長方形の水路における水圧上昇

長方形水路における跳水（古典跳水とも呼ばれる）は、流れが超臨界流から亜臨界流に変化するたびに発生する自然現象です。この遷移では、水面が急激に上昇し、表面の波紋が形成され、激しい混合が発生し、空気が巻き込まれ、多くの場合、大量のエネルギーが散逸します。標準ステップ法またはHEC-RAS法を用いて作成された数値モデルは、超臨界流と亜臨界流を追跡し、特定の区間のどこで跳水が発生するかを特定するために用いられます。

家庭用シンクの使用時など、日常生活でよく発生する水跳現象があります。また、堰や水門などの装置によって人為的に発生する水跳現象もあります。一般的に、水跳現象はエネルギーの消散、化学物質の混合、あるいは曝気装置として利用されます。^{[ 1 ] [ 2 ]}

跳躍を記述する方程式を作成するには、エネルギー損失が未知であるため、運動量保存則を適用する必要がある。^{[ 3 ]}この方程式を展開するために、上流と下流の間でエネルギー損失が発生する場合と発生しない場合、また、抗力P _fが生じる障害物が存在する場合と存在しない場合という一般的な状況を考慮する。しかし、単純または典型的な跳躍の場合、単位幅あたりの力（P _f）は0である。そこから、運動量方程式と共役深度方程式を導くことができる。

水圧ジャンプについて

超臨界流の深さy _{1 は、その臨界未満共役深度y 2}まで「ジャンプ」し、この流れの急激な変化の結果として、大きな乱流とエネルギー損失E _Lが生じる。^{[ 4 ]} 図1は、典型的なジャンプ特性の模式図を示している。ここで、E ₁は上流流のエネルギー、E ₂は下流流のエネルギー、L _jはジャンプ長である。図1に示すように、定在波には、一連の小さな表面ローラーが形成される。

油圧ジャンプ回路図1

図1. 油圧ジャンプの全体図

一般的な水圧跳躍

跳水は、家庭用シンクの使用時など、日常生活でよく発生します。跳水は、流入する水を囲む円形の定常波として観察できます。跳水は、一見静止しているように見える水が乱流になる点で発生します。シンクに当たると水は拡散し、深度が増していき、臨界半径に達します。この臨界半径を超えると、流れ（深度が低く、流速が高く、フルード数が1より大きい超臨界状態）は、運動量保存が知られている、より深い亜臨界深度（深度が高く、流速が低く、フルード数が1未満）へと突然跳水します。

図2. シンク内で乱流跳水を発生させる（左）、粘性跳水により高度な形状を形成できる（右）（画像提供：ジョン・ブッシュ、MIT）^{[ 5 ]}

人工の水圧ジャンプ

跳水は人工的に作ることもできます。図2に示すように、科学者たちは跳水に対する粘性の影響を実験し、安定した非対称形状を作り出すことに成功しています。 ^{[ 6 ]}より実用的な用途では、跳水は侵食防止 などの特定の目的で環境中に作られます。河床の侵食は、多くの場合、高速水流によって引き起こされ、堆積物の運搬につながります。このプロセスは、跳水を導入して河床への流れの速度を低下させることで防ぐことができます。このような場合、跳水は堰や水門などの装置によって乱流が河川に流入することで発生します。溶液中の化学成分の混合は、跳水を利用するもう一つの実用的な用途です。跳水を導入することで流れの乱流が急速に増加し、追加のメカニズムを使用することなく成分を十分に混合することができます。廃水処理業界では、溶液を混合する方法として跳水を利用することがあり、より高価な機械混合システムの導入の必要性を最小限に抑えています。

図3.リバーフロントパークの堰（左）と凝固室の跳水（右）

人工跳水装置のさらに別の用途は、エネルギー消散である。エネルギー消散用途の一例として、跳水静水池があげられる。これらの池では、水平および傾斜したエプロンを使用して、流入する水流のエネルギーの最大 60% を消散させる。池にはシュート ブロック、バッフル ピア、歯付き端部などの装置が実装されており、エネルギー消散の有効性は流入する水流のフルード数に依存する。「跳水静水池は、断続的なキャビテーション、振動、隆起、流体荷重などの乱流によって引き起こされる複雑な問題のため、通常、100 メートルを超える落差を扱う場合には推奨されない。」^{[ 7 ]}ダムや堰 などの他の水力構造物も、下流域を洗掘または侵食する傾向がある乱流からの入力を減らすために、これらと同じエネルギー消散原理を使用している。

