曲線座標

2次元空間における曲線座標（上）、アフィン座標（右）、直交座標（左）

幾何学において、曲線座標系はユークリッド空間における座標系であり、座標線は曲線となる場合がある。これらの座標系は、各点において局所的に可逆な変換（一対一写像）を用いることで、直交座標系から導出することができる。つまり、直交座標系で与えられた点を曲線座標系に変換し、またその逆も可能である。曲線座標という名称は、フランスの数学者ラメによって造られ、曲線座標系の 座標面が曲線であることに由来する。

三次元ユークリッド空間 ( R ³ )における曲線座標系のよく知られた例としては、円筒座標系と球面座標系があります。この空間における直交座標面は座標平面であり、例えばz = 0 はx - y平面を定義します。同じ空間において、球面座標系における座標面r = 1 は単位球面であり、曲面となっています。曲線座標系の形式論は、標準座標系の統一的かつ一般的な記述を提供します。

曲線座標は、例えばスカラー、ベクトル、テンソルといった物理量の位置や分布を定義するためによく用いられます。ベクトル解析やテンソル解析においてこれらの量を含む数式（勾配、発散、回転、ラプラシアンなど）は、スカラー、ベクトル、テンソルの変換規則に従って、ある座標系から別の座標系に変換することができます。変換後の数式は、あらゆる曲線座標系において有効となります。

アプリケーションによっては、曲線座標系の方が直交座標系よりも簡単に使用できる場合があります。中心力の影響下にある粒子の運動は、通常、直交座標よりも球座標で解く方が簡単です。これは、 R ³で定義されている球対称性を持つ多くの物理的問題に当てはまります。特定の曲線座標系の座標面に従う境界条件を持つ方程式は、その系で解く方が簡単な場合があります。直交座標を使用して長方形の箱の中の粒子の運動を記述することもできますが、球面内の運動を記述する方が球座標の方が簡単です。球座標は最も一般的な曲線座標系で、地球科学、地図作成、量子力学、相対性理論、工学で使用されます。

3次元の直交曲線座標

座標、基底、ベクトル

図 1 - 一般曲線座標の座標面、座標線、座標軸。

図2 - 球面座標の座標面、座標直線、座標軸。面：r - 球面、θ - 円錐、Φ - 半平面。直線：r - 直線梁、θ - 垂直半円、Φ - 水平円。 軸：r - 直線梁、θ - 垂直半円の接線、Φ - 水平円の接線

ここでは3次元空間を考えます。3次元空間内の点P （またはその位置ベクトルr ）は、直交座標（ x , y , z）（（x ¹ , x ² , x ³）と表記）を用いて定義できます。ここで、 e _x、e _y、e _zは標準基底ベクトルです。 ${\displaystyle \mathbf {r} =x\mathbf {e} _{x}+y\mathbf {e} _{y}+z\mathbf {e} _{z}}$

この3つの数値の組み合わせが単一の点を一義的に定義するならば、曲線座標（q ¹、q ²、q ³ ）によっても定義できる。この場合、座標間の関係は可逆な変換関数によって与えられる。

${\displaystyle x=f^{1}(q^{1},q^{2},q^{3}),\,y=f^{2}(q^{1},q^{2},q^{3}),\,z=f^{3}(q^{1},q^{2},q^{3})}$

${\displaystyle q^{1}=g^{1}(x,y,z),\,q^{2}=g^{2}(x,y,z),\,q^{3}=g^{3}(x,y,z)}$

q ¹ = 定数、q ² = 定数、q ³ = 定数の面は座標面と呼ばれ、それらの交差によって形成される空間曲線は座標曲線と呼ばれます。座標軸は、3つの面の交差における座標曲線の接線によって決定されます。座標軸は、単純な直交座標の場合のように空間内で一般に固定された方向にあるわけではなく、したがって、曲線座標には一般に自然な全体的基底は存在しません。

直交座標系では、標準基底ベクトルは点Pの位置を局所座標に対して 微分することで導出できる。

${\displaystyle \mathbf {e} _{x}={\dfrac {\partial \mathbf {r} }{\partial x}};\;\mathbf {e} _{y}={\dfrac {\partial \mathbf {r} }{\partial y}};\;\mathbf {e} _{z}={\dfrac {\partial \mathbf {r} }{\partial z}}.}$

同じ導関数を点Pの局所的な曲線系に適用すると、自然な基底ベクトルが定義されます。

${\displaystyle \mathbf {h} _{1}={\dfrac {\partial \mathbf {r} }{\partial q^{1}}};\;\mathbf {h} _{2}={\dfrac {\partial \mathbf {r} }{\partial q^{2}}};\;\mathbf {h} _{3}={\dfrac {\partial \mathbf {r} }{\部分 q^{3}}}.}$

ベクトルの方向や大きさが点ごとに変化する基底は、局所基底と呼ばれます。曲線座標系に関連付けられたすべての基底は、必然的に局所基底です。すべての点で同じ基底ベクトルは、大域基底と呼ばれ、線形座標系またはアフィン座標系にのみ関連付けることができます。

この記事では、eは標準基底(直交座標)用に予約されており、 hまたはb は曲線基底用に予約されています。

これらは単位長さを持たない場合があり、直交しない場合もあります。導関数が明確に定義されているすべての点で直交している場合、ラメ係数を定義します。（ガブリエル・ラメに倣って）

${\displaystyle h_{1}=|\mathbf {h} _{1}|;\;h_{2}=|\mathbf {h} _{2}|;\;h_{3}=|\mathbf {h} _{3}|}$

そして、曲線直交基底ベクトルは

${\displaystyle \mathbf {b} _{1}={\dfrac {\mathbf {h} _{1}}{h_{1}}};\;\mathbf {b} _{2}={\dfrac {\mathbf {h} _{2}}{h_{2}}};\;\mathbf {b} _{3}={\dfrac {\mathbf {h} _{3}}{h_{3}}}.}$

これらの基底ベクトルはPの位置に依存する可能性があるので、領域全体で一定であると仮定しないことが必要である。（技術的には、基底ベクトルはPにおけるの接空間の基底を形成するため、Pに対して局所的である。） ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$

一般に、曲線座標系では、自然基底ベクトルh _iは互いに必ずしも直交する必要はなく、単位長さである必要もありません。つまり、任意の大きさと方向を持つことができます。直交基底を使用すると、非直交基底を使用する場合よりもベクトル操作が簡単になります。しかし、物理学や工学の一部の分野、特に流体力学や連続体力学では、物理量の複雑な方向依存性を考慮するために、変形や流体輸送を記述するために非直交基底が必要になります。一般的なケースについては、このページの後半で説明します。

ベクトル計算

差動要素

直交曲線座標では、rの全微分変化は

${\displaystyle d\mathbf {r} ={\dfrac {\partial \mathbf {r} }{\partial q^{1}}}dq^{1}+{\dfrac {\partial \mathbf {r} }{\partial q^{2}}}dq^{2}+{\dfrac {\partial \mathbf {r} }{\partial q^{3}}}dq^{3}=h_{1}dq^{1}\mathbf {b} _{1}+h_{2}dq^{2}\mathbf {b} _{2}+h_{3}dq^{3}\mathbf {b} _{3}}$

