離散微積分

離散微積分学、あるいは離散関数の微積分学は、幾何学が形状の研究、代数学が算術演算の一般化の研究であるのと同様に、漸進的な変化を数学的に研究する学問です。「微積分学（calculus ）」という言葉はラテン語で、元々は「小さな小石」を意味していました。計算にそのような小石が使われていたことから、その意味は変化し、今日では一般的に計算手法を意味します。一方、微積分学は、元々は無限小微積分学、あるいは「無限小の微積分学」と呼ばれ、連続的な変化を研究する学問です。

離散微積分学には、微分積分と積分積分という二つの入り口があります。微分積分学は、変化率の増分と区分線形曲線の傾きを扱います。積分積分学は、量の累積と区分定数曲線の下の面積を扱います。これら二つの視点は、離散微積分学の基本定理によって相互に関連しています。

変化の概念の研究は、その離散的な形態から始まります。発展は、独立変数の増分というパラメータに依存します。もし望むなら、増分をどんどん小さくしていき、これらの概念の連続的な対応を極限として見つけることができます。非公式には、離散微積分の極限は無限小微積分です。微積分の離散的な基盤として機能するにもかかわらず、離散微積分の主な価値は応用にあります。 ${\displaystyle \Delta x}$ ${\displaystyle \Delta x\to 0}$

2つの初期構造

離散微分積分学は、関数の差分商の定義、特性、および応用を研究する学問です。差分商を求める過程は微分と呼ばれます。実数直線上の複数の点で定義された関数が与えられた場合、各点における差分商は、関数の小規模な（つまり、その点から次の点までの）動作を符号化する方法です。関数の定義域内の連続する点のすべてのペアで関数の差分商を求めることで、差分商関数、または単に元の関数の差分商と呼ばれる新しい関数を作成できます。正式には、差分商は、関数を入力として受け取り、別の関数を出力として生成する線型演算子です。これは、関数が通常、ある数値を入力して別の数値を出力する初等代数学で研究される多くの過程よりも抽象的です。たとえば、2倍関数に3という入力を与えると6が出力され、2乗関数に3という入力を与えると9が出力されます。しかし、微分は平方関数を入力として受け取ることができます。つまり、微分は平方関数のすべての情報（例えば、2は4に、3は9に、4は16に、など）を受け取り、この情報を使って別の関数を生成します。平方関数を微分することで生成される関数は、2倍関数に近いものになります。

関数が増分で区切られた点で定義されているとします。 ${\displaystyle \Delta x=h>0}$

${\displaystyle a,a+h,a+2h,\ldots ,a+nh,\ldots }$

「倍加関数」は で表され、「二乗関数」は で表されます。「差分商」とは、以下の式で定義される 区間のいずれかにおける関数の変化率です。${\displaystyle g(x)=2x}$ ${\displaystyle f(x)=x^{2}}$ ${\displaystyle [x,x+h]}$

${\displaystyle {\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}.}$

この関数は入力として関数 を受け取ります。つまり、2 が 4 に送られ、3 が 9 に送られ、4 が 16 に送られるといった情報をすべて受け取ります。そして、この情報を使って別の関数 を出力します。これは、後でわかるように、関数 です。便宜上、この新しい関数は上記の区間の中間点で定義できます。 ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle g(x)=2x+h}$

${\displaystyle a+h/2,a+h+h/2,a+2h+h/2,...,a+nh+h/2,...}$

変化率は区間全体にわたって であるため、その内部の任意の点をそのような基準として使用できます。また、差商 a - cochainとなる区間全体を基準として使用することもできます。 ${\displaystyle [x,x+h]}$ ${\displaystyle 1}$

差分商の最も一般的な表記は次のとおりです。

${\displaystyle {\frac {\Delta f}{\Delta x}}(x+h/2)={\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}.}$

関数の入力が時間を表す場合、差分商は時間に対する変化を表します。例えば、関数が時間を入力として受け取り、その時間におけるボールの位置を出力する場合、差分商は時間に対する位置の変化、つまりボールの 速度を表します。${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f}$

関数が線形の場合（つまり、関数のグラフの点が直線上にある場合）、関数は と表記されます。ここで、は独立変数、は従属変数、 は-切片、次の式です。 ${\displaystyle y=mx+b}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle y}$

${\displaystyle m={\frac {\text{rise}}{\text{run}}}={\frac {{\text{change in }}y}{{\text{change in }}x}}={\frac {\Delta y}{\Delta x}}.}$

