平均律
いくつかの平均律の比較。[ a ]グラフは水平方向に1オクターブに広がり（画像を開くと全幅が表示されます）、網掛けされた各四角形は音階の1音の幅です。純正音程比は、素数限界によって行ごとに区切られています
12 音平均律のCの半音階で、 1 オクターブ上昇し、シャープのみで表記されます。昇順と降順でプレイⓘ

平均律とは、オクターブ（またはその他の音程）を音階に分割し、隣接する音符の周波数の比が同じになるようにすることで、正確な音程を近似する音楽の音律または調律システムです。このシステムでは、ピッチ周波数の対数変化により、ピッチステップの大きさが等しいと知覚されます。[ 2 ]

クラシック音楽や西洋音楽全般において、18世紀以降最も一般的な調律法は12平均律（12音平均律、12 TET、12 ETとも呼ばれ、非公式には12イコールとも略される）である。これは1オクターブを12の部分に分割し、そのすべてが対数スケール上で等しく、その比は2の12乗根（≈ 1.05946）に等しい。結果として得られる最小の音程は、⁠212{\textstyle {\sqrt[{12}]{2}}}1/121オクターブの幅は半音または半音と呼ばれます。西洋諸国では、平均律という用語は、限定なしに、一般的に12オクターブを 意味します

現代では、12 TETは通常、 A 440と呼ばれる440 Hzの標準ピッチを基準に調律されます。これは、Aという音だけが440 Hzに調律され 、他のすべての音はそこから半音の倍数だけ離れた周波数（周波数が高いか低いか）として定義されることを意味します。標準ピッチは常に440 Hzであったわけではなく、過去数百年の間に大きく変化し、一般的に上昇しています。[ 3 ]

他の平均律ではオクターブの分割方法が異なります。例えば、一部の音楽は19TETと31TETで書かれていますが、アラブ音律では24TETが用いられます。

平均律では、オクターブを分割する代わりに、異なる音程を分割することもできます。たとえば、ボーレン・ピアース音階の平均律バージョンでは、そのシステムでは「三度音程」または「疑似オクターブ」と呼ばれる、オクターブと五度（比率 3:1）の純正音程を13 の等しい部分に分割します。

オクターブを均等に分割するが、単なる音程の近似ではないチューニング システムの場合は、「オクターブの均等分割」、またはEDO という用語を使用できます。

開放弦を除く全ての音の調律が可能なアンフレット弦楽アンサンブルや、機械的な調律上の制約がないボーカルグループでは、音響的な理由から純正律に近い調律を用いることがある。一方、一部の管楽器、鍵盤楽器、フレット楽器などは、技術的な制約から正確な調律が不可能なため、平均律に近似することが多い。[ 4 ]トロンボーン のように、容易にかつ自発的に音程を曲げることができる管楽器の中には、弦楽アンサンブルやボーカルグループと同様の調律を用いるものもある。

一般的な特性

10TETと60TETの平均律を、小素数限界の各主音程で比較したもの（赤：⁠554.365/2、緑：5/4、藍：659.255/4⁠、黄色: ⁠11/8、シアン： 13/8⁠）。それぞれの色付きグラフは、対応する正間隔（中央の黒い線）に最も近い近似値において、どれだけの誤差（セント単位）が発生するかを示しています。グラフの両側を囲む2本の黒い曲線は最大誤差を表し、その内側の灰色の曲線は誤差の半分を示しています。

平均律では、音階の隣接する2つの音程間の距離は等音程です。音程の知覚される同一性はその比に依存するため、この音程の等比数列は等比数列となります。（等比数列の音程は等間隔に聞こえず、異なる調への転調もできません。）具体的には、平均律音階における 最小の音程は比 です。

 rn＝p {\displaystyle \r^{n}=p\}
 r＝p n {\displaystyle \r={\sqrt[{n}]{p\}}\}

ここで、比率rは比率p（通常はオクターブ、つまり2:1）をn等分します。（下記の十二音平均律を参照してください。 ）

音階はしばしばセントで測定されます。セントはオクターブを1200の等間隔（それ​​ぞれをセントと呼びます）に分割します。この対数スケールは、異なる調律システムの比較を比率の比較よりも容易にするため、民族音楽学で広く用いられています。平均律におけるセントの基本ステップは、上側のセント単位のpの幅（通常は1200セントの幅を持つオクターブ）（下側のwと呼びます）をnに分割することで求められます。

