岩沢代数

数学において、原有限群Gの岩澤代数Λ( G ) は、Gの位相を考慮したp進係数を持つGの群環の変種である。より正確には、 Λ( G ) は、H がGの開正規部分群  を通るときの群環Z _p ( G / H )の逆極限である。可換岩澤代数は、岩澤理論におけるZ _p拡大の研究において岩澤 ( 1959 )によって導入され、コンパクトp進解析群の非可換岩澤代数はラザード ( 1965 )によって導入された。

p -進整数の岩沢代数

原有限群Gがp進整数環Z _pの加法群と同型で ある特別な場合において、岩澤代数 Λ( G ) はZ _p上の1変数形式冪級数Z _p [[ T ]]の環と同型である。この同型性は、 1 + T をGの位相生成子と同一視することによって与えられる 。この環は2次元完全ノイザン正則局所環であり、特に唯一の因数分解域である。

完全な局所環上の形式的冪級数に対するワイエルシュトラスの準備定理から、この環の素イデアルは次のようになることが わかります。

• 高さ 0: ゼロ理想。
• 高さ 1: イデアル ( p )、および既約な区別された多項式(先頭の係数が 1 で、他のすべての係数がpで割り切れる多項式)によって生成されるイデアル。
• 高さ2: 最大イデアル( p , T )。

有限生成モジュール

有限生成加群の階数は、加群Z _p [[ T ]] がその加群に現れる回数である。これは明確に定義されており、有限生成加群の短完全列に対しては加法的である。有限生成加群の階数がゼロとなるのは、加群が捩れ加群である場合のみであり、捩れ加群となるのは、台が最大で1次元である場合のみである。

岩澤理論に現れるこの代数上の加群の多くは、有限生成捩れ加群である。そのような加群の構造は次のように記述できる。加群の準同型とは、核と余核が両方とも有限群である準同型、つまり、サポートが空か高さ 2 の素イデアルである加群である。任意の有限生成捩れ加群に対して、形Z _p [[ T ]]/( f ⁿ ) の加群の有限和との準同型が存在する。ここでfは高さ 1 の素イデアルの生成元である。さらに、任意の加群Z _p [[ T ]]/( f ) が加群に現れる 回数は明確に定義されており、合成級数とは独立である。したがって、捩れ加群には特性冪級数、つまり冪級数f ⁿの積で与えられる形式的な冪級数があり、これは単位による乗算を除いて一意に定義される。特性冪級数によって生成されるイデアルは、岩澤加群の特性イデアルと呼ばれる。より一般的には、特性イデアルの任意の生成元は特性冪級数と呼ばれます。

有限生成捩れ加群のμ不変量は、加群Z _p [[ T ]]/( p ) がその加群に現れる回数である。この不変量は、有限生成捩れ加群の短完全列に対しては加法的である（ただし、有限生成加群の短完全列に対しては加法的ではない）。この不変量は、有限生成捩れ加群が部分環Z _p上の加群として有限生成である場合にのみゼロとなる。λ不変量は、現れる区別された多項式の次数の和である。言い換えれば、加群が

${\displaystyle \bigoplus _{i}\mathbf {Z} _{p}[\![T]\!]/(p^{\mu _{i}})\oplus \bigoplus _{j}\mathbf {Z} _{p}[\![T]\!]/(f_{j}^{m_{j}})}$

ここで、f _jは区別された多項式であり、

${\displaystyle \mu =\sum _{i}\mu _{i}}$

そして

${\displaystyle \lambda =\sum _{j}m_{j}\deg(f_{j}).}$

特性べき級数に関して言えば、μ 不変量は係数の ( p進) 値の最小値であり、λ 不変量はその最小値が最初に現れる Tのべき乗です。

有限生成加群の階数、μ不変量、λ不変量がすべて零である場合、その加群は有限である（逆もまた同様）。言い換えれば、その基底アーベル群は有限アーベルp群である。これらは、台が高々0次元である有限生成加群である。このような加群はアルティン型であり、明確に定義された長さを持ち、その長さは有限であり、短完全列上で加法的である。

岩澤の定理

ν _{n を}^{1+γ+γ 2} +...+γ ^{p n –1}の元と書きます。ここで γ は Γ の位相生成元です。岩澤 ( 1959 ) は、Xが岩澤代数上の有限生成捩れ加群で、 X /ν _n X が位数p ^{e _{n を}}持つとき、

${\displaystyle e_{n}=\mu p^{n}+\lambda n+c}$

nが十分に大きい場合、μ、λ、cはXのみに依存し、 nには依存しない。岩澤の当初の議論は場当たり的であり、セール (1958)は、岩澤の結果は、岩澤代数のような整閉ノイザン環上の加群の構造に関する標準的な結果から導出できることを指摘した。

特に、これは、e _nがp ^{n +1}の位数単位根によって生成される円分体のイデアル類群の位数を割り切る最大のpのべき乗である場合に当てはまる。フェレロ・ワシントン定理によれば、この場合 μ=0 となる。

高階数かつ非可換な岩澤代数

より一般的な岩澤代数は次のような形をとる。

${\displaystyle \Lambda (G):=\varprojlim _{H}\mathbf {Z} _{p}[G/H]}$

ここで、Gはコンパクトp進リー群である。上の場合は に対応する。擬同型まで上の加群の分類は、^{[ 1 ]の場合に可能である。}${\displaystyle G=\mathbf {Z} _{p}}$ ${\displaystyle \Lambda (G)}$ ${\displaystyle G=\mathbf {Z} _{p}^{n}.}$

非可換Gの場合、-加群はいわゆる擬似ヌル加群まで分類される。^{[ 2 ]}${\displaystyle \Lambda (G)}$

参考文献

1. ブルバキ、ニコラ (1972)、可換代数、パリ: ヘルマン、定理4、5、§VII.4.4。
2. Coates, John; Schneider, Peter; Sujatha, Ramdorai (2003)、「岩澤代数上の加群」、J. Inst. Math. Jussieu、2 (1): 73– 108、arXiv : math/0110342、doi : 10.1017/S1474748003000045、Zbl 1061.11060 

• Ardakov, K.; Brown, KA (2006), 「岩澤代数の環理論的性質：概観」 , Documenta Mathematica : 7– 33, arXiv : math/0511345 , Bibcode : 2005math.....11345A , ISSN  1431-0635 , MR  2290583
• 岩沢健吉 (1959)、「代数的数体のΓ拡大について」、アメリカ数学会誌、65 (4): 183– 226、doi : 10.1090/S0002-9904-1959-10317-7、ISSN  0002-9904、MR  0124316
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• Neukirch, ユルゲン;シュミット、アレクサンダー。 Wingberg, Kay (2000)、「第 5 章」、数体のコホモロジー、Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften、vol. 323 (第 1 版)、ベルリン: Springer-Verlag、ISBN 978-3-540-66671-4、MR  1737196、Zbl  0948.11001
• Serre、Jean-Pierre (1958)、「Classes des corps cyclotomices (d'après K.いわさわ) Exp.174」、Séminaire Bourbaki、Vol. 5、パリ: Société Mathématique de France、pp.  83–93、MR  1603459