スロープ：${\displaystyle m={\frac {\Delta y}{\Delta x}}=\tan(\theta )}$

これにより、直線の 傾きの正確な値が得られます。

しかし、関数が線形でない場合、の変化を の変化で割った値は変化します。差分商は、入力の変化に対する出力の変化の概念に正確な意味を与えます。具体的には、 を関数とし、の定義域内の点を固定します。は関数のグラフ上の点です。が の増分である場合、 はの次の値です。したがって、は の増分です。これら2点間の直線の傾きは ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle (x,f(x))}$ ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x+h}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle (x+h,f(x+h))}$ ${\displaystyle (x,f(x))}$

${\displaystyle m={\frac {f(x+h)-f(x)}{(x+h)-x}}={\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}.}$

との間の直線の傾きも同様です。 ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle (x,f(x))}$ ${\displaystyle (x+h,f(x+h))}$

具体的な例として、二乗関数の差商を考えてみましょう。二乗関数を とすると、次のようになります。 ${\displaystyle f(x)=x^{2}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\Delta f}{\Delta x}}(x)&={(x+h)^{2}-x^{2} \over {h}}\\&={x^{2}+2hx+h^{2}-x^{2} \over {h}}\\&={2hx+h^{2} \over {h}}\\&=2x+h.\end{aligned}}}$

差分商の差分商は第2差分商と呼ばれ、次のように定義されます。

${\displaystyle a+h,a+2h,a+3h,\ldots ,a+nh,\ldots }$

等々。

離散積分学は、リーマン和の定義、性質、および応用を研究する学問です。和の値を求める過程は積分と呼ばれます。専門用語で言えば、積分学は特定の線型作用素を研究対象とします。

リーマン和は関数を入力し、入力のグラフの部分とx 軸の間の領域の代数和を与える関数を出力します。

動機付けとなる例としては、一定時間内に移動した距離が挙げられます。

${\displaystyle {\text{distance}}={\text{speed}}\cdot {\text{time}}}$

速度が一定の場合は、乗算のみが必要ですが、速度が変化する場合は、時間を多くの短い時間間隔に分割し、各間隔で経過した時間にその間隔の速度の 1 つを乗算し、各間隔で移動した距離の 合計 (リーマン和) を取ることで移動距離を評価します。

一定速度

リーマン和は、 によって定義される、2 点 (ここでは と) 間の棒の総面積を測定します。${\displaystyle f}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$

速度が一定の場合、与えられた時間間隔にわたる総移動距離は、速度と時間を掛け合わせることで計算できます。たとえば、一定速度で 50 mph で 3 時間移動すると、総距離は 150 マイルになります。左の図では、一定の速度と時間をグラフにすると、これら 2 つの値で、高さが速度に等しく、幅が経過時間に等しい長方形が形成されます。したがって、速度と時間の積によって、(一定の)速度曲線の下の長方形の領域も計算されます。曲線の下の領域と移動距離とのこの関係は、与えられた期間にわたって徐々に変化する速度を示す不規則な形状の領域にまで拡張できます。右の図のバーが間隔から次の間隔への速度の変化を表す場合、( と で表される時間の間) 移動距離は、灰色で塗られた領域の面積です。 ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle s}$

したがって、との間の区間は複数の等しいセグメントに分割され、各セグメントの長さは記号 で表されます。各小さなセグメントには、関数 の値が1つあります。その値を と呼びます。すると、底辺と高さを持つ長方形の面積は、そのセグメントで移動した距離（時間×速度）を表します。各セグメントには、その上にある関数 の値 が関連付けられています。このような長方形をすべて足し合わせると、軸と区分定数曲線の間の面積、つまり移動した総距離が得られます。 ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle \Delta x}$ ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle \Delta x}$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle \Delta x}$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle f(x)=v}$

関数が等しい長さの区間の中点で定義されていると仮定します。 ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \Delta x=h>0}$ ${\displaystyle h={\frac {a-b}{n}}}$

${\displaystyle a+h/2,a+h+h/2,a+2h+h/2,\ldots ,a+nh-h/2.}$

すると、シグマ表記におけるからへのリーマン和は次のようになります。 ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b=a+nh}$

