チャージポンプ位相同期ループ

チャージポンプPLL

チャージポンプ位相同期回路（CP-PLL）は、位相周波数検出器と方形波形信号を備えた位相同期回路の改良版である。[ 1 ] ^{CP - PLL}は、入力信号の位相を素早く同期させ、定常位相誤差を低く抑えることができる。^{[ 2 ]}

位相周波数検出器（PFD）

位相周波数検出器のダイナミクス

位相周波数検出器（PFD）は、基準信号（Ref）と制御信号（VCO）の立ち下がりエッジによって起動されます。PFDの出力信号は、0 、、の3つの状態のみを取ります。基準信号の立ち下がりエッジは、PFDが既に状態 でない限り、より高い状態に切り替わります。VCO信号の立ち下がりエッジは、PFDが既に状態 でない限り、より低い状態に切り替わります。両方の立ち下がりエッジが同時に発生した場合、PFDはゼロに切り替わります。 ${\displaystyle i(t)}$ ${\displaystyle +I_{p}}$ ${\displaystyle -I_{p}}$ ${\displaystyle +I_{p}}$ ${\displaystyle -I_{p}}$

CP-PLLの数学的モデル

2次CP-PLLの最初の線形数学モデルは、1980年にF.ガードナーによって提案されました。 ^{[ 2 ]} VCO過負荷のない非線形モデルは、1994年にM.ヴァンパエメルによって提案され、 ^{[ 3 ]} その後、2019年にN.クズネツォフらによって改良されました。^{[ 4 ]} VCO過負荷を考慮したCP-PLLの閉形式の数学モデルは、で導出されています。^{[ 5 ]}

CP-PLLのこれらの数学モデルにより、ホールドイン範囲（VCOが過負荷にならないロック状態が存在する入力信号周期の最大範囲）とプルイン範囲（任意の初期状態でCP-PLLがロック状態を獲得するホールドイン範囲内での入力信号周期の最大範囲）の解析的推定が可能になります。^{[ 6 ]}

2次CP-PLLの連続時間線形モデルとガードナーの予想

ガードナーの分析は次の近似に基づいている：^{[ 2 ]}参照信号の各周期においてPFDが非ゼロ状態となる時間間隔は

${\displaystyle t_{p}=|\theta _{e}|/\omega _{\rm {ref}},\ \theta _{e}=\theta _{\rm {ref}}-\theta _{\rm {vco}}.}$

チャージポンプPFDの平均出力は

${\displaystyle i_{d}=I_{p}\theta _{e}/2\pi }$

対応する伝達関数

${\displaystyle I_{d}(s)=I_{p}\theta _{e}(s)/2\pi }$

フィルタ伝達関数とVCO伝達関数を使用すると、ガードナーの2次CP-PLLの線形近似平均モデルが得られる。 ${\displaystyle F(s)=R+{\frac {1}{Cs}}}$ ${\displaystyle \theta _{\rm {vco}}(s)=K_{\rm {vco}}I_{d}(s)F(s)/s}$

${\displaystyle {\frac {\theta _{e}(s)}{\theta _{\rm {ref}}(s)}}={\frac {2\pi s}{2\pi s+K_{\rm {vco}}I_{p}\left(R+{\frac {1}{Cs}}\right)}}.}$

1980年、F.ガードナーは上記の推論に基づき、 実用的なチャージポンプPLLの過渡応答は、同等の従来型PLLの応答とほぼ同じになると予想しました^{[ 2 ] : 1856} （CP-PLLに関するガードナーの予想^{[ 7 ]}）。ガードナーの結果に続き、タイプ2 APLLの引き込み範囲に関するイーガンの予想との類推により、アムル・M・ファヒムは著書^{[ 8 ] : 6} で、無限の引き込み（キャプチャ）範囲を得るためには、 CP-PLLのループフィルタにアクティブフィルタを使用する必要があると予想しました（タイプII CP-PLLの引き込み範囲に関するファヒム-イーガンの予想）。