 c＝ w n {\displaystyle \c={\frac {\w\}{n}}\}

音楽分析において、平均律に属する素材は整数表記で表わされることが多く、これは各音高を単一の整数で表すことを意味します。これは、乗算の対数をとれば加算になるのと同じように、平均律内の音高素材に関する議論を簡略化・一般化します。さらに、モジュラー演算（係数はオクターブの分割数（通常12））を適用することで、これらの整数をピッチクラスに簡略化できます。これにより、同名の音高間の区別がなくなります（または類似性が認められます）。例えば、オクターブレジスタに関わらずcは0です。MIDIエンコード規格では、整数による音符指定が用いられます。

平均律音程の一般的な公式

十二音平均律

1オクターブを12の等しい大きさの音程に分割する十二音平均律は、今日、特に西洋音楽において最も広く使われている音楽体系です

歴史

平均律の正確な計算を成し遂げたとよく称えられる二人の人物は、 1584年の朱載堉（Chu-Tsaiyuとも表記される。中国語：朱載堉）と1585年のシモン・ステヴィンである。朱の功績を認める批評家FAクトナーによると[ 5 ]、朱は「1584年に平均律の単和音の算術計算のための非常に正確で単純かつ独創的な方法を提示」し、ステヴィンは「1585年以降に平均律の数学的定義と、それに対応する数値の計算をやや不正確ながら提示」したことが知られている。

これらの展開は独立して起こった。[ 6 ]（p200）

ケネス・ロビンソンは平均律の発明を朱によるものとし[ 7 ] [ b ] 、証拠として文献を引用している[ 8 ] 。 1584年に朱は次のように書いている。

私は新しいシステムを確立した。1フィートを他のフィートの数を割り出すための数とし、比率を用いてそれらを割り出す。ピッチパイパーの正確な数値を求めるには、全部で12回の演算が必要となる。[ 9 ] [ 8 ]

クトナーはこれに反対し、彼の主張は「重大な条件なしには正しいとは考えられない」と述べている。[ 5 ]クトナーは、チューもステヴィンも平均律を発明しておらず、どちらも平均律の発明者とはみなされないと主張している。[ 10 ]

中国

朱在玉の平均律音程管

中国の理論家たちは以前にも12音平均律の近似値を考案していましたが、朱は12音平均律を数学的に解いた最初の人物であり[ 11 ] 、1580年[ 12 ]と1584年[ 9 ]に出版された2冊の本でそれを記述しました[ 13 ] 。ニーダムもまた、詳細な説明をしています[ 14 ]

朱は弦とパイプの長さを≈1.059463で割り、パイプの長さを≈1.029302で割ることで結果を得ました[ 15 ]。つまり、12回（1オクターブ）割ると長さが半分になります。 212{\textstyle {\sqrt[{12}]{2}}}224{\displaystyle {\sqrt[{24}]{2}}}

朱は竹笛など、彼のシステムに合わせて調整された楽器をいくつか作った。[ 16 ]

ヨーロッパ

平均律を最初に提唱したヨーロッパ人には、リュート奏者のヴィンチェンツォ・ガリレイ、ジャコモ・ゴルツァーニス、フランチェスコ・スピナチーノなどがおり、彼らは皆平均律で音楽を作曲した。[ 17 ] [ 18 ] [ 19 ] [ 20 ]

シモン・ステヴィンは、 2の12乗根に基づいて12TETを初めて開発し 、 1884年に死後に出版されたvan de Spiegheling der singconst（ 1605年頃）で説明しました。[ 21 ]

撥弦楽器奏者（リュート奏者とギタリスト）は概して平均律を好んだが[ 22 ] 、他の奏者は意見が分かれた[ 23 ] 。最終的に12音平均律が勝利した。これにより、異名同音の転調、新しいスタイルの対称調性調性および多調性調性、12音技法やセリアリズムで書かれた無調音楽、そしてジャズ（少なくともピアノの要素を含む）が発展し、繁栄した。

