クリフォード代数

数学において、クリフォード代数^{[ a ]}は、二次形式を持つベクトル空間によって生成される代数であり、特別な部分空間の構造が追加された単位結合代数である。 K代数として、実数、複素数、四元数、およびその他のいくつかの超複素数系を一般化する。^{[ 1 ] [ 2 ]}クリフォード代数の理論は、二次形式や直交変換の理論と密接に関係している。クリフォード代数は、幾何学、理論物理学、デジタル画像処理など、さまざまな分野で重要な応用がある。イギリスの数学者ウィリアム・キングドン・クリフォード(1845–1879) にちなんで名付けられている。

最もよく知られているクリフォード代数である直交クリフォード代数は、シンプレクティッククリフォード代数と区別するために、 （擬似）リーマンクリフォード代数とも呼ばれる。^{[ b ]}

はじめにと基本的な性質

クリフォード代数は、体K上のベクトル空間Vを含み、それによって生成される単位結合代数であり、 V は二次形式Q  : V → Kを備える。クリフォード代数Cl( V , Q )は、条件^{[ c ]}に従ってVによって生成される「最も自由な」単位結合代数である。 ここで、左側の積は代数の積であり、右側の1 は代数の乗法恒等式である（ Kの乗法恒等式と混同しないこと）。この恒等式に従う「最も自由な」または「最も一般的な」代数であるという考えは、以下に示すように、普遍性の概念を通して正式に表現できる。 $${\displaystyle v^{2}=Q(v)1\ \forall \ v\in V,}$$

Vが有限次元実ベクトル空間でQが非退化であるとき、Cl( V , Q )はCl _{p , q} ( R )というラベルで識別され、V がe _i ² = +1となるp個の元とe i ₂ ⁼ −1となるq個の元を持つ直交基底を持つことを示します。ここでR は、これが実数上のクリフォード代数であることを示します。つまり、代数の元の係数は実数です。このような基底は直交対角化によって見つけることができます。

Vによって生成される自由代数は、テンソル代数⨁ _{n ≥0} V ⊗ ⋯ ⊗ V、すなわち、n個のVのコピーのテンソル積のn全体にわたる直和として表すことができます。したがって、このテンソル代数を、すべての元v ∈ Vに対して形式v ⊗ v − Q ( v )1の元によって生成される両側イデアルで商したクリフォード代数が得られます。商代数におけるテンソル積によって誘導される積は、並置法（例： uv ）を使用して表されます。その結合法則は、テンソル積の結合法則から従います。

クリフォード代数は、埋め込み写像の像である特別な部分空間 Vを持つ。このような部分空間は、クリフォード代数と 同型なK代数のみを与えても、一般には一意に決定できない。

2 が基底場Kで逆変換可能な場合、上記の基本恒等式を という形式に書き換えることができます。 ここ では、分極恒等式 を介して、Qに関連付けられた対称双線形形式 です。 $${\displaystyle uv+vu=2\langle u,v\rangle 1\ {\text{ for all }}u,v\in V,}$$ $${\displaystyle \langle u,v\rangle ={\frac {1}{2}}\left(Q(u+v)-Q(u)-Q(v)\right)}$$

この点において、標数2の二次形式とクリフォード代数は例外的なケースとなる。特に、char( K ) = 2のとき、二次形式がQ ( v ) = ⟨ v , v ⟩を満たす対称双線型形式を必然的あるいは一意に決定する、というのは正しくない。^{[ 3 ]}この記事の記述の多くは、標数が2ではないという条件を含んでおり、この条件が取り除かれると誤りとなる。

外積代数の量子化として

クリフォード代数は外積代数と密接な関係がある。実際、Q = 0 のときクリフォード代数Cl( V , Q )は外積代数⋀ Vに等しい。2 が基底体 Kにおいて可逆なときはいつでも、 ⋀ VとCl( V , Q )の間には標準線型同型が存在する。つまり、これらはベクトル空間として自然に同型だが、乗法が異なる（標数 2 の場合、ベクトル空間として同型ではあるが、自然ではない）。クリフォード乗法と区別された部分空間の組み合わせは、Qによって提供される追加情報を利用するため、 外積よりも厳密に豊富である。

クリフォード代数はフィルター代数であり、関連する次数代数は外積代数です。

より正確には、クリフォード代数は、ワイル代数が対称代数の量子化であるのと同様に、外在代数の量子化（量子群を参照）と考えることができる。

ワイル代数とクリフォード代数は、さらに*-代数の構造を許容し、CCR 代数と CAR 代数で説明されているように、超代数の偶数項と奇数項として統一できます。

普遍的な財産と構築

V を体K上のベクトル空間とし、Q :  V → KをV上の二次形式とする。関心のあるほとんどのケースにおいて、体Kは実数体R、複素数体C、または有限体のいずれかである。    

クリフォード代数Cl( V , Q )は( B , i )^のペアです[ ^{d ] [ 4 ]。}ここでBはK上の単位結合代数、iはi ( v ) ² = Q ( v )1 _Bを満たす線型写像i  : V → Bで、 Vのすべてのvに対して、次の普遍的性質によって定義されます。 K上の任意の単位結合代数Aと任意の線型写像j  : V → Aが与えられ、 ( 1 _AはAの乗法単位元を表す)、次の図が可換となるような (つまり、 f ∘ i = jとなる) 唯一の代数準同型f  : B → Aが存在し、$${\displaystyle j(v)^{2}=Q(v)1_{A}{\text{ for all }}v\in V}$$

二次形式Qは（必ずしも対称ではない^{[ 5 ]}）双線型形式⟨⋅,⋅⟩に置き換えられる可能性があり、その形式は⟨v , v⟩ = Q ( v ), v∈Vという性質を持つ。この場合、jに対する同等の要件は $${\displaystyle j(v)j(v)=\langle v,v\rangle 1_{A}\quad {\text{ for all }}v\in V.}$$

体の標数が2でない場合、これは同等の要件に置き換えられる可能性があり、その場合、 双線形形式は一般性を失うことなく対称的であるという制限がさらに課される可能性があります。 $${\displaystyle j(v)j(w)+j(w)j(v)=(\langle v,w\rangle +\langle w,v\rangle )1_{A}\quad {\text{ for all }}v,w\in V,}$$

