派生カテゴリ

数学において、アーベル圏Aの 導来圏D ( A ) は、 A上で定義される導来関手の理論を洗練し、ある意味では単純化するために導入されたホモロジー代数の構成である。この構成は、 D ( A )の対象がAの連鎖複体でなければならないという前提で進められ、そのような 2 つの連鎖複体は、連鎖複体のホモロジーのレベルで同型を誘導する連鎖写像が存在するときに同型であるとみなされる。次に、連鎖複体に対して導来関手を定義でき、ハイパーコホモロジーの概念を洗練させることができる。この定義により、複雑なスペクトル列によって（完全に忠実ではないが）記述される式が大幅に単純化される。

アレクサンダー・グロタンディークとその弟子ジャン＝ルイ・ヴェルディエが1960年直後に導来圏を発展させたことは、ホモロジー代数が1950年代に爆発的に発展した一因として現在では認識されている。この10年間、ホモロジー代数は目覚ましい発展を遂げた。ヴェルディエの基本理論は、1996年にAstérisque誌に最終的に発表された博士論文にまとめられている（その概要はSGA 4½誌に既に掲載されている）。この公理学には、三角形化圏という革新的な概念が必要であり、その構築は圏の局所化、すなわち環の局所化の一般化に基づいている。「導来」形式論を開発する最初のきっかけは、グロタンディークの整合双対性理論の適切な定式化を求める必要性から生まれた。導来圏はその後、代数幾何学の分野以外でも、例えばD加群理論や微小局所解析の定式化において不可欠なものとなった。最近導出されたカテゴリーは、 D ブレーンやミラー対称性など、物理学に近い分野でも重要になってきています。

非有界導来カテゴリは 1988 年に Spaltenstein によって導入されました。

動機

コヒーレント層理論では、特異でないスキームを仮定せずにセール双対性でできることの限界まで押し進めると、単一の双対化層の代わりに層の複合体全体を取る必要があることが明らかになりました。実際、非特異性の弱化であるコーエン–マコーレー環条件は、単一の双対化層の存在に対応しており、これは一般的なケースからはほど遠いものです。グロタンディークが常に前提としてきたトップダウンの知的立場からすると、これは再定式化の必要性を意味していました。それに伴い、「実際の」テンソル積とHom関数は導出レベルに存在するものになるという考えが生まれ、それらに関して、TorとExt はより計算デバイスのようなものになります。

抽象度の高さにもかかわらず、導来圏はその後数十年にわたって、特に層コホモロジーの便利な設定として受け入れられるようになった。おそらく最大の進歩は、1980年頃に1次元を超えるリーマン・ヒルベルト対応を導来項で定式化したことである。佐藤学派は導来圏の言語を採用し、その後のD加群の歴史は、それらの用語で表現された理論の歴史となった。

並行して発展したのが、ホモトピー理論におけるスペクトルの圏である。スペクトルのホモトピー圏と環の導来圏は、どちらも三角形化圏の例である。

意味

をアーベル圏とする。 （例としては、環上の加群の圏や位相空間上のアーベル群の層の圏などが挙げられる。）導来圏は、の項を持つコチェーン複体の圏に関する普遍性によって定義される。 の対象は以下の形式である 。あ{\displaystyle {\mathcal {A}}}D（あ）{\displaystyle D({\mathcal {A}})}コム⁡（あ）{\displaystyle \operatorname {Kom} ({\mathcal {A}})}あ{\displaystyle {\mathcal {A}}}コム⁡（あ）{\displaystyle \operatorname {Kom} ({\mathcal {A}})}

⋯→X−1→d−1X0→d0X1→d1X2→⋯、{\displaystyle \cdots \to X^{-1}\xrightarrow {d^{-1}} X^{0}\xrightarrow {d^{0}} X^{1}\xrightarrow {d^{1}} X^{2}\to \cdots ,}

