測地線

28個の測地線を持つクライン四次曲線（7色と4つのパターンでマーク）

幾何学において、測地線（/ ˌ dʒ iː . ə ˈ d ɛ s ɪ k , - oʊ - , - ˈ d iː s ɪ k , - z ɪ k /）^{[ 1 ] [ 2 ]}は、ある意味では面内、またはより一般的にはリーマン多様体内の2点間の局所的に^{[ a ]}最短^{[ b ]}経路（弧）を表す曲線である。この用語は、接続を持つ任意の微分可能多様体においても意味を持つ 。これは「直線」の概念を一般化したものである。

名詞「geodesic（測地線） 」と形容詞「 geodetic （測地線）」は、地球の大きさと形状を測定する科学である測地学（geodesy）に由来しますが、その根底にある原理の多くは、あらゆる楕円体幾何学に適用できます。本来の意味では、測地線とは地球表面上の2点間の最短経路のことでした。球形の地球の場合、測地線は大円の一部です（大円距離も参照）。この用語はその後、より抽象的な数学的空間へと一般化されました。例えば、グラフ理論では、グラフの2つの頂点／ノード間の測地線を考えることがあります。

リーマン多様体または部分多様体において、測地線は測地線曲率が零であるという性質を持つ。より一般的には、アフィン接続が存在する場合、測地線は、その曲線に沿って移動しても接ベクトルが平行のままである曲線として定義される。これをリーマン計量のレヴィ・チヴィタ接続に適用すると、前述の概念が再現される。

測地線は一般相対性理論において特に重要です。一般相対性理論における時間的測地線は、自由落下する試験粒子の運動を記述します。

導入

曲がった空間^{（[ b ]}はリーマン多様体と仮定）内の与えられた2点間の局所的最短経路は、曲線の長さの方程式（Rの開区間から空間への関数f ）を使い、変分法を使ってこの2点間の長さを最小化することで定義できます。ただし、最短経路をパラメータ化する方法が無限次元空間に存在するため、これには多少の技術的問題があります。曲線の集合を「一定速度」1 でパラメータ化される曲線に制限する方が簡単です。一定速度とは、曲線に沿ったf ( s )からf ( t ) までの距離が | s − t | に等しいことを意味します。同様に、曲線のエネルギーと呼ばれる別の量を使用することもできます。エネルギーを最小化すると、測地線の場合と同じ方程式が得られます（ここで「一定速度」は最小化の結果です）。この2番目の定式化は、2点間に張られたゴムバンドが幅を縮め、その際にエネルギーが最小化されることを直感的に理解することで理解できます。その結果、バンドの形状は測地線となります。

球面上の正反対の2点の場合のように、2点間の距離を最小にする複数の異なる曲線が存在する場合があります。このような場合、これらの曲線のいずれかが測地線となります。

測地線の連続した線分もまた測地線です。

一般的に、測地線は2点間の「最短曲線」とは異なりますが、この2つの概念は密接に関連しています。違いは、測地線は局所的に点間の最短距離を示すものであり、「一定速度」でパラメータ化されている点です。球面上の2点間を大円上で「遠回り」することは測地線ですが、点間の最短経路ではありません。実数直線上の単位区間からそれ自身への写像は0と1の間の最短経路を与えますが、点の対応する運動の速度が一定ではないため、測地線ではありません。 ${\displaystyle t\to t^{2}}$

測地線は、リーマン幾何学、そしてより一般的には計量幾何学の研究においてよく見られる。一般相対論では、時空における測地線は、重力のみの影響下にある点粒子の運動を記述する。特に、落下する岩石の軌道、周回する衛星、あるいは惑星の軌道の形状などは、すべて曲がった時空における測地線^{[ c ]}である。より一般的には、サブリーマン幾何学は、物体が自由ではなく、その運動が様々な方法で制約されているときにとる可能性のある軌道を取り扱う。

この記事では、リーマン多様体における測地線の定義、発見、そして存在証明に関わる数学的形式論を提示します。 「レヴィ＝チヴィタ接続」の記事では、擬リーマン多様体のより一般的なケースについて、「測地線（一般相対性理論）」の記事では、一般相対性理論の特殊なケースについてより詳細に解説します。