${\displaystyle \sum _{i=0}^{n-1}f(a+ih+h/2)\,\Delta x.}$

この計算は各 に対して実行されるため、新しい関数は点で定義されます。 ${\displaystyle n}$

${\displaystyle a,a+h,a+2h,\ldots ,a+nh,\ldots }$

微積分学の基本定理は、微分と積分は逆演算であると述べています。より正確には、この定理は差分商とリーマン和を関連付けています。また、微分が積分の逆であるという事実を明確に述べているとも解釈できます。

微積分学の基本定理:区間 、 の分割上で関数が定義され、が差分商が である関数である場合、次の式が成り立ちます。 ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle [a,b]}$ ${\displaystyle b=a+nh}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle f}$

${\displaystyle \sum _{i=0}^{n-1}f(a+ih+h/2)\,\Delta x=F(b)-F(a).}$

さらに、あらゆる に対して、次が成り立ちます。 ${\textstyle m=0,1,2,\ldots ,n-1}$

${\displaystyle {\frac {\Delta }{\Delta x}}\sum _{i=0}^{m}f(a+ih+h/2)\,\Delta x=f(a+mh+h/2).}$

これは差分方程式の原型的な解でもあります。差分方程式は未知の関数とその差分または差分商を関連付けるもので、科学の分野で広く用いられています。

歴史

離散微積分学の初期の歴史は、微積分学の歴史そのものである。差分商やリーマン和といった基本的な概念は、定義や証明において暗黙的あるいは明示的に現れる。しかし、極限をとった後は、それらは二度と現れなくなる。しかし、キルヒホッフの電圧法則（1847年）は、1次元離散外微分によって表現できる。

20世紀を通して、離散微分積分学は微分形式をはじめとする無限小微分積分学と密接に関連しつつ、両者の発展に伴い代数的位相幾何学からも影響を受け始めました。主な貢献は以下の人々によるものです。^{[ 1 ]}

• アンリ・ポアンカレ：三角形分割（重心分割、双対三角形分割）、ポアンカレの補題、一般ストークス定理の最初の証明、その他多数
• LEJ Brouwer：単体近似定理
• エリー・カルタン、ジョルジュ・ド・ラム：微分形式の概念、座標に依存しない線型演算子としての外微分、形式の正確性/閉性
• エミー・ネーター、ハインツ・ホップ、レオポルド・ヴィートリス、ヴァルター・マイヤー：鎖の加群、境界演算子、鎖複体
• JW Alexander、Solomon Lefschetz、Lev Pontryagin、Andrey Kolmogorov、Norman Steenrod、Eduard Čech：初期のコチェーン概念
• ヘルマン・ワイル：境界作用素と共境界作用素の観点から述べたキルヒホッフの法則
• WVDホッジ：ホッジスター演算子、ホッジ分解
• サミュエル・アイレンバーグ、サンダース・マックレーン、ノーマン・スティーンロッド、JHCホワイトヘッド：チェーンとコチェーン複合体、カップ積を含むホモロジーとコホモロジー理論の厳密な展開
• ハスラー・ホイットニー：積分関数としてのコチェーン

ホイットニーに始まる離散計算の近年の発展は、応用モデリングのニーズによって推進されてきた。^{[ 2 ] [ 3 ] [ 4 ]}

アプリケーション

離散微積分は、物理科学、保険数理学、コンピュータサイエンス、統計学、工学、経済学、ビジネス、医学、人口統計学など、あらゆる分野において、直接的または間接的に微小微積分の離散化としてモデル化に用いられます。離散微積分は、（一定ではない）変化率から総変化率へ、あるいはその逆へと進むことを可能にします。多くの場合、問題を研究する際には、一方の変化率を知りながら、もう一方の変化率を見つけようとします。

物理学では特に微積分学が用いられます。古典力学と電磁気学における離散概念はすべて、離散微積分学によって関連付けられています。密度が既知で漸増的に変化する物体の質量、そのような物体の慣性モーメント、そして離散保存場における物体の全エネルギーは、離散微積分学を用いることで求めることができます。力学における離散微積分学の適用例として、ニュートンの運動の第二法則が挙げられます。歴史的には、この法則は「運動の変化」という用語を明示的に用いており、これは差分商を意味し、「物体の運動量の変化は、物体に作用する合力に等しく、その方向も同じである」としています。今日では一般的に「力 = 質量 × 加速度」と表現されますが、変化が漸増的である場合に離散微積分学が用いられます。なぜなら、加速度は時間に関する速度の差分商、つまり空間位置の第二差分商だからです。物体がどのように加速しているかを知ることから始めて、リーマン和を使用してその経路を導きます。

