解析幾何学

数学において、解析幾何学（座標幾何学、デカルト幾何学とも呼ばれる）は、座標系を用いた幾何学の研究分野です。これは総合幾何学とは対照的です。

解析幾何学は、物理学や工学だけでなく、航空学、ロケット工学、宇宙科学、宇宙飛行にも応用されています。代数幾何学、微分幾何学、離散幾何学、計算幾何学など、現代の幾何学のほとんどの分野の基礎となっています。

通常、直交座標系は、平面、直線、円の方程式を扱う際に用いられ、多くの場合2次元、時には3次元で用いられます。幾何学的には、ユークリッド平面（2次元）とユークリッド空間を研究します。教科書で教えられているように、解析幾何学はもっと簡単に説明できます。解析幾何学は、幾何学的図形を数値的に定義・表現し、図形の数値的定義と表現から数値情報を抽出することに関係しています。実数代数を用いて幾何学の線型連続体に関する結果を導き出せることは、カントール・デデキントの公理に基づいています。

歴史

古代ギリシャ

ギリシャの数学者メナイクモスは、座標の使用に非常に類似した方法を用いて問題を解決し、定理を証明しました。彼が解析幾何学を提唱したという説もあります。^{[ 1 ]}

ペルガのアポロニウスは、 『正断面について』で、一次元解析幾何学とも言える方法で、直線上で他の点と比になる点を見つける問題を扱っています。^{[ 2 ]}アポロニウスは『円錐曲線論』で解析幾何学に非常によく似た手法をさらに展開し、彼の研究はデカルトの研究を1800年ほど先取りしていたと考えられることもあります。彼が適用した基準線、直径、接線は、本質的には現代の座標フレームの使用と何ら変わりありません。座標フレームでは、接点から直径に沿って測った距離が横座標、接線に平行で軸と曲線の間で切られた線分が縦座標です。彼はさらに、曲線の修辞方程式 (言葉で表現) に相当する横座標と対応する縦座標の関係を展開しました。しかしながら、アポロニウスは解析幾何学の発展に近づいたものの、負の大きさを考慮に入れず、また座標系が与えられた曲線に先験的ではなく事後的に重ね合わされたため、完成には至らなかった。つまり、方程式は曲線によって決定されるが、曲線は方程式によって決定されるわけではない。座標、変数、方程式は、特定の幾何学的状況に適用される補助的な概念であった。^{[ 3 ]}

ペルシャ

11世紀のペルシャの数学者オマル・ハイヤームは幾何学と代数の密接な関係を見出し、数値代数と幾何代数の溝を埋める貢献をし、正しい方向に進んでいた。 ^{[ 4 ]}彼は一般三次方程式の幾何学的解法^{[ 5 ]}によって[6]しかし決定的な一歩を踏み出したのはデカルトであった。^{[ 7 ]}オマル・ハイヤームは代数幾何学の基礎を定めたとされ、解析幾何学の原理を定めた著書『代数の問題の論証』 (1070年) は、最終的にヨーロッパに伝わったペルシャ数学の一部である。^{[ 8 ]}ハイヤームは代数方程式に対する徹底した幾何学的アプローチにより、解析幾何学の発明におけるデカルトの先駆者とみなされる。^{[ 9 ] : 248}

西ヨーロッパ

解析幾何学は、ルネ・デカルトとピエール・ド・フェルマーによって独立して発明されましたが^{[ 8 ] [ 9 ]} 、デカルトが単独で発明したとされることもあります^{[ 10 ] [ 11 ]} 。解析幾何学の別名であるデカルト幾何学は、デカルトにちなんで名付けられました

デカルトは、1637年に出版された『方法序説』 (通称『方法序説』)と共に出版された3つの付録の一つである『幾何学』で、方法に関して大きな進歩を遂げた。 母国語であるフランス語で書かれた『幾何学』とその哲学的原理は、ヨーロッパにおける微積分学の基礎となった。当初、この作品は議論に多くの欠落があり、方程式が複雑だったこともあり、あまり受け入れられなかった。1649年にファン・スホーテンがラテン語に翻訳し注釈を加えた後(そしてその後も研究が続けられた後)、ようやくデカルトの傑作は正当な評価を受けるようになった。^{[ 12 ]}