ここで、各X iは の対象であり、各合成数は 0 である。複体のi番目のコホモロジー群は である。と がこのカテゴリの2つの対象である場合、射はとなる射の族として定義される。このような射はコホモロジー群 上の射を誘導し、これらの射のそれぞれが における同型である場合、擬同型と呼ばれる。 あ{\displaystyle {\mathcal {A}}}d私+1∘d私{\displaystyle d^{i+1}\circ d^{i}}H私（X∙）＝カー⁡d私/私は⁡d私−1{\displaystyle H^{i}(X^{\bullet })=\operatorname {ker} d^{i}/\operatorname {im} d^{i-1}}（X∙、dX∙）{\displaystyle (X^{\bullet },d_{X}^{\bullet })}（はい∙、dはい∙）{\displaystyle (Y^{\bullet },d_{Y}^{\bullet })}f∙:（X∙、dX∙）→（はい∙、dはい∙）{\displaystyle f^{\bullet }\colon (X^{\bullet },d_{X}^{\bullet })\to (Y^{\bullet },d_{Y}^{\bullet })}f私:X私→はい私{\displaystyle f_{i}\colon X^{i}\to Y^{i}}f私+1∘dX私＝dはい私∘f私{\displaystyle f_{i+1}\circ d_{X}^{i}=d_{Y}^{i}\circ f_{i}}H私（f∙）:H私（X∙）→H私（はい∙）{\displaystyle H^{i}(f^{\bullet })\colon H^{i}(X^{\bullet })\to H^{i}(Y^{\bullet })}f∙{\displaystyle f^{\bullet}}あ{\displaystyle {\mathcal {A}}}

導来圏の普遍的性質は、それが複素数の圏の準同型に関する局所化であるということである。具体的には、導来圏 は、関数 と共に以下の普遍的性質を持つ圏である。 が別の圏（必ずしもアーベル的ではない）であり、 がの準同型であるときはいつでも、その像が の同型であるような関数であるとする。この場合、 はを介し​​て因数分解される。この普遍的性質を持つ任意の2つの圏は同値である。 D（あ）{\displaystyle D({\mathcal {A}})}質問:コム⁡（あ）→D（あ）{\displaystyle Q\colon \operatorname {Kom} ({\mathcal {A}})\to D({\mathcal {A}})}C{\displaystyle {\mathcal {C}}}F:コム⁡（あ）→C{\displaystyle F\colon \operatorname {Kom} ({\mathcal {A}})\to {\mathcal {C}}}f∙{\displaystyle f^{\bullet}}コム⁡（あ）{\displaystyle \operatorname {Kom} ({\mathcal {A}})}F（f∙）{\displaystyle F(f^{\bullet })}C{\displaystyle {\mathcal {C}}}F{\displaystyle F}質問{\displaystyle Q}

ホモトピー圏との関係

と がの2つの射である場合、連鎖ホモトピーまたは単にホモトピーは、任意のiに対して となる射のコレクションです。2 つのホモトピー射がコホモロジー群上に同一の射を誘導することは簡単に示せます。 と がそれぞれ、および上の恒等射に連鎖ホモトピーとなるようなものが存在するとき、 は連鎖ホモトピー同値であるといいます。コチェーン複体のホモトピーカテゴリは、 と同じオブジェクトを持ちながら、その射が連鎖ホモトピーの関係に関して複体の射の同値類であるカテゴリです。オブジェクト上の恒等射であり、各射をその連鎖ホモトピー同値類に送る自然な関数 があります。すべての連鎖ホモトピー 同値f{\displaystyle f}グラム{\displaystyle g}X∙→はい∙{\displaystyle X^{\bullet }\to Y^{\bullet }}コム⁡（あ）{\displaystyle \operatorname {Kom} ({\mathcal {A}})}h:f→グラム{\displaystyle h\colon f\to g}h私:X私→はい私−1{\displaystyle h^{i}\colon X^{i}\to Y^{i-1}}fi−gi=dYi−1∘hi+hi+1∘dXi{\displaystyle f^{i}-g^{i}=d_{Y}^{i-1}\circ h^{i}+h^{i+1}\circ d_{X}^{i}}f:X∙→Y∙{\displaystyle f\colon X^{\bullet }\to Y^{\bullet }}g:Y∙→X∙{\displaystyle g\colon Y^{\bullet }\to X^{\bullet }}g∘f{\displaystyle g\circ f}f∘g{\displaystyle f\circ g}X∙{\displaystyle X^{\bullet }}Y∙{\displaystyle Y^{\bullet }}K(A){\displaystyle K({\mathcal {A}})}Kom⁡(A){\displaystyle \operatorname {Kom} ({\mathcal {A}})}Kom⁡(A)→K(A){\displaystyle \operatorname {Kom} ({\mathcal {A}})\to K({\mathcal {A}})}Q{\displaystyle Q}D(A){\displaystyle D({\mathcal {A}})}

