小数点

10進法における数の位の値

十進記数法（十進位位記数法、デナリ/ d iː n ər i / [ 1 ]またはデカナリとも呼ばれる）は、整数と非整数の数を表す標準的な記数法である。これは、ヒンドゥー・アラビア記数法を非整数（小数）に拡張したものである。十進記数法における数の表記法は、しばしば十進記数法と呼ばれる。[ 2 ]

小数（単に「10進数」 、あるいは不正確ではあるが「10進数」とも呼ばれる）は、一般的に10進法による数値の表記法を指します。小数は、小数点（通常は「.」または「,」、例えば25.9703や3.1415など）で識別される場合もあります。[ 3 ]また、「 3.14はπを2桁小数で近似した値です」のように、小数点の後の数字のみを指す場合もあります。

有限長の小数で正確に表せる数は、小数です。つまり、a /10 nという形式の分数です。ここで、 aは整数、nは非負の整数です。小数は、整数と小数部を加算することによっても得られます。その結果得られる和は、分数と呼ばれることもあります。

小数は実数を近似するためによく使用されます。小数点以下の桁数を増やすことで、新しい桁を計算する方法があれば、近似誤差を望みどおりに小さくすることができます。科学では、小数点以下の桁数は通常、量の精度を示します。たとえば、質量が 1.32 ミリグラムと与えられた場合、通常、真の質量は 1.315 ミリグラムから 1.325 ミリグラムの間であると合理的に確信できることを意味します。一方、質量が 1.320 ミリグラムと与えられた場合は、実際の質量は 1.3195 ミリグラムから 1.3205 ミリグラムの間である可能性が高くなります。純粋数学でも同じことが当てはまります。たとえば、22 の平方根を小数点以下 2 桁で計算すると答えは 4.69 になりますが、小数点以下 3 桁で計算すると答えは 4.690 になります。 4.69 と 4.690 は同じ実数であるにもかかわらず、末尾の余分な 0 には意味があります。

原理的には、実数 の小数展開は小数点を越えるところまで好きなだけ行うことができます。展開の結果、残りの桁がすべてゼロになった場合は、その余りを省略することができ、このような展開は停止小数と呼ばれます。循環小数とは、ある桁の後に同じ数字の並びを無限に繰り返す無限小数です（例：5.123144144144144... = 5.123 144）。[ 4 ]無限小数は、循環小数であるか、または有限個の非ゼロ桁を持つ場合にのみ、2つの整数の商である有理数を表します。

起源

両手で10桁の数字、十進法の起源の可能性

古代文明の多くの記数法では、数を表わすのに10とその累乗が使われている。これはおそらく、両手に10本の指があり、人々が指を使って数え始めたためだろう。まずエジプト数字、次にブラーフミー数字、ギリシャ数字、ヘブライ数字、ローマ数字、漢数字がそうだ。[ 5 ]これらの古い記数法では非常に大きな数を表すことが難しく、最高の数学者だけが大きな数を掛け算または割り算することができた。これらの困難は、整数を表すためにヒンドゥー–アラビア数字の導入によって完全に解決された。このシステムは、小数または小数と呼ばれる整数以外の数を表すために拡張され、10進記数法を形成している。[ 5 ]

10進表記

十進法では、数値の表記に10桁の小数点と小数点記号、そして負の数を表すマイナス記号「-」を使用します。小数点は0、1、2、3、4、5、6、7、8、9です。[ 6 ]小数点の区切りは、多くの国（主に英語圏）ではドット「. 」、[ 7 ]ですが、他の国ではカンマ「, 」が使用されています。[ 3 ]

負でない数を表すために、10進数は

  • 数字の（有限の）シーケンス（「2017」など）で、シーケンス全体が整数を表します。
    1つのメートル1つのメートル−1…1つの0{\displaystyle a_{m}a_{m-1}\ldots a_{0}}
  • または、2つの数字の列を区切る小数点（「20.70828」など）
1つのメートル1つのメートル−1…1つの0。b1b2…bn{\displaystyle a_{m}a_{m-1}\ldots a_{0}.b_{1}b_{2}\ldots b_{n}}。

m > 0 、つまり最初の数列に少なくとも2桁の数字が含まれる場合、一般に最初の桁a mは0ではないと想定されます。 状況によっては、左側に1つ以上の0があると便利な場合があります。これにより、小数点で表される値が変更されることはありません。たとえば、3.14 = 03.14 = 003.14 です。同様に、小数点の右側の最後の桁が0の場合、つまりb n = 0の場合、その桁は削除できます。逆に、小数点の後に末尾の0を追加しても、表される数値は変更されません。[注 1 ]たとえば、15 = 15.0 = 15.00、5.2 = 5.20 = 5.200 です。

