反転を伴う半群

数学、特に抽象代数において、反転を持つ半群または*-半群は、反転反自己同型を備えた半群であり、大まかに言えば、この反転は単項演算子として考えられ、群の逆をとる演算の特定の基本的特性を示す ため、群に近づきます。

• ユニークさ
• 二重申請は「キャンセル」されます。
• 逆群の場合と同じ二項演算による相互作用法則。

したがって、任意の群が反転を持つ半群であることは驚くべきことではありません。しかし、反転を持つ半群でありながら群ではないという重要な自然な例も存在します。

線型代数の例としては、実数値の n 行 n 列の正方行列の集合があり、その行列転置を反転としている。行列をその転置に写像する写像は反転である。なぜなら、転置はどの行列に対しても明確に定義され、法則( AB ) ^T = B ^T A ^Tに従うからである。この法則は、一般線型群(完全線型モノイドのサブグループ)で逆行列を取る場合と同じように、乗算との相互作用の形をとる。しかし、任意の行列について、 AA ^{T は}単位元 (つまり対角行列) と等しくない。形式言語理論からの別の例としては、空でない集合(アルファベット)によって生成される自由半群があり、文字列の連結を二項演算とし、反転は文字列内の文字の線形順序を逆にする写像である。 3 番目の例は、基本的な集合論からのもので、集合とそれ自身との間のすべての二項関係の集合です。ここで、反転は逆関係であり、乗算は関係の通常の合成によって与えられます。

反転を伴う半群は、半群の理論と半積み重ねの理論を橋渡しする試みの結果として、ヴィクトル・ワーグナーの1953年の論文（ロシア語）で明示的に名前が付けられました。^{[ 1 ]}

正式な定義

S を、その二項演算が乗法的に記述される半群とします。S における反転とは、 Sに対する一項演算* （または、変換 * : S → S , x ↦ x * ）であり、以下の条件を満たします。

1. S内のすべてのxについて、 ( x *)* = xです。
2. S内のすべてのx、yについて、 ( xy )* = y * x *が成り立ちます。

反転 * を持つ 半群Sは反転を持つ半群と呼ばれます。

これらの公理の最初のものだけを満たす半群は、U 半群のより大きなクラスに属します。

いくつかの応用では、これらの公理の2番目は反分配的と呼ばれています。^{[ 2 ]}この公理の自然哲学に関して、HSMコクセターは「[x]と[y]をそれぞれ靴下と靴を履く操作と考えると明らかになります」と述べています。^{[ 3 ]}

例

1. Sが可換半群である場合、S の恒等写像は反転です。
2. Sが群であるとき、x * = x ⁻¹ で定義される反転写像 * : S → Sは反転である。さらに、アーベル群上では、この写像と前の例の写像はどちらも反転を伴う半群の公理を満たす反転である。^{[ 4 ]}
3. Sが逆半群である場合、反転写像は冪等性を不変とする反転である。前例で述べたように、反転写像は必ずしも逆半群においてこの性質を持つ唯一の写像ではない。すべての冪等性を不変とする反転は他にも存在する可能性がある。例えば、可換正則、すなわち逆半群、特にアーベル群上の恒等写像である。正則半群が逆半群であるためには、各冪等性が不変となる反転を許容する必要がある。^{[ 5 ]}
4. すべてのC*-代数は*-半群を基礎としている。重要な例として、共役転置を反転として持つ、C上のn行n列の行列からなる代数M _n ( C )が挙げられる。
5. Xが集合であるとき、 X上のすべての二項関係の集合は*-半群であり、* は逆関係によって与えられ、乗法は関係 の通常の合成によって与えられる。これは、正則半群ではない *-半群の例である。
6. X が集合である場合、X のメンバーのすべての有限シーケンス (または文字列) の集合は、シーケンスの連結の操作の下で自由モノイドを形成し、シーケンスの反転が反転として行われます。
7. 集合Aとそれ自身（つまりA × Aの元）との直積上の直角帯。半群積は ( a , b )( c , d ) = ( a , d ) と定義され、反転は ( a , b )* = ( b , a )の元の順序を反転したものである。この半群は、すべての帯と同様に正則半群でもある。 ^{[ 6 ]}