モデルカテゴリの観点から見ると、導出カテゴリD ( A )は複体のカテゴリの真の「ホモトピーカテゴリ」であり、K ( A )は「ナイーブホモトピーカテゴリ」と呼ばれることもあります。

導出カテゴリの構築

導来圏には複数の構成法が考えられます。 が小さな圏である場合、準同型の逆を形式的に付加することで導来圏を直接構成することができます。これは、生成元と関係による圏の一般的な構成法の一例です。[ 1 ]A{\displaystyle {\mathcal {A}}}

が大きな圏である場合、集合論的な理由からこの構成は機能しません。この構成は、射をパスの同値類として構築します。がオブジェクトの適切なクラスを持ち、それらすべてが同型である場合、これらのオブジェクトの任意の2つの間にはパスの適切なクラスが存在します。したがって、生成子と関係の構成は、2つのオブジェクト間の射が適切なクラスを形成することを保証するだけです。しかし、圏における2つのオブジェクト間の射は通常、集合である必要があるため、この構成は実際の圏を生成することができません。 A{\displaystyle {\mathcal {A}}}A{\displaystyle {\mathcal {A}}}

しかしながら、たとえが小さい場合でも、生成元と関係による構成は一般に構造が不透明な圏、すなわち射が任意の長さのパスであり、不可解な同値関係に従うような圏に帰着する。このため、集合論が問題とならない場合でも、導来圏をより具体的に構成するのが慣例となっている。 A{\displaystyle {\mathcal {A}}}

これらの他の構成はホモトピーカテゴリを経由します。 における準同型のコレクションは、乗法システムを形成します。これは、複雑なパスをより単純なものに書き換えることができる条件のコレクションです。ガブリエル・ジスマン定理は、乗法システム における局所化が屋根によって簡単に記述できることを意味しています。[ 2 ]における 射はのペアとして記述でき、ここで何らかの複素数 に対して、は準同型であり、は射の連鎖ホモトピー同値類です。概念的には、これは を表します。2 つの屋根は、共通のオーバールーフを持つ場合、同値です。 K(A){\displaystyle K({\mathcal {A}})}X∙→Y∙{\displaystyle X^{\bullet }\to Y^{\bullet }}D(A){\displaystyle D({\mathcal {A}})}(s,f){\displaystyle (s,f)}Z∙{\displaystyle Z^{\bullet }}s:Z∙→X∙{\displaystyle s\colon Z^{\bullet }\to X^{\bullet }}f:Z∙→Y∙{\displaystyle f\colon Z^{\bullet }\to Y^{\bullet }}f∘s−1{\displaystyle f\circ s^{-1}}

射の連鎖を屋根に置き換えることで、大きな圏の導来圏に関わる集合論的問題の解決も可能になる。複体を固定し、その対象が と の余域における準同型であり、その射が可換図式である圏を考える。これは、その上の構造写像が準同型である対象の圏である。すると、乗法系条件から、からへの射は X∙{\displaystyle X^{\bullet }}IX∙{\displaystyle I_{X^{\bullet }}}K(A){\displaystyle K({\mathcal {A}})}X∙{\displaystyle X^{\bullet }}X∙{\displaystyle X^{\bullet }}D(A){\displaystyle D({\mathcal {A}})}X∙{\displaystyle X^{\bullet }}Y∙{\displaystyle Y^{\bullet }}

lim→IX∙⁡HomK(A)⁡((X′)∙,Y∙),{\displaystyle \varinjlim _{I_{X^{\bullet }}}\operatorname {Hom} _{K({\mathcal {A}})}((X')^{\bullet },Y^{\bullet }),}