負の数を表すには、 mの前にマイナス記号を付けます。

数字は数を表す 1つのメートル1つのメートル−1…1つの0。b1b2…bn{\displaystyle a_{m}a_{m-1}\ldots a_{0}.b_{1}b_{2}\ldots b_{n}}

1つのメートル10メートル+1つのメートル−110メートル−1+⋯+1つの0100+b1101+b2102+⋯+bn10n{\displaystyle a_{m}10^{m}+a_{m-1}10^{m-1}+\cdots +a_{0}10^{0}+{\frac {b_{1}}{10^{1}}}+{\frac {b_{2}}{10^{2}}}+\cdots +{\frac {b_{n}}{10^{n}}}}。

10進数の整数部または整数部とは、小数点の左側に記される整数のことです（切り捨ても参照）。負でない10進数の場合、整数部は小数点以下の最大の整数です。小数点の右側の部分は小数部であり、数値とその整数部の差に相当します。

数値の整数部がゼロの場合、特に計算において整数部が書かれないことがあります（例えば、0.1234ではなく.1234）。通常の書き方では、小数点と他の句読点が混同される危険性があるため、このような書き方は避けられます。

簡単に言えば、各桁が数の値に与える影響は、その数字における位置によって決まります。つまり、十進法は位置に基づく記数法です。

小数

小数（特に明示的な分数を含む文脈では、10進数と呼ばれることもある）は、 分母が10の累乗である分数として表される有理数である。 [ 8 ]例えば、10進表現は分数を表す。0.8、14.89、0.00079、1.618、3.14159{\displaystyle 0.8,14.89,0.00079,1.618,3.14159}8/10⁠、 ⁠1489/100⁠、 ⁠79/100000⁠、 ⁠+1618/1000⁠と⁠+314159/100000⁠、したがって小数を表します。小数表現（有限桁数）で表せない分数の例としては、 ⁠があります。1/3⁠、3 は 10 の累乗ではありません。

より一般的には、区切り文字（ピリオドまたはカンマ）の後のn桁の小数は、分子が区切り文字を削除することによって得られる整数である、分母が10 n の分数を表します。

したがって、数が小数となるのは、有限の小数表現がある 場合のみです。

完全約分数として表される小数は、分母が2の累乗と5の累乗の積である数です。したがって、小数の最小の分母は

1=20⋅50,2=21⋅50,4=22⋅50,5=20⋅51,8=23⋅50,10=21⋅51,16=24⋅50,20=22⋅51,25=20⋅52,…{\displaystyle 1=2^{0}\cdot 5^{0},2=2^{1}\cdot 5^{0},4=2^{2}\cdot 5^{0},5=2^{0}\cdot 5^{1},8=2^{3}\cdot 5^{0},10=2^{1}\cdot 5^{1},16=2^{4}\cdot 5^{0},20=2^{2}\cdot 5^{1},25=2^{0}\cdot 5^{2},\ldots }

小数を使った近似値

小数はすべての実数を正確に表現できるわけではありません。しかし、あらゆる実数を任意の精度で近似することは可能です。例えば、小数点3.14159はπに近似し、10 −5未満の誤差となります。そのため、小数は科学、工学、そして日常生活において広く用いられています。

より正確には、すべての実数xとすべての正の整数nに対して、小数点以下の桁数が最大でnである 2 つの小数Lとuが存在し、 L ≤ x ≤ uかつ( u − L ) = 10 − nが成立します。

数値は、測定の結果として得られることが非常に多いです。測定には上限がわかっている測定不確かさの影響を受けるため、絶対測定誤差が上から10 − nに制限されていれば、測定結果は小数点以下n桁の小数で適切に表されます。実際には、測定結果は小数点以下の特定の桁数で示され、それが誤差の境界を示します。たとえば、0.080 と 0.08 は同じ数値を表しますが、小数 0.080 は誤差が 0.001 未満の測定値を示すのに対し、数値 0.08 は絶対誤差が 0.01 に制限されていることを示します。どちらの場合も、測定された量の真の値は、たとえば 0.0803 や 0.0796 などになります (有効数字も参照)。

無限小数展開

実数xと整数n ≥ 0について、[ x ] n を、 xより大きくなく、小数点以下ちょうどn桁となる最大の数の（有限）小数展開とする。d iを[ x ] iの最後の桁とする。 [ x ] n は[ x ] n −1の右にd n を付け加えることで得られることは明らかである。この方法により、