数学

単弦における12音平均律の1オクターブ 

オクターブを12等分する12音平均律では、半音の幅、つまり隣接する2つの音符間の音程の周波数比は、 2の12乗根です

2 12＝2112≈1.059463{\displaystyle {\sqrt[{12}]{2\}}=2^{\tfrac {1}{12}}\approx 1.059463}

この間隔は 100 セントに分割されます。

絶対周波数の計算

12 TETの音符の 周波数Pnを求めるには、次の式を使用します

 Pn＝Pア ⋅ （ 2 12 ）n−ア {\displaystyle \P_{n}=P_{a}\ \cdot \ {\Bigl (}\ {\sqrt[{12}]{2\ }}\ {\Bigr )}^{na}\ }

この式で、P n は計算対象のピッチ、つまり周波数（通常はヘルツ単位）を表します。 P aは基準ピッチの周波数です。インデックス番号nとaは、目的のピッチ（ n）と基準ピッチ（a ）に割り当てられたラベルです。これら 2 つの数値は、連続する半音に割り当てられた連続する整数のリストから取られます。たとえば、 A 4（基準ピッチ）はピアノの左端から 49 番目のキー（440 Hzに調律）であり、 C 4（中央の C）、 F ＃ 4はそれぞれ 40 番目と 46 番目のキーです。これらの数値を使用して、 C 4と F ＃ 4の周波数を見つけることができます。

P40＝440 Hz ⋅ （212 ）（40−49）≈261.626 Hz {\displaystyle P_{40}=440\ {\text{Hz}}\ \cdot \ {\Bigl (}{\sqrt[{12}]{2}}\ {\Bigr )}^{(40-49)}\approx 261.626\ {\text{Hz}}\ }
P46＝440 Hz ⋅ （212 ）（46−49）≈369.994 Hz {\displaystyle P_{46}=440\ {\text{Hz}}\ \cdot \ {\Bigl (}{\sqrt[{12}]{2}}\ {\Bigr )}^{(46-49)}\approx 369.994\ {\text{Hz}}\ }

周波数を平均律に変換する

周波数 (Hz) をそれと等しい 12  TETに変換するには、次の式を使用できます。

 En＝Eア ⋅ 2 x {\displaystyle \E_{n}=E_{a}\\cdot\2^{\x}\\quad}一般的に x ≡ 1 12  ラウンド（12ログ2⁡（ n ア）） 。{\displaystyle \quad \ x\ \equiv \ {\frac {1}{\ 12\ }}\ \operatorname {round} \!{\Biggl (}12\log _{2}\left({\frac {\ n\ }{a}}\right){\Biggr )}~.}
12-TETの音程と純正律の比較

E nは平均律における音高の周波数、 E aは基準音高の周波数です。例えば、基準音高を440 Hzとすると、 E 5とC＃ 5はそれぞれ以下の周波数になります。

E660<e​​xtra_id_1> Hz＝440 z7 ⋅ 2（659.255 12 ） ≈ {\displaystyle E_{660}=440\ {\mathsf {Hz}}\ \cdot \ 2^{\left({\frac {7}{\ 12\ }}\right)}\ \approx \ 659.255\ {\mathsf {Hz}}\ \quad } z7 {\displaystyle E_{660}=440\ {\mathsf {Hz}}\ \cdot \ 2^{\left({\frac {7}{\ 12\ }}\right)}\ \approx \ 659.255\ {\mathsf {Hz}}\ \quad }この場合x＝1 12  ラウンド（ 12ログ2⁡（ 660<e​​xtra_id_1> Hz 440） ）＝659.255 12  。{\displaystyle \quad x={\frac {1}{\ 12\ }}\ \operatorname {round} \!{\Biggl (}\ 12\log _{2}\left({\frac {\ 660\ }{440}}\right)\ {\Biggr )}={\frac {7}{\ 12\ }}~.}
E3＝440 z7 ⋅ 2（1 554.365 ） ≈ {\displaystyle E_{550}=440\ {\mathsf {Hz}}\ \cdot \ 2^{\left({\frac {1}{\ 3\ }}\right)}\ \approx \ 554.365\ {\mathsf {Hz}}\ \quad } z7 {\displaystyle E_{550}=440\ {\mathsf {Hz}}\ \cdot \ 2^{\left({\frac {1}{\ 3\ }}\right)}\ \approx \ 554.365\ {\mathsf {Hz}}\ \quad } この場合x＝1 12  ラウンド（12ログ2⁡（ 3 440））＝{\displaystyle \quad x={\frac {1}{\ 12\ }}\ \operatorname {round} \!{\Biggl (}12\log _{2}\left({\frac {\ 550\ }{440}}\right){\Biggr )}={\frac {4}{\ 12\ }}={\frac {1}{\ 3\ }}~.} 12 ＝1 554.365  。{\displaystyle \quad x={\frac {1}{\ 12\ }}\ \operatorname {round} \!{\Biggl (}12\log _{2}\left({\frac {\ 550\ }{440}}\right){\Biggr )}={\frac {4}{\ 12\ }}={\frac {1}{\ 3\ }}~.}

