ワイエルシュトラスの準備定理

数学において、ワイエルシュトラスの準備定理（ワイエルシュトラスじょうりょくせい）は、与えられた点Pにおける複数の複素変数の解析関数を扱うためのツールである。この定理は、そのような関数は、Pにおいて零でない関数との乗算を除き、一つの固定変数zに関する単項多項式であり、その低次項の係数は残りの変数において解析関数であり、 Pにおいて零であることを述べている。

この定理には、環Rにおける因数分解の考え方をu · w（uは単位元、wはある種のワイエルシュトラス多項式 ）へと拡張した、いくつかの変種が存在する。カール・シーゲルは、この定理がワイエルシュトラスに帰属するという考えに異議を唱え、19世紀後半の『解析学』の一部において、この定理が現在の名称で提示されたのは根拠がないと主張している。

複雑な解析関数

1変数の場合、解析関数f ( z ) の 0 近傍における局所形はz ^k h ( z ) である。ただしh (0) は 0 ではなく、kはfの 0 における零点の位数である。これは準備定理を一般化した結果である。1つの変数z（これを第1変数と仮定する）を取り、複素変数を ( z , z ₂ , ..., z _n ) と書く。ワイエルシュトラス多項式W ( z ) は

z ^k + g _{k −1} z ^{k −1} + ... + g ₀

ここで、g _i ( z ₂ , ..., z _n ) は解析的であり、g _i (0, ..., 0) = 0 です。

そして、定理は解析関数fに対して、

f (0, ...,0) = 0,

そして

f ( z , z ₂ , ..., z _n )

冪級数はzのみを含む項を持つので、(局所的に(0, ..., 0)の近く)と書くことができる。

f ( z , z ₂ , ..., z _n ) = W ( z ) h ( z , z ₂ , ..., z _n )

ただし、h は解析的であり、 h (0, ..., 0) は 0 ではなく、W はワイエルシュトラス多項式です。

このことから、 fの零点の集合（(0, ..., 0)付近）は、 z ₂ , ..., z _nの任意の小さな値を固定し、方程式W(z)=0を解くことで見つけられるという直接的な帰結が得られる。対応するzの値は、zにおけるWの次数に等しい数の連続的に変化する枝を形成する。特に、f は孤立した零点を持つことはできない。

除算定理

関連する結果としてワイエルシュトラスの除算定理がある。これは、fとgが解析関数で、gがN次ワイエルシュトラス多項式であるとき、 f = gh + j （ jはN 次未満の多項式）を満たすhとjのペアが唯一存在することを述べている。実際、多くの著者がワイエルシュトラスの準備定理を除算定理の系として証明している。また、準備定理から除算定理を証明することも可能であり、その結果、2つの定理は実際には同値となる。^{[ 1 ]}

アプリケーション

ワイエルシュトラスの準備定理は、 n変数の解析関数の芽の環がネーター環であることを示すために用いられ、リュッケルト基底定理とも呼ばれる。^{[ 2 ]}

スムーズな機能

滑らかな関数に対するより深い準備定理は、ベルナール・マルグランジュによって提唱され、マルグランジュ準備定理と呼ばれています。また、この定理には、ジョン・マザーにちなんで名付けられた、関連する除算定理も存在します。

完備局所環における形式的冪級数

完全局所環A上の形式的冪級数の環についても、ワイエルシュトラスの準備定理と呼ばれる類似の結果が存在する。[ ^{3 ] A}の極大イデアルに含まれない冪級数に対しては、一意の単位uが存在し、次のような形式の多項式F が存在する（いわゆる区別多項式）。 ${\displaystyle f=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}t^{n}\in A[[t]]}$ ${\displaystyle a_{n}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$ ${\displaystyle A[[t]]}$ ${\displaystyle F=t^{s}+b_{s-1}t^{s-1}+\dots +b_{0}}$ ${\displaystyle b_{i}\in {\mathfrak {m}}}$

${\displaystyle f=uF.}$

は再び完全な局所環であるため、結果は反復することができ、したがって、複数の変数の形式的な冪級数に対して同様の因数分解結果が得られます。 ${\displaystyle A[[t]]}$