ピエール・ド・フェルマーもまた、解析幾何学の発展の先駆者であった。生前には出版されなかったが、平面および立体の場所への序論（ Ad locos planos et solidos isagoge ）の原稿が、デカルトの『講義』出版の直前の1637年にパリで流通していた。^{[ 13 ] [ 14 ] [ 15 ]}明快に書かれ好評だった『序論』は、解析幾何学の基礎も築いた。フェルマーとデカルトの扱い方の主な違いは、観点の問題である。フェルマーは常に代数方程式から始めて、それを満たす幾何学的曲線を記述したのに対し、デカルトは幾何学的曲線から始めて、曲線のいくつかの特性の1つとしてその方程式を導出した。^{[ 12 ]}このアプローチの結果、デカルトはより複雑な方程式を扱わなければならず、より高次の多項式方程式を扱う方法を開発する必要があった。座標法を空間曲線と空間面の体系的な研究に初めて適用したのは レオンハルト・オイラーでした。

座標

直交座標平面の図。4つの点に座標が付けられ、ラベルが付けられています。(2,3)は緑、(-3,1)は赤、(-1.5,-2.5)は青、原点(0,0)は紫です

解析幾何学では、平面には座標系が与えられ、その座標系では各点に実数座標の組が割り当てられます。同様に、ユークリッド空間にも座標系が与えられ、各点に3つの座標が割り当てられます。座標の値は、最初の原点の選択に依存します。様々な座標系が用いられますが、最も一般的なものは以下のとおりです。^{[ 16 ]}

直交座標（平面または空間内）

最も一般的に使用される座標系は直交座標系です。直交座標系では、各点は水平位置を表すx座標と垂直位置を表すy座標を持ちます。これらは通常、順序付きペア( x ,  y ) として表されます。この座標系は3次元幾何学にも使用でき、ユークリッド空間のすべての点は順序付き3つの座標 ( x ,  y ,  z )として表されます。

極座標（平面内）

極座標では、平面上のすべての点は原点からの距離rと角度θで表されます。θ は通常、正のx軸から反時計回りに測定されます。この表記法を用いると、点は通常、順序付きペア ( r , θ ) として表されます。以下の式を用いることで、2次元の直交座標系と極座標系を相互に変換することができます。この座標系は、円筒座標系または球面座標系を用いることで、3次元空間にも一般化できます。 $${\displaystyle x=r\,\cos\theta,\,y=r\,\sin\theta;\,r={\sqrt{x^{2}+y^{2}}},\,\theta =\arctan(y/x).}$$

円筒座標（空間内）

円筒座標では、空間上のあらゆる点は、高さz、z軸からの半径r 、およびxy平面への投影が水平軸に対してなす 角度θによって表されます。

球座標（空間内）

球面座標では、空間上のあらゆる点は、原点からの距離ρ 、 xy平面への投影が水平軸に対してなす角度θ 、そしてz軸に対してなす角度φによって表されます。物理学では、これらの角度の名称はしばしば逆になります。^{[ 16 ]}

方程式と曲線

解析幾何学では、座標を含む方程式は平面の部分集合、すなわち方程式の解集合、すなわち軌跡を指定​​する。例えば、方程式y  =  xは、平面上でx座標とy座標が等しいすべての点の集合に対応する。これらの点は直線を形成し、y  =  x はこの直線の方程式であると言われる。一般に、xとyを含む一次方程式は直線 を指定し、二次方程式は円錐曲線を指定し、より複雑な方程式はより複雑な図形を記述する。^{[ 17 ]}

通常、平面上の曲線には単一の方程式が対応します。しかし、常にそうであるとは限りません。自明な方程式x  =  xは平面全体を指定し、方程式x ²  +  y ²  = 0 は単一の点 (0, 0) のみを指定します。3次元では、通常、単一の方程式で面が得られ、曲線は2つの面の交差（下記参照）として、または媒介変数方程式のシステムとして指定する必要があります。^{[ 18 ]}方程式x ²  +  y ²  =  r ²は、原点 (0, 0) を中心とし半径 r の任意の円の方程式です。

直線と平面

直交平面、あるいはより一般的にはアフィン座標上の直線は、一次方程式によって代数的に記述できます。2次元では、非垂直な直線の方程式は、傾きと切片の形で与えられることがよくあります。 ここで： $${\displaystyle y=mx+b}$$

