遅延微分方程式

数学において、遅延微分方程式（DDE ）は、ある時点における未知の関数の導関数が、その前の時点における関数の値によって表される微分方程式の一種である。DDEは、時間遅延システム、余効またはむだ時間を持つシステム、遺伝システム、偏微分方程式、微分差分方程式とも呼ばれる。これらは関数状態を持つシステムのクラス、すなわち有限次元の状態ベクトルを持つ常微分方程式（ODE ）とは対照的に、無限次元の偏微分方程式（PDE）に属する。DDEの人気の理由として考えられるのは以下の4点である。^{[ 1 ]}

1. 残効は応用問題です。動的性能に対する期待が高まるにつれ、エンジニアはモデルを現実のプロセスにより近い形で動作させることを求めていることはよく知られています。多くのプロセスは、その内部ダイナミクスに残効現象を含んでいます。さらに、アクチュエータ、センサー、そしてフィードバック制御ループに組み込まれるようになった通信ネットワークも、同様の遅延をもたらします。そして、実際の遅延に加えて、時間差は超高次モデルを簡略化するために頻繁に使用されます。そのため、DDEへの関心はあらゆる科学分野、特に制御工学において高まり続けています。
2. 遅延システムは依然として多くの古典的制御器に対して抵抗性を持っています。最も単純なアプローチは、それらを有限次元近似に置き換えることであると考えられます。しかし残念ながら、DDEによって適切に表現される効果を無視することは、一般的な選択肢ではありません。最良の状況（一定かつ既知の遅延）では、制御設計に同程度の複雑さをもたらします。最悪の場合（例えば、時間とともに変化する遅延）には、安定性と振動の点で壊滅的な結果をもたらす可能性があります。
3. 遅延を自発的に導入すると制御システムに利益をもたらす可能性がある。^{[ 2 ]}
4. DDE は複雑であるにもかかわらず、偏微分方程式(PDE) の非常に複雑な領域では、単純な無限次元モデルとして現れることがよくあります。

に対する時間遅れ微分方程式の一般的な形は、過去 における解の軌跡を表す。この方程式において、 はからへの関数演算子である。${\displaystyle x(t)\in \mathbb {R} ^{n}}$ $${\displaystyle {\frac {d}{dt}}x(t)=f(t,x(t),x_{t}),}$$ ${\displaystyle x_{t}=\{x(\tau ):\tau \leq t\}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \mathbb {R} \times \mathbb {R} ^{n}\times C^{1}(\mathbb {R} ,\mathbb {R} ^{n})}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}.}$

例

• 継続的な遅延$${\displaystyle {\frac {d}{dt}}x(t)=f{\left(t,x(t),\int _{-\infty }^{0}x(t+\tau )\,d\mu (\tau )\right)}}$$
• 離散遅延$${\displaystyle {\frac {d}{dt}}x(t)=f(t,x(t),x(t-\tau _{1}),\dots ,x(t-\tau _{m}))}$$ ${\displaystyle \tau_{1}>\dots >\tau_{m}\geq 0.}$
• 離散遅延を伴う線形で、です。$${\displaystyle {\frac {d}{dt}}x(t)=A_{0}x(t)+A_{1}x(t-\tau _{1})+\dots +A_{m}x(t-\tau _{m})}$$ ${\displaystyle A_{0},\dotsc ,A_{m}\in \mathbb {R} ^{n\times n}}$
• パンタグラフ方程式。ここでa、b、λは定数であり、0 < λ < 1です。この方程式といくつかのより一般的な形は、電車のパンタグラフにちなんで名付けられています。^{[ 3 ] [ 4 ]}$${\displaystyle {\frac {d}{dt}}x(t)=ax(t)+bx(\lambda t),}$$

DDEを解く

DDEは、ほとんどの場合、ステップ法と呼ばれる原理を用いて段階的に解かれます。例えば、1つの遅延を持つDDEを考えてみましょう。 $${\displaystyle {\frac {d}{dt}}x(t)=f(x(t),x(t-\tau ))}$$

初期条件が与えられている場合、区間 上の解は で与えられ、これは の非同次初期値問題の解である 。これは、前の区間の解を非同次項として用いることで、後続の区間に対しても同様に解くことができる。実際には、初期値問題は数値的に解かれることが多い。 ${\displaystyle \phi \colon [-\tau ,0]\to \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle [0,\tau ]}$ ${\displaystyle \psi (t)}$ $${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\psi (t)=f(\psi (t),\phi (t-\tau )),}$$ ${\displaystyle \psi (0)=\phi (0)}$

例

と仮定する。すると、初期値問題は積分によって解くことができる。 ${\displaystyle f(x(t),x(t-\tau ))=ax(t-\tau )}$ ${\displaystyle \phi (t)=1}$

$${\displaystyle x(t)=x(0)+\int _{s=0}^{t}{\frac {d}{dt}}x(s)\,ds=1+a\int _{s=0}^{t}\phi (s-\tau )\,ds,}$$