例えば、これはp進体の整数環に当てはまります。この場合、定理は、冪級数f ( z ) は常に π ⁿ · u ( z ) · p ( z ) と一意に因数分解できることを述べています。ここで、u ( z ) は冪級数環の単位元、p ( z ) は特別な多項式（モニック多項式、非主項の係数がそれぞれ最大イデアルに含まれる）、 π は固定された均一化子です。

環に対するワイエルシュトラスの準備定理と除算定理（岩澤代数とも呼ばれる）の応用は、岩澤理論においてこの環上の有限生成加群の記述に現れる。 ^{[ 4 ]}${\displaystyle \mathbf {Z} _{p}[[t]]}$

ワイエルシュトラスの除算と準備の非可換版が存在する。Aは必ずしも可換環ではなく、形式的冪級数の代わりに形式的歪冪級数を用いる。^{[ 5 ]}

テイト代数

テイト代数に対するワイエルシュトラス準備定理も存在する。

${\displaystyle T_{n}(k)=\left\{\sum _{\nu _{1},\dots ,\nu _{n}\geq 0}a_{\nu _{1},\dots ,\nu _{n}}X_{1}^{\nu _{1}}\cdots X_{n}^{\nu _{n}},|a_{\nu _{1},\dots ,\nu _{n}}|\to 0{\text{ for }}\nu _{1}+\dots +\nu _{n}\to \infty \right\}}$

完備非アルキメデス体k上の Γ の環^{[ 6 ]}。これらの代数は剛体幾何学 の基本的な構成要素である。ワイエルシュトラスの準備定理のこの形の応用例の一つは、環がノイザン体であるという事実である。 ${\displaystyle T_{n}(k)}$

参照

• 岡コヒーレンス定理

参考文献

1. ハンス・グラウアート; Remmert、Reinhold (1971)、Analytische Steellenalgebren (ドイツ語)、Springer、p. 43、土井：10.1007/978-3-642-65033-8、ISBN 978-3-642-65034-5
2. エベリング、ヴォルフガング（2007）、複素変数関数とその特異点、命題2.19：アメリカ数学会
3. ニコラ・ブルバキ（1972）『可換代数』第7章、§3、第9項、命題6：ヘルマン
4. ローレンス・ワシントン(1982)、「円分体入門」、定理13.12: シュプリンガー
5. Otmar Venjakob (2003). 「非可換ワイエルシュトラス準備定理と岩澤理論への応用」 . J. Reine Angew. Math . 2003 (559): 153– 191. arXiv : math/0204358 . doi : 10.1515/crll.2003.047 . S2CID 14265629. 2022年1月27日閲覧。 定理3.1、系3.2
6. ボッシュ、ジークフリート;ギュンツァー、ウルリッヒ。Remmert、Reinhold (1984)、非アルキメデス分析、第 5.2.1 章、5.2.2 章: Springer

• ルイス、アンドリュー、『グローバル分析に関するノート』
• Siegel, CL (1969)、「Zu den Beweisen des Vorbereitungssatzes von Weierstrass」、数理論と分析 (エドモンド・ランドーに敬意を表した論文)、ニューヨーク: プレナム、  297 ～ 306 ページ、MR  0268402、Siegel、Carl Ludwig (1979)、Chandrasekharan、K に再版。 Maass., H. (編)、Gesammelte Abhandlungen。 Band IV、ベルリン-ニューヨーク: Springer-Verlag、pp.  1–8、ISBN 0-387-09374-5、MR  0543842
• Solomentsev, ED (2001) [1994], 「ワイエルシュトラスの定理」 ,数学百科事典, EMS Press
• Stickelberger, L. (1887)、「Ueber einen Satz des Herrn Neether」、Mathematische Annalen、30 (3): 401–409、doi : 10.1007/BF01443952、S2CID  121360367
• Weierstrass, K. (1895)、Mathematische Werke。 II. Abhandlungen 2、ベルリン: Mayer & Müller、pp  . 135–1421967年にジョンソン社（ニューヨーク）から再版された。

外部リンク

• Lebl, Jiří (2021年7月6日). 「ワイエルシュトラスの準備と除算定理. (2021年9月5日)」 . LibreTexts .