例

三軸楕円体上の測地線

昆虫を表面上に置いて「前進」し続けると、定義上、測地線を描きます

最もよく知られている例は、ユークリッド幾何学における直線です。 球面上では、測地線の像は 大円です。球面上の点Aから点Bへの最短経路は、 AとBを通る大円の短い方の弧で与えられます。AとBが対蹠点である場合、それらの間の最短経路は無限に存在します。 楕円体上の測地線は、球面上の測地線よりも複雑な挙動を示します。特に、一般に閉じた状態ではありません（図を参照）。

三角形

球面上の測地三角形

測地三角形は、与えられた面上の3点の各ペアを結ぶ測地線によって形成されます。球面上では、測地線は大円弧となり、 球面三角形を形成します

正の曲率 (上)、負の曲率 (中央)、およびゼロの曲率 (下) の空間内の測地三角形。

メトリック幾何学

計量幾何学において、測地線とは、局所的に距離最小となる曲線のことである。より正確には、実数区間Iから計量空間Mへの曲線γ  : I → Mが測地線であるとは、定数v ≥ 0が存在し、任意のt∈Iに対して、Iにおけるtの近傍Jが存在し、任意のt ₁ , t ₂ ∈Jに対して、次が成り立つ ような曲線を言う。

${\displaystyle d(\gamma (t_{1}),\gamma (t_{2}))=v\left|t_{1}-t_{2}\right|.}$

これはリーマン多様体に対する測地線の概念を一般化するものである。しかし、計量幾何学においては、考慮される測地線はしばしば自然なパラメータ化、すなわち上記の恒等式においてv  = 1および

${\displaystyle d(\gamma (t_{1}),\gamma (t_{2}))=\left|t_{1}-t_{2}\right|.}$

最後の等式がすべてのt ₁、t ₂ ∈ Iに対して満たされる場合、測地線は最小測地線または最短経路と呼ばれます。

一般に、計量空間には定数曲線を除いて測地線が存在しない場合がある。一方、長さ計量空間内の任意の2点は、直進可能路の最小化列によって結ばれるが、この最小化列は必ずしも測地線に収束する必要はない。計量ホップ・リノウ定理は、長さ空間が自動的に測地線空間となる状況を提供する。

多様体ではないことが多い測地距離空間の一般的な例としては、距離グラフ、（局所的にコンパクトな）距離多面体複合体、無限次元プレヒルベルト空間、実数木などがあります。

リーマン幾何学

計量テンソルを持つリーマン多様体 において、連続微分可能曲線の長さは次のように定義されます ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle \gamma :[a,b]\to M}$

${\displaystyle L(\gamma )=\int _{a}^{b}{\sqrt {g_{\gamma (t)}({\dot {\gamma }}(t),{\dot {\gamma }}(t))}}\,dt.}$

2点間の距離との距離は、すべての連続かつ区分的に連続的に微分可能な曲線で、かつとなる長さの下限として定義されます。リーマン幾何学では、すべての測地線は局所的に距離を最小化する経路ですが、その逆は成り立ちません。実際、局所的に距離を最小化し、かつ弧長に比例してパラメータ化される経路のみが測地線です。 ${\displaystyle d(p,q)}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \gamma :[a,b]\to M}$ ${\displaystyle \gamma (a)=p}$ ${\displaystyle \gamma (b)=q}$

リーマン多様体上の測地線を定義する別の同等の方法は、次の作用またはエネルギー関数の最小値として定義することです。

${\displaystyle E(\gamma)={\frac{1}{2}}\int_{a}^{b}g_{\gamma(t)}({\dot{\gamma}}(t),{\dot{\gamma}}(t))\,dt.}$

のすべての最小値は の最小値でもあるが、の最小値である経路は（長さを変えずに）任意に再パラメータ化できるのに対し、 の最小値は再パラメータ化できないため、 はより大きな集合となる。区分曲線（より一般的には曲線）の場合、コーシー・シュワルツの不等式は次のように表される 。${\displaystyle E}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle C^{1}}$ ${\displaystyle W^{1,2}}$

