載された。証明には円分体とガロア加群の理論が広く用いられている。証明の解説はユーリ・ビルによって Séminaire Bourbakiで行われた。^{[ 5 ]} 2005年、ミハイレスクは簡略化された証明を発表した。^{[ 6 ]}

ピライの予想

数学における未解決問題

それぞれの正の整数は、完全累乗の差として有限回だけ出現しますか?

数学におけるさらなる未解決問題

ピライの予想は、一般的な完全冪の差（OEISのシーケンスA001597）に関するものです。これはSSピライによって最初に提案された未解決の問題であり、完全冪のシーケンスのギャップは無限大に近づくと予想しました。これは、各正の整数が完全冪の差として有限回しか現れないと言っているのと同じです。より一般的には、1931年にピライは、固定された正の整数A、B、Cに対して、方程式には有限個の解（x、 y、 m、 n）（m、 n）≠（2、2）しかないと予想しました。ピライは、固定された^A、 B 、 x 、 y 、および1未満の任意の λ^に対して、 mおよびnについて一様^に $Ax^{n}-By^{m}=C$ $|Ax^{n}-By^{m}|\gg x^{\lambda n}$

一般的な予想はABC予想から導かれる。^{[ 7 ]}^{[ 8 ]}

ピライの予想とは、あらゆる自然数nに対して、差nを持つ完全冪のペアは有限個しか存在しないということを意味する。以下のリストは、n ≤ 64 において、10 ¹⁸ 未満の完全冪で、両方の冪の指数が1より大きいすべての解を示している。各nに対するこのような解の数は、（ OEISのシーケンスA076427 ）に記載されている。最小解（> 0）については、（ OEISのシーケンスA103953 ）も参照のこと。

n	解決数	kとk + nが両方とも完全累乗となるような数k	n	解決数	kとk + nが両方とも完全累乗となるような数k
1	1	8	33	2	16,256
2	1	25	34	0	なし
3	2	1,125	35	3	1, 289, 1296
4	3	4、32、121	36	2	64、1728
5	2	4、27	37	3	27, 324,14 348 907
6	0	なし	38	1	1331
7	5	1、9、25、121、32,761	39	4	25, 361, 961,10 609
8	3	1、8、97 336	40	4	9, 81, 216, 2704
9	4	16、27、216、64,000	41	3	8, 128, 400
10	1	2187	42	0	なし
11	4	16、25、3125、3364	43	1	441
12	2	2197年4月	44	3	81、100、125
13	3	36, 243, 4900	45	4	4, 36, 484, 9216
14	0	なし	46	1	243
15	3	1, 49,1 295 029	47	6	81, 169, 196, 529, 1681,25万
16	3	9、16、128	48	4	1, 16, 121, 21904
17	7	8、32、64、512、79 507 ,140 608 ,143 384 152 904	49	3	32,576,274 576
18	3	9, 225, 343	50	0	なし
19	5	8、81、125、324、503 284 356	51	2	49,625
20	2	16, 196	52	1	144
21	2	4,100	53	2	676,24,336
22	2	27, 2187	54	2	27, 289
23	4	4、9、121、2025	55	3	9, 729,175 561
24	5	1、8、25、1000、542 939 080 312	56	4	8, 25, 169, 5776
25	2	100、144	57	3	64, 343, 784
26	3	1、42 849 ,6 436 343	58	0	なし
27	3	9, 169, 216	59	1	841
28	7	4、8、36、100、484、50 625 ,131 044	60	4	4, 196,2 515 396 ,2 535 525 316
29	1	196	61	2	64,900
30	1	6859	62	0	なし
31	2	1,225	63	4	1, 81, 961,183 250 369
32	4	4, 32, 49, 7744	64	4	36、64、225、512