上述のクリフォード代数は常に存在し、次のように構成できる。まず、Vを含む最も一般的な代数、すなわちテンソル代数T ( V )から始め、適切な商をとることで基本恒等式を強制する。ここでは、すべての に対しての形の元によって生成される T ( V )の両側イデアルI _{Q を}とり 、Cl( V , Q )を商代数として 定義する。$${\displaystyle v\otimes v-Q(v)1}$$ ${\displaystyle v\in V}$ $${\displaystyle \operatorname {Cl} (V,Q)=T(V)/I_{Q}.}$$

この商が継承する環積は、外積やスカラー積と区別するために クリフォード積^{[ 6 ]}と呼ばれることもあります。

このとき、 Cl( V , Q )はVを含み、上記の普遍性を満たすため、Clは同型写像が一意である点を除いて一意であることが容易に示される。したがって、これを「クリフォード代数Cl( V , Q ) 」と呼ぶ。この構成から、 iは単射であることも分かる。通常、 iは省略され 、V はCl( V , Q )の線型部分空間とみなされる。

クリフォード代数の普遍的特徴付けは、 Cl( V , Q )の構成が本質的に関数的であることを示す。すなわち、 Cl は、二次形式を持つベクトル空間の圏（その射は二次形式を保存する線型写像である）から結合代数の圏への関数として考えることができる。この普遍性は、二次形式を保存するベクトル空間間の線型写像が、関連するクリフォード代数間の代数準同型に一意に拡張されることを保証する。

基礎と次元

Vは二次形式 Qを備えているため、特性 が2でない場合にはVの直交基底が存在する。直交基底とは、 の対称双線型形式に対してが成り立つ基底であり 、$${\displaystyle \langle e_{i},e_{j}\rangle =0}$$ ${\displaystyle i\neq j}$ $${\displaystyle \langle e_{i},e_{i}\rangle =Q(e_{i}).}$$

クリフォードの基本恒等式は、 の直交基底に対して 、および$${\displaystyle e_{i}e_{j}=-e_{j}e_{i}}$$ ${\displaystyle i\neq j}$ $${\displaystyle e_{i}^{2}=Q(e_{i}).}$$

これにより、直交基底ベクトルの操作が非常に簡単になります。Vの異なる直交基底ベクトルの積が与えられた場合、それらを標準的な順序に並べることができます。その際、その際に必要なペアワイズスワップの回数によって決まる全体の符号（つまり、順序付け順列の符号）を含めることができます。 ${\displaystyle e_{i_{1}}e_{i_{2}}\cdots e_{i_{k}}}$

K上のVの次元がnで{ e ₁ , ..., e _n }が( V , Q )の直交基底ならば、Cl( V , Q )はK上で自由基底 を持ち、$${\displaystyle \{e_{i_{1}}e_{i_{2}}\cdots e_{i_{k}}\mid 1\leq i_{1}<i_{2}<\cdots <i_{k}\leq n{\text{ and }}0\leq k\leq n\}.}$$

空積（k = 0 ）は乗法単位元として定義される。kの各値に対して、n個のk個の基底元が選択される。したがって、クリフォード代数の全次元は $${\displaystyle \dim \operatorname {Cl} (V,Q)=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}=2^{n}.}$$

例: 実クリフォード代数と複素クリフォード代数

最も重要なクリフォード代数は、非退化二次形式を備えた実ベクトル空間と複素ベクトル空間上の代数です。

Cl _{p , q} ( R )およびCl _n ( C )の各代数はAまたはA ⊕ Aと同型である。ここでA はR、C、または Hを要素とする完全な行列環である。これらの代数の完全な分類については、クリフォード代数の分類を参照のこと。

実数

クリフォード代数は、実数上の幾何 代数とも呼ばれることがあります。

有限次元実ベクトル空間上のすべての非退化二次形式は、標準対角形式と等価である。 ここで、 n = p + qはベクトル空間の次元である。整数のペア( p , q )は二次形式の符号と呼ばれる。この二次形式を持つ実ベクトル空間は、しばしばR ^{p , q}と表記される。R ^{p , q}上のクリフォード代数はCl _{p , q} ( R )と表記される。 記号Cl _n ( R )は、著者が正定値空間を好むか負定値空間を好むかによって、 Cl _{n ,0} ( R )またはCl _{0, n} ( R ) のいずれかを意味する。$${\displaystyle Q(v)=v_{1}^{2}+\dots +v_{p}^{2}-v_{p+1}^{2}-\dots -v_{p+q}^{2},}$$

R ^{p , q}の標準基底{ e ₁ , ..., e _n }は、互いに直交するn = p + q 個のベクトルから成り、そのうちpは+1に、qは-1にそれぞれ平方する 。したがって、このような基底を持つ代数Cl _{p , q} ( R )は、 +1に平方するp個のベクトルと-1に平方するq個のベクトル を持つ。

低次元のケースをいくつか挙げると次のようになります。

• Cl _0,0 ( R )は非ゼロベクトルが存在しないので、自然にRと同型です。
• Cl _0,1 ( R )はe ₁によって生成される2次元代数で、平方すると−1となり、複素数体Cと代数同型である。
• Cl _1,0 ( R )はe ₁によって生成される1に平方される2 次元代数であり、分割複素数と代数同型です。
• Cl _0,2 ( R )は、{1, e ₁ , e ₂ , e ₁ e ₂ }で張られる4次元代数である。後者の3つの元はすべて-1に平方し、反交換であるため、この代数は四元数 Hと同型である。
• Cl _2,0 ( R ) ≅ Cl _1,1 ( R )は分割四元数の代数と同型です。
• Cl _0,3 ( R )は、直和H ⊕ H、分割双四元数に同型な8次元代数です。
• Cl _3,0 ( R ) ≅ Cl _1,2 ( R )はパウリ代数とも呼ばれ、^{[ 7 ] [ 8 ]}双四元数代数と同型です。

複素数

複素ベクトル空間上のクリフォード代数も研究することができます。n次元の複素ベクトル空間上のすべての非退化二次形式は、標準対角形式と同値です。 したがって、各n 次元に対して、同型性を除き、非退化二次形式を持つ複素ベクトル空間のクリフォード代数は1つだけです。標準二次形式を持つC ⁿ上のクリフォード代数をCl _n ( C )と表記します。 $${\displaystyle Q(z)=z_{1}^{2}+z_{2}^{2}+\dots +z_{n}^{2}.}$$

