非標準微積分

数学において、非標準微積分学とは、非標準解析学の意味で無限小を無限小微積分学に現代的に応用したものである。これは、これまで単なる発見的問題と考えられていた微積分学の議論に、厳密な正当性を与える。

無限小値を用いた非厳密な計算は、カール・ワイエルシュトラスが1870年代に(ε, δ)-極限定義を導入して置き換えようとする以前から広く用いられていました。その後ほぼ100年間、リチャード・クーラントをはじめとする数学者は、無限小値を素朴で曖昧、あるいは無意味なものとみなしていました。^{[ 1 ]}

このような見解とは対照的に、エイブラハム・ロビンソンは1960年に、エドウィン・ヒューイットとイェジー・ウォシュの研究を基に、無限小数は正確で明確かつ意味のあるものであることを示しました。ハワード・キースラーによれば、「ロビンソンは無限小数を正確に扱うことで、300年来の問題を解決した。ロビンソンの功績は、おそらく20世紀における主要な数学的進歩の一つに数えられるだろう。」^{[ 2 ]}

歴史

非標準微積分学の歴史は、微積分学において無限小量と呼ばれる無限に小さな量の使用から始まりました。無限小量の使用は、1660年代以降、ゴットフリート・ライプニッツとアイザック・ニュートンがそれぞれ独立に発展させた微積分学の基礎に見出すことができます。ジョン・ウォリスは、面積計算において彼が示した無限小量を利用することで、カヴァリエリらによる初期の不可分量の手法を改良し、積分積分学の基礎を築きました。^{[ 3 ]}彼らは、ピエール・ド・フェルマー、アイザック・バロー、ルネ・デカルトといった数学者の研究を参考にしました。 ${\displaystyle {\tfrac {1}{\infty }}}$

初期の微積分学では、微小量の使用は多くの著者によって批判されていましたが、最も有名なのはミシェル・ロールとビショップ・バークレーの著書『アナリスト』です。

マクローリンやダランベールを含む多くの数学者が極限の使用を提唱した。オーギュスタン＝ルイ・コーシーは、無限小数による連続性の定義や、微分法における（やや不正確ではあるが） ε, δ 引数のプロトタイプなど、多様な基礎的アプローチを開発した。カール・ワイエルシュトラスは、無限小数を含まない（実）数体系の文脈において極限の概念を定式化した。ワイエルシュトラスの研究に続き、微積分学は最終的に無限小数ではなくε, δ 引数に基づくことが一般的となった。

ワイエルシュトラスによって形式化されたこのアプローチは、標準微積分として知られるようになりました。微積分における微小アプローチは、入門教育ツールとして以外では長年使われなくなっていましたが、 1960年代にエイブラハム・ロビンソンによって、微小量の使用はついに厳密な基盤を与えられました。ロビンソンのアプローチは、極限の標準的な使用法と区別するために、非標準解析と呼ばれています。このアプローチは、数理論理学の技術的手法を用いて、ライプニッツ流の微積分規則の展開を可能にする方法で微小量を解釈する超実数理論を構築しました。エドワード・ネルソンによって開発された代替アプローチは、微小量を通常の実数直線自体に見出し、新しい単項述語「標準」を導入することでZFCを拡張することにより、基礎設定を修正します。

モチベーション

xにおける関数の導関数を計算する場合、どちらのアプローチも代数操作は一致します。 ${\displaystyle f'}$ ${\displaystyle y=f(x)=x^{2}}$

${\displaystyle {\frac {\Delta y}{\Delta x}}={\frac {(x+\Delta x)^{2}-x^{2}}{\Delta x}}={\frac {2x\Delta x+(\Delta x)^{2}}{\Delta x}}=2x+\Delta x\approx 2x}$