マクスウェルの電磁気学の理論とアインシュタインの一般相対性理論は、離散微積分の言語で表現されています。

化学では、反応速度と放射性崩壊（指数関数的崩壊）を決定するために微積分を使用します。

生物学では、個体群動態は繁殖率と死亡率から始まり、個体群の変化をモデル化します (個体群モデリング)。

工学では、差分方程式は、無重力環境内での宇宙船の進路をプロットしたり、熱伝達、拡散、波の伝播をモデル化するために使用されます。

グリーンの定理の離散的な類似物は、平面計と呼ばれる機器に応用されています。これは、図面上の平面の面積を計算するために使用されます。例えば、敷地のレイアウト設計において、不規則な形状の花壇やプールの面積を計算するために使用できます。画像内の長方形領域の合計を効率的に計算し、特徴を迅速に抽出して物体を検出するために使用できます。使用できる別のアルゴリズムとして、合計面積表があります。

医学の分野では、微積分は血流を最大化するための血管の最適な分岐角度を見つけるために用いられます。特定の薬剤の体内からの消失に関する減衰法則から、投与量に関する法則を導き出すために用いられます。核医学の分野では、標的腫瘍治療における放射線輸送モデルの構築に用いられます。

経済学では、微積分学によって限界費用と限界収入を計算し、市場をモデル化することで最大利益を決定することができます。 ^{[ 5 ]}

信号処理と機械学習では、離散計算によって、グラフ構造上のニューラルネットワーク解析に必要な演算子（畳み込みなど）、レベルセット最適化、その他の重要な関数を適切に定義することができます。^{[ 3 ]}

離散微積分は他の数学分野と組み合わせて用いることができます。例えば、確率論においては、仮定された密度関数から離散確率変数の確率を決定するために用いることができます。

差分と和の計算

関数（-cochain）が増分 で区切られた点で定義されているとします。 ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \Delta x=h>0}$

${\displaystyle a,a+h,a+2h,\ldots ,a+nh,\ldots }$

関数の差（または外微分、または共境界演算子）は次のように与えられます。

${\displaystyle {\big (}\Delta f{\big )}{\big (}[x,x+h]{\big )}=f(x+h)-f(x).}$

これは上記の各間隔で定義されており、-cochain です。 ${\displaystyle 1}$

上記の各区間において-cochainが定義されていると仮定します。その和は、各点において次のように定義される 関数（ -cochain）となります。${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle 0}$

${\displaystyle \left(\sum g\right)\!(a+nh)=\sum _{i=1}^{n}g{\big (}[a+(i-1)h,a+ih]{\big )}.}$

それぞれのプロパティは次のとおりです。

• 定数ルール：が定数の場合、${\displaystyle c}$

${\displaystyle \Delta c=0}$

• 線形性：と が定数である場合、${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$

${\displaystyle \Delta (af+bg)=a\,\Delta f+b\,\Delta g,\quad \sum (af+bg)=a\,\sum f+b\,\sum g}$

• 製品ルール：

${\displaystyle \Delta (fg)=f\,\Delta g+g\,\Delta f+\Delta f\,\Delta g}$

• 微積分学の基本定理I：

${\displaystyle \left(\sum \Delta f\right)\!(a+nh)=f(a+nh)-f(a)}$

• 微積分学IIの基本定理：

${\displaystyle \Delta \!\left(\sum g\right)=g}$

定義は以下のようにグラフに適用されます。グラフのノードに 関数（-cochain）が定義されている場合：${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle f}$

${\displaystyle a,b,c,\ldots }$

その外微分（または微分）は差、つまりグラフのエッジ（-cochain）上で定義される次の関数です。 ${\displaystyle 1}$

${\displaystyle \left(df\right)\!{\big (}[a,b]{\big )}=f(b)-f(a).}$

が -コチェーンである場合、グラフの一連のエッジ上の積分は、 のすべてのエッジ上の値の合計です（「経路積分」）。 ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle \sigma }$

${\displaystyle \int _{\sigma }g=\sum _{\sigma }g{\big (}[a,b]{\big )}.}$

プロパティは次のとおりです:

• 定数ルール：が定数の場合、${\displaystyle c}$

${\displaystyle dc=0}$

• 線形性：と が定数である場合、${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$

${\displaystyle d(af+bg)=a\,df+b\,dg,\quad \int _{\sigma }(af+bg)=a\,\int _{\sigma }f+b\,\int _{\sigma }g}$