この余極限が実際には集合であると仮定する。は潜在的に大きな圏であるが、場合によっては小さな圏によって制御される。例えば、がグロタンディークのアーベル圏（つまり、AB5を満たし、生成元の集合を持つ）である場合がこれに該当し、本質的な点は、有界濃度の対象のみが関係するという点である。[ 3 ] このような場合、極限は小さなサブ圏上で計算することができ、これにより結果が集合になることが保証される。そして、はこれらの集合をその集合として持つように定義することができる。 IX∙{\displaystyle I_{X^{\bullet }}}A{\displaystyle {\mathcal {A}}}D(A){\displaystyle D({\mathcal {A}})}Hom{\displaystyle \operatorname {Hom} }

導来範疇の射をホモトピー範疇の射で置き換えることに基づく別のアプローチがある。 導来範疇の射で、余域が入射オブジェクトの下有界複体であるものは、ホモトピー範疇のこの複体への射と同じである。これは項ごとの単射性から従う。項ごとの単射性をもっと強い条件で置き換えると、有界でない複体にも当てはまる同様の性質が得られる。複体がK単射であるとは、すべての非巡回複体 に対して が成り立つことである。このことの直接的な帰結は、すべての複体 に対して、 の射は のそのような射と同じである、ということである。グロタンディークとスパルテンシュタインの研究を一般化したセルペの定理は、グロタンディークのアーベル範疇ではすべての複体が入射項を持つ K 単射複体に準同型であり、さらにこれは関数的であることを主張している。[ 4 ] 特に、導来圏における射は、K-単射的解決を経てホモトピー圏における射を計算することで定義できる。セルペ構成の関数性は、射の合成が明確に定義されていることを保証する。ルーフを用いた構成と同様に、この構成も導来圏に適切な集合論的性質を保証するが、今回はこれらの性質がホモトピー圏によって既に満たされているためである。 I∙{\displaystyle I^{\bullet }}X∙{\displaystyle X^{\bullet }}HomK(A)⁡(X∙,I∙)=0{\displaystyle \operatorname {Hom} _{K({\mathcal {A}})}(X^{\bullet },I^{\bullet })=0}X∙{\displaystyle X^{\bullet }}X∙→I∙{\displaystyle X^{\bullet }\to I^{\bullet }}K(A){\displaystyle K({\mathcal {A}})}D(A){\displaystyle D({\mathcal {A}})}

派生ホムセット

前述のように、導来圏では、hom集合は屋根、あるいは谷によって表現されます。ここで、は準同型です。元の形をよりよく理解するために、正確な列を考えてみましょう。 X→Y′←Y{\displaystyle X\rightarrow Y'\leftarrow Y}Y→Y′{\displaystyle Y\to Y'}

0→En→ϕn,n−1En−1→ϕn−1,n−2⋯→ϕ1,0E0→0{\displaystyle 0\to {\mathcal {E}}_{n}{\overset {\phi _{n,n-1}}{\rightarrow }}{\mathcal {E}}_{n-1}{\overset {\phi _{n-1,n-2}}{\rightarrow }}\cdots {\overset {\phi _{1,0}}{\rightarrow }}{\mathcal {E}}_{0}\to 0}

これを用いて、上の複体を切り捨て、シフトし、そして上の自明な射を用いることで射を構成することができる。具体的には、以下の図が得られる。 ϕ:E0→En[+(n−1)]{\displaystyle \phi :{\mathcal {E}}_{0}\to {\mathcal {E}}_{n}[+(n-1)]}

0→En→0→⋯→0→0↑↑↑⋯↑↑0→En→En−1→⋯→E1→0↓↓↓⋯↓↓0→0→0→⋯→E0→0{\displaystyle {\begin{matrix}0&\to &{\mathcal {E}}_{n}&\to &0&\to &\cdots &\to &0&\to &0\\\uparrow &&\uparrow &&\uparrow &&\cdots &&\uparrow &&\uparrow \\0&\to &{\mathcal {E}}_{n}&\to &{\mathcal {E}}_{n-1}&\to &\cdots &\to &{\mathcal {E}}_{1}&\to &0\\\downarrow &&\downarrow &&\downarrow &&\cdots &&\downarrow &&\downarrow \\0&\to &0&\to &0&\to &\cdots &\to &{\mathcal {E}}_{0}&\to &0\end{matrix}}}