が無限小として解釈され、記号「」が「無限に近い」という関係である 場合、これは超実数を使用した導関数の計算になります。${\displaystyle \Delta x}$ ${\displaystyle \approx}$

f ' を実数値関数にするために、最後の項は省略されます。実数のみを用いる標準的なアプローチでは、 がゼロに近づく極限をとることでこれを実現します。超実数アプローチでは、 は無限小、つまりどの非ゼロ実数よりも 0 に近い非ゼロ数とされます。上記の操作により、 は2 xに無限に近いことが示され、したがってfのxにおける導関数は 2 xとなります。 ${\displaystyle \Delta x}$ ${\displaystyle \Delta x}$ ${\displaystyle \Delta x}$ ${\displaystyle \デルタ y/\デルタ x}$

「誤差項」の除去は、標準部分関数を適用することで実現されます。微小誤差項の除去は、歴史的にジョージ・バークリーをはじめとする一部の研究者によって逆説的であると考えられてきました。

超実数体系（無限小が豊富な連続体）が確立されれば、基礎レベルの技術的な難しさの大部分をうまく取り入れることができます。したがって、解析学の真髄と一部の人々が考えるイプシロン・デルタ技法を基礎レベルで一度で完全に実装することができ、学生は「無限小微積分学を学んでいるふりをして、多重量化子を使った論理的奇策を披露する」必要がありません（最近の研究を引用）。^{[ 4 ]}より具体的には、連続性、微分、積分といった微積分学の基本概念は、イプシロン・デルタを参照することなく、無限小を用いて定義できます。

キースラーの教科書

Keisler著『初等微積分学：無限小アプローチ』の125ページでは、連続性はイプシロン法やデルタ法を除いた無限小数を用いて定義されています。微分は45ページでイプシロン・デルタ法ではなく無限小数を用いて定義されています。積分は183ページで無限小数を用いて定義されています。イプシロン・デルタ法の定義は282ページで紹介されています。

デリバティブの定義

超実数は、数学の他の分野で用いられる集合論の標準的な公理化であるツェルメロ・フランケル集合論の枠組みで構築できる。超実数アプローチの直感的な概念を説明すると、単純に言えば、非標準解析では、無限に小さい正の数 ε の存在が仮定されている。つまり、ε は標準的な正の実数よりも小さく、かつ0より大きい。すべての実数xは、それに無限に近い超実数の無限小の「雲」に囲まれている。このアプローチでは、標準的な実数xにおけるfの微分を定義するために、標準的な微積分学のような無限極限過程はもはや必要ない。その代わりに、

${\displaystyle f'(x)=\mathrm {st} \left({\frac {f^{*}(x+\varepsilon )-f^{*}(x)}{\varepsilon }}\right),}$

ここで、stは標準部分関数であり、 stの超実数引数に無限に近い実数を生成し、 は超実数へ の の自然な拡張です。${\displaystyle f^{*}}$ ${\displaystyle f}$

連続

実関数fが標準実数xにおいて連続であるとは、 xに無限に近い任意の超実数x'に対して、値f ( x' ) もf ( x )に無限に近いことを言う。これは、コーシーが1821年に出版した教科書『Cours d'Analyse』34ページで示した連続性の定義を捉えている。

ここで正確に言うと、f は、通常f ^*と表記されるその自然な超実拡張に置き換える必要があります。

上記のように無限に近い関係の 表記法を使用すると、定義は次のように任意の（標準または非標準の）ポイントに拡張できます。${\displaystyle \approx}$

関数fがxにおいて微分連続であるとは、${\displaystyle x'\approx x}$ ${\displaystyle f^{*}(x')\approx f^{*}(x)}$

ここで、点 x' はf （の自然拡張）の領域内にあると仮定します。

上記は標準的な初等微積分学でおなじみの ( ε ,  δ ) 定義よりも少ない量指定子を必要とします。

fがxで連続であるとは、任意のε > 0 に対してδ > 0 が存在し、 任意のx'に対して、| x  −  x' | <  δ のときはいつでも、| f ( x ) −  f ( x' )| <  εが成り立つ場合です。

均一な連続性

区間I上の関数fが一様連続であるとは、その区間I *における自然拡大f *が次の性質を持つことを意味する。^{[ 5 ]}

I *内の超実数xとyのすべてのペアに対して、 であれば、 となります。 ${\displaystyle x\approx y}$ ${\displaystyle f^{*}(x)\approx f^{*}(y)}$