基本的な概念と特性

反転を伴う半群の元xは、反転によって不変となる場合、つまりx * = xとなる場合、エルミート行列との類推により、エルミートと呼ばれることがある。xx * またはx * xの形式の元は常にエルミートであり、エルミート元のすべての冪もエルミートである。例の節で述べたように、半群Sが逆半群となるのは、Sが正則半群であり、かつすべての冪等元がエルミートとなるような反転を許容する場合のみである。 ^{[ 7 ]}

半群の正則元から生じる概念と類似した方法で、*-半群上に特定の基本概念を定義できる。部分等長写像とは、 ss * s = s となる元sのことである。半群Sの部分等長写像の集合は通常 PI( S )と略される。^{[ 8 ]}射影とは、 ee = eかつe * = eとなる、エルミートでもあるべき等元eのことである。すべての射影は部分等長写像であり、すべての部分等長写像sに対して、s * sおよびss * は射影である。eとf が射影である場合、e = efと同値で、e = feとなる。^{[ 9 ]}

部分等長写像は、s = ss * tかつss * = ss * tt *が成り立つとき、s ≤ tによって部分的に順序付けることができる。 ^{[ 9 ]}同様に、s ≤ t は、ある射影eに対してs = etかつe = ett *が成り立つときのみ成り立つ 。^{[ 9 ]} *-半群において、PI( S ) は、 s * s = tt * のとき、s ⋅ t = stで与えられる部分積を持つ順序付き群である。^{[ 10 ]}

例

これらの概念の例として、集合上の二項関係の*-半群において、部分等長関係は二関数関係である。この*-半群への射影は部分同値関係である。^{[ 11 ] [ 12 ]}

C*-代数における部分等長変換は、まさにこの節で定義されるものである。M n ( C ) の場合、さらに詳しいことが_言える。Eと F が射影ならば、E ≤ F となるのは、im E ⊆ im Fの場合のみである。任意の2つの射影について、E ∩ F = Vならば、像Vと核Vの直交補集合を持つ唯一の射影J は、 EとFの交わりである。射影は交わり半格子を形成するので、 M _n ( C )上の部分等長変換は積 を持つ逆半群を形成する。^{[ 13 ]}${\displaystyle A(A^{*}A\wedge BB^{*})B}$

これらの概念の別の簡単な例を次のセクションに示します。

規則性の概念

*-半群における正則性の概念には、関連性はあるものの同一ではないものが2つある。これらはそれぞれNordahl & Scheiblich (1978) とDrazin (1979) によってほぼ同時に導入された。^{[ 14 ]}

通常の*-半群 (Nordahl & Scheiblich)

前の例で述べたように、逆半群は*-半群のサブクラスです。逆半群は、任意の2つの冪等元が可換となる正則半群として特徴付けられることも教科書的に知られています。1963年、ボリス・M・シャインは、次の2つの公理が逆半群を*-半群の 部分多様体として同様に特徴付けることを示しました。

• x = xx * x
• ( xx *)( x * x ) = ( x * x )( xx *)

最初の公理は正則元の定義のように見えますが、実際には反転に関するものです。同様に、2番目の公理は2つの冪等元の交換を記述しているように見えます。しかし、正則半群は、その類に自由対象が含まれていないため、多様体を形成しないことが知られています（1968年にD・B・マカリスターによって確立された結果）。この考え方が、ノルダールとシャイブリッヒが1977年に、最初の2つの公理のみを満たす*-半群（の多様体）の研究を始めるきっかけとなりました。正則半群を定義する性質と形式が類似していることから、彼らはこの多様体を正則*-半群と名付けました。

