非標準分析に対する批判

非標準解析とその派生である非標準計算は、 Errett Bishop、Paul Halmos、Alain Connesといった多くの著者から批判されてきた。以下ではこれらの批判を分析する。

導入

文献における非標準解析の評価は大きく異なっている。ポール・ハルモスはそれを数理論理学における技術的な特別な発展と表現した。テレンス・タオは超実数枠組みの利点を次のように要約した。

これにより、「すべての小さな数の集合」などを厳密に操作したり、「η 1は η 0を含むものよりも小さい」などのことを厳密に述べたりすることが可能になり、同時に、議論内の多くの量指定子を自動的に隠すことで、イプシロン管理の問題が大幅に軽減されます。

— テレンス・タオ、「構造とランダム性」、アメリカ数学会（2008年）[ 1 ]

批判の本質は、非標準解析を用いて証明された結果の論理的地位とは直接関係しない。古典論理における従来の数学的基礎付けの観点からすれば、そのような結果は通常選択に強く依存するものの、まったく受け入れ可能である。 アブラハム・ロビンソンの非標準解析は、ツェルメロ–フランケル集合論(ZFC) を超える公理を必要としない (ヴィルヘルムス・ルクセンブルクの超実数の超冪構成によって明示的に示されているように)。一方、エドワード・ネルソンによるその変種である内部集合論は、同様にZFCの保守的な拡張である。[ 2 ]これにより、非標準解析の新しさは結果の範囲ではなく、完全に証明の戦略としての新しさであるという保証が得られる。さらに、現在一般的に使用されているアプローチである、例えば上部構造に基づくモデル理論的非標準解析は、ZFC を超える新しい集合論的公理を必要としない。

数学教育学の諸問題については、議論が続いている。また、非標準解析は、微小理論の目的を達成する唯一の候補ではない（滑らかな微小解析​​を参照）。フィリップ・J・デイビスは、ダイアン・ラヴィッチ著『 Left Back: A Century of Failed School Reforms』[ 3 ]の書評で次のように述べている[ 4 ]。

初等微積分学の指導のための非標準解析運動がありました。その評価はやや上昇しましたが、内部の複雑さと必要性の薄さから崩壊しました。

教室における非標準的な微積分は、K・サリバンによるシカゴ地域の学校を対象とした研究で分析されており、その影響は二次文献「非標準的な解析の影響」にも反映されています。サリバンは、非標準的な解析コースを受講した生徒は、標準的なシラバスを受講した対照群よりも、微積分の数学的形式主義の意味をよりよく解釈できることを示しました。これは、Artigue (1994) 172ページ、Chihara (2007)、およびDauben (1988)でも指摘されています。

司教の批判

エレット・ビショップの見解では、ロビンソンの非標準解析へのアプローチを含む古典数学は非構成的であり、したがって数値的意味に欠けていた（Feferman 2000 ）。ビショップは、エッセイ「数学の危機」（ Bishop 1975 ）で論じたように、教育における非標準解析の使用について特に懸念を抱いていた。具体的には、ヒルベルトの形式主義的プログラムを論じた後、彼は次のように記している。

形式的な技巧を用いた数学へのより最近の試みは、非標準解析である。これはある程度の成功を収めているように思われるが、その代償として、意味の薄い証明を与えることになったのかどうかは定かではない。私が非標準解析に興味を持つのは、微積分学の授業に導入しようとする試みがなされているからだ。意味の貶めがここまで進むとは信じ難い。

カッツ＆カッツ（2010）は、1974年のアメリカ芸術科学アカデミーのワークショップにおけるビショップの「危機」講演の後、参加した数学者や歴史家から多くの批判が表明されたと指摘している。しかし、参加者はビショップによるロビンソン理論の貶めについては一言も言及しなかった。カッツ＆カッツは、ビショップがワークショップでロビンソン理論について実際には一言も言及しておらず、貶めの発言は出版のゲラ刷り段階で付け加えられただけであったことが最近明らかになったと指摘している。これは、ワークショップで批判的な反応が見られなかった理由を説明する一助となる。カッツ＆カッツは、このことはビショップの誠実さに問題を引き起こすと結論付けている。出版されたテキストには、「貶め」の発言がゲラ刷り段階で付け加えられたため、ワークショップ参加者はそれを聞いていなかったという事実が記されておらず、ワークショップ参加者が発言に反対していないという誤った印象を与えている。

ビショップが教室における非標準的な解析の導入を「意味の劣化」と見なしていたことは、J・ドーベンによって指摘されている。[ 5 ] この用語は、ビショップの著書『現代数学における統合失調症』（1973年に初版が発行）の中で、次のように明確にされている（1985年、p.1）。