最初のいくつかのケースでは、

• Cl ₀ ( C ) ≅ C、複素数
• Cl ₁ ( C ) ≅ C ⊕ C、双複素数
• Cl ₂ ( C ) ≅ M ₂ ( C )、双四元数

ここで、M _n ( C )はC上のn × n行列の代数を表します。

例: 四元数と双対四元数の構築

四元数

このセクションでは、ハミルトンの四元数をクリフォード代数Cl _3,0 ( R )の偶数部分代数として構築します。

ベクトル空間V を実三次元空間 R ³とし、その二次形式を通常の二次形式とする。すると、R ³のv、wに対して、双線型形式（またはスカラー積）が成り立つ 。ここで、ベクトルvとw のクリフォード積を導入し、以下のように表す 。$${\displaystyle v\cdot w=v_{1}w_{1}+v_{2}w_{2}+v_{3}w_{3}.}$$ $${\displaystyle vw+wv=2(v\cdot w).}$$

R ³の直交単位ベクトルの集合を{ e ₁ , e ₂ , e ₃ }とすると、クリフォード積は次式の関係を与え 、 クリフォード代数Cl _3,0 ( R ) の一般元は次式で与えられる。 $${\displaystyle e_{2}e_{3}=-e_{3}e_{2},\,\,\,e_{1}e_{3}=-e_{3}e_{1},\,\,\,e_{1}e_{2}=-e_{2}e_{1},}$$ $${\displaystyle e_{1}^{2}=e_{2}^{2}=e_{3}^{2}=1.}$$ $${\displaystyle A=a_{0}+a_{1}e_{1}+a_{2}e_{2}+a_{3}e_{3}+a_{4}e_{2}e_{3}+a_{5}e_{1}e_{3}+a_{6}e_{1}e_{2}+a_{7}e_{1}e_{2}e_{3}.}$$

Cl _3,0 ( R )の偶数次元の線形結合は、偶数部分代数Clを定義する。^[0] _3,0( R )の一般元は、 四元数基底元i、j、kと同一視することができ、これ は、偶数部分代数Cl$${\displaystyle q=q_{0}+q_{1}e_{2}e_{3}+q_{2}e_{1}e_{3}+q_{3}e_{1}e_{2}.}$$ $${\displaystyle i=e_{2}e_{3},j=e_{1}e_{3},k=e_{1}e_{2},}$$ ^[0] _3,0( R )はハミルトンの実四元数代数である。

これを確認するには計算し 、 最後に、 $${\displaystyle i^{2}=(e_{2}e_{3})^{2}=e_{2}e_{3}e_{2}e_{3}=-e_{2}e_{2}e_{3}e_{3}=-1,}$$ $${\displaystyle ij=e_{2}e_{3}e_{1}e_{3}=-e_{2}e_{3}e_{3}e_{1}=-e_{2}e_{1}=e_{1}e_{2}=k.}$$ $${\displaystyle ijk=e_{2}e_{3}e_{1}e_{3}e_{1}e_{2}=-1.}$$

双対四元数

この節では、退化した二次形式を持つ実4次元空間のクリフォード代数の偶数部分代数として双対四元数を構築する。 ^{[ 9 ] [ 10 ]}

ベクトル空間V を実4次元空間R ⁴とし、二次形式QをR ³上のユークリッド計量から導かれる退化した形式とする。R ⁴上のv、w に対して、退化した双線形形式を導入する 。この退化したスカラー積は、 R ⁴ 上の距離測定値をR ³超平面上に投影する。 $${\displaystyle d(v,w)=v_{1}w_{1}+v_{2}w_{2}+v_{3}w_{3}.}$$

ベクトルvとwのクリフォード積は次のように与えられます 。負の符号は四元数との対応を簡素化するために導入されていることに注意してください。 $${\displaystyle vw+wv=-2\,d(v,w).}$$

R ⁴の互いに直交する単位ベクトルの集合を{ e ₁ , e ₂ , e ₃ , e ₄ }とすると、クリフォード積は次の関係式を与える 。 $${\displaystyle e_{m}e_{n}=-e_{n}e_{m},\,\,\,m\neq n,}$$ $${\displaystyle e_{1}^{2}=e_{2}^{2}=e_{3}^{2}=-1,\,\,e_{4}^{2}=0.}$$

クリフォード代数Cl( R ⁴ , d )の一般元は16個の要素を持つ。偶数次元の線型結合は、一般元を持つ 偶数部分代数Cl ^[0] ( R ⁴ , d )を定義する。$${\displaystyle H=h_{0}+h_{1}e_{2}e_{3}+h_{2}e_{3}e_{1}+h_{3}e_{1}e_{2}+h_{4}e_{4}e_{1}+h_{5}e_{4}e_{2}+h_{6}e_{4}e_{3}+h_{7}e_{1}e_{2}e_{3}e_{4}.}$$

基底要素は、四元数基底要素i、j、kと双対単位εと同一視することができ、 これはCl の対応を与える。$${\displaystyle i=e_{2}e_{3},j=e_{3}e_{1},k=e_{1}e_{2},\,\,\varepsilon =e_{1}e_{2}e_{3}e_{4}.}$$ ^[0] _0,3,1（R）双対四元数代数を持つ。

これを確認するには、 を計算し 、 e ₁とe ₄ の交換では偶数回符号が入れ替わり、デュアル単位ε が四元数基底要素i、j、kと交換可能であることを示します。 $${\displaystyle \varepsilon ^{2}=(e_{1}e_{2}e_{3}e_{4})^{2}=e_{1}e_{2}e_{3}e_{4}e_{1}e_{2}e_{3}e_{4}=-e_{1}e_{2}e_{3}(e_{4}e_{4})e_{1}e_{2}e_{3}=0,}$$ $${\displaystyle \varepsilon i=(e_{1}e_{2}e_{3}e_{4})e_{2}e_{3}=e_{1}e_{2}e_{3}e_{4}e_{2}e_{3}=e_{2}e_{3}(e_{1}e_{2}e_{3}e_{4})=i\varepsilon .}$$

例: 小さな寸法

K を2以外の特性を持つ任意の体とします。

次元1

dim V = 1の場合、Qに対角化diag( a )がある場合、つまり、 Q ( x ) = aとなる非ゼロベクトルxがある場合、Cl( V , Q )は、 x ² = aを満たす要素xによって生成されるK代数、つまり二次代数K [ X ] / ( X ² − a )と代数同型です。