前のセクションで定義したミクロ連続性の観点から、これは次のように述べることができます。実関数が一様連続であるとは、その自然拡張 f* が f* の定義域のあらゆる点でミクロ連続である場合です。

この定義は、標準的な(ε, δ)定義と比較して、量指定子の複雑さが低減されています。つまり、一様連続性のイプシロン-デルタ定義には4つの量指定子が必要ですが、無限小定義には2つの量指定子しか必要ありません。これは、標準的な微積分における数列を用いた一様連続性の定義と同じ量指定子の複雑さを持ちますが、実数の 第一階言語では表現できません。

超現実的な定義は、次の 3 つの例で説明できます。

例 1: 関数fが半開区間 (0,1] 上で一様連続であるためには、その自然拡張 f* が区間の標準点で連続することに加えて、すべての正の無限小でミクロ連続 (上記の式の意味で) である必要があります。

例 2: 関数fが半開区間 [0,∞) 上で一様連続である場合、かつその場合のみ、関数 f は区間の標準点で連続であり、さらに、自然な拡張f * はすべての正の無限超実点でミクロ連続である。

例3：同様に、平方関数の一様連続性の破れ

${\displaystyle x^{2}}$

これは、単一の無限超実数点におけるミクロ連続性の欠如によるものです。

量指定子の複雑さに関して、ケビン・ヒューストンは次のような発言をしている。^{[ 6 ]}

数式における量指定子の数は、その文の複雑さを大まかに表します。3つ以上の量指定子を含む文は理解しにくい場合があります。解析学における極限、収束、連続性、微分可能性といった厳密な定義を理解するのが難しいのは、主に量指定子の数が多いためです。実際、複雑さの原因は、 との交代にあります。${\displaystyle \forall }$ ${\displaystyle \exists }$

アンドレアス・ブラスは次のように書いています。

多くの場合、非標準的な概念の定義は標準的な定義よりも単純です（直感的に単純であるだけでなく、より低い型に対する量指定子や量指定子の交替が少ないなど、技術的な意味でも単純です）。^{[ 7 ]}

コンパクトさ

集合 A がコンパクトであるためには、その自然拡大 A* に次の特性が必要です: A* のすべての点は A の点に無限に近い。したがって、開区間 (0,1) はコンパクトではありません。なぜなら、その自然拡大には、どの正の実数にも無限に近くない正の無限小が含まれるからです。

ハイネ・カントール定理

コンパクト区間I上の連続関数は必然的に一様連続であるという事実（ハイネ・カントール定理）は、簡潔な超実数による証明が可能である。x、y をIの自然拡大I*における超実数とする。I はコンパクトであるため、 st( x ) と st( y ) はともにIに属する。もしxとyが無限に近い場合、三角不等式より、それらは同じ標準部分を持つことになる。

${\displaystyle c=\operatorname {st} (x)=\operatorname {st} (y).}$

関数はcで連続であると仮定されるので、

${\displaystyle f(x)\approx f(c)\approx f(y),}$

したがって、f ( x ) とf ( y ) は無限に近くなり、fの一様連続性が証明されます。

なぜ二乗関数は均一に連続しないのでしょうか?

上で定義されたf ( x ) = x ²とする。 を無限超実数とする。超実数はNに無限に近い。一方、差は ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle N\in \mathbb {R} ^{*}}$ ${\displaystyle N+{\tfrac {1}{N}}}$

${\displaystyle f(N+{\tfrac {1}{N}})-f(N)=N^{2}+2+{\tfrac {1}{N^{2}}}-N^{2}=2+{\tfrac {1}{N^{2}}}}$

は無限小ではない。したがって、f*は超実点Nにおいて微分連続ではない。したがって、上記の一様連続性の定義によれば、2乗関数は一様連続ではない。

標準的な設定でも同様の証明を与えることができる（Fitzpatrick 2006、例3.15）。

例: ディリクレ関数

ディリクレ関数を考える

${\displaystyle I_{Q}(x):={\begin{cases}1&{\text{ }}x{\text{ が有理数の場合}},\\0&{\text{ }}x{\text{ が無理数の場合}}.\end{cases}}}$