${\displaystyle L(\gamma)^{2}\leq 2(ba)E(\gamma)}$

が定数aeに等しい場合、かつその場合に限り、等式となる。経路は一定速度で移動しなければならない。 の最小化関数はも最小化する。なぜなら、それらはアフィンパラメータ化されており、不等式は等式となるからである。このアプローチの有用性は、 の最小化関数を求める問題がよりロバストな変分問題であるという点にある。実際、は の「凸関数」であるため、「妥当な関数」の各同位体クラス内では、最小化関数の存在、一意性、および正則性が期待されるはずである。対照的に、 の「最小化関数」は、任意の再パラメータ化が許されるため、一般にあまり正則ではない。 ${\displaystyle g(\gamma',\gamma')}$ ${\displaystyle E(\gamma)}$ ${\displaystyle L(\gamma)}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle E(\gamma)}$ ${\displaystyle \gamma}$ ${\displaystyle L(\gamma)}$

関数のオイラー・ラグランジュ運動方程式は、局所座標で次のように表される。 ${\displaystyle E}$

${\displaystyle {\frac {d^{2}x^{\lambda}}{dt^{2}}}+\Gamma_{\mu\nu}^{\lambda}{\frac {dx^{\mu}}{dt}}{\frac {dx^{\nu}}{dt}}=0,}$

ここで、は計量のクリストッフェル記号です。これは測地線方程式であり、以下で説明します。 ${\displaystyle \Gamma _{\mu \nu }^{\lambda }}$

変分法

古典的な変分法の手法は、エネルギー汎関数を調べるために適用できます。エネルギーの最初の変分は、局所座標において次のように定義されます ${\displaystyle E}$

${\displaystyle \delta E(\gamma )(\varphi )=\left.{\frac {\partial }{\partial t}}\right|_{t=0}E(\gamma +t\varphi ).}$

最初の変分の臨界点はまさに測地線である。2番目の変分は次のように定義される 。

${\displaystyle \delta^{2}E(\gamma)(\varphi,\psi)=\left.{\frac{\partial^{2}}{\partial s\,\partial t}}\right|_{s=t=0}E(\gamma +t\varphi +s\psi).}$

適切な意味では、測地線に沿った第2変分の零点はヤコビ体に沿って生じる。したがって、ヤコビ体は測地線に沿った変分とみなされる。 ${\displaystyle \gamma}$

古典力学の変分法を適用することで、測地線をハミルトン流とみなすこともできます。測地線は、（擬）リーマン計量をハミルトン流としてとらえた、関連するハミルトン方程式の解です。

アフィン測地線

アフィン接続を持つ滑らかな多様体上の測地線は、曲線に沿った 平行移動によって曲線の接線ベクトルが保存される曲線として定義されます${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \nabla}$ ${\displaystyle \gamma (t)}$

${\displaystyle \nabla_{\dot{\gamma}}{\dot{\gamma}}=0}$

1

曲線上の各点において、 はに関する微分である。より正確には、 の共変微分を定義するには、まず開集合内の連続的に微分可能なベクトル場に拡張する必要がある。しかし、結果として得られる( 1 )の値は、拡張の選択に依存しない。 ${\displaystyle {\dot {\gamma }}}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle {\dot {\gamma }}}$ ${\displaystyle {\dot {\gamma }}}$

上の局所座標を用いると、測地線方程式は（和の規則を用いると）次のように 書ける。${\displaystyle M}$

${\displaystyle {\frac {d^{2}\gamma ^{\lambda }}{dt^{2}}}+\Gamma _{\mu \nu }^{\lambda }{\frac {d\gamma ^{\mu }}{dt}}{\frac {d\gamma ^{\nu }}{dt}}=0\ ,}$