2次CP-PLLの連続時間非線形モデル

一般性を損なうことなく、 VCO信号とRef信号の立ち下がりエッジは、対応する位相が整数に達したときに発生すると仮定します。Ref信号の最初の立ち下がりエッジの時刻を と定義します。PFDの状態は、 PFDの初期状態 と、VCO信号 とRef信号の初期位相シフトによって決定されます。 ${\displaystyle t=0}$ ${\displaystyle i(0)}$ ${\displaystyle i(0-)}$ ${\displaystyle \theta _{vco}(0)}$ ${\displaystyle \theta _{ref}(0)}$

抵抗とコンデンサに基づく比例積分（完全なPI）フィルタの 入力電流と出力電圧の関係は次のとおりです。${\displaystyle i(t)}$ ${\displaystyle v_{F}(t)}$

${\displaystyle {\begin{aligned}v_{F}(t)=v_{c}(0)+Ri(t)+{\frac {1}{C}}\int \limits _{0}^{t}i(\tau )d\tau \end{aligned}}}$

ここで、は抵抗、は容量、はコンデンサの電荷です。制御信号はVCO周波数を調整します。 ${\displaystyle R>0}$ ${\displaystyle C>0}$ ${\displaystyle v_{c}(t)}$ ${\displaystyle v_{F}(t)}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\dot {\theta }}_{vco}(t)=\omega _{vco}(t)=\omega _{vco}^{\text{free}}+K_{vco}v_{F}(t),\end{aligned}}}$

ここで、はVCOの自励（静止）周波数（すなわち、 の場合）、 はVCOのゲイン（感度）、はVCOの位相です。最後に、CP-PLLの連続時間非線形数学モデルは以下のとおりです。 ${\displaystyle \omega _{vco}^{\text{free}}}$ ${\displaystyle v_{F}(t)\equiv 0}$ ${\displaystyle K_{vco}}$ ${\displaystyle \theta _{vco}(t)}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\dot {v}}_{c}(t)={\tfrac {1}{C}}i(t),\quad {\dot {\theta }}_{vco}(t)=\omega _{vco}^{\text{free}}+K_{vco}(Ri(t)+v_{c}(t))\end{aligned}}}$

次の不連続な区分定数非線形性を持つ

${\displaystyle i(t)=i{\big (}i(t-),\theta _{ref}(t),\theta _{vco}(t){\big )}}$

初期条件。このモデルは非線形、非自律、不連続、スイッチングシステムです。 ${\displaystyle {\big (}v_{c}(0),\theta _{vco}(0){\big )}}$