連続性の標準的な定義によれば、関数はどの点においても不連続であることはよく知られています。これを、上記の超実数連続性の定義に照らして確認してみましょう。たとえば、ディリクレ関数が π で連続していないことを示しましょう。π の連分数近似 a _{n を}考えます。ここで、指数 n を無限超自然数とします。転送原理により、ディリクレ関数の自然拡張は a _nにおいて値 1 を取ります。超有理点 a _nは π に無限に近いことに注意してください。したがって、ディリクレ関数の自然拡張は、これら 2 つの無限に近い点で異なる値 (0 と 1) を取り、ディリクレ関数は πで連続していません。

制限

ロビンソンのアプローチの主旨は、多重量化子を用いるアプローチを省くことができるということであるが、極限の概念は標準的な部分関数stによって簡単に再現することができる。すなわち、

${\displaystyle \lim _{x\to a}f(x)=L}$

差x  −  aが無限小であるときはいつでも、差f ( x ) −  Lも無限小であるとき、または式では次のようになります。

st( x ) = a  ならば st( f ( x )) = L となる。

参照。(ε, δ)-極限の定義。

シーケンスの限界

実数列が与えられ、Lが列の 極限であり、${\displaystyle \{x_{n}\mid n\in \mathbb {N} \}}$ ${\displaystyle L\in \mathbb {R} }$

${\displaystyle L=\lim _{n\to \infty }x_{n}}$

あらゆる無限超自然nに対して、 st( x _n )= Lが成り立つ場合（ここで拡張原理を使用して、あらゆる超整数nに対してx _nを定義します）。

この定義には量指定子の交替はありません。一方、 標準的な(ε, δ)型の定義には量指定子の交替があります。

${\displaystyle L=\lim _{n\to \infty }x_{n}\Longleftrightarrow \forall \varepsilon >0\;,\exists N\in \mathbb {N} \;,\forall n\in \mathbb {N} :n>N\rightarrow |x_{n}-L|<\varepsilon .}$

極値定理

[0,1]上の実連続関数fが最大値を持つことを示すために、Nを無限超整数とする。区間[0,1]は自然な超実拡張を持つ。関数fは0と1の間の超実数にも自然に拡張される。超実数区間[0,1]を、等しい無限小長さ1/ NのN個の部分区間に分割し、 iが0からNまで「移動する」ときに分割点x _i  = i  / Nとすることを考えよう。標準的な設定（Nが有限の場合）では、 fの最大値を持つ点は、N +1個の点x _iの中から常に帰納法によって選択できる。したがって、転移原理により、 0 ≤ i ₀  ≤ Nかつすべてのi  = 0, …,  Nに対して成り立つ超整数i ₀が存在する（別の説明として、すべての超有限集合は最大値を持つということがある）。実数点 ${\displaystyle f(x_{i_{0}})\geq f(x_{i})}$

${\displaystyle c={\rm {st}}(x_{i_{0}})}$

ここでstは標準部分関数である。任意の実数点xは、分割の適切な部分区間、すなわちst ( x _i ) = xとなる区間に存在する。stを不等式に適用すると、fの連続性により、 ${\displaystyle x\in [x_{i},x_{i+1}]}$ ${\displaystyle f(x_{i_{0}})\geq f(x_{i})}$ ${\displaystyle {\rm {st}}(f(x_{i_{0}}))\geq {\rm {st}}(f(x_{i}))}$

${\displaystyle {\rm {st}}(f(x_{i_{0}}))=f({\rm {st}}(x_{i_{0}}))=f(c)}$ 。

したがって、すべてのxに対してf ( c )≥f ( x )となり、 cは実関数fの最大値であることが証明される。^{[ 8 ]}

中間値定理

ロビンソンのアプローチの威力を示すもう 1 つの例として、無限小数を使用した中間値定理(ボルザノの定理)の簡単な証明を次に示します。

f を[ a , b ]上の連続関数とし、f ( a )<0 かつf ( b )>0とする。すると、 [ a , b ] 上に点cが存在し、 f ( c )=0となる。