下の複体が次数 に集中している場合、唯一の非自明な上向き矢印は等式射であり、唯一の非自明な下向き矢印は である。この複体の図は射を定義する。 E0{\displaystyle {\mathcal {E}}_{0}}0{\displaystyle 0}ϕ1,0:E1→E0{\displaystyle \phi _{1,0}:{\mathcal {E}}_{1}\to {\mathcal {E}}_{0}}

ϕ∈RHom(E0,En[+(n−1)]){\displaystyle \phi \in \mathbf {RHom} ({\mathcal {E}}_{0},{\mathcal {E}}_{n}[+(n-1)])}

導来カテゴリにおいて。この観察の応用例の一つは、アティヤ級の建造である。[ 5 ]

備考

特定の目的（下記参照）においては、非有界複体の代わりに、有界下複体（の場合） 、有界上複体（の場合）、または有界複体（の場合）が用いられる。対応する導来圏は通常、それぞれD + (A)、D − (A)、D b (A)と表記される。 Xn=0{\displaystyle X^{n}=0}n≪0{\displaystyle n\ll 0}Xn=0{\displaystyle X^{n}=0}n≫0{\displaystyle n\gg 0}Xn=0{\displaystyle X^{n}=0}|n|≫0{\displaystyle |n|\gg 0}

カテゴリに関して、あるオブジェクトから別のオブジェクト（クラスだけではなく）への射の集合が存在するという古典的な観点を採用する場合、これを証明するために追加の議論を行う必要があります。たとえば、アーベルカテゴリAが小さい場合、つまりオブジェクトの集合のみを持つ場合、この問題は問題になりません。また、Aがグロタンディークアーベルカテゴリである場合、導来カテゴリD ( A ) はホモトピーカテゴリK ( A ) の完全なサブカテゴリと同値であり、したがって、あるオブジェクトから別のオブジェクトへの射の集合のみを持ちます。[ 6 ]グロタンディークアーベルカテゴリには、環上の加群のカテゴリ、位相空間上のアーベル群の層のカテゴリ、およびその他の多くの例が含まれます。

導来圏における射、すなわちルーフの合成は、合成対象となる2つのルーフの上に​​3つ目のルーフを見つけることによって達成されます。これが可能であり、明確に定義された結合的合成を与えることは検証可能です。

K(A)は三角化圏なので、その局所化D(A)も三角化される。整数nと複素数Xに対して、複素数X [ n ]をXをnだけシフトしたものと 定義する[ 7 ]。

X[n]i=Xn+i,{\displaystyle X[n]^{i}=X^{n+i},}

差動付き

dX[n]=(−1)ndX.{\displaystyle d_{X[n]}=(-1)^{n}d_{X}.}

定義により、 D(A)における区別三角形とは、複素数f : X → Yの写像に対して、 D(A)において三角形X → Y →Cone( f )→ X [1]と同型となる三角形のことである。ここでCone( f )はfの写像錐を表す。特に、短完全列に対して

0→X→Y→Z→0{\displaystyle 0\rightarrow X\rightarrow Y\rightarrow Z\rightarrow 0}

Aにおいて、三角形X → Y → Z → X [1] はD(A)において区別される。ヴェルディエは、シフトX [1] の定義は、 X [1] が射X → 0の錐であることを要求することによって強制されると説明した。 [ 8 ]

Aの対象を0次に集中した複体と見なすと、導来圏D(A)はAを完全な部分圏として含む。導来圏の射はすべてのExt群に関する情報を含む。A内の任意の対象XとY、および任意の整数jについて、

HomD(A)(X,Y[j])=ExtAj(X,Y).{\displaystyle {\text{Hom}}_{D({\mathcal {A}})}(X,Y[j])={\text{Ext}}_{\mathcal {A}}^{j}(X,Y).}

射影的解決と単射的解決

ホモトピー同値は準同型であることは容易に証明できるので、上記の構成における2番目のステップは省略できる。この定義は、標準関数の存在を明らかにするため、通常このように与えられる。