参照

注記

^ Weisstein, Eric W. ,カタランの予想, MathWorld
^ミハイレスク 2004
^ Victor-Amédée Lebesgue (1850)、「Sur l'impossibilité, en nombres entiers, de l'équation x ^m = y ² +1 」、Nouvelles annales de mathématiques、1 ^re série、9 : 178–181
^リベンボイム、パウロ（1979）、フェルマーの最終定理に関する13の講義、シュプリンガー・フェアラーク、p.236、ISBN 0-387-90432-8、Zbl 0456.10006
^ Bilu、Yuri (2004)、「カタルーニャ予想」、Séminaire Bourbaki vol. 2003/04 Exposés 909-923、Asterisque、vol. 294、1 ～ 26ページ
^ミハイレスク 2005
^ ^a ^b Narkiewicz, Wladyslaw (2011), 20世紀の有理数論：PNTからFLTへ、Springer Monographs in Mathematics、Springer-Verlag、pp. 253-254、ISBN 978-0-857-29531-6
^ Schmidt, Wolfgang M. (1996),ディオファントス近似とディオファントス方程式, Lecture Notes in Mathematics, vol. 1467 (第2版), Springer-Verlag , p. 207, ISBN 3-540-54058-X、Zbl 0754.11020

参考文献

Bilu、Yuri (2004)、「カタルーニャ語の予想 (ミハイレスク後)」、Asterisque、294 : vii、1–26、MR 2111637
カタロニア語、ユージーン (1844)、「Note extraite d'une lettre adressée à l'éditeur」、J. Reine Angew。数学。 (フランス語)、27 : 192、doi : 10.1515/crll.1844.27.192、MR 1578392
コーエン、ヘンリ (2005)。Démonstration de la conjecture de Catalan [カタルーニャ予想の証明]。 Théorie アルゴリズミックデノンブルとエクアシオンディオファンティエンヌ (フランス語)。パレゾー: エコール・ポリテクニック校。ページ 1–83。ISBN 2-7302-1293-0. MR 0222434 .
Metsänkylä, Tauno (2004)、「カタランの予想：もう一つの古いディオファントス問題の解決」（PDF） , Bulletin of the American Mathematical Society , 41 (1): 43– 57, doi : 10.1090/S0273-0979-03-00993-5 , MR 2015449
ミハイレスク, プレダ(2004)、「Primary Cyclotomic Units and a Proof of Catalan's Conjecture」、J. Reine Angew. Math.、2004 (572): 167– 195、doi : 10.1515/crll.2004.048、MR 2076124
Mihăilescu, Preda (2005), 「反射、ベルヌーイ数、そしてカタラン予想の証明」（PDF） ,ヨーロッパ数学会議, チューリッヒ: Eur. Math. Soc.: 325– 340, MR 2185753 , 2022年6月26日時点のオリジナル（PDF）からアーカイブ
リベンボイム、パウロ（1994）、カタランの予想、ボストン、マサチューセッツ州：アカデミックプレス、ISBN 0-12-587170-8、MR 1259738 ミハイレスクの証明より前のものである。
ティデマン、ロバート（1976）「カタラン語の等式について」（PDF）、Acta Arith.、29（2）：197– 209、doi：10.4064/aa-29-2-197-209、MR 0404137

外部リンク

[1] Weisstein, Eric W. ,カタランの予想, MathWorld

[2] ミハイレスク 2004

[3] Victor-Amédée Lebesgue (1850)、「Sur l'impossibilité, en nombres entiers, de l'équation x ^m = y ² +1 」、Nouvelles annales de mathématiques、1 ^re série、9 : 178–181

[4] リベンボイム、パウロ（1979）、フェルマーの最終定理に関する13の講義、シュプリンガー・フェアラーク、p.236、ISBN 0-387-90432-8、Zbl 0456.10006

[5] Bilu、Yuri (2004)、「カタルーニャ予想」、Séminaire Bourbaki vol. 2003/04 Exposés 909-923、Asterisque、vol. 294、1 ～ 26ページ

[6] ミハイレスク 2005

[rnt-7] Narkiewicz, Wladyslaw (2011), 20世紀の有理数論：PNTからFLTへ、Springer Monographs in Mathematics、Springer-Verlag、pp. 253-254、ISBN 978-0-857-29531-6

[8] Schmidt, Wolfgang M. (1996),ディオファントス近似とディオファントス方程式, Lecture Notes in Mathematics, vol. 1467 (第2版), Springer-Verlag , p. 207, ISBN 3-540-54058-X、Zbl 0754.11020

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