ブラウワーの古典数学に対する批判は、私が「意味の堕落」と呼ぶものに関係していました。

このように、ビショップはまず「意味の劣化」という用語を古典数学全体に適用し、後に教室におけるロビンソンの無限小数に適用した。ビショップは著書『構成的分析の基礎』（1967年、9ページ）の中で次のように記している。

私たちの計画はシンプルです。古典的な抽象解析に可能な限り数値的な意味を与えることです。私たちの動機は、ブラウワー（および他の人々）によって詳細に暴露された、古典数学には数値的な意味が欠けているという、よく知られたスキャンダルです。

ビショップの発言は、彼の講義に続く議論によって裏付けられている。[ 6 ]

  • ジョージ・マッキー（ハーバード大学）：「私はこうした疑問について考えたくありません。私がやっていることは、何らかの意味を持つと信じているからです…」
  • ギャレット・バーコフ（ハーバード大学）：「…ビショップ氏が訴えているのはまさにこれだと思います。私たちは自分の思い込みを常に把握し、偏見を持たないようにすべきです。」
  • シュリーラム・アビヤンカール（パーデュー大学）：「私の論文はビショップ氏の立場に完全に賛同するものである。」
  • JP カハネ(パリ大学)：「…ビショップの研究は尊敬すべきだが、退屈だと思う…」
  • ビショップ (UCSD)：「ほとんどの数学者は数学には意味があると感じていますが、それが何なのかを見つけようとするのは退屈です...」
  • カハネ：「ビショップの感謝の気持ちは、私の感謝の気持ちの欠如よりも大きいと感じています。」

ビショップのレビュー

ビショップは、ハワード・ジェローム・キースラー著『初等微積分学：無限小アプローチ』の書評を行いました。この本は、非標準解析の手法を用いて初等微積分学を解説しています。ビショップは指導教官のポール・ハルモスから書評を依頼されました。この書評は1977年にアメリカ数学会報に掲載されました。この論文は、教育における非標準解析の活用について議論する際に、 デイビッド・O・トール（Tall 2001 ）によって参照されています。トールは次のように書いています。

しかし、非標準的なアプローチでの選択公理の使用は、直観主義の伝統における概念の明示的な構築を主張したビショップ（1977）などの人々から極端な批判を招いている。

ビショップのレビューには、キースラーの本からの次のような引用がいくつか掲載されていました。

1960年、ロビンソンは無限小数の正確な扱い方を提示することで、300年来の難問を解決しました。ロビンソンの功績は、おそらく20世紀における数学の主要な進歩の一つに数えられるでしょう。

そして

実数直線について議論した際に、物理空間における直線が実際にはどのようなものかを知る術はないと述べました。それは超実数直線に似ているかもしれないし、実数直線に似ているかもしれないし、あるいはどちらでもないかもしれません。しかし、微積分の応用においては、物理空間における直線を超実数直線として想像することが有用です。

このレビューは、キースラーのテキストがこれらの主張を裏付ける証拠を示していないこと、そして学生にとって公理を満たす体系が存在するかどうかが明確でないにもかかわらず公理的なアプローチを採用していることを批判した（Tall 1980）。レビューは次のように結論づけている。

キースラーのアプローチによってもたらされた技術的な複雑さは、それほど重要ではありません。真の損害は、キースラーが（標準的な微積分の）素晴らしいアイデアを難読化し、その活力を失わせたことにあります。ニュートンやライプニッツの理論を持ち出しても、極限の通常の定義が複雑すぎるという理由で、公理V*やVI*を用いた微積分学の発展を正当化することはできません。

そして

無駄に思えるかもしれませんが、私はいつも微積分の学生たちに、数学は難解なものではなく常識だと教えています。（悪名高い極限の(ε, δ)-定義でさえ常識であり、さらに近似や推定といった重要な実践的問題の中心を成しています。）彼らは私の言葉を信じません。実際、その考えは彼らのこれまでの経験と矛盾するため、彼らを不安にさせるのです。今、私たちは、数学を難解で無意味な技術演習と捉えてきた彼らの経験を裏付けるための微積分の教科書を手に入れたのです。

回答

Keisler (1977, p. 269) は、 The Noticesの中で、次のように質問しています。

なぜ、ブレティン書評編集者のポール・ハルモスは構成主義者を評論家に選んだのでしょうか？

キースラー氏は、排中律（構成主義者によって否定されている）の使用をワインに例え、ハルモス氏の選択を「ワインを試飲させるために禁酒主義者を選ぶ」ことに例えた。

ビショップの書評はその後、同じ雑誌のマーティン・デイビスによって批判され、デイビス（1977）の1008ページに次のように書かれている。

キースラーの著書は、比較的最近まで微積分学の教育を支配し、応用数学の分野でも決して捨て去られることのない、直感的に示唆に富むライプニッツ的手法を復活させようとする試みである。エレット・ビショップによるキースラーの著書の書評を読んだ読者は、キースラーがまさにこれを試みていたとは想像しがたいだろう。なぜなら、書評ではキースラーの目的も、著書がそれをどの程度実現しているかについても触れられていないからだ。