K(A)→D(A).{\displaystyle K({\mathcal {A}})\rightarrow D({\mathcal {A}}).}

具体的な状況では、導来圏における射を直接扱うことは非常に困難、あるいは不可能です。そのため、導来圏と同値で、より扱いやすい圏を探します。古典的には、これには射影的解決と単射的解決という2つの（双対的な）アプローチがあります。どちらの場合も、上記の標準関数を適切な部分圏に制限することは、圏の同値性となります。

以下では、導来カテゴリのコンテキストにおける入射的解析の役割について説明します。これは、右導来関手を定義するための基礎であり、位相空間上の層のコホモロジーや、エタールコホモロジーや群コホモロジーなどのより高度なコホモロジー理論に重要な応用があります。

この手法を適用するには、問題のアーベル圏に十分な数の単射が存在すると仮定する必要がある。これは、その圏の任意の対象X が単射対象I への単射性を持つことを意味する。（写像も単射対象も一意に特定される必要はない。）例えば、任意のグロタンディークのアーベル圏には十分な数の単射が存在する。Xを何らかの単射対象I 0に埋め込み、この写像の余核を何らかの単射対象I 1に埋め込むなどして、Xの単射的分解、すなわち正確な（一般に無限の）列を 構築する。

0→X→I0→I1→⋯,{\displaystyle 0\rightarrow X\rightarrow I^{0}\rightarrow I^{1}\rightarrow \cdots ,\,}

ここで、I * は入射的対象である。この考え方は一般化して、下有界複体Xの分解、すなわちnが十分に小さい場合X n = 0を与える。上述のように、入射的分解は一意に定義されるわけではないが、任意の2つの分解が互いにホモトピー同値であること、すなわちホモトピー圏において同型であることは事実である。さらに、複体の射は、与えられた2つの入射的分解の射に一意に拡張される。

ここでホモトピーカテゴリが再び登場する。AのオブジェクトXをAの（任意の）単射的解決I *に写すと、関数

D+(A)→K+(Inj(A)){\displaystyle D^{+}({\mathcal {A}})\rightarrow K^{+}(\mathrm {Inj} ({\mathcal {A}}))}

下有界導来カテゴリから、項がAに入射するオブジェクトである複体の下有界ホモトピーカテゴリへ。

この関手が、冒頭で述べた正準局所化関手の制約の逆であることは容易に理解できる。言い換えれば、導来圏における射 Hom( X , Y ) は、 XとY の両方を解決し、ホモトピー圏における射を計算することで計算できる。これは少なくとも理論的にはより容易である。実際、任意の 複素数Xと任意の下有界複素数Yに対して、 Y を解決すれば十分である。

HomD(A)(X,Y)=HomK(A)(X,Y).{\displaystyle \mathrm {Hom} _{D(A)}(X,Y)=\mathrm {Hom} _{K(A)}(X,Y).}

双対的に、A に十分な射影が存在する、つまりすべてのオブジェクトXに対して射影オブジェクトPからXへのエピモーフィズムが存在すると仮定すると、単射解決の代わりに射影解決を使用できます。

1988年、スパルテンシュタインは非有界導来圏（Spaltenstein (1988)）を定義し、これは特異空間の研究において直ちに有用であることが証明された。例えば、非有界導来圏の様々な応用については、柏原とシャピラの著書『Categories and Sheaves』を参照のこと。スパルテンシュタインは、いわゆるK-単射的分解とK-射影的分解を用いた。

Keller (1994)と May (2006) は、DG-代数上の加群の導来圏を記述している。Keller はまた、Koszul 双対性、リー代数コホモロジー、ホックシルトホモロジーへの応用も示している。

より一般的には、定義を慎重に適応させることで、正確なカテゴリの導出カテゴリを定義することが可能である（Keller 1996）。

導来関数との関係

導来圏は、導来関手を定義・研究するための自然な枠組みである。以下では、F : A → Bをアーベル圏の関手とする。双対概念が2つ存在する。

  • 右導関数は左完全関数から派生し、単射的解決によって計算される。
  • 左導関数は右完全関数から派生し、射影的解決によって計算される。

以下では右導関数について述べる。したがって、F は左完全であると仮定する。典型的な例としては、ある固定された対象A に対してX ↦ Hom( X , A ) またはX ↦ Hom( A , X ) で与えられるF : A → Ab 、あるいは層上の大域切断関数、あるいは直接像関数が挙げられる。これらの右導関数はそれぞれExt n (–, A )、Ext n ( A ,–)、H n ( X , F )、あるいはR n f ∗ ( F )である。