• 製品ルール：

${\displaystyle d(fg)=f\,dg+g\,df+df\,dg}$

• 微積分学の基本定理I ： -連鎖が辺から構成される場合、任意の-コ連鎖に対して${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle [a_{0},a_{1}],[a_{1},a_{2}],...,[a_{n-1},a_{n}]}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle f}$

${\displaystyle \int _{\sigma }df=f(a_{n})-f(a_{0})}$

• 微積分学IIの基本定理：グラフが木であり、が-cochainであり、関数（-cochain）がグラフのノード上で次のように定義されるとき、${\displaystyle g}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle 0}$

${\displaystyle f(x)=\int _{\sigma }g}$

ここで、-連鎖はある固定された に対してから構成され、 ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle [a_{0},a_{1}],[a_{1},a_{2}],...,[a_{n-1},x]}$ ${\displaystyle a_{0}}$

${\displaystyle df=g}$

参考文献を参照。^{[ 6 ] [ 7 ] [ 8 ] [ 9 ] [ 3 ] [ 10 ]}

単体と立方体の連鎖

単体複合体。

単体複体 とは、次の条件を満たす 単体の集合です。${\displaystyle S}$

1.からの単体のすべての面は にも属する。${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$

2.任意の 2 つの単体の空でない交差は、と の両方の面です。${\displaystyle \sigma _{1},\sigma _{2}\in S}$ ${\displaystyle \sigma _{1}}$ ${\displaystyle \sigma _{2}}$

2-単体の境界の境界（左）と1-連鎖の境界（右）が示されています。どちらも0であり、0-単体の正負の和がそれぞれ1回ずつ現れる点が異なります。境界の境界は常に0です。非自明な閉路とは、境界の和が0になる点で単体の境界のように閉じますが、実際には単体や連鎖の境界ではありません。

定義により、k単体の向きは頂点の順序付けによって与えられ、 と表されます。この場合、2つの順序付けが同じ向きを定義するのは、それらの順序付けが偶数順列だけ異なる場合のみであるという規則が適用されます。したがって、すべての単体にはちょうど2つの向きがあり、2つの頂点の順序を入れ替えると、向きが反対の向きに変わります。例えば、1単体の向きを選択することは、2つの可能な方向のうちの1つを選択することと同じであり、2単体の向きを選択することは、「反時計回り」の意味を選択することと同じです。 ${\displaystyle (v_{0},...,v_{k})}$

を単体複体とする。単体k連鎖は有限形式和である。${\displaystyle S}$

${\displaystyle \sum _{i=1}^{N}c_{i}\sigma _{i},\,}$

ここで、各c _iは整数であり、σ _iは向き付けられたk単体である。この定義において、向き付けられた各単体は、向きが反対の単体の負の値に等しいと宣言する。例えば、

${\displaystyle (v_{0},v_{1})=-(v_{1},v_{0}).}$

上のk鎖からなるベクトル空間はと表記される。これは のk単体の集合と一対一に対応する基底を持つ。基底を明示的に定義するには、各単体の向きを選択する必要がある。これを行う標準的な方法の一つは、すべての頂点の順序を選択し、各単体にその頂点の誘導順序に対応する向きを与えることである。 ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle C_{k}}$ ${\displaystyle S}$

を の基底元として見た向きk単体とする。境界演算子${\displaystyle \sigma =(v_{0},...,v_{k})}$ ${\displaystyle C_{k}}$

${\displaystyle \partial _{k}:C_{k}\rightarrow C_{k-1}}$

は次のように定義される線形演算子です。

${\displaystyle \partial _{k}(\sigma )=\sum _{i=0}^{k}(-1)^{i}(v_{0},\dots ,{\widehat {v_{i}}},\dots ,v_{k}),}$

ここで、方向付けられた単体

${\displaystyle (v_{0},\dots ,{\widehat {v_{i}}},\dots ,v_{k})}$

は の 番目の面で、その番目の頂点を削除することによって得られます。 ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle i}$

において、部分群の要素 ${\displaystyle C_{k}}$

${\displaystyle Z_{k}=\ker \partial _{k}}$

サイクルと呼ばれ、サブグループ

${\displaystyle B_{k}=\operatorname {im} \partial _{k+1}}$

境界で構成されていると言われています。

直接計算により が成り立つことが示される。幾何学的に言えば、これはあらゆるものの境界には境界がないことを意味する。同値に、ベクトル空間は鎖複素を形成する。別の同値な命題はが に含まれるということである。 ${\displaystyle \partial ^{2}=0}$ ${\displaystyle (C_{k},\partial _{k})}$ ${\displaystyle B_{k}}$ ${\displaystyle Z_{k}}$