スケール係数は${\displaystyle h_{i}=\left|{\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial q^{i}}}\right|}$

非直交座標系において、 の長さは の 正の平方根です（アインシュタインの総和法）。自然基底ベクトルの6つの独立したスカラー積g _ij = h _i . h _{j は}、上記で直交座標系に対して定義した3つのスケール係数を一般化します。9つのg _ijは計量テンソルの成分であり、直交座標系では3つの非ゼロ成分のみを持ちます：g ₁₁ = h ₁ h ₁、g ₂₂ = h ₂ h ₂、g ₃₃ = h ₃ h ₃。 ${\displaystyle d\mathbf {r} =dq^{1}\mathbf {h} _{1}+dq^{2}\mathbf {h} _{2}+dq^{3}\mathbf {h} _{3}}$ ${\displaystyle d\mathbf {r} \cdot d\mathbf {r} =dq^{i}dq^{j}\mathbf {h} _{i}\cdot \mathbf {h} _{j}}$

共変基数と反変基数

ベクトルv (赤) は、• ベクトル基底 (黄色、左: e ₁、e ₂、e ₃ )、座標曲線への接ベクトル (黒)、• 共ベクトル基底 (青、右: e ¹、e ²、e ³ )、座標面への法線ベクトル (灰色) によって、一般の（必ずしも直交とは限らない）曲線座標 ( q ¹、q ²、q ³ ) で表されます。座標系が直交しない限り、基底と共基底は一致しません。^{[ 1 ]}

空間勾配、距離、時間微分、スケール係数は、次の 2 つの基底ベクトルのグループによって座標系内で相互に関連付けられます。

1. 関連する座標パスラインに局所的に接する基底ベクトル：反変ベクトル（下付き添字で示される）であり、$${\displaystyle \mathbf {b} _{i}={\dfrac {\partial \mathbf {r} }{\partial q^{i}}}}$$
2. 他の座標によって作成された等値面に対して局所的に垂直な基底ベクトル:は共変ベクトル(起点付きインデックスで示される)、∇ はdel演算子です。$${\displaystyle \mathbf {b} ^{i}=\nabla q^{i}}$$

アインシュタインの和の慣例により、ベクトルのインデックスの位置は座標の位置と反対になることに注意してください。

したがって、一般曲線座標系は、すべての点に対して2組の基底ベクトルを持ちます。{ b ₁ , b ₂ , b ₃ } は反変基底、{ b ¹ , b ² , b ³ } は共変（逆数）基底です。共変基底ベクトルと反変基底ベクトルは、直交曲線座標系では方向が同じですが、通常どおり互いに逆の単位を持ちます。

次の重要な等式に注意してください。 ここで、 は一般化クロネッカーのデルタを表します。 $${\displaystyle \mathbf {b} ^{i}\cdot \mathbf {b} _{j}=\delta _{j}^{i}}$$ ${\displaystyle \delta _{j}^{i}}$

証拠

デカルト座標系では、ドット積は次のように表すことができます。 ${\displaystyle (\mathbf {e} _{x},\mathbf {e} _{y},\mathbf {e} _{z})}$

${\displaystyle \mathbf {b} _{i}\cdot \mathbf {b} ^{j}=\left({\dfrac {\partial x}{\partial q_{i}}},{\dfrac {\partial y}{\partial q_{i}}},{\dfrac {\partial z}{\partial q_{i}}}\right)\cdot \left({\dfrac {\partial q_{j}}{\partial x}},{\dfrac {\partial q_{j}}{\partial y}},{\dfrac {\partial q_{j}}{\partial z}}\right)={\dfrac {\partial x}{\partial q_{i}}}{\dfrac {\partial q_{j}}{\partial x}}+{\dfrac {\partial y}{\partial q_{i}}}{\dfrac {\partial q_{j}}{\partial y}}+{\dfrac {\partial z}{\partial q_{i}}}{\dfrac {\partial q_{j}}{\partial z}}}$

微小変位を考える。dq ₁、dq ₂、dq _{3はそれぞれ曲線座標 q 1}、q ₂、q ₃における微小変化を表すものとする。 ${\displaystyle d\mathbf {r} =dx\cdot \mathbf {e} _{x}+dy\cdot \mathbf {e} _{y}+dz\cdot \mathbf {e} _{z}}$

連鎖律によれば、dq _{1 は}次のように表すことができます。

${\displaystyle dq_{1}={\dfrac {\partial q_{1}}{\partial x}}dx+{\dfrac {\partial q_{1}}{\partial y}}dy+{\dfrac {\partial q_{1}}{\partial z}}dz={\dfrac {\partial q_{1}}{\partial x}}dx+{\dfrac {\partial q_{1}}{\partial y}}\left({\dfrac {\partial y}{\partial q_{1}}}dq_{1}+{\dfrac {\partial y}{\partial q_{2}}}dq_{2}+{\dfrac {\partial y}{\partial q_{3}}}dq_{3}\right)+{\dfrac {\partial q_{1}}{\partial z}}\left({\dfrac {\partial z}{\partial q_{1}}}dq_{1}+{\dfrac {\partial z}{\partial q_{2}}}dq_{2}+{\dfrac {\partial z}{\partial q_{3}}}dq_{3}\right)}$

変位d r がdq ₂ = dq ₃ = 0となる場合、つまり位置ベクトルr が座標軸q ₂ =const およびq ₃ =const に沿って微小量だけ移動する場合は、次のようになります。

${\displaystyle dq_{1}={\dfrac {\partial q_{1}}{\partial x}}dx+{\dfrac {\partial q_{1}}{\partial y}}{\dfrac {\partial y}{\partial q_{1}}}dq_{1}+{\dfrac {\partial q_{1}}{\partial z}}{\dfrac {\partial z}{\partial q_{1}}}dq_{1}}$

dq ₁で割り、極限dq ₁ → 0 をとると、

${\displaystyle 1={\dfrac {\partial q_{1}}{\partial x}}{\dfrac {\partial x}{\partial q_{1}}}+{\dfrac {\partial q_{1}}{\partial y}}{\dfrac {\partial y}{\partial q_{1}}}+{\dfrac {\partial q_{1}}{\partial z}}{\dfrac {\partial z}{\partial q_{1}}}={\dfrac {\partial x}{\partial q_{1}}}{\dfrac {\partial q_{1}}{\partial x}}+{\dfrac {\partial y}{\partial q_{1}}}{\dfrac {\partial q_{1}}{\partial y}}+{\dfrac {\partial z}{\partial q_{1}}}{\dfrac {\partial q_{1}}{\partial z}}}$

または同等:

${\displaystyle \mathbf {b} _{1}\cdot \mathbf {b} ^{1}=1}$

ここで、変位 d r がdq ₁ = dq ₃ =0となる場合、つまり位置ベクトルr が 座標軸 q ₁ =const および q ₃ =const に沿って微小量だけ移動する場合は、次のようになります。