正則 *-半群も正則半群であることは、x * がxの逆であることにより、簡単な計算で証明できます。例 7の長方形バンドは、逆半群ではない正則 *-半群です。^{[ 6 ]}正則 *-半群では、任意の 2 つの射影の積がべき等であることも簡単に検証できます。^{[ 15 ]}前述の長方形バンドの例では、射影は形式( x , x )の要素であり、 (バンドのすべての要素と同様に) べき等です。ただし、このバンドの 2 つの異なる射影は交換可能である必要はなく、 ( a , a )( b , b ) = ( a , b )であるため、それらの積が必ずしも射影である必要もありません。

x ** = x = xx * xのみを満たす半群（ただし、乗法上の * の反分配性は必ずしも満たさない）も、 I 半群という名前で研究されてきました。

Pシステム

正則半群が（ノルダールとシャイブリッヒの意味で）正則*-半群であるかどうかを特徴付ける問題は、P-システムを定義することで解決できる。半群Sについて、E ( S )を冪等集合とし、V ( a )をaの逆集合とする。P-システムF ( S )は、 E ( S )の部分集合であり、以下の公理を満たす。

1. Sの任意のaに対して、 V ( a )にa °が 1 つだけ存在し、aa °とa ° aがF ( S )に存在する。
2. Sの任意のaとF ( S )の任意のbに対して、a°baは F(S) に含まれます。ここで、° は前の公理から明確に定義された演算です。
3. F ( S )に属する任意のa、bについて、abはE ( S )に属する。注意：必ずしもF ( S )に属するとは限らない。

正則半群Sが *-正則半群であるための必要十分条件は、それが p-システムF ( S )を持つことである。^{[ 16 ]}この場合、F ( S )は、 F ( S )によって定義される演算°に関するSの射影の集合である。逆半群において、べき等性の半格子全体が P-システムである。また、正則半群S が乗法的に閉じた P-システム（すなわち部分半群）を持つ場合、Sは逆半群である。したがって、 P-システムは逆半群のべき等性の半格子の一般化と見なすことができる。

*-正則半群（ドラジン）

反転 * を持つ半群Sは、 Sのすべてのxに対して、x * がxの逆とH等価であるとき、（ Hはグリーン関係H ）であるとき、 *-正則半群（Drazin の意味で）と呼ばれます。この定義特性は、いくつかの同値な方法で定式化できます。もう 1 つは、すべてのLクラスに射影が含まれると言うことです。公理的な定義は、Sのすべてのxに対して、 x ′ xx ′ = x ′、xx ′ x = x、( xx ′)* = xx ′、( x ′ x )* = x ′ xとなる元x ′が存在するという条件です。Michael P. Drazin は、 xが与えられたときに、これらの公理を満たす元x ′ が一意であることを初めて証明しました。これは、xのムーア・ペンローズ逆と呼ばれています。

これらの半群を研究する動機の 1 つは、ムーア-ペンローズ逆集合の特性を⁠ ⁠${\displaystyle \mathbb {R} }$ および⁠ ⁠${\displaystyle \mathbb {C} }$ からより一般的な集合に一般化できることです。

n位正方行列の乗法半群M _n ( C )において、行列Aをそのエルミート共役行列A * に割り当てる写像は反転である。半群M _n ( C ) は、この反転を持つ *-正則半群である。この *-正則半群における A のムーア・ペンローズ逆は、 Aの古典的なムーア・ペンローズ逆である。

反転を伴う自由半群

すべての多様体と同様に、反転を持つ半群の圏は自由対象を許容する。反転を持つ自由半群（またはモノイド）の構成は、自由半群（および自由モノイド）の構成に基づいている。さらに、反転を持つ自由モノイドの構成を洗練させることで、自由群の構成は容易に導出できる。^{[ 17 ]}