ここで、は曲線の座標であり、は接続のクリストッフェル記号です。これは、座標についての常微分方程式です。初期位置と初期速度が与えられると、一意の解が存在します。したがって、古典力学の観点からは、測地線は多様体における自由粒子の軌跡と考えることができます。実際、この方程式は、曲線の加速度ベクトルに表面の方向の成分がないことを意味します（したがって、曲線の各点で表面の接平面に垂直です）。したがって、動きは表面の曲がりによって完全に決定されます。これは、粒子が測地線上を移動し、曲がりが重力によって引き起こされるという一般相対性理論の考え方でもあります。 ${\displaystyle \gamma ^{\mu }=x^{\mu }\circ \gamma (t)}$ ${\displaystyle \gamma (t)}$ ${\displaystyle \Gamma _{\mu \nu }^{\lambda }}$ ${\displaystyle \nabla}$ ${\displaystyle \nabla_{\dot{\gamma}}{\dot{\gamma}}=0}$

存在と一意性

測地線の局所的存在定理と一意性定理は、アフィン接続を持つ滑らかな多様体上の測地線が存在し、一意であることを述べています。より正確には：

Mの任意の点pとT _p M（pにおけるMの接空間）の任意のベクトルVに対して、唯一の測地線I → Mが 存在し 、${\displaystyle \gamma \,}$

${\displaystyle \gamma (0)=p\,}$ そして

${\displaystyle {\dot {\gamma }}(0)=V,}$

ここで、 Iは0を含むRの最大開区間です

この定理の証明は、 測地線方程式が2階常微分方程式であることに着目することで、常微分方程式の理論から導かれる。そして、初期条件が与えられた常微分方程式の解の存在と一意性は、ピカール・リンデレフの定理から導かれる。γ はpと V の両方に滑らかに依存する。

一般に、I はR ²内の開円板など、R全体ではない可能性がある。任意のγ がR全体に拡張されるためには、Mが測地完備でなければならない。

測地線フロー

測地線フローは、次のように定義される 多様体Mの接束TM上の局所R作用です

${\displaystyle G^{t}(V)={\dot {\gamma }}_{V}(t)}$

ここでt  ∈  R、V  ∈  TMであり、初期データ を持つ測地線を表す。したがって、 はベクトルtVの指数写像である。測地線フローの閉軌道は、M上の 閉測地線に対応する。 ${\displaystyle \gamma _{V}}$ ${\displaystyle {\dot {\gamma }}_{V}(0)=V}$ ${\displaystyle G^{t}(V)=\exp(tV)}$

（擬）リーマン多様体上では、測地線フローは余接束上のハミルトンフローと同一視される。ハミルトンは、（擬）リーマン計量の逆関数であり、標準一形式に対して評価される。特に、フローは（擬）リーマン計量 を保存する。すなわち、 ${\displaystyle g}$

${\displaystyle g(G^{t}(V),G^{t}(V))=g(V,V).\,}$

特に、Vが単位ベクトルの場合、全体にわたって単位速度を維持するため、測地線フローは単位接線束に接します。 リウヴィルの定理は、単位接線束上の運動学的測度の不変性を意味します。 ${\displaystyle \gamma _{V}}$

測地線スプレー

測地線フローは接線束内の曲線族を定義します。これらの曲線の微分は、接線束の全空間上のベクトル場を定義し、 測地線スプレーとして知ら れています

より正確には、アフィン接続により、二重接線束TT Mは水平束と垂直束に分割されます。

${\displaystyle TTM=H\oplus V.}$

二重接線束は、基点間で速度を転送する方法に頼ることなく、基点と速度の両方が同時に変化する空間として視覚化できます。

任意の に対して、垂直ファイバーは射影写像 によって決定されます。これは、基点 を固定したまま速度を変化させるあらゆる方法から成り、本質的には からへ移動されたのコピーです。次に、アフィン接続は、速度を「固定」したまま基点を変更した場合に が着地する場所を選択します。これは水平ファイバー を拡張します。逆に、分割が与えられている場合、ベクトルを軌道に沿って移動することは、ベクトルを水平束に沿って移動させること、つまり、 の条件で、 から へ、そして へ、軌道を2回持ち上げることを意味します。 ${\displaystyle x\in M,\;v\in T_{x}M}$ ${\displaystyle V_{(x,v)}}$ ${\displaystyle \pi :TM\to M}$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle T_{x}M}$ ${\displaystyle (x,0)}$ ${\displaystyle (x,v)}$ ${\displaystyle (x,v)}$ ${\displaystyle H_{(x,v)}}$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle \gamma (t)}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle (\gamma (t),{\dot {\gamma }}(t))}$ ${\displaystyle TM}$ ${\displaystyle (\gamma (t),v(t),a(t))}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle d\pi (\gamma (t),v,a(t))=(\gamma (t),{\dot {\gamma }}(t))}$