2次CP-PLLの離散時間非線形モデル

PFDダイナミクスの時間間隔

基準信号周波数は一定であると仮定します。 ここで、、、 は 基準信号の周期、周波数、位相です。とします。を、PFD 出力がゼロになる最初の瞬間 (の場合、) およびVCO または Ref の最初の立ち下がりエッジで表します。さらに、について対応する増加シーケンスとが定義されます。 とします。すると について、 は非ゼロ定数 ( ) です。をPFD パルス幅 (PFD 出力が非ゼロ定数である時間間隔の長さ) に PFD 出力の符号を乗じたもので表します。つまり、については、について は です。VCO の立ち下がりエッジが Ref の立ち下がりエッジより前に来る場合、 となり、逆の場合は となります。つまり、 は1 つの信号が別の信号より遅れている様子を示してい ます。間隔におけるPFDのゼロ出力: について。変数^{[ 9 ]}を に変換すると 、 パラメーターの数を 2 つに減らすことができます。 最後に、VCO過負荷のない2次CP-PLLの離散時間モデル^{[ 4 ] [ 6 ]}${\displaystyle \theta _{ref}(t)=\omega _{ref}t={\frac {t}{T_{ref}}},}$ ${\displaystyle T_{ref}}$ ${\displaystyle \omega _{ref}}$ ${\displaystyle \theta _{ref}(t)}$ ${\displaystyle t_{0}=0}$ ${\displaystyle t_{0}^{\rm {middle}}}$ ${\displaystyle i(0)=0}$ ${\displaystyle t_{0}^{\rm {middle}}=0}$ ${\displaystyle t_{1}}$ ${\displaystyle \{t_{k}\}}$ ${\displaystyle \{t_{k}^{\rm {middle}}\}}$ ${\displaystyle k=0,1,2...}$ ${\displaystyle t_{k}<t_{k}^{\rm {middle}}}$ ${\displaystyle t\in [t_{k},t_{k}^{\rm {middle}})}$ ${\displaystyle {\text{sign}}(i(t))}$ ${\displaystyle \pm 1}$ ${\displaystyle \tau _{k}}$ ${\displaystyle \tau _{k}=(t_{k}^{\rm {middle}}-t_{k}){\text{sign}}(i(t))}$ ${\displaystyle t\in [t_{k},t_{k}^{\rm {middle}})}$ ${\displaystyle \tau _{k}=0}$ ${\displaystyle t_{k}=t_{k}^{\rm {middle}}}$ ${\displaystyle \tau _{k}<0}$ ${\displaystyle \tau _{k}>0}$ ${\displaystyle \tau _{k}}$ ${\displaystyle i(t)\equiv 0}$ ${\displaystyle (t_{k}^{\rm {middle}},t_{k+1})}$ ${\displaystyle v_{F}(t)\equiv v_{k}}$ ${\displaystyle t\in [t_{k}^{\rm {middle}},t_{k+1})}$ ${\displaystyle (\tau _{k},v_{k})}$ ${\displaystyle p_{k}={\frac {\tau _{k}}{T_{\rm {ref}}}},u_{k}=T_{\rm {ref}}(\omega _{\rm {vco}}^{\text{free}}+K_{\rm {vco}}v_{k})-1,}$ ${\displaystyle \alpha =K_{\rm {vco}}I_{p}T_{\rm {ref}}R,\beta ={\frac {K_{\rm {vco}}I_{p}T_{\rm {ref}}^{2}}{2C}}.}$ ${\displaystyle p_{k}}$ ${\displaystyle u_{k}+1}$ ${\displaystyle \omega _{\rm {vco}}^{\text{free}}+K_{\rm {vco}}v_{k}}$ ${\displaystyle {\frac {1}{T_{\rm {ref}}}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}&u_{k+1}=u_{k}+2\beta p_{k+1},\\&p_{k+1}={\begin{cases}{\frac {-(u_{k}+\alpha +1)+{\sqrt {(u_{k}+\alpha +1)^{2}-4\beta c_{k}}}}{2\beta }},\quad {\text{ for }}p_{k}\geq 0,\quad c_{k}\leq 0,\\{\frac {1}{u_{k}+1}}-1+(p_{k}{\text{ mod }}1),\quad {\text{ for }}p_{k}\geq 0,\quad c_{k}>0,\\l_{k}-1,\quad {\text{ for }}p_{k}<0,\quad l_{k}\leq 1,\\{\frac {-(u_{k}+\alpha +1)+{\sqrt {(u_{k}+\alpha +1)^{2}-4\beta d_{k}}}}{2\beta }},\quad {\text{ for }}p_{k}<0,\quad l_{k}>1,\end{cases}}\end{aligned}}}$

どこ

${\displaystyle {\begin{aligned}c_{k}=(1-(p_{k}{\text{ mod }}1))(u_{k}+1)-1,S_{l_{k}}=-(u_{k}-\alpha +1)p_{k}+\beta p_{k}^{2},l_{k}={\frac {1-(S_{l_{k}}{\text{ mod }}1)}{u_{k}+1}},d_{k}=(S_{l_{k}}{\text{ mod }}1)+u_{k}.\end{aligned}}}$

この離散時間モデルは、唯一の定常状態を持ち、ホールドイン範囲とプルイン範囲を推定することができる。^{[ 6 ]}${\displaystyle (u_{k}=0,p_{k}=0)}$