• mは直線の傾きまたは勾配です。
• bは直線のy 切片です。
• xは関数y = f ( x )の独立変数です。

2 次元空間の直線がその方程式の点-傾き形式を使用して記述されるのと同様に、3 次元空間の平面は、平面上の点とそれに直交するベクトル (法線ベクトル) を使用してその「傾斜」を示す自然な記述を持ちます。

具体的には、をある点の位置ベクトルとし、を非ゼロベクトルとします。この点とベクトルによって決まる平面は、位置ベクトル を持つ点 から構成され、からに引かれたベクトルは に垂直になります。2 つのベクトルが垂直になるのは、それらのドット積が 0 の場合のみであることを思い出してください。したがって、目的の平面はとなる すべての点の集合として記述できます (ここでのドットはドット積 を意味し、スカラー乗算を意味しません)。これを展開すると となり、 これは平面方程式の点法線形式です。これは単なる線形方程式です。 逆に、a、b、c 、 dが定数で、a、b、cがすべて 0 でない場合、方程式のグラフ はベクトル を法線とする平面になることは簡単に示されます。このよく知られた平面方程式は、平面方程式の一般形と呼ばれています。 ^{[ 19 ]}${\displaystyle \mathbf {r} _{0}}$ ${\displaystyle P_{0}=(x_{0},y_{0},z_{0})}$ ${\displaystyle \mathbf {n} =(a,b,c)}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle \mathbf {r} }$ ${\displaystyle P_{0}}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle \mathbf {n} }$ ${\displaystyle \mathbf {r} }$ $${\displaystyle \mathbf {n} \cdot (\mathbf {r} -\mathbf {r} _{0})=0.}$$ $${\displaystyle a(x-x_{0})+b(y-y_{0})+c(z-z_{0})=0,}$$ $${\displaystyle ax+by+cz+d=0,{\text{ただし }}d=-(ax_{0}+by_{0}+cz_{0}).}$$ $${\displaystyle ax+by+cz+d=0,}$$ ${\displaystyle \mathbf {n} =(a,b,c)}$

3 次元では、線は単一の線形方程式で記述できないため、多くの場合、媒介変数方程式で記述されます。 ここで、 $${\displaystyle x=x_{0}+at}$$ $${\displaystyle y=y_{0}+bt}$$ $${\displaystyle z=z_{0}+ct}$$

• x、y、zはすべて、実数の範囲にわたる独立変数tの関数です。
• ( x ₀ , y ₀ , z ₀ ) は直線上の任意の点です。
• a、b、cは直線の傾きと関連しており、ベクトル( a、b、c ) は直線に平行になります。

円錐曲線

双曲線とその共役双曲線

直交座標系において、 2変数の二次方程式のグラフは常に円錐曲線になります。ただし、退化している可能性があり、すべての円錐曲線はこのようにして生じます。方程式は次のようになります。6 つの定数すべてをスケーリングすると、同じ零点の軌跡が得られるため、円錐曲線を5次元射影空間の点と見なすことができます$${\displaystyle Ax^{2}+Bxy+Cy^{2}+Dx+Ey+F=0{\text{ with }}A,B,C{\text{ not all zero.}}}$$ ${\displaystyle \mathbf {P} ^{5}.}$

この式で表される円錐曲線は判別式^{[ 20 ]を用いて分類することができる。}

$${\displaystyle B^{2}-4AC.}$$ 円錐曲線が非退化の場合、次のようになります。

• の場合、方程式は楕円を表します。 ${\displaystyle B^{2}-4AC<0}$
  • かつの場合、方程式は円を表します。これは楕円の特殊なケースです。${\displaystyle A=C}$ ${\displaystyle B=0}$
• の場合、方程式は放物線を表します。${\displaystyle B^{2}-4AC=0}$
• の場合、方程式は双曲線を表します。 ${\displaystyle B^{2}-4AC>0}$
  • また、 の場合、この方程式は直角双曲線を表します。${\displaystyle A+C=0}$