[ x ] n = [ x ] 0 . d 1 d 2 ... d n −1 d n ,

そして[ x ] n −1と[ x ] nの差は

|[x]n−[x]n−1|=dn⋅10−n<10−n+1{\displaystyle \left\vert \left[x\right]_{n}-\left[x\right]_{n-1}\right\vert =d_{n}\cdot 10^{-n}<10^{-n+1}}、

これは、 d n = 0の場合には 0 となり、n が無限大に近づくにつれて任意に小さくなります。極限の定義によれば、x はn が無限大に近づくときの[ x ] nの極限です。これは次の ように表されます。x=limn→∞[x]n{\textstyle \;x=\lim _{n\rightarrow \infty }[x]_{n}\;}

x = [ x ] 0 . d 1 d 2 ... d n ...、

これはxの無限小数展開と呼ばれます。

逆に、任意の整数[ x ] 0と任意の数字列に対して、（無限）式[ x ] 0 . d 1 d 2 ... d n ...は実数xの無限小数展開である。この展開は、n が十分に大きい場合（n が自然数 N より大きい場合）に、すべてのd nが 9 に等しくなく、すべてのd n が0 に等しくない場合に一意である。 (dn)n=1∞{\textstyle \;(d_{n})_{n=1}^{\infty }}

n > Nのすべてのd nが9 で、[ x ] n = [ x ] 0 . d 1 d 2 ... d n である場合、数列の極限は、9 ではない最後の数字、つまりd Nをd N + 1に置き換え、後続のすべての 9 を 0 に置き換えることによって得られる小数です( 0.999...を参照)。 ([x]n)n=1∞{\textstyle \;([x]_{n})_{n=1}^{\infty }}

このような小数、つまりn > Nに対してd n = 0は、 d N をd N − 1に 置き換え、後続のすべての 0 を 9 に置き換えることによって、同等の無限小数展開に変換できます( 0.999...を参照)。

要約すると、小数でない実数はすべて、一意の無限小数展開を持つ。各小数には正確に2つの無限小数展開が存在する。1つは、ある位以下が0のみとなるもので、これは上記の[ x ] nの定義によって得られる。もう1つは、ある位以下が9のみとなるもので、これは[ x ] n をxより小さく、小数点以下が正確にn桁である最大の数と定義することによって得られる。

有理数

長除法は、有理数の無限小数展開を計算することができます。有理数が小数点以下の場合、除算は最終的に停止し、小数を生成します。この小数は、無限に多くのゼロを追加することで無限展開へと延長することができます。有理数が小数点以下の場合、除算は無限に継続されます。しかし、連続する余りはすべて除数より小さいため、可能な余りの数は有限であり、ある時点以降、商において同じ数字の並びが無限に繰り返されます。つまり、循環小数となります。例えば、

⁠1/81⁠ = 0. 012345679 012... (グループ 012345679 は無限に繰り返されます)。

逆もまた真です。つまり、ある数値を 10 進数で表現したとき、ある時点で同じ数字の列が無限に繰り返される場合、その数値は有理数です。

例えば、xが0.4156156156...
10,000 xは4156.156156156...
そして10 xは4.156156156...
つまり10,000 x − 10 x、つまり9,990 xは4152.000000000...
そしてxは⁠4152/9990⁠

または、分子と分母の両方を6で割ると、692/1665⁠。

小数点計算

戦国時代の世界最古の掛け算表（紀元前 305年頃）の図

現代のコンピュータハードウェアおよびソフトウェアシステムのほとんどは、内部的には2進表現を使用するのが一般的です（ただし、ENIACやIBM 650などの初期のコンピュータの多くは、内部的に10進表現を使用していました）。[ 9 ] コンピュータ専門家が外部で使用するために、この2進表現は関連する8進数または16進数システムで表現されることがあります。

ただし、ほとんどの場合、バイナリ値は、人間に提示したり人間から入力したりするために、同等の 10 進数値に変換されます。コンピュータ プログラムは、デフォルトでリテラルを 10 進数で表現します。(たとえば、123.1 は、多くのコンピュータ言語ではその数値を正確にエンコードできないにもかかわらず、コンピュータ プログラムではそのように記述されます。)

コンピュータのハードウェアとソフトウェアはどちらも、小数値の格納と演算を行うために、実質的に10進数である内部表現を使用しています。この演算は、特にデータベース実装において、2進化10進数の何らかのバリエーションを使用してエンコードされたデータに対して行われることがよくあります。[ 10 ] [ 11 ]しかし、他の10進表現も使用されています（IEEE 754浮動小数点演算規格の新しい改訂版に見られるような10進浮動小数点数など）。[ 12 ]