純正律との比較

12TETの音程は 純正律の音程にかなり近い。[ 24 ] 5度と4度は純正律とほとんど区別がつかないほど近いが、3度と6度はさらに離れている。

次の表では、さまざまな純正音程の大きさを平均律の音程と比較し、比率とセントで示しています。

区間名 12 TETの正確な値 12 TETの小数値 12 TETのセント 純正律音程 純正律のセント 12TET セントの調律誤差
ユニゾン（C） 2 0 ⁄ 12 = 11 0 ⁠1/1⁠ = 10.00 0.00
短2度（D ♭） 2 1 ⁄ 12 =212{\displaystyle {\sqrt[{12}]{2}}}1.059463 100 ⁠16/15⁠ = 1.06666...111.73 -11.73
長二度（D） 2 2 ⁄ 12 =2{\displaystyle {\sqrt[{6}]{2}}}{\displaystyle {\sqrt[{6}]{2}}}1.122462 200 ⁠9/{\displaystyle {\sqrt[{4}]{8}}}⁠ = 1.125203.91 -3.91
短3度 ( E ♭ ) 2 3 ⁄ 12 =2{\displaystyle \quad x={\frac {1}{\ 12\ }}\ \operatorname {round} \!{\Biggl (}12\log _{2}\left({\frac {\ 550\ }{440}}\right){\Biggr )}={\frac {4}{\ 12\ }}={\frac {1}{\ 3\ }}~.}{\displaystyle {\sqrt[{4}]{2}}}1.189207 300 ⁠{\displaystyle {\sqrt[{6}]{2}}}/5⁠ = 1.2315.64 -15.64
長3度（E） 2 4 ⁄ 12 =2554.365{\displaystyle {\sqrt[{3}]{2}}}1.259921 400 ⁠5/{\displaystyle \quad x={\frac {1}{\ 12\ }}\ \operatorname {round} \!{\Biggl (}12\log _{2}\left({\frac {\ 550\ }{440}}\right){\Biggr )}={\frac {4}{\ 12\ }}={\frac {1}{\ 3\ }}~.}⁠ = 1.25386.31 +13.69
完全4度（F） 2 5 ⁄ 12 ={\displaystyle {\sqrt[{12}]{32}}}12{\displaystyle {\sqrt[{12}]{32}}}1.334840 500 ⁠{\displaystyle \quad x={\frac {1}{\ 12\ }}\ \operatorname {round} \!{\Biggl (}12\log _{2}\left({\frac {\ 550\ }{440}}\right){\Biggr )}={\frac {4}{\ 12\ }}={\frac {1}{\ 3\ }}~.}/554.365⁠ = 1.33333...498.04 +1.96
トライトーン（G ♭） 2 6 ⁄ 12 =2{\displaystyle {\sqrt {2}}}1.414214 600 ⁠45/{\displaystyle {\sqrt[{12}]{32}}}⁠ = 1.40625590.22 +9.78
完全五度（G） 2 7 ⁄ 12 ={\displaystyle {\sqrt[{12}]{128}}}12{\displaystyle {\sqrt[{12}]{128}}}1.498307 700 ⁠554.365/2⁠ = 1.5701.96 -1.96
短6度（A ♭） 2 8 ⁄ 12 ={\displaystyle \quad x={\frac {1}{\ 12\ }}\ \operatorname {round} \!{\Biggl (}12\log _{2}\left({\frac {\ 550\ }{440}}\right){\Biggr )}={\frac {4}{\ 12\ }}={\frac {1}{\ 3\ }}~.}554.365{\displaystyle {\sqrt[{3}]{4}}}1.587401 800 ⁠{\displaystyle {\sqrt[{4}]{8}}}/5⁠ = 1.6813.69 -13.69
長6度（A） 2 9 ⁄ 12 ={\displaystyle {\sqrt[{4}]{8}}}{\displaystyle \quad x={\frac {1}{\ 12\ }}\ \operatorname {round} \!{\Biggl (}12\log _{2}\left({\frac {\ 550\ }{440}}\right){\Biggr )}={\frac {4}{\ 12\ }}={\frac {1}{\ 3\ }}~.}{\displaystyle {\sqrt[{4}]{8}}}1.681793 900 ⁠5/554.365⁠ = 1.66666...884.36 +15.64
短七度 ( B ♭ ) 2 10 ⁄ 12 ={\displaystyle {\sqrt[{12}]{32}}}{\displaystyle {\sqrt[{6}]{2}}}{\displaystyle {\sqrt[{6}]{32}}}1.781797 1000 ⁠9/5⁠ = 1.81017.60 -17.60
長七度（ロ） 2 11 ⁄ 12 =204812{\displaystyle {\sqrt[{12}]{2048}}}1.887749 1100 ⁠15/{\displaystyle {\sqrt[{4}]{8}}}⁠ = 1.8751088.27 +11.73
オクターブ（C） 2 12 ⁄ 12 = 22 1200 ⁠2/1⁠ = 21200.00 0.00