二次曲面

二次曲面は、二次多項式の零点の軌跡として定義される、3次元空間における2次元曲面です。座標x ₁、x ₂、x ₃において、一般的な二次曲面は代数方程式^{[ 21 ]}によって定義されます

$${\displaystyle \sum _{i,j=1}^{3}x_{i}Q_{ij}x_{j}+\sum _{i=1}^{3}P_{i}x_{i}+R=0.}$$

二次曲面には、楕円体（球面を含む）、放物面、双曲面、円柱、円錐、平面が含まれます。

距離と角度

平面上の距離の公式は、ピタゴラスの定理から得られます

解析幾何学では、距離や角度といった幾何学的概念は公式を用いて定義されます。これらの定義は、基礎となるユークリッド幾何学と整合するように設計されています。例えば、平面上の直交座標を用いると、2点( x ₁ ,  y ₁ )と( x ₂ ,  y _{2 )間の距離は、}ピタゴラスの定理 の一種と見なせる公式で定義されます 。同様に、直線が水平線となす角度は、 直線の 傾きをmとした ときの公式で定義されます。$${\displaystyle d={\sqrt {(x_{2}-x_{1})^{2}+(y_{2}-y_{1})^{2}}},}$$ $${\displaystyle \theta =\arctan(m),}$$

3次元では、距離はピタゴラスの定理の一般化によって与えられ、 2つのベクトル間の角度は内積によって与えられます。2つのユークリッドベクトルAとBの内積は^{[ 22 ]}で定義されます。 ここで、θはAとBの間の角度です。 $${\displaystyle d={\sqrt {(x_{2}-x_{1})^{2}+(y_{2}-y_{1})^{2}+(z_{2}-z_{1})^{2}}},}$$ $${\displaystyle \mathbf {A} \cdot \mathbf {B} {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\left\|\mathbf {A} \right\|\left\|\mathbf {B} \right\|\cos \theta ,}$$

変換

a) y = f(x) = |x|       b) y = f(x+3)      c) y = f(x)-3      d) y = 1/2 f(x)

変換は親関数に適用され、同様の特性を持つ新しい関数に変換されます。

のグラフは、標準変換によって次のように変更されます。 ${\displaystyle R(x,y)}$

• に変更すると、グラフが正しい単位に移動します。${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x-h}$ ${\displaystyle h}$
• に変更すると、グラフが単位上に移動します。${\displaystyle y}$ ${\displaystyle y-k}$ ${\displaystyle k}$
• を に変更すると、グラフは 倍に水平方向に伸びます。（ が拡大されると考えてください）${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x/b}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle x}$
• に変更すると、グラフが垂直方向に伸びます。${\displaystyle y}$ ${\displaystyle y/a}$
• を に変更し、 を変更すると、グラフが角度 だけ回転します。${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x\cos A+y\sin A}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle -x\sin A+y\cos A}$ ${\displaystyle A}$

初等解析幾何学では通常扱われない標準的な変換がいくつかあります。これらの変換は、通常考慮されない方法で物体の形状を変化させるためです。スキューイングは、通常考慮されない変換の一例です。詳細については、Wikipediaのアフィン変換に関する記事を参照してください。

たとえば、親関数には水平漸近線と垂直漸近線があり、 は第 1 象限と第 3 象限を占め、その変換された形式はすべて 1 つの水平漸近線と垂直漸近線を持ち、 は第 1 象限と第 3 象限、または第 2 象限と第 4 象限のいずれかを占めます。一般に、 の場合、 は に変換できます。新しい変換された関数では、は、1 より大きい場合は関数を垂直方向に引き伸ばし、1 より小さい場合は関数を垂直方向に圧縮する係数です。負の値の場合、関数は- 軸に反映されます。 の値は、1 より大きい場合は関数のグラフを水平方向に圧縮し、1 より小さい場合は関数を水平方向に引き伸ばします。 と同様に、が負の場合、関数は -軸に反映されます。と の値は、垂直、水平の平行移動を導入します。 と の値が正の場合、関数はその軸の正の端に向かって平行移動され、負の値は負の端に向かって平行移動されることを意味します。 ${\displaystyle y=1/x}$ ${\displaystyle y=f(x)}$ ${\displaystyle y=af(b(x-k))+h}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle k}$

変換は、方程式が関数を表すかどうかに関わらず、あらゆる幾何学方程式に適用できます。変換は、個々の処理として、または複数の処理の組み合わせとして考えることができます。

