ルートテスト

数学において、根の検定は無限級数の収束の基準（収束検定）である。それは量に依存する。

${\displaystyle \limsup _{n\rightarrow \infty }{\sqrt[{n}]{|a_{n}|}},}$

ここで、は級数の項であり、この量が1未満の場合は級数は絶対収束し、1より大きい場合は発散することを示しています。これは特に、べき級数と関連して有用です。 ${\displaystyle a_{n}}$

ルートテストの説明

ルートテストの決定図

根検定は、オーギュスタン＝ルイ・コーシーによって初めて開発され、1821年に教科書『Cours d'analyse』に掲載されました。^{[ 1 ]}そのため、コーシー根検定またはコーシーの根号検定と呼ばれることもあります。

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}}$

ルートテストでは、数値を使用します

${\displaystyle C=\limsup _{n\rightarrow \infty }{\sqrt[{n}]{|a_{n}|}},}$

ここで「lim sup」は、おそらく+∞を 超える極限を表します。

${\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }{\sqrt[{n}]{|a_{n}|}},}$

収束する場合はCと等しくなり、代わりにルート テストで使用できます。

ルートテストでは、次のことが述べられています。

• C < 1ならば級数は絶対収束する。
• C > 1の場合、級数は発散します。
• C = 1で極限が厳密に上から近づく場合、級数は発散する。
• それ以外の場合、テストは決定的ではありません (級数は発散するか、絶対収束するか、条件付きで収束する可能性があります)。

C = 1 で級数が収束する級数も存在します(例 )。また、 C = 1 で級数が発散する級数も存在します(例 ) 。 ${\displaystyle \textstyle \sum 1/{n^{2}}}$ ${\displaystyle \textstyle \sum 1/n}$

べき級数への応用

このテストはべき級数で使用できる

${\displaystyle f(z)=\sum _{n=0}^{\infty }c_{n}(zp)^{n}}$

ここで、係数c _nと中心pは複素数であり、引数zは複素変数です。

この級数の項はa _n = c _n ( z − p ) ⁿで与えられる。そして、上記と同様にa _nに根検定を適用する。なお、このような級数は「pの周りの冪級数」と呼ばれることがある。これは、収束半径がpを中心とする最大の区間または円の半径Rであり、その区間または円の内側にあるすべての点zについて級数が収束するからである（区間または円の境界における収束は通常、別途確認する必要がある）。

べき級数に適用された根検定の系はコーシー・アダマールの定理です。収束半径は、分母が 0 の場合に実際には∞を意味することに注意してください。 ${\displaystyle 1/\limsup _{n\rightarrow \infty }{\sqrt[{n}]{|c_{n}|}},}$

証拠

級数 Σ a _nの収束の証明は比較テストの応用です。

任意のn ≥ N ( Nは固定された自然数) に対して が成り立つならば、 となる。等比級数は収束するので、比較判定によっても収束する。したがって、Σ a _{n は}絶対収束する。 ${\displaystyle {\sqrt[{n}]{|a_{n}|}}\leq k<1}$ ${\displaystyle |a_{n}|\leq k^{n}}$ ${\displaystyle \sum _{n=N}^{\infty }k^{n}}$ ${\displaystyle \sum _{n=N}^{\infty }|a_{n}|}$

nが無限にある場合、n は 0 に収束しないため、_この級数は発散します。 ${\displaystyle {\sqrt[{n}]{|a_{n}|}}>1}$

系の証明：べき級数Σ a _n = Σ c _n ( z  −  p ) ⁿに対して、上の式から、任意のn ≥ Nに対して次が成り立つ ようなNが存在するとき、級数は収束することがわかる。

${\displaystyle {\sqrt[{n}]{|a_{n}|}}={\sqrt[{n}]{|c_{n}(zp)^{n}|}1,}$

相当する

${\displaystyle {\sqrt[{n}]{|c_{n}|}}\cdot |zp|<1}$

全てのn ≥ Nに対して成り立ち、これは級数が収束するためには、十分に大きいn全てに対して成り立つ必要があることを意味する。これは、 ${\displaystyle |zp|<1/{\sqrt[{n}]{|c_{n}|}}}$

${\displaystyle |zp|<1/\limsup _{n\rightarrow \infty }{\sqrt[{n}]{|c_{n}|}},}$

収束が可能な唯一の場所は ${\displaystyle R\leq 1/\limsup _{n\rightarrow \infty}{\sqrt[{n}]{|c_{n}|}}.}$

${\displaystyle {\sqrt[{n}]{|a_{n}|}}={\sqrt[{n}]{|c_{n}(zp)^{n}|}}=1,}$

（1より大きい点は発散するため）そして、これらは区間または円の境界上にある点にすぎないので、収束半径は変化しない。

${\displaystyle R=1/\limsup _{n\rightarrow \infty}{\sqrt[{n}]{|c_{n}|}}.}$

例

例1:

${\displaystyle \sum _{i=1}^{\infty}{\frac {2^{i}}{i^{9}}}}$

ルートテストを適用し、${\displaystyle \lim _{n\to \infty }n^{1/n}=1,}$

${\displaystyle C=\lim _{n\to \infty}{\sqrt[{n}]{\left|{\frac {2^{n}}{n^{9}}}\right|}}=\lim _{n\to \infty}{\frac {\sqrt[{n}]{2^{n}}}{\sqrt[{n}]{n^{9}}}}=\lim _{n\to \infty}{\frac {2}{(n^{1/n})^{9}}}=2}$

級数は発散するので^{[ 2 ]}${\displaystyle C=2>1,}$

例2:

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{2^{\lfloor n/2\rfloor }}}=1+1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{8}}+{\frac {1}{8}}+\ldots }$