測地線スプレーは、次の式を満たす 唯一の水平ベクトル場Wである。

${\displaystyle d\pi W_{(x,v)}=(x,v)}$

各点 において、 は投影 に沿った押し出し（微分）を表します。直感的に言えば、は速度の変化を破棄し、基点の変化を保存します。 ${\displaystyle x\in M,\;v\in T_{x}M}$ ${\displaystyle d\pi :TTM\to TM}$ ${\displaystyle \pi :TM\to M}$ ${\displaystyle d\pi }$

より一般的には、同じ構成により、接束上の任意のエーレスマン接続に対してベクトル場を構築することができます。結果として得られるベクトル場が（削除接束 T M  \ {0} 上の）スプレーとなるためには、接続が正の再スケーリングに対して同変であれば十分です。つまり、 が によって に移される場合、任意の に対して が に移される必要があるということです。がにもに移される場合、 がに移される必要があるということではありません。 ${\displaystyle w\in T_{x}M}$ ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle w'\in T_{x'}M}$ ${\displaystyle kw}$ ${\displaystyle kw'}$ ${\displaystyle k>0}$ ${\displaystyle u\in T_{x}M}$ ${\displaystyle u'\in T_{x'}M}$ ${\displaystyle w+u}$ ${\displaystyle w'+u'}$

つまり、（エーレスマン接続#ベクトル束と共変微分を参照）水平分布が

${\displaystyle H_{\lambda X}=d(S_{\lambda })_{X}H_{X}\,}$

すべてのX  ∈ T M  \ {0} および λ > 0に対して。ここでd ( S _λ ) はスカラー相似性に沿った押し出しです。このようにして生じる非線形接続の特別なケースは、フィンスラー多様 体に関連付けられたものです。 ${\displaystyle S_{\lambda }:X\mapsto \lambda X.}$

正の再スケーリングにおける等変性は、ベクトル輸送が有向経路に沿って明確に定義されることを保証するために必要である。つまり、曲線の任意のパラメータ化と、厳密に単調増加する「タイミングの変化」が与えられた場合、新しいパラメータ化は依然として同じベクトル輸送を生成する。正の再スケーリングにおける等変性がなければ、有向経路に沿ったベクトル輸送は特定のパラメータ化に依存する。 ${\displaystyle \gamma :I\to M}$ ${\displaystyle f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \gamma \circ f}$

アフィン測地線と射影測地線

式（１）はアフィン再パラメータ化に対して不変である。つまり、

${\displaystyle t\mapsto at+b}$

ここで、aとbは定数の実数である。したがって、測地線方程式は、埋め込まれた曲線の特定のクラスを特定するだけでなく、各曲線上のパラメータ化の好ましいクラスも決定する。したがって、( 1 )の解は、アフィンパラメータを持つ測地線と呼ばれる。

アフィン接続は、捩れ度を除けば、アフィンパラメータ化された測地線の族によって決定される（Spivak 1999、第6章補遺I）。実際には、測地線方程式は接続の対称部分にのみ依存するため、捩れ度自体は測地線の族に影響を与えない。より正確には、2つの接続があり、その差テンソルが ${\displaystyle \nabla ,{\bar {\nabla }}}$

${\displaystyle D(X,Y)=\nabla _{X}Y-{\bar {\nabla }}_{X}Y}$

が歪対称 である場合、と は同じ測地線を持ち、同じアフィン媒介変数化を持つ。さらに、 と同じ測地線を持ち ながら、捩れがゼロとなる唯一の接続が存在する。 ${\displaystyle \nabla }$ ${\displaystyle {\bar {\nabla }}}$ ${\displaystyle \nabla }$