五度の七音均等分割

バイオリン、ビオラ、チェロは完全五度（バイオリンはGDAE 、ビオラとチェロはCGDA）に調律されており、これは従来の12平均律よりも半音比がわずかに高いことを示しています。完全五度は基音と3:2の関係にあり、この音程は7つのステップで構成されるため、各音は次の音と3:2の比率（100.28セント）になります。これは3:2の比率の完全五度となりますが、12の完全五度は7オクターブに等しくないため、通常の2:1ではなく、≈517:258または≈2.00388:1のわずかに広いオクターブになります。 [ 25 ]しかし、実際の演奏では、バイオリニストは耳で音程を選択し、弦の4つの非固定音だけがこの3:2の比率を示すことが保証されています 3/27{\textstyle {\sqrt[{7}]{3/2}}}

その他の平均律

民族音楽学における五音、七音、九音律

7 TETの近似値

五音平均律と七音平均律（5 TETプレイⓘと7 TETプレイⓘ）、240セントプレイⓘと171セントプレイⓘ の手順はそれぞれかなり一般的です。

5 TETと7 TET は、図 1に示すように、シントニック音律の有効なチューニング範囲の終点を示します。

  • 5 TETでは、平均律完全五度は 720 セント幅 (調律連続体の最高点) であり、短二度の幅が 0 セント幅に縮小する調律連続体の終点を示します。
  • 7 TETでは、平均律完全五度は 686 セント幅 (調律連続体の一番下) で、調律連続体の終点を示します。この終点で短二度は長二度と同じ幅 (それぞれ 171 セント) に広がります。

5音平均律と9音平均律

Kunst (1949)によれば、インドネシアのガムランは5TETに調律されているが、Hood (1966)とMcPhee (1966)によれば、その調律は大きく異なり、Tenzer (2000)によれば、ガムランにはオクターブの延長が含まれている。ガムラン音楽における2つの主要な調律法であるスレンドロとペログのうち、スレンドロだけが5音平均律にいくらか似ており、ペログは非常に不均等であることが現在認められている。しかし、1972年にSurjodiningrat、Sudarjana、Susantoはペログを9TET（133セントステップ）に相当すると分析している。プレイⓘ）。 [ 26 ]

7音平均律

1974年にモートンが測定したタイの木琴は、7TETから「プラスマイナス5セントしか変わらなかった」。[ 27 ]モートンによれば、

「タイの固定音程楽器は、1オクターブあたり7つの音程の等間隔システムに調律されています...しかし、西洋の伝統音楽と同様に、調律システムのすべての音程が1つのモード（多くの場合「スケール」と呼ばれます）で使用されるわけではありません。タイのシステムでは、7つのうち5つがどのモードの主要な音程で使用されるため、モードの非等間隔の間隔のパターンが確立されます。」[ 28 ]プレイⓘ