反転を伴う自由半群の生成元は、2つの（同数）互いに素な集合の単射対応における和集合の元である。（ここで、表記は和集合が実際には互いに素な和集合であることを強調している。）2つの集合が有限である場合、それらの和集合Yは、反転を伴うアルファベット^{[ 18 ]}または対称アルファベット^{[ 19 ]}と呼ばれることもある。を単射とする。 は、本質的に（集合として）とその逆集合との互いに素な和集合をとることによって、自然に単射に拡張される。または区分表記では次のように表される。^{[ 20 ]}${\displaystyle Y=X\sqcup X^{\dagger}}$ ${\displaystyle \sqcup }$ ${\displaystyle \theta :X\rightarrow X^{\dagger}}$ ${\displaystyle \theta}$ ${\displaystyle {}\ダガー :Y\to Y}$ ${\displaystyle \theta}$

$${\displaystyle y^{\dagger }={\begin{cases}\theta (y)&{\text{if }}y\in X\\\theta ^{-1}(y)&{\text{if }}y\in X^{\dagger }\end{cases}}}$$

ここで、通常の方法で、 の二項（半群）演算が連結である 上の自由半群として構築します。 ${\displaystyle Y^{+}\,}$ ${\displaystyle Y\,}$ ${\displaystyle Y^{+}\,}$

$${\displaystyle w=w_{1}w_{2}\cdots w_{k}\in Y^{+}}$$ いくつかの文字${\displaystyle w_{i}\in Y.}$

の単射は、 1文字以上の文字からなるの要素の文字列反転として定義される単射として拡張されます。 ^{[ 18 ] [ 20 ]}${\displaystyle \dagger }$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle {}^{\ダガー }:Y^{+}\rightarrow Y^{+}}$ ${\displaystyle Y^{+}\,}$

$${\displaystyle w^{\dagger }=w_{k}^{\dagger }w_{k-1}^{\dagger }\cdots w_{2}^{\dagger }w_{1}^{\dagger }.}$$

この写像は半群 上の反転である。したがって、写像 を持つ半群は反転を持つ半群であり、X上の反転を持つ自由半群と呼ばれる。^{[ 21 ]} （この用語の選択における の具体的な同一性と単射の無関係性は、以下で構成の普遍性の観点から説明される。）例 6とは異なり、反転を持つアルファベットでは各文字の反転が個別の要素であるため、同じ観察が反転を持つ自由半群にも拡張される点に注意されたい。 ${\displaystyle Y^{+}\,}$ ${\displaystyle (X\sqcup X^{\dagger })^{+}}$ ${\displaystyle {}^{\dagger }\,}$ ${\displaystyle X^{\dagger}}$ ${\displaystyle \theta}$

上記の構成で の代わりに自由モノイド（これはモノイドの単位元である空語で拡張された自由半群である）を使用し、 で反転を適切に拡張すると、反転 を持つ自由モノイドが得られる。^{[ 20 ]}${\displaystyle Y^{+}\,}$ ${\displaystyle Y^{*}=Y^{+}\cup \{\varepsilon \}}$ ${\displaystyle \varepsilon \,}$ ${\displaystyle Y^{*}\,}$ ${\displaystyle \varepsilon ^{\dagger }=\varepsilon }$

上記の構成は、実際には、与えられた写像を から へ、（ 上も同様）の反転に拡張する唯一の方法である。これらの構成に対する「自由」という修飾語は、これらが普遍構成であるという通常の意味で正当化される。反転を持つ自由半群の場合、反転を持つ任意の半群と写像が与えられたとき、となるような半群準同型が存在する。ここでは包含写像であり、関数の合成は図式順序で行われる。^{[ 21 ]}を反転を持つ半群として構成することは、同型 を除いて一意である。同様の議論が、モノイド準同型と、を反転を持つモノイドとして構成することの同型を除いて一意であることに関して、反転を持つ自由モノイドについても成り立つ。 ${\displaystyle \theta \,}$ ${\displaystyle X\,}$ ${\displaystyle X^{\dagger }\,}$ ${\displaystyle Y^{+}}$ ${\displaystyle Y^{*}\,}$ ${\displaystyle S\,}$ ${\displaystyle \Phi :X\rightarrow S}$ ${\displaystyle {\overline {\Phi }}:(X\sqcup X^{\dagger })^{+}\rightarrow S}$ ${\displaystyle \Phi =\iota \circ {\overline {\Phi }}}$ ${\displaystyle \iota :X\rightarrow (X\sqcup X^{\dagger })^{+}}$ ${\displaystyle (X\sqcup X^{\dagger })^{+}}$ ${\displaystyle (X\sqcup X^{\dagger })^{*}}$