導来圏は、すべての導来関手R n Fを一つの関手、すなわちいわゆる全導来関手RF : D + ( A )→ D + ( B )にカプセル化することを可能にする。これは以下の構成である: D + ( A )≅K + ( Inj( A ))→ K + ( B )→ D + ( B ) 。ここで、最初の圏の同値性は上で述べた通りである。古典的な導来関手は、 R n F ( X )= Hn ( RF ( X ))を介して全導来関手と関連付けられている。R n Fは連鎖複体を忘れてコホモロジーのみを保持するのに対し、RFは複体を追跡すると言える。

導来圏は、ある意味では、これらの関数を研究するのに「適切な」場所である。例えば、2つの関数の合成の グロタンディークスペクトル列は、

A→FB→GC,{\displaystyle {\mathcal {A}}{\stackrel {F}{\rightarrow }}{\mathcal {B}}{\stackrel {G}{\rightarrow }}{\mathcal {C}},\,}

FがAの単射な対象をG非巡回体（すなわち、すべてのi  > 0および単射なIに対してR i G ( F ( I )) = 0）に写すような関数は、次の全導出関数の恒等式の表現である。

R(G∘F)≅RG∘RF.{\displaystyle R(G\circ F)\cong RG\circ RF.}

J.-L. Verdier は、アーベルカテゴリAに関連付けられた導来関数が、適切な導来カテゴリへ のAの埋め込みに沿ったKan 拡張としてどのように見えるかを示しました [Mac Lane]。

導出同値性

二つのアーベル圏AとBが同値ではないが、その導来圏 D( A ) と D( B ) が同値であるという場合がある。これはしばしばAとBの間の興味深い関係である。このような同値性は、三角圏におけるt-構造の理論と関連している。以下にいくつか例を挙げる。[ 9 ]

  • 体k上の射影直線上の連接層のアーベル圏を K 2 -Rep とする。2頂点を持つクロネッカーの箙の表現のアーベル圏をK 2 -Rep とする。これらは非常に異なるアーベル圏であるが、それらの（有界な）導来圏は同値である。Coh(P1){\displaystyle \mathrm {Coh} (\mathbb {P} ^{1})}
  • Q を任意の矢筒とし、PをQからいくつかの矢印を反転させることで得られる矢筒とする。一般に、 QとPの表現の圏は異なるが、D b ( Q -Rep) は常に D b ( P -Rep)と同値である。
  • X をアーベル多様体、Yをその双対アーベル多様体 とする。すると、フーリエ・向変換の理論により、 D b (Coh( X )) は D b (Coh( Y )) と同値となる。連接層の導来圏と同値な多様体は、フーリエ・向パートナーと呼ばれることがある。

参照

注記

  1. ^ Mac Lane、「働く数学者のためのカテゴリー」。
  2. ^ガブリエル、ピーター、ジスマン、M. (2012年12月6日). 「1.2 分数の微積分：命題2.4」.分数の微積分とホモトピー理論. シュプリンガー. p. 14. ISBN 978-3-642-85844-4。
  3. ^ Weibel 1994、注釈 10.4.5 および正誤表
  4. ^ Stacks プロジェクト、タグ 079P。
  5. ^ Markarian, Nikita (2009). 「アティヤ類、ホックシルトコホモロジー、そしてリーマン・ロッホ定理」.ロンドン数学会誌. 79 : 129–143 . arXiv : math/0610553 . doi : 10.1112/jlms/jdn064 . S2CID 16236000 . 
  6. ^柏原 & シャピラ 2006、定理 14.3.1
  7. ^ Gelfand & Manin 2003、III.3.2
  8. ^ Verdier 1996、Ch. の付録。 1
  9. ^ケラー、ベルンハルト (2003). 「導出範疇と傾斜」(PDF) .

参考文献

導出カテゴリーについて解説した教科書は次の 4 冊です。

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