${\displaystyle 0={\dfrac {\partial q_{1}}{\partial x}}dx+{\dfrac {\partial q_{1}}{\partial y}}{\dfrac {\partial y}{\partial q_{2}}}dq_{2}+{\dfrac {\partial q_{1}}{\partial z}}{\dfrac {\partial z}{\partial q_{2}}}dq_{2}}$

dq ₂で割り、極限dq ₂ → 0をとると、

${\displaystyle 0={\dfrac {\partial q_{1}}{\partial x}}{\dfrac {\partial x}{\partial q_{2}}}+{\dfrac {\partial q_{1}}{\partial y}}{\dfrac {\partial y}{\partial q_{2}}}+{\dfrac {\partial q_{1}}{\partial z}}{\dfrac {\partial z}{\partial q_{2}}}={\dfrac {\partial x}{\partial q_{2}}}{\dfrac {\partial q_{1}}{\partial x}}+{\dfrac {\partial y}{\partial q_{2}}}{\dfrac {\partial q_{1}}{\partial y}}+{\dfrac {\partial z}{\partial q_{2}}}{\dfrac {\partial q_{1}}{\partial z}}}$

または同等:

${\displaystyle \mathbf {b} _{2}\cdot \mathbf {b} ^{1}=0}$

他のドット積についても同様です。

代替証明:

${\displaystyle \delta _{j}^{i}dq^{j}=dq^{i}=\nabla q^{i}\cdot d\mathbf {r} =\mathbf {b} ^{i}\cdot {\dfrac {\partial \mathbf {r} }{\partial q^{j}}}dq^{j}=\mathbf {b} ^{i}\cdot \mathbf {b} _{j}dq^{j}}$

そして、アインシュタインの総和規則が暗黙的に適用されます。

ベクトルvは、いずれかの基底で指定することができる。すなわち、

${\displaystyle \mathbf {v} =v^{1}\mathbf {b} _{1}+v^{2}\mathbf {b} _{2}+v^{3}\mathbf {b} _{3}=v_{1}\mathbf {b} ^{1}+v_{2}\mathbf {b} ^{2}+v_{3}\mathbf {b} ^{3}}$

^{アインシュタインの総和法を用いると、基底ベクトルは[ 2 ] :30–32} によって成分と関係づけられる。

${\displaystyle \mathbf {v} \cdot \mathbf {b} ^{i}=v^{k}\mathbf {b} _{k}\cdot \mathbf {b} ^{i}=v^{k}\delta _{k}^{i}=v^{i}}$

${\displaystyle \mathbf {v} \cdot \mathbf {b} _{i}=v_{k}\mathbf {b} ^{k}\cdot \mathbf {b} _{i}=v_{k}\delta _{i}^{k}=v_{i}}$

そして

${\displaystyle \mathbf {v} \cdot \mathbf {b} _{i}=v^{k}\mathbf {b} _{k}\cdot \mathbf {b} _{i}=g_{ki}v^{k}}$

${\displaystyle \mathbf {v} \cdot \mathbf {b} ^{i}=v_{k}\mathbf {b} ^{k}\cdot \mathbf {b} ^{i}=g^{ki}v_{k}}$

ここで、gは計量テンソルです（下記参照）。

ベクトルは、共変座標（下付き添字、v _kと表記）または反変座標（上付き添字、v ^kと表記）で指定できます。上記のベクトルの和から、反変座標は共変基底ベクトルと関連付けられ、共変座標は反変基底ベクトルと関連付けられていることがわかります。

インデックス付き成分と基底ベクトルによるベクトルとテンソルの表現の主な特徴は、共変的 (または反変的) に変換するベクトル成分が、反変的 (または共変的) に変換する基底ベクトルとペアになっているという意味での不変性です。

統合

1次元の共変基底の構築

図3 – 一般曲線座標の場合の局所共変基底の変換

図3に示す1次元曲線を考えてみましょう。点Pを原点として、xは直交座標系の一つであり、q ¹は曲線座標系の一つです。局所的（非単位）基底ベクトルはb ₁（上記ではh ₁と表記し、bは単位ベクトル用として予約されています）であり、点Pにおける座標線に接するq ¹軸上に構築されます。軸q ¹、つまりベクトルb ₁は、直交座標系x軸および直交座標系基底ベクトルe ₁と角度を形成します。 ${\displaystyle \alpha }$

三角形PABから次の ことがわかります。

${\displaystyle \cos \alpha ={\cfrac {|\mathbf {e} _{1}|}{|\mathbf {b} _{1}|}}\quad \Rightarrow \quad |\mathbf {e} _{1}|=|\mathbf {b} _{1}|\cos \alpha }$

ここで、| e ₁ |、| b ₁ |は2つの基底ベクトルの大きさ、すなわちスカラー切片PBとPAです。PA はb _1のx軸への投影でもあります。

ただし、方向余弦を使用した基底ベクトル変換のこの方法は、次の理由により曲線座標には適用できません。

1. Pからの距離が増加すると、曲線q ¹と直交軸xの間の角度は からますます離れていきます。${\displaystyle \alpha }$
2. 距離PBでは、真の角度は点 C の接線がx軸と形成する角度であり、後者の角度は とは明らかに異なります。${\displaystyle \alpha }$

q ¹線とその軸がx軸と形成する角度は、点Pに近づくほど小さくなり、点Pで正確に等しくなります。

点EをPに非常に近く、距離PEが無限小になるほど近いとします。すると、q ¹軸上で測ったPEは、 q ¹線上で測ったPEとほぼ一致します。同時に、PD/PE（PDはPEのx軸への射影）の比は、ほぼ正確に に等しくなります。 ${\displaystyle \cos \alpha }$

PDとPEの無限小切片をそれぞれdxとdq1と^表記する。すると

${\displaystyle \cos \alpha ={\cfrac {dx}{dq^{1}}}={\frac {|\mathbf {e} _{1}|}{|\mathbf {b} _{1}|}}}$ 。

したがって、方向余弦は、変換において、無限小の座標切片間のより正確な比で置き換えることができる。したがって、b _1のx軸 上の成分（射影）は

${\displaystyle p^{1}=\mathbf {b} _{1}\cdot {\cfrac {\mathbf {e} _{1}}{|\mathbf {e} _{1}|}}=|\mathbf {b} _{1}|{\cfrac {|\mathbf {e} _{1}|}{|\mathbf {e} _{1}|}}\cos \alpha =|\mathbf {b} _{1}|{\cfrac {dx}{dq^{1}}}\quad \Rightarrow \quad {\cfrac {p^{1}}{|\mathbf {b} _{1}|}}={\cfrac {dx}{dq^{1}}}}$ 。

q ⁱ = q ⁱ ( x ₁ , x ₂ , x ₃ ) およびx _i = x _i ( q ¹ , q ² , q ³ ) が滑らかな（連続微分可能な）関数である場合、変換比はおよび と表すことができます。つまり、これらの比は、一方のシステムに属する座標を他方のシステムに属する座標に対して 偏微分したものです。${\displaystyle {\cfrac {\partial q^{i}}{\partial x_{j}}}}$ ${\displaystyle {\cfrac {\partial x_{i}}{\partial q^{j}}}}$