図4. ハルツ山脈のオーカー川の掘削口開放時の静水域（左）とオハイオ州コロンバスのグリッグスダムの静水域（右）

長方形チャネルにおける単純な運動量保存跳水式の導出

運動量の定義

運動量は質量と速度の積として定義され、速度と同様にベクトルです。1600年代初頭のフランスの科学者であり哲学者でもあったルネ・デカルトは、運動量の概念を初めて発見しましたが、運動量（速度）が保存されないという点にこだわりました。オランダの科学者であるクリスティアーン・ホイヘンスは、「運動量」は必ずしも正の値である必要はなく、負の値は反対方向に動いていることを意味すると指摘しました。

変数の定義

mv = 運動量 = 質量 x 速度 [=] MLT ⁻¹

ρ = 密度 [=] ML ⁻³

q = Q'' / w = 単位幅あたりの流量 [=] L ² T ⁻¹

F _d = 摩擦抵抗による動的な力 [=] MLT ⁻²

P ₁ = 上流圧力 [=] ML ⁻¹ T ⁻²

P ₂ = 下流圧力力 [=] ML ⁻¹ T ⁻²

y ₁ = 上流深度 [=] L

y ₂ = 下流深さ [=] L

F _r = フルード数 [無次元] [=] L ² T ⁻¹

h _j = 水跳高さ [=] L

M = 運動量関数（比力 + 運動量）[=] L ²

γ = 水の比重 (9810 N/m ³ ) [=] ML ⁻² T ⁻²

モメンタム関数の基本原則は次のとおりです。

1. 運動量保存則は「外部のエージェントと相互作用しない物体の閉鎖系における全運動量は一定である」と述べており、
2. ニュートンの運動の法則は、特定の方向への力の合計は、その方向の質量と加速度の積に等しいと述べています。

${\displaystyle \sum F_{x}=\Delta (ma_{x})}$

${\displaystyle \sum F=\Delta m\times {\frac {dy}{dt}}}$ = 質量の変化 × 速度の変化

運動量 = mv

${\displaystyle \Delta mv=\Delta m\times {\frac {dy}{dt}}}$ = 質量の変化 × 速度の変化

${\displaystyle \sum F_{x}=\Delta (mv_{x})}$

次の導出は、一定幅の長方形チャネル内の単純な運動量保存跳水の運動量関数の導出です。

1. 勢いの変化。    ${\displaystyle \Delta (mv)(w)=\rho (Q)(v_{2}-v_{1})}$
2. wで割るとqが得られます。単位幅あたりの運動量の変化です。     ${\displaystyle \Delta (mv)=\rho q(v_{2}-v_{1})}$
3. 流れの方向の力の合計。 ${\displaystyle \sum F=P_{1}-P_{2}-F_{d}\qquad {\text{ただし }}P={\gamma \times y^{2} \over 2}}$
4. 力の合計は運動量の変化に等しくなります。     ${\displaystyle {\gamma \times y_{1}^{2} \over 2}-{\gamma \times y_{2}^{2} \over 2}-F_{d}=\rho q(v_{2}-v_{1})}$
5. γで割ります。   ${\displaystyle {y_{1}^{2} \over 2}-{y_{2}^{2} \over 2}-{F_{d} \over \gamma }={\rho \times q\times (v_{2}-v_{1}) \over \gamma }}$
6. 思い出してください${\displaystyle {\frac {1}{g}}={\rho \over \gamma }}$   ${\displaystyle {y_{1}^{2} \over 2}+{qv_{1} \over g}={y_{2}^{2} \over 2}+{qv_{2} \over g}}$
7. M の方程式を取得するには、次のことを思い出してください。${\displaystyle v={\frac {q}{y}}}$   ${\displaystyle M={y_{1}^{2} \over 2}+{q^{2} \over gy_{1}}={y_{2}^{2} \over 2}+{q^{2} \over gy_{2}}}$

共役深度関係

共役深度とは、単位流量qに対して運動量関数が等しい跳水点上流の 深度 ( y ₁ ) と下流の深度 ( y ₂ )のことです。跳水点上流の深度は常に超臨界深度であり、跳水点下流の深度は常に亜臨界深度です。共役深度は、エネルギー保存則の計算で使用される流量の代替深度とは異なることに注意することが重要です。