特定のパラメータ化のない測地線は、射影接続によって記述されます。

計算方法

曲面上の最小測地線問題に対する効率的なソルバーは、ミッチェル^{[ 3 ]}、キンメル^{[ 4 ]}、クレイン^{[ 5 ]}ら によって提案されています

リボンテスト

リボン「テスト」は、物理的な表面上の測地線を見つける方法です。^{[ 6 ]}その考え方は、リボンを伸ばしたり押しつぶしたりせずに（内部の形状を変えずに）、紙切れを直線（リボン）の周りにできるだけぴったりと曲面に当てはめることです

例えば、リボンを円錐の周りに輪状に巻くと、リボンは円錐の表面上にはまらず、円錐からはみ出すため、その円は円錐上の測地線にはなりません。リボンの全ての部分が円錐の表面に接するように調整すれば、測地線に近似した形状になります。

数学的には、リボン テストは、平面上の直線の近傍を面へマッピングして、そのマッピングによって「周囲の距離があまり変わらない」ようにすること、つまり、 からの距離で、 となります。ここで、および は、および上の測定基準です。 ${\displaystyle f:N(\ell )\to S}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle \ell }$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \ell }$ ${\displaystyle \varepsilon }$ ${\displaystyle l}$ ${\displaystyle g_{N}-f^{*}(g_{S})=O(\varepsilon ^{2})}$ ${\displaystyle g_{N}}$ ${\displaystyle g_{S}}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle S}$

応用例

最短経路の考え方は本質的には幾何学的ですが、非常に一般的なため、ほぼすべての科学分野、およびその他の分野でも広く使用されています。

位相幾何学と幾何学群論

• 負のオイラー標数を持つ曲面において、任意の（自由）ホモトピー類は双曲計量に対する唯一の（閉）測地線を決定する。これらの測地線は、写像類の作用の幾何学的理解に大きく貢献する。
• 測地線距離空間と長さ空間は、等長群作用（シュヴァルツ＝ミルナーの補題、ホップ＝リノウの定理、モースの補題など）に対して特に良好な挙動を示す。これらは、リーマン幾何学の結果を群の幾何学を反映する構成に一般化するための適切な枠組みとなることが多い。例えば、グロモフ双曲性は測地線三角形の薄さの観点から理解でき、CAT(0)は測地線間の角度の観点から記述できる。

確率、統計、機械学習

• 最適輸送は、測地空間内で測地線経路を見つける問題として理解できます。
• 情報幾何学では、カルバック・ライブラー距離などの距離はリーマン計量と類似した役割を果たし、接続や測地線の類推を可能にします。

物理学

• 古典力学では、軌道はハミルトン・ヤコビ方程式に従ってエネルギーを最小化します。これは測地線と同様の考え方と見なすことができます。特殊なケースでは、この2つの概念は実際に一致することがあります
• 相対性理論では時空をロレンツ多様体としてモデル化し、光はロレンツ測地線に従います。

化学

• 理論化学および計算化学において、ポテンシャルエネルギー面（PES）の固有反応座標は、極小値（中間体）と鞍点（遷移状態）の間の測地線として計算できます。^{[ 7 ] [ 8 ]}
• 分子動力学では、タンパク質の立体配座は曲がった多様体上の点として扱うことができ、測地線は構造間の最短かつ歪みの少ない経路を表し、観測される遷移や分子内相互作用を近似するのに役立ちます。^{[ 9 ]}

生物学

• 神経系が筋肉の動きを最適化する仕組みを研究するには、身体の構成空間に努力を測定するリーマン計量を与えることで、測地学の観点から問題を表現できる可能性がある。^{[ 10 ]}
• 測地距離はニューロン内の信号伝播経路の長さを測定するためによく使用されます。^{[ 11 ]}
• 巨大分子の測地線構造は、タンパク質フォールドの研究において重要な役割を果たしている。^{[ 12 ]}
• 複眼の構造。複眼の多くの部分は、眼の外側の表面にある測地線ドーム状の格子によって支えられています。^{[ 13 ]}