3次元における共変基底の構築

他の 2 次元の座標についても同様にすると、b _{1 は}次のように表すことができます。

${\displaystyle \mathbf {b} _{1}=p^{1}\mathbf {e} _{1}+p^{2}\mathbf {e} _{2}+p^{3}\mathbf {e} _{3}={\cfrac {\partial x_{1}}{\partial q^{1}}}\mathbf {e} _{1}+{\cfrac {\partial x_{2}}{\partial q^{1}}}\mathbf {e} _{2}+{\cfrac {\partial x_{3}}{\partial q^{1}}}\mathbf {e} _{3}}$

b ₂とb ₃についても同様の式が成り立ち、標準基底 { e ₁、e ₂、e ₃ } は次の方程式系によって 局所（順序付けされ正規化された）基底 { b ₁、b ₂、b _{3 } に変換されます。}

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {b} _{1}&={\cfrac {\partial x_{1}}{\partial q^{1}}}\mathbf {e} _{1}+{\cfrac {\partial x_{2}}{\partial q^{1}}}\mathbf {e} _{2}+{\cfrac {\partial x_{3}}{\partial q^{1}}}\mathbf {e} _{3}\\\mathbf {b} _{2}&={\cfrac {\partial x_{1}}{\partial q^{2}}}\mathbf {e} _{1}+{\cfrac {\partial x_{2}}{\partial q^{2}}}\mathbf {e} _{2}+{\cfrac {\partial x_{3}}{\partial q^{2}}}\mathbf {e} _{3}\\\mathbf {b} _{3}&={\cfrac {\partial x_{1}}{\partial q^{3}}}\mathbf {e} _{1}+{\cfrac {\partial x_{2}}{\partial q^{3}}}\mathbf {e} _{2}+{\cfrac {\partial x_{3}}{\partial q^{3}}}\mathbf {e} _{3}\end{aligned}}}$

同様の推論により、局所基底から標準基底への逆変換を得ることができます。

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {e} _{1}&={\cfrac {\partial q^{1}}{\partial x_{1}}}\mathbf {b} _{1}+{\cfrac {\partial q^{2}}{\partial x_{1}}}\mathbf {b} _{2}+{\cfrac {\partial q^{3}}{\partial x_{1}}}\mathbf {b} _{3}\\\mathbf {e} _{2}&={\cfrac {\partial q^{1}}{\partial x_{2}}}\mathbf {b} _{1}+{\cfrac {\partial q^{2}}{\partial x_{2}}}\mathbf {b} _{2}+{\cfrac {\partial q^{3}}{\partial x_{2}}}\mathbf {b} _{3}\\\mathbf {e} _{3}&={\cfrac {\partial q^{1}}{\partial x_{3}}}\mathbf {b} _{1}+{\cfrac {\partial q^{2}}{\partial x_{3}}}\mathbf {b} _{2}+{\cfrac {\partial q^{3}}{\partial x_{3}}}\mathbf {b} _{3}\end{aligned}}}$

変換のヤコビアン

上記の線形方程式は、アインシュタインの総和法を用いて行列形式で次のように表すことができます。

${\displaystyle {\cfrac {\partial x_{i}}{\partial q^{k}}}\mathbf {e} _{i}=\mathbf {b} _{k},\quad {\cfrac {\partial q^{i}}{\partial x_{k}}}\mathbf {b} _{i}=\mathbf {e} _{k}}$ 。

この線形システムの係数行列は、変換のヤコビ行列（およびその逆行列）です。これらは、直交基底を曲線基底に変換したり、その逆を行ったりするのに使用できる方程式です。

3次元では、これらの行列の展開形は

${\displaystyle \mathbf {J} ={\begin{bmatrix}{\cfrac {\partial x_{1}}{\partial q^{1}}}&{\cfrac {\partial x_{1}}{\partial q^{2}}}&{\cfrac {\partial x_{1}}{\partial q^{3}}}\\{\cfrac {\partial x_{2}}{\partial q^{1}}}&{\cfrac {\partial x_{2}}{\partial q^{2}}}&{\cfrac {\partial x_{2}}{\partial q^{3}}}\\{\cfrac {\partial x_{3}}{\partial q^{1}}}&{\cfrac {\partial x_{3}}{\partial q^{2}}}&{\cfrac {\partial x_{3}}{\partial q^{3}}}\\\end{bmatrix}},\quad \mathbf {J} ^{-1}={\begin{bmatrix}{\cfrac {\partial q^{1}}{\partial x_{1}}}&{\cfrac {\partial q^{1}}{\partial x_{2}}}&{\cfrac {\partial q^{1}}{\partial x_{3}}}\\{\cfrac {\partial q^{2}}{\partial x_{1}}}&{\cfrac {\partial q^{2}}{\partial x_{2}}}&{\cfrac {\partial q^{2}}{\partial x_{3}}}\\{\cfrac {\partial q^{3}}{\partial x_{1}}}&{\cfrac {\partial q^{3}}{\partial x_{2}}}&{\cfrac {\partial q^{3}}{\partial x_{3}}}\\\end{bmatrix}}}$

逆変換（2番目の方程式系）において、未知数は曲線基底ベクトルです。任意の特定の位置において、基底ベクトルの組は1つしか存在しません（そうでなければ、その点における基底は明確に定義されません）。この条件は、方程式系が単一の解を持つ場合にのみ満たされます。線型代数において、線型方程式系が単一の解（非自明）を持つのは、その系行列の行列式が0以外の場合のみです。

${\displaystyle \det(\mathbf {J} ^{-1})\neq 0}$

これは逆ヤコビ行列式に関する上記の要件の根拠を示しています。

n次元への一般化

この形式論は次のように任意の有限次元に拡張されます。

実ユークリッドn次元空間、つまりR ⁿ = R × R × ... × R ( n回)を考えます。ここで、 Rは実数の集合であり、× はベクトル空間である直積を表します。

この空間の座標はx = ( x ₁ , x ₂ ,..., x _n )と表すことができます。これはベクトル（ベクトル空間の要素）なので、次のように表すことができます。

${\displaystyle \mathbf {x} =\sum _{i=1}^{n}x_{i}\mathbf {e} ^{i}}$

ここで、e ¹ = (1,0,0...,0), e ² = (0,1,0...,0), e ³ = (0,0,1...,0),..., e ⁿ = (0,0,0...,1) は空間R ^{nのベクトルの}標準基底関数であり、i = 1, 2,... nは成分を表すインデックスです。各ベクトルは各次元（または「軸」）に1つの成分を持ち、それらは互いに直交（垂直）し、正規化（大きさが単位）されています。

より一般的には、基底ベクトルb _{i を}q = ( q ₁ , q ₂ ,..., q _n )に依存するように定義できます。つまり、点ごとに変化します。つまり、 b _i = b _i ( q ) です。この場合、同じ点x をこの代替基底で定義します。この基底v _iに関する座標も必然的にxに依存します。つまり、 v _i = v _i ( x )です。すると、この空間内のベクトルv は、これらの代替座標と基底ベクトルに関して、この基底における線形結合として展開できます（これは、各基底ベクトルe _iに数v _iを乗算することを意味します-スカラー乗算）。

${\displaystyle \mathbf {v} =\sum _{j=1}^{n}{\bar {v}}^{j}\mathbf {b} _{j}=\sum _{j=1}^{n}{\bar {v}}^{j}(\mathbf {q} )\mathbf {b} _{j}(\mathbf {q} )}$

