線分
閉じた線分の幾何学的定義：Aの右側にあるすべての点とBの左側にあるすべての点の交点
1699年の歴史的画像 - 線分の作成

幾何学において、線分とは、2つの異なる端点（端点）で囲まれた直線の一部であり、その端点間にある直線上のすべての点を含む。これは円弧の特殊なケースであり、曲率ゼロである。線分の長さは、端点間のユークリッド距離で与えられる。閉じた線分には両方の端点が含まれるが、開いた線分には両方の端点が含まれない。半開線分には端点の1つだけが含まれる。幾何学において、線分は多くの場合、 ABのように、2つの端点の記号の上に上線（ビンキュラム）を使用して表される。[ 1 ]

線分の例としては、三角形や正方形の辺が挙げられます。より一般的には、線分の両端が多角形または多面体の頂点である場合、その線分は（その多角形または多面体の）辺（隣接する頂点同士であれば）または対角線（対角線）と呼ばれます。両端が曲線（円など）上にある場合、その線分は（その曲線の） 弦（弦）と呼ばれます。

実ベクトル空間または複素ベクトル空間において

V が⁠ ⁠または⁠ ⁠上のベクトル空間であり、LがVの部分集合である場合、L が次のようにパラメータ化できる とき、Lは線分である。R{\displaystyle \mathbb {R} }C、{\displaystyle \mathbb {C} ,}

L＝{あなた+tv∣t∈[0、1]}{\displaystyle L=\{\mathbf {u} +t\mathbf {v} \mid t\in [0,1]\}}

vが非ゼロであるベクトルに対して、 Lの端点はベクトルuとu + vとなる。 あなた、v∈V{\displaystyle \mathbf {u} ,\mathbf {v} \in V}

時には、「開いた」線分と「閉じた」線分を区別する必要がある。この場合、閉じた線分は上記のように定義し、開いた線分は次のようにパラメータ化できる 部分集合Lとして定義する。

L＝{あなた+tv∣t∈（0、1）}{\displaystyle L=\{\mathbf {u} +t\mathbf {v} \mid t\in (0,1)\}}

いくつかのベクトルあなた、v∈V。{\displaystyle \mathbf {u} ,\mathbf {v} \in V.}

同様に、線分は2点の凸包です。したがって、線分は線分の両端点の 凸結合として表すことができます。

幾何学では、距離| AB |に距離| BC |を加えた値が距離| AC |に等しい場合、点Bは他の2点Aと点Cの間にあると定義されます。したがって、 ⁠ ⁠において、端点とを持つ線分は、次の点の集合です。 R2、{\displaystyle \mathbb {R} ^{2},}あ＝（1つの×、1つのy）{\displaystyle A=(a_{x},a_{y})}C＝（c×、cy）{\displaystyle C=(c_{x},c_{y})}

{（×、y）∣（×−c×）2+（y−cy）2+（×−1つの×）2+（y−1つのy）2＝（c×−1つの×）2+（cy−1つのy）2}。{\displaystyle {\Biggl \{}(x,y)\mid {\sqrt {(x-c_{x})^{2}+(y-c_{y})^{2}}}+{\sqrt {(x-a_{x})^{2}+(y-a_{y})^{2}}}={\sqrt {(c_{x}-a_{x})^{2}+(c_{y}-a_{y})^{2}}}{\Biggr \}}.}

プロパティ

証明では

幾何学の公理的な扱いにおいて、媒介性の概念は、特定の数の公理を満たすと仮定されるか、直線の 等長変換（座標系として使用される）の観点から定義されます。

線分は他の理論においても重要な役割を果たします。例えば、凸集合においては、集合内の任意の2点を結ぶ線分は、その集合に含まれます。これは、凸集合の解析の一部を線分の解析に変換するため重要です。線分の加法公理は、合同な線分、または等しい長さの線分を加算するために用いられ、その結果、他の線分を別の命題に代入することで、線分を合同にすることができます。