方程式の数学的導出

（１）運動量関数から始めて、位置１と位置２の間の運動量を等しくする。

${\displaystyle M={\frac {y_{1}^{2}}{2}}+{\frac {q^{2}}{gy_{1}}}={\frac {y_{2}^{2}}{2}}+{\frac {q^{2}}{gy_{2}}}}$

（２）q項を左へ、1/2項を右へ移動させて並べ替えると、次のようになる。

${\displaystyle {\frac {q^{2}}{g}}\left({\frac {1}{y_{1}}}-{\frac {1}{y_{2}}}\right)={\frac {1}{2}}\left(y_{2}^{2}-y_{1}^{2}\right)}$

（３）次に、左辺の共通分母を求めて右辺を因数分解します。

${\displaystyle {\frac {q^{2}}{g}}\left({\frac {y_{2}-y_{1}}{y_{1}y_{2}}}\right)={\frac {1}{2}}(y_{2}-y_{1})(y_{2}+y_{1})}$

(4) ( y ₂ − y ₁ )項は打ち消される:

${\displaystyle {\frac {q^{2}}{g}}\left({\frac {1}{y_{1}y_{2}}}\right)={\frac {1}{2}}(y_{2}+y_{1})\qquad {\text{ただし }}q_{1}^{2}=y_{1}^{2}v_{1}^{2}=y_{2}^{2}v_{2}^{2}}$

（５） y ₁ ²で割る

${\displaystyle {\frac {v_{1}^{2}}{g}}\left({\frac {1}{y_{1}y_{2}}}\right)={\frac {1}{2y_{1}^{2}}}(y_{2}+y_{1})\qquad {\text{recall }}Fr_{1}^{2}={\frac {v_{1}^{2}}{gy_{1}}}}$

（６）y ₂を掛けて右辺を展開する。

${\displaystyle Fr_{1}^{2}={\frac {y_{2}^{2}}{2y_{1}^{2}}}+{\frac {y_{2}}{2y_{1}}}}$

(7) y ₂ / y ₁をxに代入すると、 xに関する二次方程式が得られます。

${\displaystyle Fr_{1}^{2}={\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {x}{2}}}$

${\displaystyle \Rightarrow 0={\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {x}{2}}-Fr_{1}^{2}\qquad \Rightarrow 0=x^{2}+x-2Fr_{1}^{2}\qquad a=1,\;b=1,\;c=-2Fr_{1}^{2}}$

（８）二次方程式を用いると：

${\displaystyle x={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}}$

${\displaystyle x={\frac {-1\pm {\sqrt {(1^{2})-4(1)(-2Fr_{1}^{2})}}}{2(1)}}={\frac {-1\pm {\sqrt {1+8Fr_{1}^{2}}}}{2}}}$

以来：

${\displaystyle {\sqrt {1+8Fr_{1}^{2}}}}$ 肯定的でなければならない、

${\displaystyle x={\frac {-1-{\sqrt {1+8Fr_{1}^{2}}}}{2}}}$ 負の数を生成します。

x は正の深さの比率を表すため、これは不可能です。${\displaystyle {\frac {y_{2}}{y_{1}}}}$

（９）したがって、定数y ₂ / y _1をxに代入すると共役深度方程式が得られる。

${\displaystyle x={\frac {-1+{\sqrt {1+8Fr_{1}^{2}}}}{2}}}$

${\displaystyle x={\frac {y_{2}}{y_{1}}}={\frac {1}{2}}\left({\sqrt {1+8Fr_{1}^{2}}}-1\right)}$

私の図における共役深度の関係

例1: 共役深度とMy図

与えられた条件:

長方形のチャネル

単位幅あたりの流量、q = 10 ft ² /s

深さ、y ₁ = 0.24フィート

探す：

私の図と水圧ジャンプ後の深さ

解決：

跳水後の深さ y ₂ :

${\displaystyle (1)\quad y_{2}={\frac {y_{1}}{2}}\left({\sqrt {1+8Fr_{1}^{2}}}-1\right)}$

${\displaystyle (2)\quad Fr_{1}={\frac {v}{(gy_{1})^{1/2}}}={\frac {q}{y_{1}(gy_{1})^{1/2}}}}$