新しい基底で vを記述するベクトルの和は、和自体は同じままですが、異なるベクトルで構成されます。

座標変換

より一般的かつ抽象的な観点から見ると、曲線座標系とは、微分可能多様体E ⁿ（n次元ユークリッド空間）上の座標パッチが、その多様体上の直交座標パッチと微分同相であるものに過ぎない。^{[ 3 ]}微分多様体上の2つの微分同相座標パッチは、微分的に重なり合う必要はない。この曲線座標系の単純な定義により、以下に続く結果はすべて、微分位相幾何学における標準的な定理の単なる応用となる。

変換関数は、「古い」座標と「新しい」座標の点の間に 1 対 1 の関係があるようなものであり、つまり、これらの関数は一対一であり、そのドメイン内で次の要件を満たします。

1. これらは滑らかな関数である: q ⁱ = q ⁱ ( x )
2. 逆ヤコビ行列式

   ${\displaystyle J^{-1}={\begin{vmatrix}{\dfrac {\partial q^{1}}{\partial x_{1}}}&{\dfrac {\partial q^{1}}{\partial x_{2}}}&\cdots &{\dfrac {\partial q^{1}}{\partial x_{n}}}\\{\dfrac {\partial q^{2}}{\partial x_{1}}}&{\dfrac {\partial q^{2}}{\partial x_{2}}}&\cdots &{\dfrac {\partial q^{2}}{\partial x_{n}}}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\{\dfrac {\partial q^{n}}{\partial x_{1}}}&{\dfrac {\partial q^{n}}{\partial x_{2}}}&\cdots &{\dfrac {\partial q^{n}}{\partial x_{n}}}\end{vmatrix}}\neq 0}$

   はゼロではない。つまり、逆関数定理によれば、 変換は可逆である：x _i ( q ) 。ヤコビ行列式がゼロではないという条件は、異なる族に属する3つの曲面が1つの点で交差し、したがってこの点の位置が一意に決定されるという事実を反映している。^{[ 4 ]}

3次元曲線座標におけるベクトル代数とテンソル代数

曲線座標系における初等的なベクトル代数とテンソル代数は、力学や物理学の古い科学文献の一部で用いられており、1900年代初頭から中期にかけての研究、例えばGreenとZernaの著書^{[ 5 ]}を理解する上で不可欠なものとなる。 この節では、曲線座標系におけるベクトル代数と2階テンソル代数における有用な関係式をいくつか示す。表記法と内容は主にOgden、^{[ 6 ]} Naghdi、^{[ 7 ]} Simmonds、^{[ 2 ]} GreenとZerna、^{[ 5 ]} BasarとWeichert、^{[ 8 ] Ciarlet [ 9 ]}に拠っている。

曲線座標におけるテンソル

2階テンソルは次のように表される。

${\displaystyle {\boldsymbol {S}}=S^{ij}\mathbf {b} _{i}\otimes \mathbf {b} _{j}=S^{i}{}_{j}\mathbf {b} _{i}\otimes \mathbf {b} ^{j}=S_{i}{}^{j}\mathbf {b} ^{i}\otimes \mathbf {b} _{j}=S_{ij}\mathbf {b} ^{i}\otimes \mathbf {b} ^{j}}$

ここで、はテンソル積を表す。成分S ^ijは反変成分、S ⁱ _{j は}混合右共変成分、S _i ^{j は}混合左共変成分、S _{ij は}2階テンソルの共変成分と呼ばれる。2階テンソルの成分は次のように関係づけられる。 ${\displaystyle \scriptstyle \otimes }$

${\displaystyle S^{ij}=g^{ik}S_{k}{}^{j}=g^{jk}S^{i}{}_{k}=g^{ik}g^{j\ell }S_{k\ell }}$

直交曲線座標における計量テンソル

各点において、小さな線分要素d xを構築できるので、線分要素の長さの2乗はスカラー積 d x • d xとなり、空間の計量と呼ばれ、次のように表されます。

${\displaystyle d\mathbf {x} \cdot d\mathbf {x} ={\cfrac {\partial x_{i}}{\partial q^{j}}}{\cfrac {\partial x_{i}}{\partial q^{k}}}dq^{j}dq^{k}}$ 。

上記の式の次の部分

${\displaystyle {\cfrac {\partial x_{k}}{\partial q^{i}}}{\cfrac {\partial x_{k}}{\partial q^{j}}}=g_{ij}(q^{i},q^{j})=\mathbf {b} _{i}\cdot \mathbf {b} _{j}}$

は、曲線座標におけるユークリッド空間の基本テンソル（または計量テンソル）と呼ばれる対称テンソルです。

指標によって インデックスを上げたり下げたりすることができます:

${\displaystyle v^{i}=g^{ik}v_{k}}$

ラメ係数との関係

スケール係数h _{i を}次のように 定義する。

${\displaystyle h_{i}h_{j}=g_{ij}=\mathbf {b} _{i}\cdot \mathbf {b} _{j}\quad \Rightarrow \quad h_{i}={\sqrt {g_{ii}}}=\left|\mathbf {b} _{i}\right|=\left|{\cfrac {\partial \mathbf {x} }{\partial q^{i}}}\right|}$

計量テンソルとラメ係数の関係を与え、

${\displaystyle g_{ij}={\cfrac {\partial \mathbf {x} }{\partial q^{i}}}\cdot {\cfrac {\partial \mathbf {x} }{\partial q^{j}}}=\left(h_{ki}\mathbf {e} _{k}\right)\cdot \left(h_{mj}\mathbf {e} _{m}\right)=h_{ki}h_{kj}}$

ここで、h _ijはラメ係数である。直交基底については以下も成り立つ。

${\displaystyle g=g_{11}g_{22}g_{33}=h_{1}^{2}h_{2}^{2}h_{3}^{2}\quad \Rightarrow \quad {\sqrt {g}}=h_{1}h_{2}h_{3}=J}$

例:極座標

R ²の極座標を考えると、

${\displaystyle (x,y)=(r\cos \theta ,r\sin \theta )}$

(r, θ) は曲線座標であり、変換 ( r ,θ) → ( r cos θ, r sin θ)のヤコビ行列式はrです。

直交基底ベクトルはb _r = (cos θ, sin θ)、b θ ₌ (−r sin θ, r cos θ) です。スケール係数はh _r = 1 およびh _θ = rです。基本テンソルはg ₁₁ =1、g ₂₂ = r ²、g ₁₂ = g ₂₁ =0 です。

交代テンソル

直交右手基底では、3階交代テンソルは次のように定義される。

${\displaystyle {\boldsymbol {\mathcal {E}}}=\varepsilon _{ijk}\mathbf {e} ^{i}\otimes \mathbf {e} ^{j}\otimes \mathbf {e} ^{k}}$

一般的な曲線基底では同じテンソルは次のように表される。

${\displaystyle {\boldsymbol {\mathcal {E}}}={\mathcal {E}}_{ijk}\mathbf {b} ^{i}\otimes \mathbf {b} ^{j}\otimes \mathbf {b} ^{k}={\mathcal {E}}^{ijk}\mathbf {b} _{i}\otimes \mathbf {b} _{j}\otimes \mathbf {b} _{k}}$

また、

${\displaystyle {\mathcal {E}}^{ijk}={\cfrac {1}{J}}\varepsilon _{ijk}={\cfrac {1}{+{\sqrt {g}}}}\varepsilon _{ijk}}$