退化した楕円として

線分は楕円の退化したケースと見なすことができます。つまり、短半径は0、焦点は端点、離心率は1です。楕円の標準的な定義は、ある点から2つの焦点までの距離の和が一定となる点の集合です。この定数が焦点間の距離に等しい場合、線分が結果として得られます。この楕円の完全な軌道は、線分を2回通過します。退化した軌道であるため、これは放射状楕円軌道です。

他の幾何学的形状

線分は、多角形や多面体の辺や対角線として現れるだけでなく、他の幾何学的形状に関連して他のさまざまな場所にも現れます。

三角形

三角形において、非常に頻繁に考慮される線分には、3つの頂点（それぞれ辺またはその延長線を対角の頂点に垂直に結ぶ線）、3つの中線（それぞれ辺の中点を対角の頂点に結ぶ線）、辺の垂直二等分線（辺の中点を他の辺に垂直に結ぶ線）、および内角二等分線（それぞれ頂点を対角の辺に結ぶ線）が含まれます。いずれの場合も、これらの線分の長さを他の線分の長さと関連付ける様々な等式（線分の種類に関する記事で説明）と、様々な不等式が存在します。

三角形の他の重要な線分には、さまざまな三角形の中心を相互に結ぶ線分があり、その中でも特に重要なのは、内心、外心、九点中心、重心、垂心です。

四辺形

四辺形の辺と対角線に加えて、重要な線分として、2 つの双中線(反対側の辺の中点を結ぶ) と 4 つの中線(それぞれ 1 つの辺を反対側の辺の中点に垂直に結ぶ) があります。

円と楕円

円または楕円上の2点を結ぶ直線は弦と呼ばれます。弦を持たない円上の弦は直径と呼ばれ、円の中心（直径の中点）と円上の点を結ぶ線分は半径と呼ばれます。

楕円では、最も長い弦（つまり最も長い直径）を長軸と呼び、長軸の中点（楕円の中心）から長軸のいずれかの端点までの線分を半長軸と呼びます。同様に、楕円の最も短い直径を短軸と呼び、中点（楕円の中心）から長軸のいずれかの端点までの線分を半短軸と呼びます。長軸に垂直で、楕円の焦点の1つを通る楕円の弦は、楕円の外側直角線と呼ばれます。焦点間線分は、 2つの焦点を結びます。

有向線分

線分に向き(方向) が指定されている場合、それは有向線分または有向線分と呼ばれます。これは、並進または変位(おそらく力によって引き起こされる) を示唆します。大きさと方向は、潜在的な変化を示します。有向線分を半無限に延長すると有向半直線が生成され、両方向に無限に延長すると有向直線が生成されます。この考えは、ユークリッドベクトルの概念を通じて数理物理学に取り入れられました。[ 2 ] [ 3 ]通常、すべての有向線分の集合は、同じ長さおよび向きを持つ任意のペアを等分にすることによって縮小されます。 [ 4 ]この同値関係の応用は、1835 年にGiusto Bellavitisによって導入されました。

一般化

上記の直線部分と同様に、円弧を曲線の部分として定義することもできます。

1 次元空間では、ボールは線分です。

有向平面セグメントまたはバイベクトルは、有向線分を一般化します。

ユークリッド幾何学を超えて、測地線分は線分の役割を果たします。

線分は 1 次元の単体であり、2 次元の単体は三角形です。

線分の種類

参照

注記

  1. ^ 「線分の定義 - Math Open Reference」www.mathopenref.com . 2020年9月1日閲覧。
  2. ^ Harry F. Davis & Arthur David Snider (1988)『ベクトル解析入門』第5版、1ページ、Wm. C. Brown Publishers ISBN 0-697-06814-5
  3. ^ Matiur Ra​​hman & Isaac Mulolani (2001)応用ベクトル分析、9 & 10 ページ、 CRC Press ISBN 0-8493-1088-1
  4. ^ Eutiquio C. Young (1978)ベクトルとテンソル解析、2&3ページ、 Marcel Dekker ISBN 0-8247-6671-7

参考文献

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