${\displaystyle (3)\quad Fr_{1}^{2}={\frac {q^{2}}{gy_{1}^{3}}}={\frac {(10)^{2}}{32.2*(0.24^{3})}}=224.65}$

${\displaystyle (4)\quad y_{2}={\frac {0.24}{2}}{\sqrt {1+8(224.65)}}-1=4.97\;ft}$

${\displaystyle (5)\quad M_{1}={\frac {(0.24)^{2}}{2}}+{\frac {q^{2}}{g*(0.24)}}=13\;ft^{2}}$

${\displaystyle (6)\quad M_{2}={\frac {(4.97)^{2}}{2}}+{\frac {q^{2}}{g*(4.97)}}=13\;ft^{2}}$

この例のマイダイアグラムを以下に示します。マイダイアグラムを作成するには、M の値を水深の関数としてプロットします。M を x 軸、水深をy 軸にとると、水深による運動量の変化をより自然に視覚化できます。この例は、流れが超臨界水深y ₁に近づき、その共役水深y _{2にジャンプして、所定の}流量qで水路を下流へ移動し続けるために必要なエネルギーを得るという、非常に基本的な跳水現象です。

図6. 私の図

図とその表す内容の説明

マイダイアグラムは運動量保存則をグラフィカルに表現したもので、跳水に適用して上流と下流の深さを求めることができます。上記の例から、流れがy _{1の深さで超臨界状態に近づいていることがわかります。y 1}の共役深度（図6ではy 2 と表記）への跳水があります。図₆は、同じ運動量で2つの深度が存在する様子を視覚的に理解するのに役立ちます。

重要なMyカーブの位置の分析

Myダイアグラムには、例1の情報に基づいて作成された図6にラベルが付けられている重要な箇所がいくつかあります。最初の注目箇所は、図6でy _cおよびM _cでラベル付けされた臨界点です。臨界点は、単位幅あたりの特定の流れに利用可能な運動量関数の最小値（q ）を表します。qが増加すると、M関数は右にわずかに上に移動し、流れは臨界点でより多くの運動量にアクセスできるようになります。したがって、q値が減少すると、M関数は下と左に移動し、臨界値で流れに利用できる運動量は減少します。これは、下の図7にグラフィカルに示されています。

図7. 跳水上流および下流の深さに対するqの増加の影響

図 7 からは、流量qの増加がジャンプの上流と下流の深度にどのような影響を与えるかがわかります。 流入流量が増加すると (図 7 の q = 10 ft ² /s から 30 ft ² /s へ)、ジャンプ後の超臨界アプローチ深度が増加し、亜臨界深度が減少します。 これは、図 6 で、 y _{1,q=30から y 1,q=10}への深度の減少と、 y _2,q=30と y _2,q=10の間での深度の増加によって確認できます。 流量の変化による深度の変化に関するこの分析から、 q = 10 ft ² /sの値でのジャンプで失われるエネルギーは、 q = 30 ft ² /sでのジャンプで失われるエネルギーとは異なることも想像できます。 これについては、セクション 5.1 でさらに説明します。

長方形チャネルにおける単純な跳水における典型的なパラメータの計算

エネルギー損失

跳水過程において運動量は保存されますが、エネルギーは保存されません。流れが超臨界深度から亜臨界深度へ跳水する際に、初期のエネルギー損失が発生します。このエネルギー損失は跳水過程における比エネルギーの変化に等しく、以下のΔEの式で表されます。以下の式は、y ₁と y ₂が共役深度であるという条件に基づいています。

${\displaystyle \Delta E=E_{1}-E_{2}=\left(y_{1}+{\frac {q^{2}}{2gy_{1}^{2}}}\right)-\left(y_{2}+{\frac {q^{2}}{2gy_{2}^{2}}}\right)={\frac {(y_{2}-y_{1})^{3}}{4y_{1}y_{2}}}}$

My図上の臨界点と、それらの位置から跳水の性質について何がわかるかを検討した際に、qの増加が跳水時に失われるエネルギーに影響を与えることを述べました。図7から、流量の増加により跳水上流と下流の深さの差（y ₂ - y ₁）が減少することがわかります。このことから、運動量を一定に保つと、流量が増加すると跳水時に失われるエネルギーが減少することが推測できます。