コンピュータでは、小数点演算が用いられ、小数部の長さが固定された値を加算（または減算）した際の小数部の結果は常にこの長さの精度で計算されます。これは特に金融計算において重要であり、例えば簿記のために最小通貨単位の整数倍の結果が必要となる場合などです。これは2進法では不可能です。なぜなら、負のべき乗は有限の2進小数表現を持たないからです。また、一般に乗算（または除算）では不可能です。[ 13 ] [ 14 ]正確な計算については任意精度演算を参照してください。 10{\displaystyle 10}

歴史

世界最古の十進法の九九表は、中国の戦国時代、紀元前305年に竹簡で作られたものです。

多くの古代文化では、10を基準とした数字で計算を行っていた。これは人間の両手に10本の指があることが理由と思われる。[ 15 ]インダス文明（紀元前 3300～1300年頃）で使用されていた標準化された重量は、1/20、1/10、1/5、1/2、1、2、5、10、20、50、100、200、500という比率に基づいていた。また、標準化された定規であるモヘンジョダロの定規は、10の等しい部分に分割されていた。[ 16 ] [ 17 ] [ 18 ] 紀元前3000年頃から見られるエジプトの象形文字は純粋な10進法を使用しており[ 19 ]ミノア人の線文字A（紀元前 1800-1450年頃）[ 20 ] [ 21 ]やミケーネ人の線文字B（紀元前1400-1200年頃）も同様であった。中央ヨーロッパのウニェティツェ文化（紀元前2300-1600年）では、標準化された重量と10進法が貿易に使用されていた。[ 22 ]古代ギリシャの記数法も、ローマ数字と同様に、5を中間の底とする10の累乗を使用していた。[ 23 ]特筆すべきは、博学者アルキメデス（紀元前287年頃-212年頃）が著書『砂の計算書』の中で10の8乗に基づく十進法の位置システムを発明したことだ。[ 23 ] [ 24 ]ヒッタイトの象形文字（紀元前15世紀以降）も厳密に十進法であった。[ 25 ]

エジプトのヒエラティック数字、ギリシャ文字のアルファベット数字、ヘブライ文字のアルファベット数字、ローマ数字、中国の数字、そして初期のインドのブラーフミー数字はすべて非位取り十進法であり、多数の記号を必要としました。例えば、エジプトの数字は10、20～90、100、200～900、1,000、2,000、3,000、4,000、10,000にそれぞれ異なる記号を用いていました。[ 26 ] 世界最古の位取り十進法は中国の棒計算でした。[ 27 ]

世界最古の位取り十進法上段縦書き下段横書き

小数の歴史

数え棒 小数 1/7

紀元前2世紀以降、中国の長さの単位の一部は10の位に基づくものとなり、3世紀までにはこれらの計量単位は、位置に関係なく、長さの小数を表すために使用されました。[ 28 ]長さの小数の計算は、3～5世紀の孫子算経に記載されているように、位置計数棒を使用して行われました。5世紀の数学者祖崇志は、πの7桁の近似値を計算し、秦九抄の著書「九部数学論」（1247年）では、計数棒を使用して、測定値ではなく数値を表す小数を明示的に記述しています。[ 29 ] 0.96644という数は

寸
。

中国の科学史家たちは、小数の概念は中国から中東に伝わったのではないかと推測している。[ 27 ]

アル＝フワーリズミーは9世紀初頭にイスラム諸国に分数を導入しました。分数は分子を上に、分母を下に置き、横棒を使わずに書きます。この分数形式は何世紀にもわたって使用され続けました。[ 27 ] [ 30 ]

位取り小数は、10世紀にアラブの数学者アブー・アル・ハサン・アル・ウクリディシが著した本に初めて登場する。 [ 31 ]ユダヤ人の数学者イマニュエル・ボンフィスは1350年頃に小数を使用していたが、それを表す記法は開発しなかった。[ 32 ]ペルシャの数学者ジャムシード・アル・カーシーは15世紀に小数を使用し、発見したと主張した。[ 31 ]

近代ヨーロッパの十進記法の先駆けは、16世紀にシモン・ステヴィンによって導入されました。ステヴィンの影響力のある小冊子『De Thiende』（「十分の一の術」）は、1585年にオランダ語で初めて出版され、フランス語に『La Disme』として翻訳されました。[ 33 ]

ジョン・ネイピアは、1620年に死後に出版された対数表の作成に関する著書の中で、小数の整数部と小数部を区切るためにピリオド（.）を使用する方法を導入しました。[ 34 ]：p.8、アーカイブp.32