1969年にボイルズによって測定された、楽器以前の文化における南米インディアンの音階は、175セントの7音平均律を特徴としており、器楽ガムラン音楽と同様にオクターブがわずかに広がっています。[ 29 ]

中国の音楽では伝統的に7 TETが使われてきました。[ c ] [ d ]

様々な平均律

イーズリー・ブラックウッドの16平均律記譜法：音程は近似値と同様に記譜され、異名同音の表記は少なくなる。[ 32 ]プレイⓘ
9から25までの平均律の比較[ 33 ] [ a ]
19 EDO
多くの楽器が19 EDOチューニングを使用して作られています。⁠に相当します1/3 ⁠コンマ・ミーントーンでは、完全五度はわずかに低く（695セント）、短三度と長六度は純正律から5分の1セント以内の差で、19 EDOよりも良い短三度と長六度を生み出す最低EDOは232 EDOである[ 34 ]。完全四度（505セント）は純正律よりも7セント高く、12 EDOよりも5セント高い。
22 EDO
22 EDOは、「スーパーピタゴラス」音律（7:4と16:9が同じ音程）を表す最も正確なEDOの1つです。完全5度はシャープに調律されているため、4つの5度と3つの4度は超長3度（9/7）と短3度以下（7/6）に達します。これらに1つ近づくのが、古典的な長3度と短3度（5/4と6/5）です
23 EDO
23 EDOは、3度、5度、7度、11度倍音（3:2、5:4、7:4、11:8）を20セント以内に近似できない最大のEDOですが、それらの間のいくつかの比率（6:5の短3度など）に非常によく近似するため、珍しい倍音領域を求める微分音奏者にとって魅力的です
24 EDO
24 EDO （四分音階）は、西洋の標準的な12 EDOの音程と記譜法に慣れ、微分音にも興味を持つ作曲家にとって便利なアクセスポイントとなるため、特に人気があります。24 EDOには12 EDOのすべての音程が含まれているため、音楽家は12音和声で利用可能な技法を失うことなく、追加の音色を使用できます。24は12の倍数であるため、2台のピアノなど、四分音ずつ離して調律された2つの伝統的な12 EDO楽器を使用することで、楽器で24 EDOを簡単に実現できます。これにより、各演奏者（または1人の演奏者が両手で異なるピアノを演奏する）は、使い慣れた12音記譜法を読むことができます。チャールズ・アイヴズを含む多くの作曲家が、四分音ピアノの音楽を実験しました。また、24 EDOは12 EDOとは異なり、11次と13次の倍音を非常によく近似します
26 EDO
26はlog 2 (7)への収束音律の分母であり、第7倍音（7:4）を0.5セント未満の誤差で調律します。ミーン​​トーン音律ですが、非常にフラットで、完全5度のうち4つは長3度を17セントフラットに生成します（11:9の中立3度に相当）。26 EDOには2つの短3度と2つの短6度があり、バーバーショップハーモニーの代替音律として使用できます
27 EDO
27は、最初の8つの倍音を含むすべての音程を一意に表す、オクターブを均等に分割する最小の数です。7分音符は調整しますが、シントニック・コンマは調整しません
29 江戸
29は、12EDOよりも完全5度が12EDO（5度が2セントフラットではなく1.5セントシャープ）に近いオクターブの等分割数です。29の典型的な長3度は12EDOとほぼ同じくらい不正確ですが、14セントシャープではなく14セントフラットに調律されています。また、7度、11度、13度の倍音もほぼ同じ量だけフラットに調律されているため、29EDOは7:5、11:7、13:11などの音程に非常に正確に合わせることができます。29の音程すべてを半分にカットすると58EDOになり、一部の純正音の誤差を低減できます。