VCOが過負荷状態、すなわち がゼロ、または と同じ場合 、CP-PLLのダイナミクスにおける追加のケースを考慮する必要があります。^{[ 5 ]} いずれのパラメータにおいても、VCOと基準信号間の周波数差が十分に大きい場合、VCOの過負荷が発生する可能性があります。実際には、VCOの過負荷は避けるべきです。 ${\displaystyle {\dot {\theta }}_{\rm {vco}}(t)}$ ${\displaystyle (p_{k}>0,u_{k}<2\beta p_{k}-1)}$ ${\displaystyle (p_{k}<0,u_{k}<\alpha -1)}$

高次CP-PLLの非線形モデル

高次CP-PLLの非線形数学モデルの導出は、解析的に解くことができない超越位相方程式につながり、古典的な固定小数点法やニュートン・ラプソン法のような数値的アプローチが必要となる。^{[ 10 ]}

参考文献

1. USA US3714463A、Jon M. Laune、「デジタル周波数および/または位相検出器チャージポンプ」、1973年1月30日公開 
2. F. Gardner (1980). 「チャージポンプ位相同期ループ」. IEEE Transactions on Communications . 28 (11): 1849– 1858. Bibcode : 1980ITCom..28.1849G . doi : 10.1109/TCOM.1980.1094619 .
3. M. van Paemel (1994). 「チャージポンプPLLの解析：新しいモデル」. IEEE Transactions on Communications . 42 (7): 2490– 2498. doi : 10.1109/26.297861 .
4. クズネツォフ、ニコライ;ユルダシェフ、マラート。ユルダシェフ、レナト。ブラゴフ、ミハイル。クドリャショワ、エレナ。クズネツォワ、オルガ。モカエフ、ティムール（2019）。「ファン・パエメルのチャージポンプ位相同期ループの数学的モデルに関するコメント」(PDF)。微分方程式と制御プロセス。1：109～ 120
5. クズネツォフ、ニコライ;ユルダシェフ、マラート。ユルダシェフ、レナト。ブラゴフ、ミハイル。クドリャショワ、エレナ。クズネツォワ、オルガ。モカエフ、ティムール（2020）。 「位相周波数検出器を備えたチャージポンプ位相ロックループ: 閉じた形式の数学モデル」。信号処理。1901年（1468年）。arXiv : 1901.01468。S2CID 117701057。 
6. Kuznetsov, NV; Matveev, AS; Yuldashev, MV; Yuldashev, RV (2020). 「チャージポンプ位相同期ループの非線形解析：ホールドイン範囲とプルイン範囲」. IFAC世界会議. arXiv : 2005.00864 .
7. Kuznetsov, NV; Matveev, AS; Yuldashev, MV; Yuldashev, RV (2021). 「チャージポンプ位相同期ループの非線形解析：ホールドイン範囲とプルイン範囲」 . IEEE Transactions on Circuits and Systems I: Regular Papers . 68 (10): 4049– 4061. arXiv : 2005.00864 . doi : 10.1109/TCSI.2021.3101529 .
8. Fahim, Amr M. (2005). SOCプロセッサ向けクロックジェネレータ：回路とアーキテクチャ. ボストン・ドルドレヒト・ロンドン: Kluwer Academic Publishers. ISBN 9781402080791. OCLC  492670524 .
9. Curran, Paul F.; Bi, Chuang; Feely, Orla (2013). 「チャージポンプ位相同期ループのダイナミクス」 . International Journal of Circuit Theory and Applications . 41 (11): 1109– 1135. doi : 10.1002/cta.1814 . S2CID 3792988 . 
10. Hedayat, Christian D.; Hachem, Ahmed; Leduc, Yves; Benbassat, Gérard (1999). 「3次チャージポンプPLLのモデリングと特性評価：完全イベントドリブンアプローチ」. Analog Integrated Circuits and Signal Processing . 19 (1): 25– 45. doi : 10.1023/A:1008326315191 . S2CID 58204942 .