特に、a = 0（つまり、Qが零二次形式）の場合、 Cl( V、Q )はK上の双対数代数と代数同型です。

a がK内のゼロでない正方形である場合、Cl( V , Q ) ≃ K ⊕ Kとなります。

それ以外の場合、Cl( V , Q )はKの2次体拡大K ( √a )と同型である。

次元2

dim V = 2の場合、Qに非ゼロのaとbを持つ対角化diag( a , b )がある場合（ Qが非退化であれば常に存在する）、 Cl( V , Q )は、 x ² = a、y ² = b、xy = − yxを満たす要素xとyによって生成されるK代数と同型です。

したがって、Cl( V , Q )は（一般化）四元数代数( a , b ) _Kと同型である。 a = b = −1のとき、 H = (−1, −1) _Rなので、ハミルトンの四元数が得られる。

特別な場合として、V内のいずれかのxがQ ( x )=1を満たす場合、Cl( V , Q )≃M2 ( K )_となる。

プロパティ

外積代数との関係

ベクトル空間 Vが与えられると、外積代数⋀ Vを構築することができ、その定義はV上の任意の二次形式に依存しない。K が標数2を持たない場合、ベクトル空間として考えた場合、 ⋀ VとCl( V , Q )の間には自然な同型が存在することがわかる（そして標数 2 にも同型が存在するが、これは自然ではないかもしれない）。これは、Q = 0の場合にのみ代数同型である。したがって、クリフォード代数Cl( V , Q )を、 Qに依存する乗算を伴う V上の外積代数の強化（より正確には量子化、「はじめに」を参照）と見なすことができる（それでもQとは独立に外積を定義することはできる ）。

同型性を確立する最も簡単な方法は、Vの直交基底{ e ₁ , ..., e _n }を選び、それを上述のようにCl( V , Q )の基底に拡張することです。Cl ( V , Q ) → ⋀ Vの写像は次のように決定されます 。 ただし、これは基底{ e ₁ , ..., e _n }が直交している場合にのみ成立することに注意してください。この写像は直交基底の選択に依存しないことが示され、したがって自然な同型性を与えます。 $${\displaystyle e_{i_{1}}e_{i_{2}}\cdots e_{i_{k}}\mapsto e_{i_{1}}\wedge e_{i_{2}}\wedge \cdots \wedge e_{i_{k}}.}$$

Kの標数が0の場合、反対称化によって同型性を確立することもできます。関数f _k  : V × ⋯ × V → Cl( V , Q )を、 k個の 元を持つ対称群S _kについて和をとることで 定義します。f _{k は}交代写像であるため、一意の線型写像⋀ ^k V → Cl( V , Q )が誘導されます。これらの写像の直和は、⋀ VとCl( V , Q )の間の線型写像を与えます。この写像は線型同型であることが示され、自然です。 $${\displaystyle f_{k}(v_{1},\ldots ,v_{k})={\frac {1}{k!}}\sum _{\sigma \in \mathrm {S} _{k}}\operatorname {sgn}(\sigma )\,v_{\sigma (1)}\cdots v_{\sigma (k)}}$$

この関係をより洗練された方法で見るには、Cl( V , Q )上にフィルターを構築することです。テンソル代数T ( V )には自然なフィルター、つまりF ⁰ ⊂ F ¹ ⊂ F ² ⊂ ⋯があることを思い出してください。ここでF ^kには、次数≤ kのテンソルの和が含まれます。これをクリフォード代数に投影すると、 Cl( V , Q )上にフィルターが得られます。関連付けられた次数代数は 、外積代数⋀ Vに自然に同型です。フィルター代数の関連付けられた次数代数は、フィルターされたベクトル空間としてのフィルター代数と常に同型であるため (すべての kに対してF ^{k +1}でF ^kの補数を選択することによって)、これにより、任意の特性 (2 つであっても) で同型 (自然ではありませんが) が提供されます。 $${\displaystyle \operatorname {Gr} _{F}\operatorname {Cl} (V,Q)=\bigoplus _{k}F^{k}/F^{k-1}}$$

グレーディング

以下では、特性が 2ではないと仮定する。^{[ e ]}

クリフォード代数はZ ₂次代数（超代数とも呼ばれる）である。実際、 v ↦ − v（原点を通る鏡映）によって定義されるV上の線型写像は二次形式Qを保存するため、クリフォード代数の普遍性により、代数自己同型に拡張される。$${\displaystyle \alpha :\operatorname {Cl} (V,Q)\to \operatorname {Cl} (V,Q).}$$

αは反転（すなわち恒等式に2乗する）なので、Cl( V , Q )をα の正と負の固有空間に 分解することができる 。 $${\displaystyle \operatorname {Cl} (V,Q)=\operatorname {Cl} ^{[0]}(V,Q)\oplus \operatorname {Cl} ^{[1]}(V,Q)}$$ $${\displaystyle \operatorname {Cl} ^{[i]}(V,Q)=\left\{x\in \operatorname {Cl} (V,Q)\mid \alpha (x)=(-1)^{i}x\right\}.}$$

αは自己同型な ので、次が成り立ちます。 ここで、括弧内の上付き文字は 2 を法として読み取られます。これにより、Cl( V , Q )はZ ₂次数代数の構造を持ちます 。部分空間Cl ^[0] ( V , Q )はCl( V , Q )の部分代数を形成し、偶数部分代数と呼ばれます。部分空間Cl ^[1] ( V , Q )はCl( V , Q )の奇数部分と呼ばれます(部分代数ではありません)。このZ ₂次数は、クリフォード代数の解析と応用で重要な役割を果たします。自己同型αは、主反転または次数反転と呼ばれます。このZ ₂次数で純粋な元は、単に偶数または奇数であると言われています。 $${\displaystyle \operatorname {Cl} ^{[i]}(V,Q)\operatorname {Cl} ^{[j]}(V,Q)=\operatorname {Cl} ^{[i+j]}(V,Q)}$$

注意：クリフォード代数は Z次代数ではなくZフィルター代数であり、Cl≤i ( V , Q )^はVの 最大i個の元の積すべてによって張られる部分空間^である。 $${\displaystyle \operatorname {Cl} ^{\leqslant i}(V,Q)\cdot \operatorname {Cl} ^{\leqslant j}(V,Q)\subset \operatorname {Cl} ^{\leqslant i+j}(V,Q).}$$