すなわち、初期条件は で与えられる。同様に、区間 について 積分し、初期条件を近似する。 ${\displaystyle x(t)=at+1}$ ${\displaystyle x(0)=\phi (0)=1}$ ${\displaystyle t\in [\tau ,2\tau ]}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}x(t)=x(\tau )+\int _{s=\tau }^{t}{\frac {d}{dt}}x(s)\,ds&=(a\tau +1)+a\int _{s=\tau }^{t}\left(a(s-\tau )+1\right)ds\\&=(a\tau +1)+a\int _{s=0}^{t-\tau }\left(as+1\right)ds,\end{aligned}}}$$

すなわち、${\textstyle x(t)=(a\tau +1)+a(t-\tau )\left({\frac {1}{2}}{a(t-\tau )}+1\right).}$

常微分方程式への簡約

場合によっては、微分方程式は遅延微分方程式のような形式で表現されることがあります。

• 例1方程式を考える 常微分方程式系を得るために導入する$${\displaystyle {\frac {d}{dt}}x(t)=f\left(t,x(t),\int _{-\infty }^{0}x(t+\tau )e^{\lambda \tau }\,d\tau \right).}$$ ${\displaystyle y(t)=\int _{-\infty }^{0}x(t+\tau )e^{\lambda \tau }\,d\tau }$ $${\displaystyle {\frac {d}{dt}}x(t)=f(t,x,y),\quad {\frac {d}{dt}}y(t)=x-\lambda y.}$$
• 例2次の式は次の式と等しい。$${\displaystyle {\frac {d}{dt}}x(t)=f\left(t,x(t),\int _{-\infty }^{0}x(t+\tau )\cos(\alpha \tau +\beta )\,d\tau \right)}$$ $${\displaystyle {\frac {d}{dt}}x(t)=f(t,x,y),\quad {\frac {d}{dt}}y(t)=\cos(\beta )x+\alpha z,\quad {\frac {d}{dt}}z(t)=\sin(\beta )x-\alpha y,}$$ $${\displaystyle y=\int _{-\infty }^{0}x(t+\tau )\cos(\alpha \tau +\beta )\,d\tau ,\quad z=\int _{-\infty }^{0}x(t+\tau )\sin(\alpha \tau +\beta )\,d\tau .}$$

特性方程式

常微分方程式と同様に、線形DDEの多くの性質は特性方程式を用いて特徴づけられ、分析することができる。^{[ 5 ]}離散遅延を伴う線形DDEに関連する特性方程式は 指数多項式であり、次式で表される。$${\displaystyle {\frac {d}{dt}}x(t)=A_{0}x(t)+A_{1}x(t-\tau _{1})+\dots +A_{m}x(t-\tau _{m})}$$ $${\displaystyle \det(-\lambda I+A_{0}+A_{1}e^{-\tau _{1}\lambda }+\dotsb +A_{m}e^{-\tau _{m}\lambda })=0.}$$

特性方程式の根λは特性根または固有値と呼ばれ、解の集合はしばしばスペクトルと呼ばれる。特性方程式の指数関数のため、DDE は ODE の場合とは異なり、無限の数の固有値を持ち、スペクトル解析はより複雑になる。しかし、スペクトルには解析に利用できるいくつかの特性がある。例えば、固有値は無限に存在するが、複素平面の任意の垂直な帯状領域には有限の数の固有値しか存在しない。^{[ 6 ]}

この特性方程式は非線形固有値問題であり、スペクトルを数値的に計算する方法は数多く存在する。^{[ 7 ] [ 8 ]}特殊な状況では、特性方程式を明示的に解くことも可能である。例えば、次のDDEを考えてみよう。 特性方程式は 次式で与えられる。この方程式には、複素数λ に対して無限の解が存在する。それらは次式で与えられる 。 ここで、W _kはランベルトW関数のk番目の枝である。したがって、 $${\displaystyle {\frac {d}{dt}}x(t)=-x(t-1).}$$ $${\displaystyle -\lambda -e^{-\lambda }=0.}$$ $${\displaystyle \lambda =W_{k}(-1),}$$ $${\displaystyle x(t)=x(0)\,e^{W_{k}(-1)\cdot t}.}$$

別の例

以下のDDE: ^{[ 9 ]}$${\displaystyle {\frac {d}{dt}}u(t)=2u(2t+1)-2u(2t-1).}$$

関数^{[ 10 ]}の解はファビウス関数で、Rvachëv up関数としても知られています。^{[ 11 ]}${\displaystyle \mathbb {R} }$ $${\displaystyle u(t)={\begin{cases}F(t+1),&|t|<1\\0,&|t|\geq 1\end{cases}}}$$ ${\displaystyle F(t)}$

アプリケーション

• 糖尿病のダイナミクス^{[ 12 ]}
• 疫学^{[ 13 ] [ 14 ]}
• 人口動態^{[ 15 ] [ 16 ]}
• 古典電気力学^{[ 17 ]}