自然言語

インドでは、あらゆる自然数を10個の記号で表す方法が考案されました。[ 35 ]インドのいくつかの言語は、単純な十進法を採用しています。ドラヴィダ語族の言語では、10から20までの数は、10に1を足していく規則的なパターンで表されます。[ 36 ]

ハンガリー語もまた、簡明な十進法を採用しています。10から20までの数字はすべて規則的に表記されます（例えば、11は「tizenegy」（10分の1）と表現されます）。20から100までの数字も同様です（23は「huszonhárom」（20分の3）と表現されます）。

中国語、韓国語、タイ語は中国の十進法を採用している。十進法を用いる他の多くの言語では、10から20までの数字と10の位を表す特別な言葉がある。 例えば、英語では11は「 eleven 」であり、「 ten - one 」や「 one-teen」では ない。

ケチュア語やアイマラ語などのインカの言語では、11 は1 で 10と表され、23 は3 で 2 で 10と表される、ほぼ単純な 10 進法が採用されています。

一部の心理学者は、英語の数字名の不規則性が子供の数える能力を妨げる可能性があると示唆している。[ 37 ]

その他の基地

一部の文化では、他の数値の基数が使用されているか、使用されています。

  • マヤなどのコロンブス以前のメソアメリカ文化では、20 進法 (おそらく 20 本の指と足の指すべてを使用することに基づく)を使用していました。
  • カリフォルニアのユキ語とメキシコのオト・パメ語族[ 38 ]は、指そのものではなく、指と指の間のスペースを使って数えるため、8進法（基数-8）を採用しています。 [ 39 ]
  • ゲルマン語族の最も初期の痕跡に非十進基数が存在したことは、十進法で数えることを意味する単語や注釈の存在によって証明されている（「十数える」または「十進法」と同義）。これは、通常の数え方が十進法でない場合は当然のことであり、十進法であれば異例である。[ 40 ] [ 41 ] この数え方が知られている場合、それは「長百」＝120と「長千」＝1200に基づいている。「長い」などの表現は、キリスト教徒とともに「小百」＝100が登場した後にのみ現れる。ゴードンの『古ノルド語入門』[ 42 ]には、このシステムに属する数名が記載されている。 「一八〇」と同根の表現は200に翻訳され、「二百」と同根の表現は240に翻訳される。グッドアー[ 43 ]は中世スコットランドにおける長い百の使用について、繰り上がりによって1C（すなわち百）が120となる計算例などを挙げて詳述している。一般の人々がそのような数に出くわしても驚かなかったことから、十分に一般的に使用されていたことがわかる。また、長いポンド数えの代わりにストーンやポンドなどの中間単位を使用することで、百のような数を避けることも可能である。グッドアーは、7スコアのような数の例を挙げており、拡張スコアを使用することで百を避けている。WHスティーブンソンによる「長い百とイングランドにおけるその使用」という論文もある。[ 44 ] [ 45 ]
  • チュマシャン語族の言語の多く、あるいはすべては、もともと4を基数とする数え方を採用しており、数字の名前は4の倍数と16の倍数に従って構成されていました。[ 46 ]
  • 多くの言語[ 47 ]は5進法（基数5）を用いており、グマジュ語、ヌングブユ語[ 48 ] 、クーラン・コパン・ヌート語[ 49 ] 、サラベカ語などが含まれる。これらの言語のうち、グマジュ語は唯一真の5-25言語として知られており、25は5の上位のグループである。
  • ナイジェリア人の中には12進法を使用している人もいます。[ 50 ] インドとネパールのいくつかの小さなコミュニティでも、言語からもわかるように12進法を使用しています。[ 51 ]
  • パプアニューギニアのフリ語は15進数であると報告されている。[ 52 ] Nguiは15を意味し、ngui kiは15×2 = 30を意味し、ngui nguiは15×15 = 225を意味する。
  • ウンブ・ウング語（カコリ語としても知られる）は、24進数を持つと報告されている。[ 53 ]トカプは24を意味し、トカプ・タルは24×2＝48を意味し、トカプ・トカプは24×24＝576を意味する。
  • ンギティ語は4進法の周期を持つ32進法の記数法を持っていると報告されている。 [ 47 ]
  • パプアニューギニアのンドム語は6進数の数字を持つと報告されている。[ 54 ] Merは6を意味し、mer an thefは6×2 = 12を意味し、nifは36を意味し、nif thefは36×2 = 72を意味する。

参照

注記

  1. ^追加のゼロは、測定の精度を示すために使用される場合があります。例えば、「15.00 m」は測定誤差が1センチメートル（0.01 m）未満であることを示す場合がありますが、「15 m」は長さがおよそ15メートルで、誤差が10センチメートルを超える可能性があることを意味します。

参考文献

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