が平面上の関係であると仮定します。例えば、 は単位円を記述する関係です。 ${\displaystyle R(x,y)}$ ${\displaystyle xy}$ $${\displaystyle x^{2}+y^{2}-1=0}$$

幾何学的オブジェクトの交差点を見つける

２つの幾何学的対象PとQは関係によって表され、交差点は両方の関係にあるすべての点の集合である。 ^{[ 23 ]}${\displaystyle P(x,y)}$ ${\displaystyle Q(x,y)}$ ${\displaystyle (x,y)}$

例えば、は半径1で中心 の円であるかもしれません。 また、は半径1で中心 の円であるかもしれません。これら2つの円の交点は、両方の方程式が成り立つ点の集合です。その点は両方の方程式が成り立つのでしょうか？を にとすると、 の方程式はまたはとなり、これは真なので、 は関係 に含まれます。一方、を に とすると、 の方程式はまたはとなり、これは偽です。 は関係に含まれないので、交点には含まれません。 ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle (0,0)}$ ${\displaystyle P=\{(x,y)|x^{2}+y^{2}=1\}}$ ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle (1,0):Q=\{(x,y)|(x-1)^{2}+y^{2}=1\}}$ ${\displaystyle (0,0)}$ ${\displaystyle (0,0)}$ ${\displaystyle (x,y)}$ ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle (0-1)^{2}+0^{2}=1}$ ${\displaystyle (-1)^{2}=1}$ ${\displaystyle (0,0)}$ ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle (0,0)}$ ${\displaystyle (x,y)}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle 0^{2}+0^{2}=1}$ ${\displaystyle 0=1}$ ${\displaystyle (0,0)}$ ${\displaystyle P}$

と の交点は、次の連立方程式を解くことによって見つけることができます。 ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle Q}$

$${\displaystyle x^{2}+y^{2}=1}$$ $${\displaystyle (x-1)^{2}+y^{2}=1.}$$

交差を見つける従来の方法には、置換と消去が含まれます。

代入: についての最初の方程式をについて解き、 の式を2 番目の方程式に代入します。 ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$

$${\displaystyle x^{2}+y^{2}=1}$$ $${\displaystyle y^{2}=1-x^{2}.}$$

次に、この値を他の方程式に代入し、 を解きます。 ${\displaystyle y^{2}}$ ${\displaystyle x}$ $${\displaystyle (x-1)^{2}+(1-x^{2})=1}$$ $${\displaystyle x^{2}-2x+1+1-x^{2}=1}$$ $${\displaystyle -2x=-1}$$ $${\displaystyle x=1/2.}$$

次に、この の値を元の方程式のいずれかに代入し、 を解きます。 ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$

$${\displaystyle (1/2)^{2}+y^{2}=1}$$ $${\displaystyle y^{2}=3/4}$$ $${\displaystyle y={\frac {\pm {\sqrt {3}}}{2}}.}$$

したがって、交差点には 2 つの点があります。 $${\displaystyle \left(1/2,{\frac {+{\sqrt {3}}}{2}}\right)\;\;{\text{and}}\;\;\left(1/2,{\frac {-{\sqrt {3}}}{2}}\right).}$$

消去法：一方の方程式の倍数をもう一方の方程式に加える（または引く）ことで、変数の1つを消去します。この例では、最初の方程式から2番目の方程式を引くと となります。最初の方程式の は2番目の方程式の から引かれ、項は残りません。変数が消去されました。次に、置換法と同じように、 残りの方程式を について解きます。${\displaystyle (x-1)^{2}-x^{2}=0}$ ${\displaystyle y^{2}}$ ${\displaystyle y^{2}}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle x}$

$${\displaystyle x^{2}-2x+1-x^{2}=0}$$ $${\displaystyle -2x=-1}$$ $${\displaystyle x=1/2.}$$

次に、この の値を元の方程式のいずれかに代入して を解きます。 ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ $${\displaystyle (1/2)^{2}+y^{2}=1}$$ $${\displaystyle y^{2}=3/4}$$ $${\displaystyle y={\frac {\pm {\sqrt {3}}}{2}}.}$$

したがって、交差点には 2 つの点があります。 $${\displaystyle \left(1/2,{\frac {+{\sqrt {3}}}{2}}\right)\;\;{\text{and}}\;\;\left(1/2,{\frac {-{\sqrt {3}}}{2}}\right).}$$