自由群の構成は、反転を持つ自由モノイドの構成とそれほどかけ離れていない。必要な追加要素は、簡約語の概念と、形式またはの隣接する文字のペアを単に削除するだけでそのような単語を作成するための書き換え規則を定義することである。そのようなペアを書き換える（削除する）順序は重要ではない、つまりどのような順序で削除しても同じ結果になることが示される。^{[ 17 ]}（言い換えると、これらの規則は合流性書き換えシステムを定義する。）同様に、反転を持つ自由モノイドから自由群は、後者を合同で割ることによって構成される。これはDyck 合同と呼ばれることもあり、ある意味ではDyck 言語を複数種類の「括弧」に一般化する。しかし、Dyck 合同における簡約化は順序に関係なく行われる。例えば、「)」が「(」の逆であれば、ダイク言語自体に現れる片側合同は、（おそらく紛らわしいが）シャミア合同と呼ばれる。反転を持つ自由モノイドをシャミア合同で割った商は群ではなくモノイドである。しかし、最初の発見者であるイーライ・シャミアはこれを自由半群と呼んだが、最近ではXによって生成される反転モノイドと呼ばれている。^{[ 19 ] [ 22 ]}（ただし、この後者の用語選択は、反転を持つ半群を示すために「反転」を使用するという使用法と矛盾しており、この使用法は文献にも見られる。^{[ 23 ] [ 24 ]}） ${\displaystyle xx^{\dagger}}$ ${\displaystyle x^{\dagger }x}$ ${\displaystyle \{(yy^{\dagger },\varepsilon ):y\in Y\}}$ ${\displaystyle ()=)(=\varepsilon }$ ${\displaystyle \{(xx^{\dagger },\varepsilon ):x\in X\}}$ ${\displaystyle ()=\varepsilon }$

ベーア*-半群

ベーア*-半群は、（両側）零点を持つ*-半群であり、その中の各元の右消滅群が、ある射影の右イデアルと一致する。この性質は次 のように正式に表現される。すべてのx∈Sに対して、射影eが存在し、

{ y ∈ S | xy = 0 } = eS。^{[ 24 ]}

射影eは実際にはxによって一意に決定される。^{[ 24 ]}

最近では、ベーア*-半群は、それを深く研究したデイヴィッド・ジェームズ・ファウリスにちなんで、ファウリス半群とも呼ばれています。 ^{[ 25 ] [ 26 ]}