証明は次のように進む。Nを無限超整数とする。[ a , b ]をN 個の等しい長さの区間に分割し、 i が0 からNまで変化するとき、分割点x _iを考える。f ( x _i )>0 となるような添え字の集合Iを考える。i 0_をIの最小の元とする（ Iは超有限集合であるため、そのような元は転送原理によって存在する）。すると、実数は f の望ましい零点となる。このような証明は、IVT の標準的な証明における 量指定子の複雑さを軽減する。$${\displaystyle c=\mathrm {st} (x_{i_{0}})}$$

基本定理

f が区間 [ a , b ] 上で定義された実数値関数である場合、 fに適用される転送演算子 ( *fで表されます) は、超実区間 [* a , * b ] 上で定義された内部の超実数値関数です。

定理：fを区間[ a , b ]で定義された実数値関数とする。fがa<x<bで微分可能であることと、任意 の非零無限小hに対して、

${\displaystyle \Delta _{h}f:=\operatorname {st} {\frac {[{}^{*}\!f](x+h)-[{}^{*}\!f](x)}{h}}}$

はhに依存しません。その場合、共通の値はxにおけるfの微分です。

この事実は、非標準分析とオーバースピルの転送原理から生じます。

無限小値hの符号が適切に制限されている限り、端点a、b での微分可能性についても同様の結果が成り立つことに注意してください。

第二定理では、リーマン積分は、もし存在するならば、リーマン和の有向族の極限として定義される。これらは、

${\displaystyle \sum _{k=0}^{n-1}f(\xi _{k})(x_{k+1}-x_{k})}$

どこ

${\displaystyle a=x_{0}\leq \xi _{0}\leq x_{1}\leq \ldots x_{n-1}\leq \xi _{n-1}\leq x_{n}=b.}$

このような値の列はパーティションまたはメッシュと呼ばれ、

${\displaystyle \sup _{k}(x_{k+1}-x_{k})}$

メッシュの幅。リーマン積分の定義では、リーマン和の極限はメッシュの幅が0に近づくにつれてとられる。

定理：fを区間[ a , b ]上で定義された実数値関数とする。fが[ a , b ]上でリーマン積分可能であることと、無限小幅の内部メッシュに対して、

${\displaystyle S_{M}=\operatorname {st} \sum _{k=0}^{n-1}[*f](\xi _{k})(x_{k+1}-x_{k})}$

はメッシュに依存しません。この場合、共通値は[ a , b ]におけるfのリーマン積分です。

アプリケーション

すぐに実行できる応用としては、微分と積分の標準的な定義を超実数の区間上の 内部関数に拡張することが挙げられます。

[ a, b ]上の内部超実数値関数fは、 xにおいてS微分可能であり、

${\displaystyle \Delta _{h}f=\operatorname {st} {\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}}$

は存在し、無限小hに依存しません。値はxにおけるS微分です。

定理：fは[ a, b ]の任意の点においてS微分可能とする（ただしb − aは有界超実数）。さらに、

${\displaystyle |f'(x)|\leq M\quad a\leq x\leq b.}$

そして、ある無限小のε

${\displaystyle |f(b)-f(a)|\leq M(b-a)+\epsilon .}$

これを証明するには、Nを非標準の自然数とします。区間[ a , b ]をN −1個の等間隔の中間点 を配置してN個の部分区間に分割します。

${\displaystyle a=x_{0}<x_{1}<\cdots <x_{N-1}<x_{N}=b}$

それから

${\displaystyle |f(b)-f(a)|\leq \sum _{k=1}^{N-1}|f(x_{k+1})-f(x_{k})|\leq \sum _{k=1}^{N-1}\left\{|f'(x_{k})|+\epsilon _{k}\right\}|x_{k+1}-x_{k}|.}$

ここで、任意の無限小の内部集合の最大値は無限小である。したがって、すべてのε _kは無限小 ε によって支配される。したがって、

${\displaystyle |f(b)-f(a)|\leq \sum _{k=1}^{N-1}(M+\epsilon )(x_{k+1}-x_{k})=M(b-a)+\epsilon (b-a)}$