クリフォード数の次数は通常、 Z段階の次数を指します。

クリフォード代数の偶部分代数Cl ^[0] ( V , Q )は、それ自身クリフォード代数と同型である。 ^{[ f ] [ g ]} Vが非零ノルムのベクトル a Q ( a ) と部分空間 U の直交直和である場合、Cl [ 0 ] ( V ^, Q )はCl ( U , − Q ( a ) Q | _U )と同型である。ここでQ | _UはUに制限された形式Qである。特に実数上では、これは次を意味する。 $${\displaystyle \operatorname {Cl} _{p,q}^{[0]}(\mathbf {R} )\cong {\begin{cases}\operatorname {Cl} _{p,q-1}(\mathbf {R} )&q>0\\\operatorname {Cl} _{q,p-1}(\mathbf {R} )&p>0\end{cases}}}$$

負定値の場合、これは包含Cl _{0, n − 1} ( R ) ⊂ Cl _{0, n} ( R )を与え、これは列

R ⊂ C ⊂ H ⊂ H ⊕ H ⊂ ⋯

同様に複素数の場合、Cl _n ( C )の偶数部分代数はCl _{n −1} ( C )と同型であることが示せます。

反自己同型

自己同型αに加えて、クリフォード代数の解析で重要な役割を果たす反自己同型が2 つあります。テンソル代数T ( V )には、ベクトルの積の順序をすべて逆にする反自己同型が伴うことを思い出してください。 イデアルI _Qはこの反転に対して不変なので、この操作はCl( V , Q )の反自己同型になり、転置または反転操作と呼ばれ、 x ^tで表されます。転置は反自己同型です: ( xy ) ^t = y ^t x ^{t 。転置操作では}Z ₂次数付けが使用されないため、 αと転置を合成して 2 つ目の反自己同型を定義します。この操作をクリフォード共役と呼び、 と表します。2つの反自己同型のうち 、転置の方がより基本的です。^{[ h ]}$${\displaystyle v_{1}\otimes v_{2}\otimes \cdots \otimes v_{k}\mapsto v_{k}\otimes \cdots \otimes v_{2}\otimes v_{1}.}$$ ${\displaystyle {\bar {x}}}$ $${\displaystyle {\bar {x}}=\alpha (x^{\mathrm {t} })=\alpha (x)^{\mathrm {t} }.}$$

これらの演算はすべて反転であることに注意されたい。Z次数において純粋な元に対しては、これらの演算は±1として作用することがわかる。実際、これら 3 つの演算はすべて 4を法とする次数のみに依存する。つまり、x がk次で純粋であれば、 となる。ここで 、 符号は次の表で与えられる。 $${\displaystyle \alpha (x)=\pm x\qquad x^{\mathrm {t} }=\pm x\qquad {\bar {x}}=\pm x}$$

k mod 4	0	1	2	3	…
${\displaystyle \alpha (x)\,}$	+	−	+	−	(−1) ^k
${\displaystyle x^{\mathrm {t} }\,}$	+	+	−	−	(−1) ^k ( k −1)/2
${\displaystyle {\bar {x}}}$	+	−	−	+	(−1) ^k ( k +1)/2

クリフォードスカラー積

標数が2でない場合、 V上の二次形式Q はCl( V , Q )全体の二次形式（これもQと表記する）に拡張できる。そのような拡張の基底に依存しない定義の一つは、 ⟨ a ⟩ _{0 が}aのスカラー部分（ Z -次数付けにおける次数0の部分）を表す場合 である。 v _{i が}Vの元である とき、この恒等式はCl( V , Q )の任意の元に対しては成り立たないことが示される 。 $${\displaystyle Q(x)=\left\langle x^{\mathrm {t} }x\right\rangle _{0}}$$ $${\displaystyle Q(v_{1}v_{2}\cdots v_{k})=Q(v_{1})Q(v_{2})\cdots Q(v_{k})}$$

Cl( V , Q )上の関連する対称双線型形式は次のように与えられる 。これはV に制限すると元の双線型形式に帰着することが確認できる。Cl ( V , Q )上の双線型形式が非退化であることと、それがV上で非退化であることは同値である。 $${\displaystyle \langle x,y\rangle =\left\langle x^{\mathrm {t} }y\right\rangle _{0}.}$$

元aの転置a ^tによる左クリフォード乗算（右クリフォード乗算）の作用素は、この内積に関する aによる左クリフォード乗算（右クリフォード乗算）の随伴作用素である。 つまり 、$${\displaystyle \langle ax,y\rangle =\left\langle x,a^{\mathrm {t} }y\right\rangle ,}$$ $${\displaystyle \langle xa,y\rangle =\left\langle x,ya^{\mathrm {t} }\right\rangle .}$$

クリフォード代数の構造

このセクションでは、特性が2 ではないこと、ベクトル空間Vが有限次元であること、および関連するQの対称双線形形式が非退化であることを仮定します。

K上の中心単純代数は、中心Kを持つ（有限次元）除算代数上の行列代数である。例えば、実数上の中心単純代数は、実数上または四元数上の行列代数である。

• Vが偶数次元の場合、 Cl( V , Q )はK上の中心単純代数になります 。
• Vが偶数次元の場合、偶数部分代数Cl ^[0] ( V、Q )はKの二次拡大上の中心単純代数、またはK上の2つの同型中心単純代数の和 です。
• Vが奇数次元の場合、 Cl( V , Q )はKの二次拡大上の中心単純代数、またはK上の 2 つの同型中心単純代数の和 です。
• Vが奇数次元の場合、偶数部分代数Cl ^[0] ( V , Q )はK上の中心単純代数となる 。

クリフォード代数の構造は、次の結果を使って明示的に解明できる。U が偶数次元で判別式dを持つ非特異双線型形式であり、V が二次形式を持つ別のベクトル空間であるとする。 U + Vのクリフォード代数は、Uのクリフォード代数と(−1) ^{dim( U )/2} dVのテンソル積に同型であり、これは空間Vにその二次形式を(−1) ^{dim( U )/2} dで乗じたものになる。実数上では、これは特に次のことを意味する。 これらの式を使って、すべての実クリフォード代数とすべての複素クリフォード代数の構造を求めることができる。クリフォード代数の分類を 参照のこと。 $${\displaystyle \operatorname {Cl} _{p+2,q}(\mathbf {R} )=\mathrm {M} _{2}(\mathbf {R} )\otimes \operatorname {Cl} _{q,p}(\mathbf {R} )}$$ $${\displaystyle \operatorname {Cl} _{p+1,q+1}(\mathbf {R} )=\mathrm {M} _{2}(\mathbf {R} )\otimes \operatorname {Cl} _{p,q}(\mathbf {R} )}$$ $${\displaystyle \operatorname {Cl} _{p,q+2}(\mathbf {R} )=\mathbf {H} \otimes \operatorname {Cl} _{q,p}(\mathbf {R} ).}$$

