距離
インド、ヴィシャーカパトナム近郊の距離を示すボード

距離とは、物体、点、人、またはアイデアがどれだけ離れているかを数値的、あるいは時には定性的に測定した値である。物理学や日常的な用法において、距離は物理的な長さ、または他の基準に基づいた推定値（例：「2つの郡を隔てて」）を指す。この用語は、2つの類似した物体間の差の大きさ（確率分布間の統計的距離やテキスト文字列間の編集距離など）や分離度（ソーシャルネットワークにおける人々の距離に代表されるように）の尺度として比喩的に使用されることも多い[1]。このような距離の概念のほとんどは、物理的、比喩的を問わず、距離空間の概念を用いて数学的に形式化されている。

社会科学では、距離は社会的距離や心理的距離など、分離の質的な測定値を指す場合があります。

物理学と幾何学における距離

物理的な場所間の距離は、さまざまなコンテキストでさまざまな方法で定義できます。

直線距離またはユークリッド距離

物理空間における二点間の距離は、それらの点を結ぶ直線の長さ、つまり最短経路の長さです。これは、ニュートン力学を含む古典物理学における距離の通常の意味です。

直線距離は、2次元および3次元空間におけるユークリッド距離として数学的に形式化されます。ユークリッド幾何学では、2点AとBの間の距離は、しばしば と表記されます。座標幾何学では、ユークリッド距離はピタゴラスの定理を使用して計算されます。平面上の点( x 1 , y 1 )と点( x 2 , y 2 )の間の距離は、次のように与えられます: [ 2 ] [ 3 ] 同様に、3次元空間内の点( x 1 , y 1 , z 1 )と点( x 2 , y 2 , z 2 )が与えられた場合、それらの間の距離は、次のように与えられます: [ 2 ] この考え方は、より高次元のユークリッド空間に一般化されます。 |あB|{\displaystyle |AB|}d＝（Δ×）2+（Δy）2＝（×2−×1）2+（y2−y1）2。{\displaystyle d={\sqrt {(\Delta x)^{2}+(\Delta y)^{2}}}={\sqrt {(x_{2}-x_{1})^{2}+(y_{2}-y_{1})^{2}}}。}d＝（Δ×）2+（Δy）2+（Δz）2＝（×2−×1）2+（y2−y1）2+（z2−z1）2。{\displaystyle d={\sqrt {(\Delta x)^{2}+(\Delta y)^{2}+(\Delta z)^{2}}}={\sqrt {(x_{2}-x_{1})^{2}+(y_{2}-y_{1})^{2}+(z_{2}-z_{1})^{2}}}。

測定

直線距離を測定する方法は数多くあります。例えば、定規を使って直接測定する方法、レーダー（長距離用）や干渉計（非常に短い距離用）を使って間接的に測定する方法などがあります。宇宙距離ラダーは、極めて長い距離を測定するための一連の方法です。

曲面上の最短経路距離

ロサンゼルスと東京間の航空路線は、西に向かう場合はほぼ大円軌道を描きます（上図）。東に向かう場合はジェット気流を利用します（下図）。地図投影では、地球の実際の球面と比較して、すべての距離が均等に縮尺されていないため、最短経路は直線ではなく曲線として表示されます。

地球表面上の2点間の直線距離は、地球のマントルをまっすぐにトンネルで貫通することはできないため、ほとんどの用途ではあまり役に立ちません。その代わりに、通常は地球表面に沿った直線距離（直線距離）を測定します。これは数学的には、球面上の 大圏距離で近似されます。

より一般的には、曲面上の2点間の最短経路は測地線と呼ばれます。測地線の弧の長さは、その面上に生息するアリなどの飛べない生物の視点から距離を測定する方法を提供します。

相対性の影響

相対性理論では、長さの収縮や同時性の相対性といった現象により、物体間の距離は慣性系の選択に依存します。銀河系やそれよりも大きなスケールでは、距離の測定は宇宙の膨張の影響も受けます。実際には、宇宙論ではそのような距離を定量化するために、様々な距離尺度が用いられています。