ジャンプの効率は、無次元パラメータE ₂ /E ₁によって決定されます。これは、ジャンプが完了した後に元のエネルギーがどれだけ残っているかを示します。^{[ 8 ]}エネルギー効率 の式は以下に示されており、効率が上流の流れのフルード数に大きく依存していることを示しています。例2は、エネルギー損失と効率の計算例を示しています。

${\displaystyle {E_{2} \over E_{1}}={(8Fr_{1}^{2}+1)^{3/2}-4Fr_{1}^{2}+1 \over 8Fr_{1}^{2}(2+Fr_{1}^{2})}}$

例2: エネルギー損失と効率

与えられた条件:

長方形のチャネル

速度、v = 10 m/s

深さ、y ₁ = 0.5 m

探す：

水圧跳躍におけるエネルギー損失と効率

解決：

${\displaystyle (1)\;Fr_{1}={\frac {v}{\sqrt {gy}}}={\frac {10[m/s]}{\sqrt {9.81[m/s^{2}]*0.5[m]}}}=4.5}$

${\displaystyle (2)\;Fr_{1}>1\quad {\text{(supercritical flow)}}}$

${\displaystyle (3)\;y_{2}={\frac {y_{1}}{2}}\left({\sqrt {1+8Fr_{1}^{2}}}-1\right)={\frac {0.5}{2}}\left({\sqrt {1+8*4.5^{2}}}-1\right)=2.94\;m}$

${\displaystyle (4)\;\Delta E={\frac {(y_{2}-y_{1})^{3}}{4y_{1}y_{2}}}={\frac {(2.94-0.5)^{3}}{4*2.94*0.5}}=2.47\;m}$

${\displaystyle (5)\;{\frac {E_{2}}{E_{1}}}={\frac {(8Fr_{1}^{2}+1)^{3/2}-4Fr_{1}^{2}+1}{8Fr_{1}^{2}(2+F_{1}^{2})}}={\frac {(8*4.5^{2}+1)^{3/2}-4*4.5^{2}+1}{8*4.5^{2}(2+4.5^{2})}}=0.55}$

${\displaystyle (6)\;\%{\text{ efficiency}}=0.55*100=55\%{\text{ efficient}}\,}$

水圧跳の長さ

跳水の長さは、ローラーや渦の形成に加えて、表面乱流の突然の変化のために、現場や実験室での調査中に測定することが難しいことがよくあります。 ^{[ 9 ]}跳水の長さは、沈殿池 などの構造物の設計を検討する際に知っておくべき重要な要素です。

長さについて導出された式は実験データに基づいており、長さと上流のフルード数を関連付けます。

${\displaystyle (1)\;L=220\times y_{1}\times \tanh {\frac {Fr_{1}-1}{22}}}$ ^{[ 10 ]}

例3: 長さの計算

与えられた条件:

例2のデータを使用する

探す：

ジャンプの長さ

解決：

${\displaystyle (2)\;L=220*0.5*\tanh \left({\frac {4.5-1}{24}}\right)}$

${\displaystyle (3)\;\tanh(z)={\frac {e^{z}-e^{-z}}{e^{z}+e^{-z}}}\qquad {\text{if necessary, this is an alternate way to calculate }}\tanh(z)}$

${\displaystyle (4)\;z={\frac {4.5-1}{22}}=0.1591}$

${\displaystyle (5)\;\tanh(z)=0.1578}$

${\displaystyle (6)\;L=220*0.5*0.1578=17.4\;m}$

水圧跳の高さ

跳水の高さは、長さと同様に、沈砂池や余水路などの水路構造物を設計する際に役立ちます。跳水の高さは、跳水前後の流水深の差に過ぎません。跳水の高さは、フルード数と上流エネルギーを用いて決定できます。

方程式:

${\displaystyle (1)\;h_{j}=y_{2}-y_{1}}$

${\displaystyle (2)\;y_{2}={\frac {y_{1}}{2}}\left({\sqrt {1+8Fr_{1}^{2}}}-1\right)}$

y ₂方程式をジャンプの高さの方程式に 代入します。

${\displaystyle (3)\;h_{j}={\frac {y_{1}}{2}}\left({\sqrt {1+8Fr_{1}^{2}}}-1\right)-y_{1}}$