注目すべきことに、クリフォード代数の森田同値類（その表現論：その上の加群の圏の同値類）は、符号( p − q ) mod 8のみに依存する。これはボット周期性の代数的形式である。

リプシッツ群

リプシッツ群（別名^{[ 11 ]}クリフォード群またはクリフォード・リプシッツ群）はルドルフ・リプシッツによって発見された。^{[ 12 ]}

このセクションでは、Vが有限次元であり、二次形式Qが非退化であると仮定します。

クリフォード代数の元への単位群による作用は、ねじれ共役によって定義できる。すなわち、 xによるねじれ共役はy ↦ α ( x ) y x ⁻¹を写像する。ここで、αは上で定義した主反転である。

リプシッツ群Γは、この作用の下でベクトルの集合を安定させる可逆元xの集合として定義され、 ^{[ 13 ]} Vのすべてのvに対して次が成り立つことを意味する。 $${\displaystyle \alpha (x)vx^{-1}\in V.}$$

この式は、ベクトル空間Vへのリプシッツ群の作用も定義し、この作用は二次形式Qを保存するため、リプシッツ群から直交群への準同型性を与える。リプシッツ群は、Q ( r )がKにおいて逆であるようなVの元r をすべて含み、これらは対応する反射によってVに作用し、 vをv − ( ⟨ r , v ⟩ + ⟨ v , r ⟩ ) r ‍ /‍ Q ( r )とする。（標数2では、これらは反射ではなく直交トランスベクションと呼ばれる。）

V が非退化な二次形式を持つ有限次元実ベクトル空間である場合、リプシッツ群は（カルタン・ディウドネの定理により）その形式に関してVの直交群に写像され、核は体 Kの非零元からなる。これにより、正確な列が得られる。 $${\displaystyle 1\rightarrow K^{\times }\rightarrow \Gamma \rightarrow \operatorname {O} _{V}(K)\rightarrow 1,}$$ $${\displaystyle 1\rightarrow K^{\times }\rightarrow \Gamma ^{0}\rightarrow \operatorname {SO} _{V}(K)\rightarrow 1.}$$

他の体上または不定形式では、写像は一般には全射ではなく、失敗はスピノルノルムによって捉えられます。

スピノルノルム

任意の標数において、スピノルノルムQはリプシッツ群上で次のように定義されます。 これは、リプシッツ群からKの非零元の 群K ^{×への準同型です。これは、} V がクリフォード代数の部分空間と同一視されるとき、Vの二次形式Qと一致します。いくつかの著者はスピノルノルムをわずかに異なる方法で定義しており、Γ ¹において 、ここでの定義とは係数-1、2、または-2だけ異なります。この差は、標数 2 以外ではそれほど重要ではありません。 $${\displaystyle Q(x)=x^{\mathrm {t} }x.}$$

Kの非零元は、体Kの非零元の平方群 ( K ^× ) ²においてスピノルノルムを持つ。したがって、V が有限次元かつ非特異な場合、 Vの直交群からK ^× ‍ / ‍ (K ^{× ) 2 群への誘導写像が得られる。これはスピノルノルムとも呼ばれる。任意のベクトル r について、 r ⊥ に関する反射のスピノルノルムは、 K × ‍ / ‍ ( K ×} ) ²に像Q ( r ⁾を^持ち、この性質^により直交^群上で一意に定義される。これにより、以下の正確な列が得られる。 $${\displaystyle {\begin{aligned}1\to \{\pm 1\}\to \operatorname {Pin} _{V}(K)&\to \operatorname {O} _{V}(K)\to K^{\times }/\left(K^{\times }\right)^{2},\\1\to \{\pm 1\}\to \operatorname {Spin} _{V}(K)&\to \operatorname {SO} _{V}(K)\to K^{\times }/\left(K^{\times }\right)^{2}.\end{aligned}}}$$

特性2では、群{±1}には要素が1つだけあることに注意してください。

代数群のガロアコホモロジーの観点から見ると、スピノルノルムはコホモロジー上の接続準同型である。1の平方根の代数群（特性が2でない体上の、自明なガロア作用を持つ₂元群とほぼ同じ）をμ 2 と書くと、短完全列は コホモロジー上の長完全列となり、これは $${\displaystyle 1\to \mu _{2}\rightarrow \operatorname {Pin} _{V}\rightarrow \operatorname {O} _{V}\rightarrow 1}$$ $${\displaystyle 1\to H^{0}(\mu _{2};K)\to H^{0}(\operatorname {Pin} _{V};K)\to H^{0}(\operatorname {O} _{V};K)\to H^{1}(\mu _{2};K).}$$

Kに係数を持つ代数群の 0 番目のガロア コホモロジー群は、 K値点の群、つまりH ⁰ ( G ; K ) = G ( K )、およびH ¹ (μ ₂ ; K ) ≅ K ^× ‍ / ‍ (K ^× ) ²であり、 スピノルムが接続準同型H ⁰ (O _V ; K ) → H ¹ (μ ₂ ; K )である前のシーケンスを回復します 。 $${\displaystyle 1\to \{\pm 1\}\to \operatorname {Pin} _{V}(K)\to \operatorname {O} _{V}(K)\to K^{\times }/\left(K^{\times }\right)^{2},}$$

スピングループとピングループ

このセクションでは、Vが有限次元であり、その双線形形式が非特異であると仮定します。

ピン群Pin _V ( K )は、スピノルノルム1の元のリプシッツ群Γの部分群であり、同様にスピン群Spin _V ( K )はPin _V ( K )におけるディクソン不変量0の元の部分群である。標数が2でない場合、これらは行列式1の元である。スピン群は通常、ピン群において 指数2 を持つ。

前の節で述べたように、リプシッツ群から直交群への準同型写像が存在する。特殊直交群をΓ ⁰の像と定義する。Kが標数2を持たない場合、これは単に行列式1の直交群の元の群である。Kが標数2 を持つ場合、直交群のすべての元は行列式1を持ち、特殊直交群はディクソン不変量0の元の集合となる。