円錐曲線の場合、交差点には最大 4 つの点が存在する可能性があります。

切片の見つけ方

広く研究されている交差の1つのタイプは、幾何学的物体と座標軸 との交差です${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$

幾何学的オブジェクトと- 軸との交点は、そのオブジェクトの - 切片と呼ばれます。幾何学的オブジェクトと - 軸との交点は、そのオブジェクトの - 切片 と呼ばれます。${\displaystyle y}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x}$

直線 の場合、パラメータ は直線が軸と交差する点を指定します。文脈に応じて、 または のどちらかが-切片と呼ばれます。 ${\displaystyle y=mx+b}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle (0,b)}$ ${\displaystyle y}$

幾何学軸

幾何学における軸とは、直線、物体、または面に対する垂直線です

また、この線は、一般言語では「法線（垂直線）」として使用され、工学用語では「軸線」として使用されます。

幾何学において、法線とは、直線やベクトルなど、与えられた物体に垂直な物体を指します。例えば、2次元の場合、ある点における曲線の法線は、その点における曲線の接線に垂直な直線です。

3次元の場合、点Pにおける面法線（または単に法線）は、点Pにおける面の接線に垂直なベクトルです。「法線」という言葉は形容詞としても用いられ、例えば、平面に垂直な線、力の法線成分、法線ベクトルなどです。法線性の概念は、直交性にも一般化されます。

球面および非線形平面とその接線

接線は、関数の球面線やその他の曲線、ねじれ線の線形近似です。

接線と接平面

幾何学において、平面曲線の任意の点における接線（または単に接線）とは、その点で曲線に「ちょうど接する」直線のことです。非公式には、曲線上の無限に近い2点を通る直線です。より正確には、直線が曲線上の点( c , f ( c ))を通り、傾きが f ' ( c )（ f ' は f の導関数）を持つ場合、その直線は曲線上の点x = cにおける曲線y = f ( x )の接線であるとされます。同様の定義が、空間曲線および n 次元ユークリッド空間内の曲線にも適用されます。

接線と曲線が交わる点（接点）を通過する際、接線は曲線と同じ方向に進むため、その点における曲線の最良の直線近似となります。

同様に、ある点における曲面の接平面とは、その点において曲面に「ちょうど接する」平面のことです。接線の概念は微分幾何学における最も基本的な概念の一つであり、広く一般化されています。接空間を参照してください。