デイビスは、ビショップが異議を唱えたと付け加えた（1008ページ）。

この反論がおそらく理解されるべき構成主義の文脈を読者に知らせずに。

物理学者ヴァディム・コムコフ（1977年、270ページ）は次のように書いています。

ビショップは、数学的解析における構成的アプローチを支持する第一人者の一人です。構成主義者にとって、実数を超実数に置き換える理論に共感を示すことは困難です。

非標準的な分析が建設的に実行できるかどうかに関わらず、コムコフはビショップの側に根本的な懸念があることを認識した。

数学哲学者ジェフリー・ヘルマン（1993、p.222）は次のように書いています。

ビショップの発言（1967 年）のいくつかは、彼の立場が [急進的構成主義者] のカテゴリーに属することを示唆しています...

数学史家ジョセフ・ドーベンは、ビショップの批判を（1988年、192ページ）で分析した。非標準解析の「成功」を引用した後、

最も初歩的なレベルで導入できるもの、つまり、微積分が初めて教えられるレベルにおいて、

ダウベン氏は次のように述べた。

非標準的な分析が機能する意味には、より深いレベルもあります。

ドーベン氏は、「印象的な」アプリケーションについて次のように述べています。

物理学、特に量子論と熱力学、そして交換経済の研究が非標準的な解釈に特に適している経済学において。

この「より深い」意味のレベルで、ダウベンは次のように結論づけた。

ビショップの見解は、非標準的な分析に対する彼の反対と同様に、教育的に疑問視され、根拠がないことが示される可能性がある。

多くの著者がビショップの書評の論調についてコメントしている。アルティーグ（1992）は「激しい」、ドーベン（1996）は「辛辣な」、デイビスとハウザー（1978）は「敵対的な」、トール（2001）は「極端」と評した。

イアン・スチュワート(1986) は、ハルモスがビショップにキースラーの本を書評するよう依頼したことを、マーガレット・サッチャーに『資本論』を書評するよう依頼したことと比較した。

カッツ＆カッツ（2010）は次のように指摘している。

ビショップはリンゴがオレンジではないことを批判している。批判者（ビショップ）と批判される側（ロビンソンの非標準的な分析）は共通の基礎的枠組みを共有していない。

彼らはさらに、

ビショップは排中律の根絶に熱中していたため、非標準解析に対する批判と同じくらい辛辣な態度で古典数学全体を批判するに至った。

G. ストルツェンベルグは、ビショップの書評に対するキースラーのノーティス批判に対して、やはりノーティスに掲載された手紙の中で反応した。 [ 7 ]ストルツェンベルグは、ビショップによるキースラーの微積分学の本の書評に対する批判は構成主義的な考え方に基づいてなされたという誤った仮定に基づいているが、ストルツェンベルグはビショップがそれを本来の読解方法、つまり古典的な考え方で読んだと信じている。

コヌの批判

「自然発生的対称性と視覚スペクトルの幾何学の問題」、Journal of Geometry and Physics 23 (1997)、206–234 の中で、Alain Connes は次のように書いています。

非標準解析、すなわち非標準実数によって得られる答えも同様に残念なものである。すべての非標準実数は、区間[0, 1]の（ルベーグ）非測定部分集合を標準的に決定するため、単一の[非標準実数]を示すことは不可能である（Stern, 1985）。我々が提案する形式論は、この問題に対して実質的かつ計算可能な答えを与えるだろう。

1995年の論文「非可換幾何学と現実」において、コンヌはヒルベルト空間の作用素に基づく無限小計算を展開する。彼はさらに、「非標準解析の形式主義が自身の目的に不十分である理由を説明する」。コンヌはロビンソンの超実数について、以下の3つの側面を指摘している。

（１）非標準的な超実数は「示すことができない」（その理由は非測定集合との関係にある）

（2）「このような概念の実用的利用は、最終結果が上記の無限小値の正確な値に依存しない計算に限定される。これは、非標準解析と超積が使用される方法である[...]」。

（３）超実数は可換である。

カッツとカッツは、コンヌの非標準解析に対する批判を分析し、具体的な主張(1)と(2)に異議を唱えている。[ 8 ] (1)に関しては、コンヌ自身の無限小も同様に、ディクスミア痕跡の存在といった非構成的な基礎材料に依存している。(2)に関しては、コンヌは無限小の選択の独立性を自身の理論の 特徴として提示している。