ピン群から直交群への準同型写像が存在する。像はスピノルノルム1 ∈ K ^× ‍ / ‍ (K ^× ) ²の元から構成される。核は+1と−1 の元から構成され、Kが標数2を持たない限り位数は2である。同様に、スピン群からVの特殊直交群への準同型写像が存在する 。

V が実数上の正または負の定値空間である一般的なケースでは、スピン グループは特殊直交群にマップされ、 V が少なくとも3次元を持つときに単純連結になります。さらに、この準同型の核は1と−1で構成されます。したがって、この場合、スピン グループSpin( n )はSO( n )の二重被覆になります。ただし、スピン グループの単純連結性は一般には当てはまらないことに注意してください。pとqが両方とも少なくとも2に対してVがR ^p、qである場合、スピン グループは単純連結ではありません。この場合、代数群Spin _p、qは、その実数値のグループSpin _p、q ( R )が単純連結でなくても、代数群としては単純連結です。これはかなり微妙な点で、スピン グループに関する少なくとも 1 冊の標準的な本の著者を完全に混乱させました。

スピノルズ

クリフォード代数Cl _{p , q} ( C ) （ p + q = 2 n偶数）は、次元2 ⁿの複素表現を持つ行列代数です。群Pin _{p , q} ( R )に限定すると、同じ次元の Pin 群の複素表現、つまりスピン表現が得られます。これをスピン群Spin _{p , q} ( R )に限定すると、それは次元 2 ^{n −1}の2つの半スピン表現（またはワイル表現）の和として分解されます。

p + q = 2 n + 1が奇数の場合、クリフォード代数Cl _{p , q} ( C )は2つの行列代数の和であり、それぞれの行列代数は2 ⁿ次元の表現を持ち、これらは両方ともピン群Pin _{p , q} ( R )の表現でもある。スピン群Spin _{p , q} ( R )に制限すると、これらは同型となり、スピン群は 2 ⁿ次元の複素スピノル表現を持つ。

より一般的には、任意の体上のスピノル群とピン群は、対応するクリフォード代数の構造に依存する類似の表現を持つ。クリフォード代数が何らかの除算代数上の行列代数を因子として持つ場合、その除算代数上のピン群とスピン群の対応する表現が得られる。実数上の例については、スピノルに関する記事を参照のこと。

実数スピノル

実際のスピン表現を記述するには、スピン グループが Clifford 代数内にどのように位置するかを知っておく必要があります。ピン グループPin _p、_qはCl _p、qの可逆な元の集合であり、単位ベクトルの積として表すことができます。 上記の Clifford 代数の具体的な実現と比較すると、ピン グループは任意の数の反射の積に対応します。つまり、完全な直交群O( p、q )の被覆です。スピン グループは、偶数個の単位ベクトルの積であるPin _p、qの元で構成されます。したがって、カルタン–ディウドネの定理により、 Spin は適切な回転のグループSO( p、q )の被覆です。 $${\displaystyle \mathrm {Pin} _{p,q}=\left\{v_{1}v_{2}\cdots v_{r}\mid \forall i\,\|v_{i}\|=\pm 1\right\}.}$$

α  : Cl → Cl を、純粋ベクトルに作用する写像v ↦ − vによって与えられる自己同型とする。特に、Spin _{p , q}はPin _{p , q}の部分群であり、その要素はαによって固定される。 （これらはCl _{p , q} における偶数次の要素と全く同じである。）とすると、スピン群はCl内に存在する。$${\displaystyle \operatorname {Cl} _{p,q}^{[0]}=\{x\in \operatorname {Cl} _{p,q}\mid \alpha (x)=x\}.}$$ ^[0] _{p , q}。

Cl _{p , q}の既約表現は、ピン群の表現を与えるように制限されます。逆に、ピン群は単位ベクトルによって生成されるため、そのすべての既約表現はこのように誘導されます。したがって、2つの表現は一致します。同じ理由から、スピンの既約表現はClの既約表現と一致します。^[0] _{p , q}。

ピン表現を分類するには、クリフォード代数の分類に依拠するだけでよい。スピン表現（偶数部分代数の表現）を見つけるには、まず同型写像のいずれか（上記参照）を利用し 、シグネチャ( p , q )のスピン表現を、シグネチャ( p , q − 1)または( q , p − 1)のピン表現として実現する。 $${\displaystyle \operatorname {Cl} _{p,q}^{[0]}\approx \operatorname {Cl} _{p,q-1},{\text{ for }}q>0}$$ $${\displaystyle \operatorname {Cl} _{p,q}^{[0]}\approx \operatorname {Cl} _{q,p-1},{\text{ for }}p>0}$$

アプリケーション

微分幾何学

外積代数の主要な応用の一つは微分幾何学であり、滑らかな多様体上の微分形式の束を定義するために用いられる。（擬）リーマン多様体の場合、接空間は計量によって誘導される自然な二次形式を備える。したがって、外積束との類似性からクリフォード束を定義することができる。これはリーマン幾何学において多くの重要な応用を持つ。おそらくより重要なのは、スピン多様体、それに関連するスピノル束、そしてスピン^c多様体との関連である。

物理

クリフォード代数は物理学において数多くの重要な応用を持つ。物理学者は通常、クリフォード代数を、ディラック行列と呼ばれる行列γ ₀ , ..., γ _{3によって生成される基底を持つ代数とみなす。ディラック行列は、} ηが符号(1, 3)（または計量符号の2つの同値な選択肢に対応する(3, 1)）の二次形式の行列である とき、以下の性質を持つ 。これらはまさにクリフォード代数Clの定義関係である。$${\displaystyle \gamma _{i}\gamma _{j}+\gamma _{j}\gamma _{i}=2\eta _{ij},}$$ _1,3（R）、その錯体化はCl_1,3( R ) _Cは、クリフォード代数の分類によれば、 4 × 4複素行列の代数Cl ₄ ( C ) ≈ M ₄ ( C )と同型である。しかし、記法Cl_1,3( R ) _C、双線形形式を標準形式に変換する変換は、基礎となる時空のローレンツ変換 ではないためです。