クリストッフェルの記号

第一種クリストッフェル記号${\displaystyle \Gamma _{kij}}$

${\displaystyle \mathbf {b} _{i,j}={\frac {\partial \mathbf {b} _{i}}{\partial q^{j}}}=\mathbf {b} ^{k}\Gamma _{kij}\quad \Rightarrow \quad \mathbf {b} _{k}\cdot \mathbf {b} _{i,j}=\Gamma _{kij}}$

ここで、コンマは偏微分を表します( Ricci の計算を参照)。 Γ _{kij を}g _ijで表すと、

${\displaystyle {\begin{aligned}g_{ij,k}&=(\mathbf {b} _{i}\cdot \mathbf {b} _{j})_{,k}=\mathbf {b} _{i,k}\cdot \mathbf {b} _{j}+\mathbf {b} _{i}\cdot \mathbf {b} _{j,k}=\Gamma _{jik}+\Gamma _{ijk}\\g_{ik,j}&=(\mathbf {b} _{i}\cdot \mathbf {b} _{k})_{,j}=\mathbf {b} _{i,j}\cdot \mathbf {b} _{k}+\mathbf {b} _{i}\cdot \mathbf {b} _{k,j}=\Gamma _{kij}+\Gamma _{ikj}\\g_{jk,i}&=(\mathbf {b} _{j}\cdot \mathbf {b} _{k})_{,i}=\mathbf {b} _{j,i}\cdot \mathbf {b} _{k}+\mathbf {b} _{j}\cdot \mathbf {b} _{k,i}=\Gamma _{kji}+\Gamma _{jki}\end{aligned}}}$

以来

${\displaystyle \mathbf {b} _{i,j}=\mathbf {b} _{j,i}\quad \Rightarrow \quad \Gamma _{kij}=\Gamma _{kji}}$

これらを用いて上記の関係を整理すると、

${\displaystyle \Gamma _{kij}={\frac {1}{2}}(g_{ik,j}+g_{jk,i}-g_{ij,k})={\frac {1}{2}}[(\mathbf {b} _{i}\cdot \mathbf {b} _{k})_{,j}+(\mathbf {b} _{j}\cdot \mathbf {b} _{k})_{,i}-(\mathbf {b} _{i}\cdot \mathbf {b} _{j})_{,k}]}$

第二種クリストッフェル記号${\displaystyle \Gamma ^{k}{}_{ji}}$

${\displaystyle \Gamma ^{k}{}_{ij}=g^{kl}\Gamma _{lij}=\Gamma ^{k}{}_{ji},\quad {\cfrac {\partial \mathbf {b} _{i}}{\partial q^{j}}}=\mathbf {b} _{k}\Gamma ^{k}{}_{ij}}$

これは、

${\displaystyle \Gamma ^{k}{}_{ij}={\cfrac {\partial \mathbf {b} _{i}}{\partial q^{j}}}\cdot \mathbf {b} ^{k}=-\mathbf {b} _{i}\cdot {\cfrac {\partial \mathbf {b} ^{k}}{\partial q^{j}}}\quad }$ 以来。${\displaystyle \quad {\cfrac {\partial }{\partial q^{j}}}(\mathbf {b} _{i}\cdot \mathbf {b} ^{k})=0}$

続く他の関係は

${\displaystyle {\cfrac {\partial \mathbf {b} ^{i}}{\partial q^{j}}}=-\Gamma ^{i}{}_{jk}\mathbf {b} ^{k},\quad {\boldsymbol {\nabla }}\mathbf {b} _{i}=\Gamma ^{k}{}_{ij}\mathbf {b} _{k}\otimes \mathbf {b} ^{j},\quad {\boldsymbol {\nabla }}\mathbf {b} ^{i}=-\Gamma ^{i}{}_{jk}\mathbf {b} ^{k}\otimes \mathbf {b} ^{j}}$

ベクトル演算

1. ドット積：

   曲線座標における2つのベクトルのスカラー積は^{[ 2 ] :32 である。}

   ${\displaystyle \mathbf {u} \cdot \mathbf {v} =u^{i}v_{i}=u_{i}v^{i}=g_{ij}u^{i}v^{j}=g^{ij}u_{i}v_{j}}$

2. 外積：

   2つのベクトルの外積は^{[ 2 ]}で与えられる^:32–34

   ${\displaystyle \mathbf {u} \times \mathbf {v} =\epsilon _{ijk}{u}_{j}{v}_{k}\mathbf {e} _{i}}$

   ここでは置換記号、 は直交座標基底ベクトルである。曲線座標系では、等価な式は次のようになる。 ${\displaystyle \epsilon _{ijk}}$ ${\displaystyle \mathbf {e} _{i}}$

   ${\displaystyle \mathbf {u} \times \mathbf {v} =[(\mathbf {b} _{m}\times \mathbf {b} _{n})\cdot \mathbf {b} _{s}]u^{m}v^{n}\mathbf {b} ^{s}={\mathcal {E}}_{smn}u^{m}v^{n}\mathbf {b} ^{s}}$

   ここで、は3次交代テンソルです。${\displaystyle {\mathcal {E}}_{ijk}}$

3次元曲線座標におけるベクトルとテンソルの計算

線積分、面積積分、体積積分の計算には調整が必要です。簡単のため、以下では3次元および直交曲線座標系に限定します。ただし、n次元空間にも同じことが当てはまります。座標系が直交でない場合は、式にいくつかの項が追加されます。

シモンズ^{[ 2 ]}はテンソル解析に関する著書の中で、アルバート・アインシュタインの次の言葉を引用している^{[ 10 ]。}

この理論の魔法は、それを真に理解した人なら誰でも感じ取らずにはいられないでしょう。これは、ガウス、リーマン、リッチ、レヴィ＝チヴィタによって確立された絶対微分積分法の真の勝利を表しています。

一般曲線座標系におけるベクトルおよびテンソル計算は、一般相対論における4次元曲線多様体のテンソル解析、^{[ 11 ]} 、曲面シェルの力学、^{[ 9 ]、}メタマテリアルで関心を集めているマクスウェル方程式の不変性の検討^{[ 12 ]、[ 13 ]}、その他多くの分野で使用されています。

この節では、曲線座標系におけるベクトルと2階テンソルの微積分における有用な関係式をいくつか示す。表記法と内容は主にOgden, ^{[ 14 ]} Simmonds, ^{[ 2 ]} Green and Zerna, ^{[ 5 ]} Basar and Weichert, ^{[ 8 ]} Ciarlet, ^{[ 9 ]に拠っている。}

φ = φ( x ) を定義されたスカラー場、v = v ( x ) を定義されたベクトル場とし、λ ₁、λ ₂ ... を座標のパラメータとする。

幾何学的要素

1. 接線ベクトル：x ( λ )が曲線Cを媒介変数化すると、

   ${\displaystyle {\partial \mathbf {x} \over \partial \lambda }={\partial \mathbf {x} \over \partial q^{i}}{\partial q^{i} \over \partial \lambda }=\left(h_{ki}{\cfrac {\partial q^{i}}{\partial \lambda }}\right)\mathbf {b} _{k}}$