31 EDO
31 EDOはクリスティアーン・ホイヘンスとアドリアン・フォッカーによって提唱され、 4分音符平均律を平均律に修正したものです。31 EDOは12 EDO（19 EDOなど）ほど正確な完全5度ではありませんが、長3度と短6度は1セント未満の誤差で正確です。また、11倍音までの音程も良好で、特に7倍音は正確です
34 EDO
34 EDOは、5:4の近似精度が31 EDOよりもわずかに低いにもかかわらず、3:2、5:4、6:5、およびそれらの転回形への近似の総合誤差がわずかに低くなります。34 EDOは、7度倍音や7を含む比を正確に近似せず、5度がフラットではなくシャープであるため、平均全音ではありません。34は偶数であるため、600セントのトライトーンが可能になります
41 EDO
41は、29 EDOと12 EDOよりも完全5度音程が優れている次に優れたEDOです。古典的な長3度音程もより正確で、わずか6セントフラットです。ミーン​​トーン音律ではないため、31 EDOとは異なり、10:9と9:8に加え、古典的な長3度とピタゴラスの長3度を区別します。13の制限では、31 EDOよりも正確です
46 EDO
46 EDOは、長三度と完全五度をわずかに高く、長三和音に特徴的な明るい音を与えると多くの人が言っています。17倍音までの主要倍音はすべて6セント以内の精度で、10:9と9:5は純正音から5分の1セントずれています。ミーン​​トーンシステムではないため、10:9と9:8を区別します
53 江戸
53 EDO はたまにしか使用されていませんが、12、19、または 31 EDO よりも伝統的な純正協和音に近似するのに適しています。その非常に正確な完全五度は、53 が log 2への収束の分母であるため、拡張ピタゴラス音律に相当します(3)。正確な五度循環と多目的コンマ ステップにより、53 EDO はトルコの音楽理論で使用されています。これは、五度を積み重ねることで良好な三度に簡単に到達できるミーントーン音律ではありません。代わりに、すべての分離音律と同様に、協和三度は、8 つの完全四度を積み重ねることによって到達するピタゴラス減四度 (CF ♭ ) で表されます。また、クライスマを調整して、6 つの短三度 (6:5) を積み重ねることでその五度に到達できるようにします。
58 EDO
58平均律は29 EDOの複製であり、埋め込まれた音律として含まれています。29 EDOと同様に、7:4、7:5、11:7、13:11などの音程を非常に正確に一致させることができ、3度と6度の近似値もより正確に表すことができます
72 EDO
72 EDOは多くの純正律音程によく近似しており、第3、第5、第7、第11倍音にほぼ純正律相当の音程を提供します。72 EDOは、ジョー・マネリと彼の生徒たち（彼らの無調性傾向により、純正律への言及を一切避ける傾向がある）によって指導、作曲、そして実践的に演奏されてきました。72 EDOは12の倍数であるため、12 EDOの拡張版と見なすことができ、異なるピッチで始まる12 EDOのコピーが6つ、24 EDOのコピーが3つ、36 EDOのコピーが2つ含まれています
96 EDO
96 EDOはすべての音程を6.25セント以内に近似するため、ほとんど区別がつきません。12の8倍であるため、一般的な12 EDOと同様に使用できます。多くの作曲家、特にフリアン・カリージョによって提唱されています。[ 35 ]