そこから結果が導き出されます。

参照

• 平等
• アルキメデスの無限小数点の使用
• 非標準分析に対する批判
• 微分（数学）
• 初等微積分学：微小アプローチ
• 非古典的分析
• 微積分の歴史

注記

1. クーラントは『微分積分学』第1巻の81ページで、無限小について「明確な意味を欠き」「素朴な曖昧さ」と述べている。同様に101ページでも、クーラントは無限小を「数学に求められる概念の明晰さとは相容れない」「全く意味をなさない」「基礎を覆い隠す霧」「漠然とした概念」と表現している。
2. 初等微積分学：無限小アプローチ、p. iv.
3. スコット、JF 1981.「ジョン・ウォリス（DD、FRS、1616-1703）の数学的著作」チェルシー出版社、ニューヨーク、ニューヨーク州、p.18。
4. Katz, Mikhail ; Tall, David (2011), 「直観的無限小と形式的数学的解析の緊張」、Bharath Sriraman編著。数学史と数学教育史の交差点。モンタナ数学愛好家のための数学教育モノグラフ12、Information Age Publishing, Inc.、シャーロット、ノースカロライナ州、arXiv : 1110.5747、Bibcode : 2011arXiv1110.5747K
5. Keisler, 微積分学の基礎 ('07), p. 45
6. ケビン・ヒューストン著『数学者のように考える方法』ISBN 978-0-521-71978-0
7. Blass, Andreas (1978)、「レビュー：Martin Davis『応用非標準解析』、KD StroyanとWAJ Luxemburg『無限小理論入門』、H. Jerome Keisler『無限小計算の基礎』」、Bull. Amer. Math. Soc.、84 (1): 34– 41、doi : 10.1090/S0002-9904-1978-14401-2、37ページ。
8. キースラー（1986年、164ページ）

参考文献

• フィッツパトリック、パトリック（2006）、上級微積分学、ブルックス/コール
• H. ジェローム・キースラー著『初等微積分学：無限小法を用いたアプローチ』。初版1976年、第2版1986年。（本書は現在絶版です。出版社は著作権を著者に返還し、著者は第2版を.pdf形式でhttps://www.math.wisc.edu/~keisler/calc.htmlからダウンロードできるようにしています。）
• H. ジェローム・キースラー著『微積分学の基礎』はhttps://www.math.wisc.edu/~keisler/foundations.htmlからダウンロードできます(2007 年 1 月 10 日)
• ブラス、アンドレアス (1978)、「レビュー：マーティン・デイビス『応用非標準解析』、KDストロヤンとWAJルクセンブルク『無限小理論入門』、H.ジェローム・キースラー『無限小計算の基礎』」、アメリカ数学会誌、84 (1): 34– 41、doi : 10.1090/S0002-9904-1978-14401-2
• バロン、マーガレット・E .：微積分の起源。ペルガモン・プレス、オックスフォード・エディンバラ・ニューヨーク、1969年。ドーバー・パブリケーションズ社、ニューヨーク、1987年。（バロンの著書の新版は2004年に出版された）
• 「微積分」、数学百科事典、EMSプレス、2001 [1994]

外部リンク

• Keisler, H. Jerome (2007). 『初等微積分学：無限小アプローチ』 Dover Publications. ISBN 978-0-48-648452-5。オンライン版（2022年）

• ヘンレ、ジェームス M.クラインバーグ、ユージン M. (1979)。無限微積分。ドーバー出版。ISBN 978-0-48-642886-4。インターネットアーカイブの微積分学

• ベンジャミン・クロウェル著『Brief Calculus』（2005年、2015年改訂）。この短いテキストは、授業での使用よりも、自習や復習用に作られています。無限小数は適切な場面で使用されており、トンプソンの『Calculus Made Easy』のような古い書籍よりも厳密に扱われていますが、キースラーの『Elementary Calculus: An Approach Using Infinitesimals』ほど詳細ではありません。