立方複体とは、点、線分、正方形、立方体、およびそれらのn次元対応物からなる集合である。これらは単体と同様に複体を形成する際に用いられる。基本区間は、以下の形式の 部分集合である。${\displaystyle I\subset \mathbf {R} }$

${\displaystyle I=[\ell ,\ell +1]\quad {\text{or}}\quad I=[\ell ,\ell ]}$

何らかの に対して となる。基本立方体は基本区間の有限積、すなわち ${\displaystyle \ell \in \mathbf {Z} }$ ${\displaystyle Q}$

${\displaystyle Q=I_{1}\times I_{2}\times \cdots \times I_{d}\subset \mathbf {R} ^{d}}$

ここで、 は基本区間である。同様に、基本立方体とは、ユークリッド空間に埋め込まれた単位立方体の任意の変換である（ を満たすものに対して）。集合が基本立方体の和集合として表され（あるいはそのような集合に同相であり）、かつその集合に含まれるすべての立方体の面をすべて含む場合、その集合は立方体複体と呼ばれる。境界演算子と連鎖複体は、単体複体の場合と同様に定義される。 ${\displaystyle I_{1},I_{2},\ldots ,I_{d}}$ ${\displaystyle [0,1]^{n}}$ ${\displaystyle \mathbf {R} ^{d}}$ ${\displaystyle n,d\in \mathbf {N} \cup \{0\}}$ ${\displaystyle n\leq d}$ ${\displaystyle X\subseteq \mathbf {R} ^{d}}$

より一般的なのはセル複合体です。

連鎖複素数とは、線型作用素（境界作用素と呼ばれる）によって連結されたベクトル空間の列であり、任意の2つの連続する写像の合成は零写像となる。明示的には、境界作用素は を満たすか、添字を省略すると を満たす。この複素数は次のように書き表される。 ${\displaystyle (C_{*},\partial _{*})}$ ${\displaystyle \ldots ,C_{0},C_{1},C_{2},C_{3},C_{4},\ldots }$ ${\displaystyle \partial _{n}:C_{n}\to C_{n-1}}$ ${\displaystyle \partial _{n}\circ \partial _{n+1}=0}$ ${\displaystyle \partial ^{2}=0}$

${\displaystyle \cdots {\xleftarrow {\partial _{0}}}C_{0}{\xleftarrow {\partial _{1}}}C_{1}{\xleftarrow {\partial _{2}}}C_{2}{\xleftarrow {\partial _{3}}}C_{3}{\xleftarrow {\partial _{4}}}C_{4}{\xleftarrow {\partial _{5}}}\cdots }$

単体写像とは、単体の頂点の像が常に単体を張る（したがって、頂点は像の頂点を持つ）という性質を持つ単体複体間の写像である。単体複体から別の単体写像とは、 の頂点集合から の頂点集合への関数であり、 の各単体の像（頂点集合として見たもの）が の単体となるようなものである。これは、 の鎖複体から の鎖複体への鎖写像と呼ばれる線型写像を生成する。明示的には、 -鎖上 では次のように与えられる。${\displaystyle f}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle k}$

${\displaystyle f((v_{0},\ldots ,v_{k}))=(f(v_{0}),\ldots ,f(v_{k}))}$

がすべて異なる場合はに設定され、そうでない場合は に設定されます。 ${\displaystyle f(v_{0}),...,f(v_{k})}$ ${\displaystyle 0}$

2つの鎖複体と間の鎖写像は 、それぞれに対する準同型写像の列であり、2つの鎖複体上の境界演算子と可換である。つまり、これは次の可換図式で表すことができる。 ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle (A_{*},d_{A,*})}$ ${\displaystyle (B_{*},d_{B,*})}$ ${\displaystyle f_{*}}$ ${\displaystyle f_{n}:A_{n}\rightarrow B_{n}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle d_{B,n}\circ f_{n}=f_{n-1}\circ d_{A,n}}$

チェーン マップは、サイクルをサイクルに送信し、境界を境界に送信します。

参考文献を参照。^{[ 11 ] [ 10 ] [ 12 ]}

離散微分形式：コチェーン

鎖複体の各ベクトル空間C _iについて、その双対空間 を考え、その双対線型作用素${\displaystyle C_{i}^{*}:=\mathrm {Hom} (C_{i},{\bf {R}}),}$ ${\displaystyle d^{i}=\partial _{i}^{*}}$