物理学で用いられる時空のクリフォード代数は、したがってCl ₄ ( C )よりも構造が豊かである。加えて、好ましい変換群、すなわちローレンツ変換も有する。複素化がそもそも必要かどうかは、用いられる慣習や、どの程度直接的に組み込むかによって決まるが、複素化が最も必要となるのは量子力学においてである。量子力学においては、リー代数のスピン表現である( 1, 3)がクリフォード代数の内部に存在するため、慣例的に複素クリフォード代数が必要となる。参考までに、スピンリー代数は以下のように与えられる。 $${\displaystyle {\begin{aligned}\sigma ^{\mu \nu }&=-{\frac {i}{4}}\left[\gamma ^{\mu },\,\gamma ^{\nu }\right],\\\left[\sigma ^{\mu \nu },\,\sigma ^{\rho \tau }\right]&=i\left(\eta ^{\tau \mu }\sigma ^{\rho \nu }+\eta ^{\nu \tau }\sigma ^{\mu \rho }-\eta ^{\rho \mu }\sigma ^{\tau \nu }-\eta ^{\nu \rho }\sigma ^{\mu \tau }\right).\end{aligned}}}$$

これは（3, 1）の規則に当てはまり、したがってClに適合する。_3,1（R）_C. ^{[ 14 ]}​

ディラック行列は、ポール・ディラックが電子に対する相対論的一階波動方程式を書こうとしたときに初めて記述され、クリフォード代数から複素行列の代数への明示的な同型性を与えました。この結果は、ディラック方程式の定義とディラック演算子の導入に用いられました。クリフォード代数全体は、量子場の理論においてディラック場双線型の形で現れます。

クリフォード代数を用いた量子論の記述は、マリオ・シェーンベルク^{[ i ]}、デイヴィッド・ヘステネスによる幾何学的計算、デイヴィッド・ボームとバジル・ハイリーとその同僚によるクリフォード代数の階層構造、エリオ・コンテら^{[ 15 ] [ 16 ]などによって進められてきた。}

コンピュータービジョン

クリフォード代数は、コンピュータビジョンにおける動作認識と分類の問題に応用されてきました。ロドリゲスら^{[ 17 ]}は、従来のMACHフィルタをビデオ（3D時空間ボリューム）やオプティカルフローなどのベクトル値データに一般化するために、クリフォード埋め込みを提案しています。ベクトル値データは、クリフォードフーリエ変換を使用して分析されます。これらのベクトルに基づいて、クリフォードフーリエ領域で動作フィルタが合成され、クリフォード相関を使用して動作の認識が行われます。著者らは、古典的な長編映画やスポーツ中継で一般的に実行される動作を認識することで、クリフォード埋め込みの有効性を実証しています。

一般化

• この記事は体上のベクトル空間のクリフォード代数に焦点を当てていますが、定義は変更なく任意の単位的、結合的、可換的な環上のモジュールに拡張されます。 ^{[ j ]}
• クリフォード代数はベクトル空間上の二次以上の次数の形に一般化することができる。^{[ 18 ]}

歴史

参照

• 物理空間の代数
• ケイリー・ディクソン構成
• クリフォード代数の分類
• クリフォード分析
• クリフォードモジュール
• 複雑なスピン構造
• ディラック演算子
• 外積代数
• フィエルズのアイデンティティ
• ガンマ行列
• 一般化クリフォード代数
• 幾何代​​数
• 高次元ガンマ行列
• 超複素数
• 八元数
• パラベクター
• クォータニオン
• スピングループ
• スピン構造
• スピノル
• スピノル束

注記

1. 幾何代数（特に実数）としても知られる
2. 例えばOziewicz & Sitarczyk 1992を参照
3. 実クリフォード代数を扱い、正定値二次形式を好む数学者（特に指数理論を研究する数学者）は、基本クリフォード恒等式において異なる符号を選択​​することがある。すなわち、 v ² = − Q ( v )とする。ある慣例から別の慣例に移行する際には、 Q を− Qに置き換える必要がある。
4. Vaz & da Rocha 2016 では、マップi (ここでは引用符で囲んだγ ) が Clifford 代数の構造に含まれていることを次のように定義して明確にしています。「ペア( A、γ )は、 Aが{ γ ( v ) | v ∈ V }と{ a 1 A _| a ∈ R } によって代数として生成され、 γがすべてのv 、 u ∈  Vに対してγ ( v ) γ ( u ) + γ ( u ) γ ( v ) = 2 g ( v、u )を満たすとき、二次空間( V 、 g )のClifford代数です。」
5. したがって、群代数K [ Z ‍ / ‍ 2Z ]は半単純であり、クリフォード代数は主反転の固有空間に分割されます。
6. 技術的には、指定されたベクトル部分空間を持たないクリフォード代数の完全な構造を持たないため、代数としては同型だが、クリフォード代数としては同型ではない。
7. 特性が2ではないことを依然として想定しています。
8. クリフォード代数において、(−) 符号法を用いる場合は逆のことが成り立ちます。つまり、共役関係がより重要になります。一般に、共役と転置の意味は、ある符号法から別の符号法に移る際に入れ替わります。例えば、ここで用いる符号法ではベクトルの逆ベクトルはv ⁻¹ = v ^t / Q ( v )で表されますが、(−) 符号法ではv ⁻¹ = v / Q ( v )で表されます。
9. ボリバル 2001の「グラスマン-シェーンベルク代数G _n 」の節に記載されているシェーンベルクの 1956 年と 1957 年の論文への参照を参照。
10. 例えばOziewicz & Sitarczyk 1992を参照

引用

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2. クリフォード 1882
3. ルネスト 1993、155–156ページ
4. Lounesto 1996、pp. 3–30または要約版
5. ルネスト 1993
6. ルネスト 2001 , §1.8
7. ガーリング2011、112ページ。
8. フランシス＆コソウスキー 2005年、404ページ。
9. マッカーシー 1990、62～65ページ
10. ボッテマ＆ロス 2012
11. ヴァズ & ダ ロシャ 2016、p. 126
12. ルネスト 2001、§17.2
13. パーワス 2009、§3.3.1
14. ワインバーグ 2002
15. コンテ 2007
16. コンテ 2012
17. ロドリゲス＆シャー 2008
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参考文献

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さらに読む

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外部リンク

• 「クリフォード代数」、数学百科事典、EMSプレス、2001 [1994]
• PlanetMathのClifford 代数。
• クリフォード代数の歴史（未検証）
• ジョン・バエズによるクリフォード代数論
• クリフォード代数：ビジュアル入門
• クリフォード代数エクスプローラー：教育ツール