参照

• 応用幾何学
• 外積
• 軸の回転
• 軸の平行移動
• ベクトル空間

注釈

1. Boyer, Carl B. (1991). 「プラトンとアリストテレスの時代」 .数学史（第2版）. John Wiley & Sons, Inc. pp.  94–95 . ISBN 0-471-54397-7 メナエクモスは円錐曲線のこれらの性質やその他の性質も明らかに導き出しました。この資料は、上記で示したように、座標の使用と非常に類似しているため、メナエクモスは解析幾何学を持っていたと主張されることがあります。しかし、そのような判断は部分的にしか正当化されません。なぜなら、メナエクモスは2つの未知数を含む方程式が曲線を決定することを知らなかったからです。実際、未知数を含む方程式という一般的な概念は、ギリシャの思想には馴染みのないものでした。ギリシャ人が本格的な座標幾何学を達成する上で、何よりも妨げとなったのは、代数記法の欠陥でした
2. Boyer, Carl B. (1991). 「ペルガのアポロニウス」 .数学史（第2版）. John Wiley & Sons, Inc. pp  . 142. ISBN 0-471-54397-7 アポロニウスの『定常断面について』は、一次元解析幾何学とも呼べるものを扱っている。この論文は、典型的なギリシャ代数解析を幾何学的形式で用いて、次のような一般的な問題を考察した。「直線上の4点A、B、C、Dが与えられたとき、APとCP上の長方形がBPとDP上の長方形に対して所定の比となるような、直線上の5番目の点Pを決定せよ。」ここでも、問題は容易に二次方程式の解へと帰着する。そして、他の場合と同様に、アポロニウスはこの問題を、可能性の限界や解の数を含めて徹底的に論じた。
3. Boyer, Carl B. (1991). 「ペルガのアポロニウス」 .数学史（第2版）. John Wiley & Sons, Inc. pp  . 156. ISBN 0-471-54397-7 アポロニウスの円錐曲線における方法は多くの点で現代のアプローチと非常に類似しており、彼の研究はデカルトのそれを1800年も先取りした解析幾何学であると評価されることもある。一般的な基準線、特に直径とその端における接線の使用は、もちろん、座標フレーム（直角座標系であろうと、より一般的には斜角座標系であろうと）の使用と本質的に異なるものではない。接線から直径に沿って測った距離が横軸であり、接線に平行で軸と曲線の間にある線分が縦軸である。アポロニウス流のこれらの横軸と対応する縦軸の関係は、曲線の方程式の修辞的表現に他ならない。しかしながら、ギリシャの幾何代数は負の値を想定していなかった。さらに、座標系は与えられた曲線の特性を研究するために、常に事後的にその曲線に重ね合わされた。古代幾何学において、方程式や関係を図形的に表現するために、座標参照枠が事前に定められた例は、象徴的に表現されるか修辞的に表現されるかに関わらず、存在しないように思われる。ギリシャ幾何学においては、方程式は曲線によって決定されると言えるが、曲線が方程式によって決定されるとは言えない。座標、変数、方程式は、特定の幾何学的状況から派生した補助的な概念であった。[…] 古代における最も偉大な幾何学者アポロニウスが解析幾何学を発展させられなかったのは、おそらく思考の不足というよりも、曲線の不足によるものであろう。問題が常に限られた数の特定の事例のうちの1つに関係する場合、汎用的な手法は必要ない。
4. Boyer (1991). 「アラビアの覇権」 .数学史. pp.  241–242 . ISBN 9780471543978「テント職人」と呼ばれたウマル・ハイヤーム（1050年頃 - 1123年）は、アル・フワーリズミーの代数学を凌駕し、三次方程式を包含する代数学を著した。アラブの先人たちと同様に、ウマル・ハイヤームは二次方程式に対して算術解と幾何解の両方を与えた。しかし、一般的な三次方程式については、（16世紀に明らかになったように、これは誤りであったが）算術解は不可能であると信じ、幾何解のみを与えた。交差する円錐曲線を用いて三次方程式を解く手法は、メナイクモス、アルキメデス、アルハザンによって既に用いられていたが、ウマル・ハイヤームは、この手法を一般化し、すべての三次方程式（正の根を持つ）に適用するという、称賛に値する一歩を踏み出した。 3次以上の方程式については、オマール・ハイヤームは明らかに同様の幾何学的手法を構想していなかった。なぜなら、空間は3次元以上を含まないからである。…アラビア折衷主義の最も実りある貢献の一つは、数値代数と幾何学代数の隔たりを埋めようとする傾向であった。この方向への決定的な一歩は、ずっと後になってデカルトによってもたらされたが、オマール・ハイヤームは「代数を未知数を得るための策略だと考える者は、無駄な考えだ。代数と幾何学が外見上異なるという事実に注意を払うべきではない。代数は証明された幾何学的事実である」と書いた時点で、この方向に進んでいた。
5. クーパー、グレン・M. (2003). 「書評：R・ラシェド、B・ヴァハブザデ著『数学者オマール・カヤム』」アメリカ東洋学会誌. 123 (1): 248– 249. doi : 10.2307/3217882 . JSTOR 3217882 . 
6. 数学の傑作：探検家によるさらなる記録、92ページ
7. クーパー、G.（2003）アメリカ東洋学会誌、123(1)、248-249。
8. スティルウェル、ジョン(2004). 「解析幾何学」.数学とその歴史（第2版）. シュプリンガー・サイエンス + ビジネス・メディア社. p. 105. ISBN 0-387-95336-1 解析幾何学の二人の創始者、フェルマーとデカルトは、どちらもこれらの発展に強い影響を受けました
9. ボイヤー 2004、74ページ
10. クック、ロジャー(1997). 「微積分」 .数学史：簡潔な講座. ワイリー・インターサイエンス. pp  . 326. ISBN 0-471-18082-3 解析幾何学の発見者として広く知られているのは、近代で最も影響力のある思想家の一人である哲学者ルネ・デカルト（1596～1650）です
11. ボイヤー 2004、82ページ
12. カッツ 1998、442ページ
13. カッツ 1998、436ページ
14. ピエール・ド・フェルマー、ヴァリア・オペラ・マテマティカ d. Petri de Fermat、Senatoris Tolosani (フランス、トゥールーズ: Jean Pech、1679 年)、「Ad locos planos et soldos isagoge」、 91 ～ 103 ページ。 2015 年 8 月 4 日、ウェイバック マシンにアーカイブされました
15. “Eloge de Monsieur de Fermat” 2015 年 8 月 4 日にウェイバック マシンにアーカイブ(ド フェルマー氏の哀悼)、 Le Journal des Scavans、1665 年 2 月 9 日、69–72 ページ。 p. より70: 「計画と堅実な導入については、計画と堅実な問題の解決策を検討する必要があります。この問題の解決策を検討することは避けてください。」 (軌跡、平面、立体の紹介。これは平面と立体の問題の解決に関する分析的論文で、デ カルト氏がこの主題に関する何かを出版する前に見られたものです。)
16. スチュワート、ジェームズ（2008年）『微積分学：超越関数入門』第6版、ブルックス・コール・センゲージ・ラーニング、ISBN 978-0-495-01166-8
17. パーシー・フランクリン・スミス著、アーサー・サリバン・ゲイル著（1905年）『解析幾何学入門』アテネウム・プレス
18. ウィリアム・H・マクリー『三次元の解析幾何学』 クーリエ・ドーバー出版、2012年1月27日
19. ヴジチッチ、ミラノ;ジェフリー・サンダーソン (2008)、ヴジチッチ、ミラノ。 Sanderson、Jeffrey (編)、「線形代数の徹底的な説明」、Springer、p. 27、土井：10.1007/978-3-540-74639-3、ISBN 978-3-540-74637-9
20. ファンチ、ジョン・R. (2006)、『科学者とエンジニアのための数学復習』 、ジョン・ワイリー・アンド・サンズ、 44～ 45ページ 、ISBN 0-471-75715-2、第3.2節、45ページ
21. シルビオ・レヴィの二次曲線、Wayback Machineに2018年7月18日にアーカイブされた「幾何学の公式と事実」 、 CRC Press発行のCRC標準数学表と公式第30版から抜粋、ミネソタ大学幾何学センターより
22. MRシュピーゲル; S. リプシュッツ; D. スペルマン (2009)。ベクトル解析 (Schaum の概要) (第 2 版)。マグロウヒル。ISBN 978-0-07-161545-7。
23. この議論はxy平面に限定されていますが、高次元にも簡単に拡張できます