${\displaystyle d^{i-1}:C_{i-1}^{*}\to C_{i}^{*}.}$

これは、元の複合体の「すべての矢印を反転」する効果があり、共鎖複合体を残す。

${\displaystyle \cdots \leftarrow C_{i+1}^{*}{\stackrel {\partial _{i}^{*}}{\leftarrow }}\ C_{i}^{*}{\stackrel {\partial _{i-1}^{*}}{\leftarrow }}C_{i-1}^{*}\leftarrow \cdots }$

コチェイン複体は、チェイン複体の双対概念です。これは、を満たす線型作用素で連結されたベクトル空間の列で構成されます。コチェイン複体は、チェイン複体と同様の方法で記述できます。 ${\displaystyle (C^{*},d^{*})}$ ${\displaystyle ...,C_{0},C_{1},C_{2},C_{3},C_{4},...}$ ${\displaystyle d^{n}:C^{n}\to C^{n+1}}$ ${\displaystyle d^{n+1}\circ d^{n}=0}$

${\displaystyle \cdots {\xrightarrow {d^{-1}}}C^{0}{\xrightarrow {d^{0}}}C^{1}{\xrightarrow {d^{1}}}C^{2}{\xrightarrow {d^{2}}}C^{3}{\xrightarrow {d^{3}}}C^{4}{\xrightarrow {d^{4}}}\cdots }$

またはにおける指数は次数（次元）と呼ばれます。連鎖錯体と共連鎖錯体の違いは、連鎖錯体では微分によって次元が減少するのに対し、共連鎖錯体では微分によって次元が増加することです。 ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle C_{n}}$ ${\displaystyle C^{n}}$

(コ)チェイン複体の個々のベクトル空間の元はコチェインと呼ばれます。の核の元はコサイクル（または閉元）と呼ばれ、の像の元はコ境界（または完全元）と呼ばれます。微分の定義から、すべての境界はサイクルです。 ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle d}$

ポアンカレの補題によれば、が の開球である場合、上で定義された任意の閉形式は、 を満たす任意の整数に対して正確である。 ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle {\bf {R}}^{n}}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle 1\leq p\leq n}$

離散（微分）形式と呼ぶ場合、 を外微分と呼ぶ。また、形式の値には微積分記法を用いる。 ${\displaystyle d}$

${\displaystyle \omega (s)=\int _{s}\omega .}$

ストークスの定理は、多様体上の離散微分形式に関する定理であり、離散微分学の基本定理を区間の分割に対して一般化したものです。

${\displaystyle \sum _{i=0}^{n-1}{\frac {\Delta F}{\Delta x}}(a+ih+h/2)\,\Delta x=F(b)-F(a).}$

ストークスの定理は、ある向き付け可能な多様体の境界上の形式の和は、その外微分の総和に等しい、すなわち、 ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle d\omega }$ ${\displaystyle \Omega }$

${\displaystyle \int _{\Omega }d\omega =\int _{\partial \Omega }\omega \,.}$

次元の例を考え、根底にある原理を検証してみる価値はある。左の図は、多様体の有向タイリングにおいて、内部の経路が互いに反対方向に通っていることを示している。したがって、経路積分へのそれらの寄与は互いに打ち消し合う。結果として、境界からの寄与のみが残る。 ${\displaystyle d=2}$

参考文献を参照。^{[ 11 ] [ 10 ]}

形のくさび積

離散計算では、これは の形式から高階形式を作成する構成です。つまり、次と 次の 2 つのコチェーンを結合して、次数の合成コチェーンを形成します。 ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle p+q}$

立方体複体の場合、ウェッジ積は同じ次元のベクトル空間として見られるすべての立方体上で定義されます。

単体複体の場合、ウェッジ積はカップ積として実装されます。 が-コチェーンでが-コチェーンの場合、 ${\displaystyle f^{p}}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle g^{q}}$ ${\displaystyle q}$

${\displaystyle (f^{p}\smile g^{q})(\sigma )=f^{p}(\sigma _{0,1,...,p})\cdot g^{q}(\sigma _{p,p+1,...,p+q})}$