   は曲線座標系におけるCの接ベクトルである（連鎖律を用いる）。ラメ係数の定義、およびi ≠ jのときの計量g _ij = 0の定義を用いると、大きさは次のようになる。

   ${\displaystyle \left|{\partial \mathbf {x} \over \partial \lambda }\right|={\sqrt {h_{ki}h_{kj}{\cfrac {\partial q^{i}}{\partial \lambda }}{\cfrac {\partial q^{j}}{\partial \lambda }}}}={\sqrt {g_{ij}{\cfrac {\partial q^{i}}{\partial \lambda }}{\cfrac {\partial q^{j}}{\partial \lambda }}}}={\sqrt {h_{i}^{2}\left({\cfrac {\partial q^{i}}{\partial \lambda }}\right)^{2}}}}$

2. 接平面要素：x ( λ ₁ , λ ₂ )が曲面S を媒介変数化すると、次の接ベクトルの外積は、曲線座標系における無限小平面要素の大きさを持つSの法線ベクトルとなる。上記の結果を用いると、

   ${\displaystyle {\partial \mathbf {x} \over \partial \lambda _{1}}\times {\partial \mathbf {x} \over \partial \lambda _{2}}=\left({\partial \mathbf {x} \over \partial q^{i}}{\partial q^{i} \over \partial \lambda _{1}}\right)\times \left({\partial \mathbf {x} \over \partial q^{j}}{\partial q^{j} \over \partial \lambda _{2}}\right)={\mathcal {E}}_{kmp}\left(h_{ki}{\partial q^{i} \over \partial \lambda _{1}}\right)\left(h_{mj}{\partial q^{j} \over \partial \lambda _{2}}\right)\mathbf {b} _{p}}$

   ここでは順列記号です。行列式で表すと次のようになります。 ${\displaystyle {\mathcal {E}}}$

   ${\displaystyle {\partial \mathbf {x} \over \partial \lambda _{1}}\times {\partial \mathbf {x} \over \partial \lambda _{2}}={\begin{vmatrix}\mathbf {e} _{1}&\mathbf {e} _{2}&\mathbf {e} _{3}\\h_{1i}{\dfrac {\partial q^{i}}{\partial \lambda _{1}}}&h_{2i}{\dfrac {\partial q^{i}}{\partial \lambda _{1}}}&h_{3i}{\dfrac {\partial q^{i}}{\partial \lambda _{1}}}\\h_{1j}{\dfrac {\partial q^{j}}{\partial \lambda _{2}}}&h_{2j}{\dfrac {\partial q^{j}}{\partial \lambda _{2}}}&h_{3j}{\dfrac {\partial q^{j}}{\partial \lambda _{2}}}\end{vmatrix}}}$

統合

オペレーター	スカラー場	ベクトル場
線積分	${\displaystyle \int _{C}\varphi (\mathbf {x} )ds=\int _{a}^{b}\varphi (\mathbf {x} (\lambda ))\left|{\partial \mathbf {x} \over \partial \lambda }\right|d\lambda }$	${\displaystyle \int _{C}\mathbf {v} (\mathbf {x} )\cdot d\mathbf {s} =\int _{a}^{b}\mathbf {v} (\mathbf {x} (\lambda ))\cdot \left({\partial \mathbf {x} \over \partial \lambda }\right)d\lambda }$
表面積分	${\displaystyle \int _{S}\varphi (\mathbf {x} )dS=\iint _{T}\varphi (\mathbf {x} (\lambda _{1},\lambda _{2}))\left|{\partial \mathbf {x} \over \partial \lambda _{1}}\times {\partial \mathbf {x} \over \partial \lambda _{2}}\right|d\lambda _{1}d\lambda _{2}}$	${\displaystyle \int _{S}\mathbf {v} (\mathbf {x} )\cdot dS=\iint _{T}\mathbf {v} (\mathbf {x} (\lambda _{1},\lambda _{2}))\cdot \left({\partial \mathbf {x} \over \partial \lambda _{1}}\times {\partial \mathbf {x} \over \partial \lambda _{2}}\right)d\lambda _{1}d\lambda _{2}}$
体積積分	${\displaystyle \iiint _{V}\varphi (x,y,z)dV=\iiint _{V}\chi (q_{1},q_{2},q_{3})Jdq_{1}dq_{2}dq_{3}}$	${\displaystyle \iiint _{V}\mathbf {u} (x,y,z)dV=\iiint _{V}\mathbf {v} (q_{1},q_{2},q_{3})Jdq_{1}dq_{2}dq_{3}}$

差別化

勾配、発散、ラプラシアンの表現はn次元に直接拡張できますが、回転は 3D でのみ定義されます。

ベクトル場b _iはq ⁱ座標曲線に接し、曲線上の各点において自然基底を形成します。この基底は、本稿の冒頭で述べたように、共変曲線基底とも呼ばれます。また、逆基底、あるいは反変曲線基底 b ⁱを定義することもできます。テンソル代数のセクションで述べたように、基底ベクトル間のすべての代数関係は、各点xにおける自然基底とその逆数基底にも当てはまります。

オペレーター	スカラー場	ベクトル場	2次テンソル場
勾配	${\displaystyle \nabla \varphi ={\cfrac {1}{h_{i}}}{\partial \varphi \over \partial q^{i}}\mathbf {b} ^{i}}$	${\displaystyle \nabla \mathbf {v} ={\cfrac {1}{h_{i}^{2}}}{\partial \mathbf {v} \over \partial q^{i}}\otimes \mathbf {b} _{i}}$	${\displaystyle {\boldsymbol {\nabla }}{\boldsymbol {S}}={\cfrac {\partial {\boldsymbol {S}}}{\partial q^{i}}}\otimes \mathbf {b} ^{i}}$
発散	該当なし	${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {v} ={\cfrac {1}{\prod _{j}h_{j}}}{\frac {\partial }{\partial q^{i}}}(v^{i}\prod _{j\neq i}h_{j})}$	${\displaystyle ({\boldsymbol {\nabla }}\cdot {\boldsymbol {S}})\cdot \mathbf {a} ={\boldsymbol {\nabla }}\cdot ({\boldsymbol {S}}\cdot \mathbf {a} )}$ ここでaは任意の定数ベクトルである。曲線座標では、 ${\displaystyle {\boldsymbol {\nabla }}\cdot {\boldsymbol {S}}=\left[{\cfrac {\partial S_{ij}}{\partial q^{k}}}-\Gamma _{ki}^{l}S_{lj}-\Gamma _{kj}^{l}S_{il}\right]g^{ik}\mathbf {b} ^{j}}$
ラプラシアン	${\displaystyle \nabla ^{2}\varphi ={\cfrac {1}{\prod _{j}h_{j}}}{\frac {\partial }{\partial q^{i}}}\left({\cfrac {\prod _{j}h_{j}}{h_{i}^{2}}}{\frac {\partial \varphi }{\partial q^{i}}}\right)}$	${\displaystyle \nabla ^{2}\mathbf {v} \equiv \nabla \nabla \cdot \mathbf {v} -\nabla \times \nabla \times \mathbf {v} }$ ${\displaystyle ~~~={\hat {\mathbf {x} }}\nabla ^{2}v_{x}+{\hat {\mathbf {y} }}\nabla ^{2}v_{y}+{\hat {\mathbf {z} }}\nabla ^{2}v_{z}}$ (最初の等式は 3D のみ、2 番目の等式は直交座標成分のみ)
カール	該当なし	3Dのベクトル場のみ、 ${\displaystyle \nabla \times \mathbf {v} ={\frac {1}{h_{1}h_{2}h_{3}}}\mathbf {e} _{i}\epsilon _{ijk}h_{i}{\frac {\partial (h_{k}v_{k})}{\partial q^{j}}}}$ レヴィ・チヴィタ記号はどこにありますか。 ${\displaystyle \epsilon _{ijk}}$	テンソル場の回転を参照