参考文献

書籍

• ボイヤー、カール・B. (2004) [1956]、『解析幾何学の歴史』、ドーバー出版、ISBN 978-0486438320
• カジョリ、フロリアン（1999）『数学の歴史』AMS、ISBN 978-0821821022
• ジョン・ケーシー（1885）『点、直線、円、円錐断面の解析幾何学』、インターネットアーカイブからのリンク
• Katz, Victor J. (1998) 『数学史入門』（第2版）、Addison Wesley Longman、ISBN 0-321-01618-1
• ミハイル・ポストニコフ(1982)幾何学講義 第1学期 解析幾何学（インターネットアーカイブ経由）
• ストルイク、DJ（1969）、A Source Book in Mathematics, 1200-1800、ハーバード大学出版局、ISBN 978-0674823556

論文

• ビッセル、クリストファー・C. (1987)、「デカルト幾何学：オランダの貢献」、数学インテリジェンサー、9 (4): 38– 44、doi : 10.1007/BF03023730
• ボイヤー、カール・B.（1944）「解析幾何学：フェルマーとデカルトの発見」、数学教師、37（3）：99-105、doi：10.5951/MT.37.3.0099
• ボイヤー、カール・B.（1965）「ヨハン・フッデと空間座標」、数学教師、58（1）：33-36、doi：10.5951/MT.58.1.0033
• Coolidge, JL (1948)、「三次元解析幾何学の始まり」、アメリカ数学月刊誌、55 (2): 76– 86、doi : 10.2307/2305740、JSTOR  2305740
• Pecl, J.,ニュートンと解析幾何学

外部リンク

• インタラクティブなアニメーションによる座標幾何学のトピック