根検定は収束を示す。

${\displaystyle r=\limsup _{n\to \infty }{\sqrt[{n}]{|a_{n}|}}=\limsup _{n\to \infty }{\sqrt[{2n}]{|a_{2n}|}}=\limsup _{n\to \infty }{\sqrt[{2n}]{|1/2^{n}|}}={\frac {1}{\sqrt {2}}}<1.}$

この例は、根検定が比検定よりも強力であることを示しています。 が偶数の場合、比検定は決定的ではありませんが、が奇数の場合、となり、極限は存在しません。 ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle a_{n+1}/a_{n}=1}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle a_{n+1}/a_{n}=1/2}$ ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }|a_{n+1}/a_{n}|}$

ルートテスト階層

ルートテスト階層^{[ 3 ] [ 4 ]}は比率テスト階層と同様に構築されています（比率テストのセクション4.1 、より具体的にはサブセクション4.1.4を参照）。

正の項を持つ級数の場合、収束/発散の次のテストがあります。 ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}}$

を整数とし、を自然 対数の番目の反復、すなわちおよび任意の に対して とします。 ${\displaystyle K\geq 1}$ ${\displaystyle \ln _{(K)}(x)}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle \ln _{(1)}(x)=\ln(x)}$ ${\displaystyle 2\leq k\leq K}$ ${\displaystyle \ln _{(k)}(x)=\ln _{(k-1)}(\ln(x))}$

が大きいとき、 は次のように表せると 仮定する。${\displaystyle {\sqrt[{-n}]{a_{n}}}}$ ${\displaystyle n}$

${\displaystyle {\sqrt[{-n}]{a_{n}}}=1+{\frac {1}{n}}+{\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{K-1}{\frac {1}{\prod _{k=1}^{i}\ln _{(k)}(n)}}+{\frac {\rho _{n}}{n\prod _{k=1}^{K}\ln _{(k)}(n)}}.}$

(空の合計は 0 であるとみなされます。)

• この級数は収束する。${\displaystyle \liminf _{n\to \infty }\rho _{n}>1}$
• この級数が発散する場合、${\displaystyle \limsup _{n\to \infty }\rho _{n}<1}$
• そうでなければ、テストは決定的ではありません。

証拠

以来、 ${\displaystyle {\sqrt[{-n}]{a_{n}}}=\mathrm {e} ^{-{\frac {1}{n}}\ln a_{n}}}$

${\displaystyle \mathrm {e} ^{-{\frac {1}{n}}\ln a_{n}}=1+{\frac {1}{n}}+{\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{K-1}{\frac {1}{\prod _{k=1}^{i}\ln _{(k)}(n)}}+{\frac {\rho _{n}}{n\prod _{k=1}^{K}\ln _{(k)}(n)}}.}$

このことから、

${\displaystyle \ln a_{n}=-n\ln \left(1+{\frac {1}{n}}+{\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{K-1}{\frac {1}{\prod _{k=1}^{i}\ln _{(k)}(n)}}+{\frac {\rho _{n}}{n\prod _{k=1}^{K}\ln _{(k)}(n)}}\right).}$

右辺に テイラー展開を適用すると、次の式が得られます。

${\displaystyle \ln a_{n}=-1-\sum _{i=1}^{K-1}{\frac {1}{\prod _{k=1}^{i}\ln _{(k)}(n)}}-{\frac {\rho _{n}}{\prod _{k=1}^{K}\ln _{(k)}(n)}}+O\left({\frac {1}{n}}\right).}$

したがって、

${\displaystyle a_{n}={\begin{cases}\mathrm {e} ^{-1+O(1/n)}{\frac {1}{(n\prod _{k=1}^{K-2}\ln _{(k)}n)\ln _{(K-1)}^{\rho _{n}}n}},&K\geq 2,\\\mathrm {e} ^{-1+O(1/n)}{\frac {1}{n^{\rho _{n}}}},&K=1.\end{cases}}}$

(空の積は1に設定されます。)

最終結果は、収束の積分テストから得られます。

参照

• 比率テスト
• 収束級数

参考文献

1. ボッタッツィーニ、ウンベルト（1986年）、高等微積分学：オイラーからワイエルシュトラスまでの実解析と複素解析の歴史、シュプリンガー・フェアラーク、pp.  116–117、ISBN 978-0-387-96302-0イタリア語からの翻訳はウォーレン・ヴァン・エグモンドが担当しました。
2. ブリッグス、ウィリアム；コクラン、ライル（2011年）『微積分学：初期超越関数』アディソン・ウェスレー。 571ページ。
3. Abramov, Vyacheslav M. (2022). 「正級数の収束のための必要十分条件」(PDF) . Journal of Classical Analysis . 19 (2): 117--125. arXiv : 2104.01702 . doi : 10.7153/jca-2022-19-09 .
4. Bourchtein, Ludmila ; Bourchtein, Andrei ; Nornberg, Gabrielle ; Venzke, Cristiane (2012). 「コーシー検定に関連する収束検定の階層」(PDF) . International Journal of Mathematical Analysis . 6 (37--40): 1847--1869.

• クノップ、コンラッド (1956). 「§ 3.2.無限列と級数」 . Dover publications, Inc., ニューヨーク. ISBN 0-486-60153-6。
• ウィテカー, E.T. & ワトソン, GN. (1963). 「§ 2.35.現代分析講座（第4版）. ケンブリッジ大学出版局. ISBN 0-521-58807-3。

この記事にはPlanetMathの Proof of Cauchy's root test からの資料が組み込まれており、これはCreative Commons Attribution-Share-Alike Licenseに基づいてライセンスされています。