例と応用

集合上のすべての二項関係の集合（例5より）はBaer*-半群である。^{[ 27 ]}

ベーア*-半群は量子力学でも登場し、^{[ 24 ]}特にベーア*-環の乗法半群としてよく使われる。

Hがヒルベルト空間ならば、 H上のすべての有界作用素の乗法半群はベール*-半群となる。この場合の反転は作用素をその随伴作用素に写像する。^{[ 27 ]}

ベーア*-半群はオルトモジュラー格子の座標化を可能にする。^{[ 25 ]}

参照

• ダガーカテゴリ（反転カテゴリとも呼ばれる）— *-モノイドを一般化する
• *-代数
• 半群の特別なクラス

注記

1. ホリングス（2014年：265）
2. ブリンク、カール、シュミット (1997 :4)
3. コクセター（1961年：33）
4. ファン・デン・バーグ、クリステンセン、レッセル (2012 :87–88)
5. マン、補題1
6. ノルダールとシャイブリッヒ
7. イースダウン＆マン（1993）
8. ローソン（1998年：116）
9. ローソン（1998：117）
10. ローソン（1998年：118）
11. ローソン（1998年：122）
12. ローソン（1998年：35）
13. ローソン（1998年：120）
14. CrvenkovicとDolinka
15. ノルダールとシャイブリッヒ、定理 2.5
16. 山田（1982）
17. ローソン（1998年：51）
18. エーレンフォイヒト、ハルジュ、ローゼンベルク (1999 :13–14)
19. サカロヴィッチ（2009年：305–306）
20. リップスコム（1996 :86）
21. ローソン（1998年：172）
22. ペトレ＆サロマ（2009：271）
23. Karl-Hermann Neeb (2000).リー理論における正則性と凸性. Walter de Gruyter. p. 21. ISBN 978-3-11-015669-0。
24. エンリコ・G・ベルトラメッティ、ジャンニ・カシネッリ (2010) [1981]. 『量子力学の論理』 ケンブリッジ大学出版局. p. 178. ISBN 978-0-521-16849-6。
25. T.S. Blyth (2006).格子と順序付き代数構造. Springer Science & Business Media. pp.  101– 102. ISBN 978-1-84628-127-3。
26. ハーディング、ジョン. 「ダガー、カーネル、ベーア*-半群、そしてオーソモジュラリティ」.哲学論理ジャーナル. 2013年4月6日. doi : 10.1007/s10992-013-9275-5
27. Foulis、DJ ベア * 半群における相対逆数。ミシガン州の数学。 J. 10 (1963)、いいえ。 1、65–84。土井：10.1307/mmj/1028998825。

参考文献

• DJ Foulis (1958).反転半群, 博士論文, チューレーン大学, ニューオーリンズ, ルイジアナ州. DJ Foulis の出版物(2009年5月5日アクセス)
• コクセター, HSM (1961).幾何学入門.
• WD Munn, Special Involutions、AH Clifford、KH Hofmann、MW Mislove著『半群論とその応用：アルフレッド・H・クリフォードの業績を記念した1994年会議議事録』、ケンブリッジ大学出版局、1996年、ISBN 0521576695。
• Drazin, MP,反転を伴う正則半群, Proc. Symp. on Regular Semigroups (DeKalb, 1979), 29–46
• Nordahl、TE、および HE Scheiblich、「レギュラー * セミグループ」、セミグループ フォーラム、16(1978)、369–377。
• 山田みゆき（1982年12月）「正則半群のP-システム」、半群フォーラム、24（1）：173-187
• イーズダウン、デイビッド; マン、ウォルター・ダグラス (1993)、「反転を伴う半群について」、オーストラリア数学会報、48 (1): 93– 100、doi : 10.1017/S0004972700015495
• リップスコム、スティーブン (1996).対称逆半群. アメリカ数学会. ISBN 978-0-8218-0627-2。
• ブリンク、クリス。カール、ヴォルフラム。シュミット、ギュンター (1997)。コンピューターサイエンスにおけるリレーショナル手法。スプリンガー。ISBN 978-3-211-82971-4。
• ローソン、マーク（1998）『逆半群：部分対称性の理論』ワールドサイエンティフィック社、ISBN 981-02-3316-7。
• Ehrenfeucht, Andrzej; Harju, T.; Rozenberg, Grzegorz (1999). 2-構造理論：グラフの分解と変換のための枠組み. World Scientific. ISBN 978-981-02-4042-4。
• S. Crvenkovic と Igor Dolinka、「反転半群と反転半環の多様体: 概要」、バニャ・ルカ数学者協会紀要第 9 巻 (2002 年)、7–47 ページ。
• サカロヴィッチ、ジャック（2009年）『オートマトン理論の要素』ケンブリッジ大学出版局。
• ペトレ、イオン。サロマー、アルト(2009)。 「代数システムとプッシュダウン オートマトン」。マンフレッド・ドロステにて。ヴェルナー・クイヒ;ハイコ・フォーグラー（編）。加重オートマトンのハンドブック。スプリンガー。ISBN 978-3-642-01492-5。
• van den Berg, C.; Christensen, JPR; Ressel, P. (2012). 『半群上の調和解析：正定値関数と関連関数の理論』 Springer Science & Business Media. ISBN 978-1-4612-1128-0。
• ホリングス、クリストファー（2014年）『鉄のカーテンを越えた数学：半群の代数理論の歴史』アメリカ数学会ISBN 978-1-4704-1493-1。
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