その他の空間距離

グリッド上のマンハッタン距離

距離の珍しい定義は、特定の物理的状況をモデル化するのに役立ちますが、理論数学でも使用されます。

比喩的な距離

数学、科学、工学において用いられる距離に関する多くの抽象的な概念は、類似した物体間の差異や分離の程度を表します。このページではいくつかの例を示します。

統計距離

統計学と情報幾何学において、統計的距離は2 つの確率分布の差の度合いを測定します。統計的距離には多くの種類があり、通常はダイバージェンスとして形式化されます。これにより、一連の確率分布を統計多様体と呼ばれる幾何学的オブジェクトとして理解できるようになります。最も基本的なのは2 乗ユークリッド距離で、最小 2乗法で最小化されます。これが最も基本的なBregman ダイバージェンスです。情報理論で最も重要なのは相対エントロピー( Kullback–Leibler ダイバージェンス) で、これによって同様に最大尤度推定を幾何学的に調べることができます。これはfダイバージェンスと Bregman ダイバージェンスの両方の例です(そして実際には、両方である唯一の例です)。ブレグマン ダイバージェンスに対応する統計多様体は、対応する幾何学における平坦な多様体であり、ピタゴラスの定理(ユークリッド距離の 2 乗に当てはまる) の類似物を最適化理論による推論における線形逆問題に使用することができます。

その他の重要な統計距離には、マハラノビス距離とエネルギー距離があります。

距離を編集する

コンピュータサイエンスにおいて、 2つの文字列間の編集距離、あるいは文字列メトリックは、それらの違いの程度を測る指標です。例えば、「dog」と「dot」は1文字しか違いませんが、「dog」と「cat」は共通の文字が全くありません。この考え方はスペルチェッカーや符号理論で用いられており、レーベンシュタイン距離、ハミング距離、リー距離、ヤロ・ウィンクラー距離など、様々な方法で数学的に定式化されています。

グラフ理論における距離

グラフにおいて、 2つの頂点間の距離は、それらの間の最短の辺の長さで測られます。例えば、グラフがソーシャルネットワークを表す場合、 「6次の隔たり」という概念は、数学的には、任意の2つの頂点間の距離が最大でも6であるという意味に解釈できます。同様に、エルデシュ数とベーコン数（それぞれ、著名な数学者ポール・エルデシュと俳優ケビン・ベーコンから、ある人物が何番目の協力関係にあるかを表す数）は、辺が数学的または芸術的なコラボレーションを表すグラフにおける距離です。

社会科学では

心理学、人文地理学、社会科学では、距離は客観的な数値測定としてではなく、主観的な経験の定性的な記述として理論化されることが多い。[ 4 ] 例えば、心理的距離とは、「時間、空間、社会的距離、仮説性」などの次元に沿って、自己から「対象が遠ざかるさまざまな方法」である。[ 5 ]社会学 では、社会的距離は、社会階級、人種/民族、性別、セクシュアリティなどの次元に沿って、社会における個人または社会集団間の分離を説明する。

数学的形式化

上で説明した2点または2物体間の距離の概念のほとんどは、数学的な概念である計量の例です。計量関数または距離関数とは、2点または2物体のペアを実数に変換し、以下の規則を満たす 関数dです。

  1. 物体と物体自体の間の距離は常にゼロです。
  2. 異なるオブジェクト間の距離は常に正です。
  3. 距離は対称です。つまり、 xからyまでの距離は常にyからxまでの距離と同じです。
  4. 距離は三角不等式を満たします。つまり、 x、y、zが 3 つのオブジェクトである場合、この条件は非公式には「中間停止では速度を上げることができない」と説明できます。d（×、z）≤d（×、y）+d（y、z）。{\displaystyle d(x,z)\leq d(x,y)+d(y,z).}

例外として、統計で使用される乖離の多くは測定基準ではありません。

さまざまな r の値に対する関数を視覚化するアニメーション。（|×|r+|y|r）1/r{\displaystyle (|x|^{r}+|y|^{r})^{1/r}}

セット間の距離

これら 3 つの集合間の距離は三角不等式を満たしません。d（あ、B）>d（あ、C）+d（C、B）{\displaystyle d(A,B)>d(A,C)+d(C,B)}

複数の点からなる物体間の物理的な距離を測定する方法は複数あります。

さらに一般的に、この考え方は距離空間の2つの部分集合間の距離を定義するのに使用できます。集合AとBの間の距離は、それぞれの点の任意の2点間の距離の最小値です。これは、そのような部分集合の集合上の距離を定義しません。重なり合う集合間の距離は0であり、この距離は2点以上の点を持つ任意の距離空間に対して三角不等式を満たしません（2つの異なる単集合とその和集合からなる3つの集合を考えてみましょう）。d（あ、B）＝無限大×∈あ、y∈Bd（×、y）。{\displaystyle d(A,B)=\inf _{x\in A,y\in B}d(x,y).}
  • 計量空間の二つの部分集合間のハウスドルフ距離は、それらの部分集合が完全に重なり合う距離からどれだけ離れているかを測るものと考えることができます。より正確には、AとB間のハウスドルフ距離は、AからBの最遠点までの距離、またはBからAの最遠点までの距離のいずれか大きい方です（ここで「最遠点」は上限として解釈する必要があります）。ハウスドルフ距離は、計量空間のコンパクト部分集合の集合上の計量を定義します。