参照

• 関数微分方程式
• ハラナイ不平等
• 怒りの機能

参考文献

1. リチャード、ジャン＝ピエール (2003). 「時間遅延システム：最近の進歩と未解決の問題の概要」. Automatica . 39 (10): 1667– 1694. doi : 10.1016/S0005-1098(03)00167-5 .
2. Lavaei, Javad; Sojoudi, Somayeh ; Murray, Richard M. (2010). 「遅延ベースの連続時間制御器のシンプルな実装」 2010年アメリカ制御会議論文集pp.  5781– 5788. doi : 10.1109/ACC.2010.5530439 . ISBN 978-1-4244-7427-1. S2CID  1200900 .
3. Griebel, Thomas (2017-01-01). 「量子計算におけるパントグラフ方程式」修士論文.
4. Ockendon, John Richard; Tayler, AB; Temple, George Frederick James (1971-05-04). 「電気機関車用集電システムのダイナミクス」 . Proceedings of the Royal Society of London. Series A, Mathematical and Physical Sciences . 322 (1551): 447– 468. Bibcode : 1971RSPSA.322..447O . doi : 10.1098/rspa.1971.0078 . S2CID 110981464 . 
5. Michiels, Wim; Niculescu, Silviu-Iulian (2007).時間遅れシステムの安定性と安定化. 設計と制御の進歩. 工業応用数学協会. pp.  3– 32. doi : 10.1137/1.9780898718645 . ISBN 978-0-89871-632-0。
6. Michiels, Wim; Niculescu, Silviu-Iulian (2007).時間遅れシステムの安定性と安定化. 設計と制御の進歩. 工業応用数学協会. p. 9. doi : 10.1137/1.9780898718645 . ISBN 978-0-89871-632-0。
7. Michiels, Wim; Niculescu, Silviu-Iulian (2007).時間遅れシステムの安定性と安定化. 設計と制御の進歩. 工業応用数学協会. pp.  33– 56. doi : 10.1137/1.9780898718645 . ISBN 978-0-89871-632-0。
8. Appeltans, Pieter; Michiels, Wim (2023-04-29). 「TDS-CONTROLを用いた時間遅延システムの解析と制御器設計。チュートリアルとマニュアル」arXiv : 2305.00341 [ math.OC ].
9. Juan Arias de Reyna (2017). 「ファビウス関数の算術」. arXiv : 1702.06487 [ math.NT ].
10. 「A288163 - オエイス」 .
11. 「A288163 - オエイス」 .
12. Makroglou, Athena; Li, Jiaxu; Kuang, Yang (2006-03-01). 「グルコース-インスリン調節システムと糖尿病のための数学モデルとソフトウェアツール：概要」 .応用数値数学. ボルテラ方程式と遅延方程式の数値解に関する第3回国際会議における選抜論文. 56 (3): 559– 573. doi : 10.1016/j.apnum.2005.04.023 . ISSN 0168-9274 . 
13. Salpeter, Edwin E.; Salpeter, Shelley R. (1998-02-15). 「結核疫学の数理モデル、再生産数と感染遅延関数の推定」 . American Journal of Epidemiology . 147 (4): 398– 406. doi : 10.1093/oxfordjournals.aje.a009463 . ISSN 0002-9262 . PMID 9508108 .  
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15. Gopalsamy, K. (1992).人口動態の遅延微分方程式における安定性と振動. 数学とその応用. ドルドレヒト, オランダ: Kluwer Academic Publishers. doi : 10.1007/978-94-015-7920-9 . ISBN 978-0792315940。
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17. López, Álvaro G. (2020-09-01). 「量子ゆらぎの電気力学的起源について」 .非線形ダイナミクス. 102 (1): 621– 634. arXiv : 2001.07392 . Bibcode : 2020NonDy.102..621L . doi : 10.1007/s11071-020-05928-5 . ISSN 1573-269X . S2CID 210838940 .  

さらに読む

• Bellen, Alfredo; Zennaro, Marino (2003).遅延微分方程式の数値解析法. 数値数学と科学計算. オックスフォード大学出版局, イギリス. ISBN 978-0198506546。
• ベルマン、リチャード; クック、ケネス・L. (1963).微分差分方程式(PDF) . 科学と工学における数学. ニューヨーク: アカデミック・プレス. ISBN 978-0120848508。
• Briat, Corentin (2015).線形パラメータ変動システムと時間遅延システム：解析、観測、フィルタリング、制御. 遅延とダイナミクスの進歩. ハイデルベルク（ドイツ）：Springer-Verlag. ISBN 978-3662440490。
• ドライバー、ロドニー・D. (1977).常微分方程式と遅延微分方程式. 応用数学科学. 第20巻. ニューヨーク: Springer-Verlag. doi : 10.1007/978-1-4684-9467-9 . ISBN 978-0387902319。
• エルヌー、トーマス (2009). 『応用遅延微分方程式』 . 応用数理科学における概説とチュートリアル. 第3巻. ニューヨーク: Springer Science+Business Media. doi : 10.1007/978-0-387-74372-1 . ISBN 978-0387743714。

外部リンク

• スキップ・トンプソン（編）「遅延微分方程式」Scholarpedia。