Kanovei et al. (2012) は、非標準数が「キメラ的」であるというコンヌの主張を分析している。彼らは、コンヌの批判の本質は超フィルタが「キメラ的」であるという点にあり、コンヌが関数解析における初期の研究において超フィルタを本質的な形で利用していたことを指摘している。彼らは、超実数理論は単なる「仮想」に過ぎないとするコンヌの主張を分析している。コンヌがロバート・ソロヴェイの研究に言及していることから、コンヌは超実数が定義不可能であるという理由で批判しようとしていることが示唆される。もしそうであれば、ウラジミール・カノヴェイとサハロン・シェラ(2004)が構築した超実数の定義可能なモデルの存在を考えると、超実数に関するコンヌの主張は明らかに誤りである。Kanovei et al. (2012) はまた、1995 年から 2007 年にかけてコンヌが非標準的な分析を非難するために使った、ますます辛辣になる罵詈雑言の年表を提供している。その罵詈雑言は「不十分」や「期待はずれ」から始まり、「『明示的』であることの終焉」で終わる。

カッツとライヒトナム（2013）は、「ロビンソンの微小アプローチに対するコンヌの批判の3分の2は、コンヌが自身の微小アプローチについて（好意的に）書いている内容と一貫していないという点で、矛盾していると言える」と指摘している。

ハルモス氏の発言

ポール・ハルモスは「不変部分空間」、アメリカ数学月刊誌85（1978）182-183で次のように書いている。

多項式コンパクト作用素への拡張は、バーンスタインとロビンソン（1966）によって達成されました。彼らはその結果を非標準解析と呼ばれるメタ数学言語で提示しましたが、すぐに認識されたように、それは個人的な好みの問題であり、必要性の問題ではありませんでした。

ハルモスは (Halmos 1985) の中で次のように書いています (p. 204)。

バーンスタイン・ロビンソンによる[ハルモスの不変部分空間予想の]証明は、高階述語言語の非標準モデルを使用しており、[ロビンソン]が私にその再版を送ってくれたとき、私はその数学的洞察を正確に指摘し、翻訳するのに本当に苦労しなければなりませんでした。

ハルモスは「数学における非標準解析の役割」についてコメントしながら次のように書いている（204 ページ）。

これに反対する他の数学者（例えば、Errett Bishop）にとって、これは同様に感情的な問題です...

ハルモスは非標準解析についての議論を次のように結論づけている（p. 204）。

これは特別なツールです。あまりにも特別で、他のツールでも同じことができます。すべては好みの問題です。

カッツ＆カッツ（2010）は、

ロビンソンの理論を評価したいというハルモスの熱意は、利害の衝突を伴っていた可能性がある [...] ハルモスは、バーンスタイン-ロビンソンの結果の翻訳に、相当な感情的エネルギー (そして自伝で印象的に述べているように、汗) を注ぎ込んだ [...] [彼の] 率直で不快なコメントは、ロビンソンの理論の最初の華々しい応用の 1 つに対する衝撃をそらすという、翻訳家としての彼の試みを、遡及的に正当化しているように思われる。

ボス氏とメドベージェフ氏のコメント

ライプニッツの歴史家ヘンク・ボス（1974）は、ロビンソンの超実数が

[a] 無限に小さい量と無限に大きな量を受け入れるという不安定な基盤の上に微積分が発展できる理由についての予備的な説明。

F.メドヴェージェフ（1998）はさらに次のように指摘している。

非標準解析は、古典解析学の歴史における初期のアプローチと結びついた繊細な問いへの答えを可能にする。もし無限に小さい量と無限に大きい量が矛盾した概念とみなされるならば、それらはどのようにして、最も重要な数学分野の一つであるこれほど壮大な建造物の構築の基礎となり得たのだろうか？

参照

注記

  1. ^ Tao, T.: 構造とランダム性. 数学ブログ1年目のページ. アメリカ数学会, プロビデンス, ロードアイランド, 2008. p. 55.
  2. ^これは、ウィリアム・パウエルが書いた付録にあるエドワード・ネルソンの AMS 1977 論文に示されています
  3. ^ダイアン・ラヴィッチ（2000年）『レフトバック：失敗した学校改革の1世紀』ニューヨーク：サイモン＆シュスター、ISBN 0684844176. OCLC  43790988 .
  4. ^ Philip, J. Davis (2001年4月9日). 「SIAM：教育への熱意とその批判」 . archive.siam.org . 2018年12月2日閲覧。
  5. ^ドナルド・ギリーズ著『数学革命』（1992年）76ページ。
  6. ^ビショップ 1975 .
  7. ^ストルツェンベルグ 1978 .
  8. ^ Katz & Katz (2011)を参照

参考文献

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