工学

測地線は、以下の計算の基礎となります。

• 測地線機体。測地線機体または測地線機体を参照
• 地球上または地球付近の水平距離。地球測地線を参照。
• レンダリングのための表面上の画像のマッピング。UVマッピングを参照。
• ロボットの動作計画（例：自動車部品の塗装時）；最短経路問題を参照
• ポアソン面再構成における測地最短経路（GSP）補正（例：デジタル歯科）; GSP再構成を行わないと、面内で自己交差が生じることが多い。

参照

• 一般相対性理論の数学入門
• クレローの関係式 - 古典微分幾何学における公式Pages displaying short descriptions of redirect targets
• 微分可能曲線 – 微分的な観点からの曲線の研究
• 曲面の微分幾何学
• 測地円
• ホップ・リノウの定理 - リーマン多様体の測地完全性について同値な記述を与える
• 固有計量 – 幾何学/位相幾何学における概念
• 等方性線 – 任意の2点の変位に二次形式を適用した際に、その変位が0となる線
• ヤコビ場 – リーマン幾何学におけるベクトル場
• モース理論 – 多様体上の微分可能関数を研究することで多様体の位相を解析する
• ゾル面 – 球面と同相な面
• クモとハエの問題 – レクリエーション測地線問題

注釈

1. 球面上の対蹠地ではない2点には、それらを結ぶ長さの異なる2つの大円弧があり、どちらも測地線です
2. 擬リーマン多様体、例えばローレンツ多様体の場合、定義はより複雑になります。
3. パスは、区間kの局所的最小値ではなく、局所的最大値です。

参考文献

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• マイケル・スピヴァック（1999年）『微分幾何学入門（第2巻）』ヒューストン、テキサス州：Publish or Perish、ISBN 978-0-914098-71-3

さらに読む

• アドラー、ロナルド、バザン、モーリス、シファー、メナヘム（1975年）、一般相対性理論入門（第2版）、ニューヨーク：マグロウヒル、ISBN 978-0-07-000423-8 第2章を参照
• ラルフ・H.アブラハム著、ジェロルド・E.マースデン著（1978年）、力学の基礎、ロンドン：ベンジャミン・カミングス、Bibcode：1978fome.book.....A、ISBN 978-0-8053-0102-1 2.7節を参照
• ヨスト、ユルゲン（2002年）『リーマン幾何学と幾何学解析』ベルリン、ニューヨーク：シュプリンガー・フェアラーク、ISBN 978-3-540-42627-1 1.4節を参照
• 小林昭七、野水克己 (1996)、『微分幾何学の基礎』第1巻（新版）、Wiley-Interscience、ISBN 0-471-15733-3。
• ランダウ、LD；リフシッツ、EM（1975）『古典場の理論』オックスフォード：ペルガモン、書誌コード：1975ctf..book.....L、ISBN 978-0-08-018176-9 セクション87を参照
• ミスナー、チャールズ・W.、ソーン、キップ、ホイーラー、ジョン・アーチボルド（1973年）、重力、WHフリーマン、ISBN 978-0-7167-0344-0
• オルティン、トマス（2004年）『重力と弦』ケンブリッジ大学出版局、ISBN 978-0-521-82475-0特に7ページと10ページにご注意ください。
• Volkov, Yu.A. (2001) [1994], 「測地線」 , Encyclopedia of Mathematics , EMS Press。
• ワインバーグ、スティーブン（1972）、重力と宇宙論：一般相対性理論の原理と応用、ニューヨーク：ジョン・ワイリー＆サンズ、Bibcode：1972gcpa.book.....W、ISBN 978-0-471-92567-5第3章をご覧ください。

外部リンク

• 測地線の再考— 測地線の方程式を導出する 2 つの方法を含む測地線の紹介。幾何学 (球面上とトーラス上の測地線)、力学 (最速降下線)、光学 (不均質媒体内の光線) への応用。
• 完全測地線部分多様体2015年8月10日アーカイブ ウェイバックマシン多様体アトラス