ここで、 は-単体であり、 は によって張られる単体で、頂点は でインデックス付けされます。したがって、は の-番目の前面、は の- 番目の背面です。 ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle (p+q)}$ ${\displaystyle \sigma _{S},\ S\subset \{0,1,...,p+q\}}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle (p+q)}$ ${\displaystyle \{0,...,p+q\}}$ ${\displaystyle \sigma _{0,1,...,p}}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle \sigma _{p,p+1,...,p+q}}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle \sigma }$

共鎖と共鎖のカップ積の共境界は次のように与えられる。 ${\displaystyle f^{p}}$ ${\displaystyle g^{q}}$

${\displaystyle d(f^{p}\smile g^{q})=d{f^{p}}\smile g^{q}+(-1)^{p}(f^{p}\smile d{g^{q}}).}$

2 つのコサイクルのカップ積もコサイクルであり、コ境界とコサイクルの積 (順序はどちらでも) もコ境界です。

カップ製品の操作は同一性を満たす

${\displaystyle \alpha ^{p}\smile \beta ^{q}=(-1)^{pq}(\beta ^{q}\smile \alpha ^{p}).}$

言い換えれば、対応する乗算は次数可換です。

参考文献を参照。^{[ 11 ]}

しかし、ウェッジ積は、最高次元のセルが一般多角形であるような細胞状複体上でも定義できる。このようなウェッジ積は、「一般多角形メッシュ上の単純かつ完全な離散外積計算」で提案されている。さらに、著者らはこの多角形ウェッジ積を用いて、一般多角形メッシュ上の離散リー微分を定義している。^{[ 13 ]}

ラプラス演算子

関数の頂点におけるラプラス演算子は、（係数を上限として） のセル近傍におけるの平均値が から逸脱する速度です。ラプラス演算子は、関数の勾配流の流束密度を表します。例えば、流体に溶解した化学物質がある点に向かって、またはある点から遠ざかる正味の速度は、その点における化学物質の濃度のラプラス演算子に比例します。これを記号的に表すと、拡散方程式となります。これらの理由から、ラプラス演算子は科学において様々な物理現象をモデル化するために広く用いられています。 ${\displaystyle \Delta f}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle f(p)}$

共微分

${\displaystyle \delta :C^{k}\to C^{k-1}}$

は、次のように -forms 上で定義される演算子です。${\displaystyle k}$

${\displaystyle \delta =(-1)^{n(k-1)+1}{\star }d{\star }=(-1)^{k}\,{\star }^{-1}d{\star },}$

ここでは外微分であり、はホッジスター演算子です。 ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle \star }$

共微分はストークスの定理によれば外微分の 随伴関数である。

${\displaystyle (\eta ,\delta \zeta )=(d\eta ,\zeta ).}$

微分は を満たすので、共微分は対応する性質を持つ。 ${\displaystyle d^{2}=0}$

${\displaystyle \delta ^{2}={\star }d{\star }{\star }d{\star }=(-1)^{k(n-k)}{\star }d^{2}{\star }=0.}$

ラプラス演算子は次のように定義されます。

${\displaystyle \Delta =(\delta +d)^{2}=\delta d+d\delta .}$

参考文献を参照。^{[ 10 ]}

関連している

• 離散要素法
• 相違点の分割
• 差分係数
• 有限差分法
• 有限要素法
• 有限体積法
• 数値微分
• 数値積分
• 常微分方程式の数値解析法

参照

• 差分積分
• 有限重み付きグラフ上の微積分
• セルオートマトン
• 離散微分幾何学
• 離散ラプラス演算子
• 差分積分学、離散微積分学、または離散解析学
• 離散モース理論

参考文献

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4. Desbrun, Mathieu; Kanso, Eva ; Tong, Yiying (2008). 「計算モデリングのための離散微分形式」 Bobenko, AI; Sullivan, JM; Schröder, P.; Ziegler, GM (編). 『離散微分幾何学』 オーバーヴォルフアッハセミナー 第38巻 バーゼル: ビルクハウザー.
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7. Levy, H.; Lessman, F. (1992).有限差分方程式. Dover Publications. ISBN 0-486-67260-3。
8. Ames, WF (1977). 「第1.6節」偏微分方程式の数値解析法. アカデミック・プレス. ISBN 0-12-056760-1。
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13. プターチコヴァ、レンカ;ヴェリョ、ルイス（2021）。「一般的な多角形メッシュ上の単純かつ完全な離散外部計算」。コンピュータ支援幾何学設計。88 . arXiv : 2401.15436。土井：10.1016/j.cagd.2021.102002。