${\displaystyle (4)\;h_{j}={\frac {y_{1}{\sqrt {1+8Fr_{1}^{2}}}-3y_{1}}{2}}}$

例4: 高さの計算

与えられた条件:

例2のデータを使用する

探す：

ジャンプの高さ

解決：

${\displaystyle (5)\;h_{j}={\frac {y_{1}{\sqrt {1+8Fr_{1}^{2}}}-3y_{1}}{2}}}$

${\displaystyle (6)\;h_{j}={\frac {0.5{\sqrt {1+8(4.5)^{2}}}-(3*0.5)}{2}}}$

${\displaystyle (7)\;h_{j}=2.4\;m}$

ジャンプの種類

水圧跳躍は、接近するフルード数（Fr _{1 ）}に応じて、いくつかの異なる形態をとることができます。^{[ 11 ]}これらのタイプはそれぞれ独自の流れのパターンと流れの特性（ローラーや渦の強さや形成など）を持ち、跳躍時に発生するエネルギー損失の量を決定するのに役立ちます。以下の跳躍タイプの説明は、特定のフルード数の範囲に基づいていますが、これらの範囲は正確ではなく、端点付近で重複が生じる可能性があります。

弱いジャンプ（1 < Fr ₁ < 2.5）

_{1 < Fr 1} < 1.7の場合、y ₁と y ₂はほぼ等しく、非常に小さなジャンプしか発生しません。^{[ 11 ]}この範囲では、水面はわずかに波打つため、この範囲でのジャンプは波状ジャンプと呼ばれることがあります。これらの表面の瀬は、通常、エネルギーの消散が非常に少ないです。Fr _{1 が}1.7 に近づくと、ジャンプ位置の水面に多数の小さな波紋が形成され始めますが、一般に下流の水面は比較的滑らかなままです。1.7 < Fr ₁ < 2.5 の間では、ジャンプの両側で速度はほぼ均一であり、エネルギー損失は低くなります。^{[ 11 ] [ 12 ] [ 13 ]}

振動ジャンプ（2.5 < Fr ₁ < 4.5）

振動ジャンプは、2.5 < Fr ₁ < 4.5のときに発生する可能性があります。このジャンプの間、ジャンプ入口の水流（超臨界）は、水路底から水路上へと不規則な周期で変動します。このジェットによって発生する乱流は、ある瞬間には水路底付近に達し、その後突然水面へと遷移することがあります。このジェットの振動によって不規則な波が形成され、ジャンプの下流に長距離伝播し、水路堤防の損傷や劣化を引き起こす可能性があります。^{[ 11 ] [ 12 ] [ 13 ]}

安定したジャンプ（4.5 < Fr ₁ < 9）

フルード数がこの範囲に入ると、ジャンプは定常的に、かつ同じ場所で発生します。定常ジャンプでは、乱流はジャンプ内に閉じ込められ、ジャンプの位置は4つの主要なジャンプの種類の中で下流の流れの影響を受けにくい位置にあります。定常ジャンプは一般的にバランスが良く、エネルギーの消散は通常かなり大きくなります（45～70%）。^{[ 11 ] [ 12 ] [ 13 ]}

強いジャンプ（Fr ₁ > 9）

強いジャンプでは、共役深度に大きな差があります。強いジャンプは、非常に荒いジャンプ動作を特徴としており、その結果、エネルギー損失率が大きくなります。不規則な間隔で、ジャンプ面の前面を水塊が転がり落ちるのを見ることができます。これらの水塊は高速の超臨界ジェットに流れ込み、ジャンプ中に新たな波を形成します。強いジャンプにおけるエネルギー損失は最大85%に達することがあります。^{[ 11 ] [ 12 ] [ 13 ]}

ジャンプ場所

一般に、跳水は上流と下流の流れの深さが共役深度方程式を満たす場所で形成されます。ただし、下流制御など、水路内の条件によって、共役深度の形成場所が変わる場合があります。放水深は水路内で跳水が発生する場所に非常に大きな影響を与える可能性があり、この深度が変わると跳水が上流または下流にシフトする可能性があります。図 6 には、放水高 (y _d ) の 3 つのシナリオが含まれています。 y _dは上流流れの深さ (y 1 ) の_{共役深度 (y 2} ) に 等しい、 y _{d は}上流流れの深さ (y 1 ) の共役深度 (y _{2 )}より小さい、および y _dは上流流れの深さ (y _{1 ) の共役深度 (y 2} ) より大きいです。3つのケースすべてにおいて上流深度 (y _{1 ) は}水門によって制御され、一定のままです。対応する共役深度（y ₂）は、各シナリオの破線で示されています。