一般曲線座標における架空の力

定義により、力が作用していない粒子の位置が慣性座標系（x ₁ ,  x ₂ ,  x ₃ ,  t）で表現される場合、その粒子には加速度がない（d ² x _j /d t ²  = 0）。^{[ 15 ]}この文脈では、時間軸が直線でないか、空間軸が直線でないか（あるいはその両方）により、座標系が「慣性」でなくなる可能性がある。言い換えれば、座標の基底ベクトルは、固定位置で時間とともに変化するか、固定時刻で位置とともに変化するか、あるいはその両方である。運動方程式が（この意味で）非慣性座標系で表される場合、クリストッフェル記号と呼ばれる追加の項が現れる。厳密に言えば、これらの項は絶対加速度（古典力学）の成分を表していますが、d ² x _j /d t ²を加速度（座標が慣性であるかのように）として扱い、追加の項を力として扱うこともできます。その場合、それらは架空の力と呼ばれます。^{[ 16 ]}このような架空の力の、粒子の進路に垂直で進路の曲率面にある成分は遠心力と呼ばれます。^{[ 17 ]}

このより一般的な文脈により、回転座標系と静止曲線座標系における遠心力の概念の対応が明確になります。（これらの概念は両方とも文献に頻繁に登場します。 ^{[ 18 ] [ 19 ] [ 20 ]} ）簡単な例として、質量mの粒子が角速度wで半径rの円内を回転する極座標系を基準として角速度wで運動する場合を考えます。動径運動方程式は、 mr ” =  F _r  +  mr ( w  +  W ) ²です。したがって、遠心力は、粒子の絶対回転速度A  =  w  +  Wの2乗のmr倍になります。粒子の速度で回転する座標系を選択した場合は、W  =  Aおよびw  = 0 となり、この場合、遠心力はmrA ²です。一方、静止座標系を選択した場合は、W  = 0 およびw  =  Aとなり、この場合も遠心力はmrA ²です。このように結果が等しい理由は、両方のケースで粒子の位置における基底ベクトルが時間とともにまったく同じように変化しているためです。したがって、実際には、これらはまったく同じことを記述する2つの異なる方法にすぎず、1つの記述は回転座標によるもので、もう1つは静止曲線座標によるもので、どちらもその用語のより抽象的な意味によれば非慣性です。

一般的な運動を記述する場合、粒子に作用する実際の力は、運動経路に接する瞬間接触円を参照することが多い。この接触円は一般に固定された位置を中心としていないため、遠心力とコリオリ力への分解は常に変化する。これは、運動が静止座標で記述されるか回転座標で記述されるかに関わらず当てはまる。

参照

• 共変性と反変性
• 一般相対性理論の数学入門
• 特殊なケース:
  • 直交座標
  • スキュー座標
• 曲線座標におけるテンソル
• フレネ・セレ式
• 共変微分
• テンソル微分（連続体力学）
• 曲線遠近法
• 円筒座標と球座標におけるDel

参考文献

1. JA Wheeler; C. Misner; KS Thorne (1973). 『重力』 WH Freeman & Co. ISBN 0-7167-0344-0。
2. Simmonds, JG (1994).テンソル解析の概要. Springer. ISBN 0-387-90639-8。
3. Boothby, WM (2002). 『微分多様体とリーマン幾何学入門（改訂版）』 ニューヨーク：アカデミック・プレス.
4. McConnell, AJ (1957). 『テンソル解析の応用』 ニューヨーク: Dover Publications, Inc. 第9章第1節. ISBN 0-486-60373-3。
5. グリーン, AE; ゼルナ, W. (1968).理論的弾性. オックスフォード大学出版局. ISBN 0-19-853486-8。
6. Ogden, RW (2000).非線形弾性変形. ドーバー.
7. Naghdi, PM (1972). 「殻と板の理論」. S. Flügge (編).物理学ハンドブック. 第6a巻第2号. pp.  425– 640.
8. Basar, Y.; Weichert, D. (2000).固体の数値連続体力学：基本概念と展望. Springer.
9. Ciarlet, PG (2000).シェルの理論. 第1巻. エルゼビアサイエンス.
10. アインシュタイン、A. (1915). 「一般相対性理論への貢献」. ラチョス、C. (編). 『アインシュタインの10年』 p. 213. ISBN 0-521-38105-3。
11. ミスナー, CW; ソーン, KS; ウィーラー, JA (1973). 『重力』 WHフリーマン・アンド・カンパニーISBN 0-7167-0344-0。
12. Greenleaf, A.; Lassas, M.; Uhlmann, G. (2003). 「EITでは検出できない異方性導電率」.生理学的測定. 24 (2): 413– 419. doi : 10.1088/0967-3334/24/2/353 . PMID 12812426 . 
13. Leonhardt, U.; Philbin, TG (2006). 「電気工学における一般相対性理論」. New Journal of Physics . 8 (10): 247. arXiv : cond-mat/0607418 . Bibcode : 2006NJPh....8..247L . doi : 10.1088/1367-2630/8/10/247 .
14. オグデン
15. フリードマン、マイケル（1989年）『時空理論の基礎』プリンストン大学出版局、ISBN 0-691-07239-6。
16. ストンメル、ヘンリー・M.; ムーア、デニス・W. (1989). 『コリオリの力入門』 コロンビア大学出版局. ISBN 0-231-06636-8。
17. ビア、ジョンストン (1972).静力学と動力学（第2版）. マグロウヒル. p. 485. ISBN 0-07-736650-6。
18. ヒルデブランド、フランシス・B. ( 1992).応用数学の方法. ドーバー. p.  156. ISBN 0-13-579201-0。
19. McQuarrie, Donald Allan (2000).統計力学. University Science Books. ISBN 0-06-044366-9。
20. ウェーバー、ハンス＝ユルゲン、アーフケン、ジョージ・ブラウン(2004). 『物理学者のための必須数学的手法』アカデミック・プレス. p. 843. ISBN 0-12-059877-9。

さらに読む

• シュピーゲル、MR (1959)。ベクトル解析。ニューヨーク: シャウムのアウトライン シリーズ。ISBN 0-07-084378-3。
• アーフケン、ジョージ（1995年）『物理学者のための数学的手法』アカデミック・プレス、ISBN 0-12-059877-9。

外部リンク

• Planetmath.org 曲線座標における単位ベクトルの導出
• MathWorldの曲線座標に関するページ
• R. ブランノン教授の曲線座標に関する電子書籍
• Wikiversity:弾性/テンソル入門#テンソル場の発散– Wikiversity、弾性/テンソル入門。