距離という言葉は、「点または物体間の距離を数値的に測定する」という説明に含まれない関連概念にも使用されます。

移動距離

物体が移動した距離とは、2点間の特定の経路の長さを指します[ 6 ]。例えば、迷路を進む際に歩いた距離や、マイルポストやオドメーターで示された距離などが挙げられます。また、真上に投げられたボールや地球が軌道を1周する距離のように、同じ点を起点として終わる閉曲線上の閉距離を指す場合もあります。これは、曲線の 弧長として数学的に定式化されます。

移動距離も符号付きで表されます。つまり、「前方」距離は正、「後方」距離は負です。

円周距離とは、車輪の円周上の点が移動する距離であり、車両や機械の歯車を設計する際に考慮すると便利です（オドメトリも参照）。車輪の円周は2π × 半径です。半径が1の場合、車輪が1回転するごとに車両は2πラジアン移動します。

変位と方向距離

経路に沿った距離と変位を比較したもの。ユークリッド距離は変位ベクトルの長さです。

古典物理学における変位は、ある時間間隔における物体の位置の変化を測定するものです。距離はスカラー量、つまり大きさですが、変位は大きさと方向 の両方を持つベクトル量です。一般的に、2つの位置（相対位置）の差を測定するベクトルは、有向距離と呼ばれることもあります。[ 7 ] 例えば、ニューヨーク市中央図書館の旗竿から自由の女神像の旗竿までの有向距離は、次のようになります。

  • 出発点：図書館の旗竿
  • 終点：像の旗竿
  • 方向: -38°
  • 距離：8.72 km

符号付き距離

数学とその応用において、符号付き距離関数または符号付き距離場（SDF）は、距離空間（幾何学的形状の表面など）における集合Ωの境界に対する与えられた点xの直交距離であり、その符号はx がΩ の内部にあるかどうかで決まる。この関数は、Ω の内部にある点xでは正の値を取り、Ω の境界（符号付き距離関数が 0 である）に近づくにつれて値が減少し、Ω の外部では負の値を取る。[ 8 ]ただし、別の規則が採用されることもある（つまり、Ω の内部では負、外部では正）。[ 9 ]この概念は、有向距離関数/フィールドと呼ばれることもある。

参照

Wikiquoteに距離に関する引用があります。

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参考文献

  1. ^シュナル、シモーネ (2014). 「基本的なメタファーは存在するのか？」メタファーの力：社会生活への影響の検証. アメリカ心理学会. pp.  225– 247. doi : 10.1037/14278-010 . ISBN 978-1-4338-1579-9。
  2. ^ a b Weisstein, Eric W. 「距離」 . mathworld.wolfram.com . 2020年9月1日閲覧。
  3. ^ 「2点間の距離」www.mathsisfun.com . 2020年9月1日閲覧。
  4. ^ 「ソーシャルディスタンス」 www.hawaii.edu 2020年7月20日閲覧。
  5. ^ Trope Y, Liberman N (2010年4月). 「心理的距離の解釈レベル理論」 .心理学評論. 117 (2): 440–63 . doi : 10.1037/a0018963 . PMC 3152826. PMID 20438233 .  
  6. ^ 「変位とは何か？（記事）」カーンアカデミー。2020年7月20日閲覧。
  7. ^ 「The Directed Distance」（PDF） .情報通信技術センター. カンザス大学 .オリジナル（PDF）から2016年11月10日時点のアーカイブ。 2018年9月18日閲覧。
  8. ^ Chan, T.; Zhu, W. (2005).レベルセットベースの形状事前セグメンテーション. IEEE Computer Society Conference on Computer Vision and Pattern Recognition. doi : 10.1109/CVPR.2005.212 .
  9. ^ Malladi, R.; Sethian, JA; Vemuri, BC (1995). 「フロントプロパゲーションによる形状モデリング：レベルセットアプローチ」(PDF) . IEEE Transactions on Pattern Analysis and Machine Intelligence . 17 (2): 158– 175. doi : 10.1109/34.368173 .

参考文献

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