図6: 尾水位がジャンプ位置に与える影響

最初の状況 (シナリオ A) では、下流制御がない場合と同じように、ジャンプはエプロンで形成されます。 ただし、次のシナリオ (シナリオ B) では、下流の放水深に何らかの制御が適用され、 y ₁の共役深度よりも小さくなります。 この場合、ジャンプは下流に移動し、上流の流れの深度 (y ₁ ') が新しい下流の放水深 (y _d ) の共役深度まで上昇したポイントで開始されます。 y ₁からy ₁ ' へのこの上昇は、水路の摩擦抵抗によって発生し、速度が低下すると深度が増加します。 この図では、 y ₁ ' と y ₂ ' はジャンプの共役深度を表し、 y _{2 ' は y d}の深度を想定します。 これに対して、3 番目の設定 (シナリオ C) では、放水位を元の共役深度よりも上の深度に強制する下流制御があります。ここで、y _dは必要な水深よりも大きいため、跳水は上流に押し出されます。このシナリオでは、水門が跳水の上流への移動を阻害し、上流の共役点に到達できなくなります。これは、水没型跳水または水没型跳水と呼ばれる状況につながります。これらのシナリオは、放水が跳水の形成と位置にいかに影響を与えるかを示しています。^{[ 12 ]}

水圧跳躍の分類

フルード数による分類

表1. 水圧跳躍の分類^{[ 14 ]}

フルード数とy ₂ / y _1の関係

上流フルード数と跳水点下流の流れの深さの関係を視覚的に理解しやすくするには、 y ₂ /y _{1 を}上流フルード数 Fr _{1に対してプロットすると便利です (図 8)。 y 2} /y ₁の値は、無次元跳水高を表す深さの比率です。たとえば、 y ₂ /y ₁ = 2 の場合、跳水により流れの深さが 2 倍になります。上流フルード数が増加すると (より超臨界流に近づくと)、下流深度と上流深度の比率も増加し、グラフは無次元跳水高と上流フルード数の間に正の線形関係があることを立証します。これは、より超臨界的な上流流 y _{1によって下流深度 y 2}が大きくなり、跳水も大きくなることを意味します。下の図 8 に示す関係は、q = 10 ft ² /sの水平長方形チャネル用に開発されたものです。このグラフは、跳水の性質により、次の制限を受けます。

1. y ₂ /y ₁ > 1: ジャンプによって深さが増し、y ₂ > y _1となる

2. Fr ₂ < 1: 下流の流れは亜臨界でなければならない

3. Fr ₁ > 1: 上流の流れは超臨界でなければならない

表2は、図8の作成に使用した計算値を示しています。ay ₁ = 1.5 ft に対応する値は、上記の制限に違反するため、使用できません。上記の制限の頂点は、これらの値がすべて1に等しい臨界深度 y _{cで到達します。ただし、 y 1が y c}に等しい状況では、跳水は発生しません。

表2. 跳水深とフルード数の値

y 1	F r 1	y 2	F r 2	2年目/ 1年目
0.20	19.70	5.47	0.14	27.37
0.24	14.99	4.97	0.16	20.70
0.40	6.97	3.75	0.24	9.36
0.60	3.79	2.93	0.35	4.89
0.80	2.46	2.41	0.47	3.02
1.00	1.76	2.04	0.60	2.04
1.20	1.34	1.75	0.76	1.46
1.40	1.06	1.52	0.94	1.09
1.46	1.00	1.46	1.00	1.00
1.50	0.96	1.42	1.04	0.95

q = 10フィート、g = 32.2フィート/秒²、y _c = 1.46フィート、y値の単位はフィート

図8. 無次元ジャンプ高さと上流フルード数の関係（この図は完全に正しいものではないことに注意してください。考慮される他の要因は幅と水流速度です。

このトピックの投稿は、2010 年秋学期のバージニア工科大学土木環境工学科のコース「CEE 5984 - 開水路流れ」の要件を部分的に満たすために作成されました。

参考文献

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