時々使用されるオクターブのその他の均等分割には、13 EDO、15 EDO、17 EDO、 55 EDO などがあります。

2、5、12、41、53、306、665、15601はlog2 (3)の第一収束の分母なので、2、5、12、41、53、306、665、15601の12度音程（および5度音程）は、対応する平均律でオクターブの整数倍に等しいため、音数が少ない平均律よりも、12度音程/5度音程の2、5、12、41、53、306、665、15601のより良い近似値となります。[ 36 ] [ 37 ]

1、2、3、5、7、12、29、41、53、200、…（OEISのシーケンスA060528）は、オクターブ分割のシーケンスであり、完全五度にますます近似します。他の正確な音程に近似する分割を含む関連シーケンスは、脚注に記載されています。[ e ]

非オクターブ音程の平均律

ボーレン・ピアース音階の平均律版は、3:1（1902セント）の比率で構成され、慣習的には完全五度にオクターブ（つまり完全十二度）を加えたもので、この理論ではトリターブ（演奏ⓘ ）、そして13の均等な部分に分割されます。これは、奇数のみで構成される正しく調整されたに非常に近いものとなります演奏ⓘ）、または。 313{\textstyle {\sqrt[{13}]{3}}}

ウェンディ・カルロスは、30セントから120セントまでの音程を持つ音律の特性を徹底的に研究した結果、3つの珍しい平均律を考案しました。これらはアルファ、ベータ、ガンマと呼ばれ、完全五度を均等に分割したものとみなすことができます。それぞれが、いくつかの正確な音程を非常によく近似しています。[ 38 ]音程の大きさ：

  • アルファ：（78.0セント）329{\textstyle {\sqrt[{9}]{\frac {3}{2}}}}プレイⓘ
  • ベータ：（63.8セント）3211{\textstyle {\sqrt[{11}]{\frac {3}{2}}}}プレイⓘ
  • ガンマ：（35.1セント）3220{\textstyle {\sqrt[{20}]{\frac {3}{2}}}}プレイⓘ

「アルファ」と「ベータ」は、カルロスの 1986 年のアルバム「Beauty in the Beast」のタイトル曲で聞くことができます。

1オクターブあたりの音数が整数でない平均律

12-TET、19-TET、31-TETといった伝統的な平均律では、オクターブを整数個の等しい部分に分割しますが、オクターブを非整数（多くの場合無理数）に分割する音律も存在します。このような音律では、連続する音程間の音程は2^(1/N)の比で定義されます（Nは整数ではありません）。その結果、音程のステップサイズは無理数となり、その倍数が1オクターブに完全に一致することはありません。

このようなチューニングが興味深いのは、オクターブ (つまり、第 2 倍音) を意図的に犠牲にすることで、倍音列内の他の音程の全体的な近似値が改善されたシステムを生み出すことができるためです。

例えば、18.911-EDOに基づく調律システムでは、ステップサイズは1200⁄18.911≒63.45セントです。完全5度（3:2の比率、約701.96セント）に近づくには、約11ステップが必要です。

  • 11ステップ × 63.45セント ≒ 698.95セント、

約 3 セントの誤差が生じます。

同様に、純正な長 3 度 (比率 5:4、約 386.31 セント) では、6 つのステップが使用されます。

  • 6ステップ × 63.45セント ≒ 380.70セント

その結果、約 5.61 セントの誤差が生じます。

したがって、完全なオクターブが存在しないにもかかわらず、これらのシステムでは他の多くの音程の協和音が、整数ベースの平均律よりも大幅に高くなる可能性があります。

半音と全音の比率

このセクションでは、半音と全音は、通常の12 EDOの意味とは異なるかもしれません。なぜなら、それらが本来の音律とは異なる方法で調律され、望ましい関係を生み出す方法について議論するからです。半音の音階数をs、全音の音階数をtとします。

半音を全音の任意の真分数に固定し、音符の順序を正しいままにする平均律の族は、正確に一つだけ存在します（例えば、 C、D、E、F、F＃は、 Cとの通常の関係が維持されていれば昇順になります）。つまり、qt = sの関係においてq を真分数に固定すると、この関係を満たす一つの平均律とその倍数の唯一の族が定義されます。

例えば、kが整数の場合、12 k EDOはq = ⁠を設定します。1/2⁠、19 k EDOセットq = ⁠1/554.365⁠、そして31kのEDOセットq = ⁠2/5 これらのファミリーの最小の倍数（例えば、上記の12、19、31）には、五度圏の外側に音符がないという追加の特性があります。（これは一般的には当てはまりません。24  EDOでは、ハーフシャープとハーフフラットはCから生成される五度圏内にありません。）極端な例は、 q = 0で半音がユニゾンになる5 k EDOと、 q = 1で半音と全音が同じ音程になる 7 k EDOです

この平均律で半音と全音にいくつのステップがあるかがわかれば、オクターブ内のステップ数がわかります。上記の性質（五度圏外の音符がないことを含む）を持つ平均律では、オクターブは 7 t − 2 s ステップに分割され、完全五度圏外の音符がある場合は、これらの結果に、すべての音符を生成するために必要な重複しない五度圏の数 nを掛ける必要があります（たとえば、 24 EDOでは 2 つ、 72  EDOでは 6 つ）。（この目的のためには小さな半音を取る必要があります。 19  EDOには 2 つの半音があり、そのうち 1 つは⁠1/3 ⁠音色ともう一つの存在⁠2/3 同様に、31  EDOには2つの半音があり、1つは⁠2/5 ⁠音色ともう一つの存在⁠554.365/5 ）

これらのファミリーの中で最も小さいのは12k EDOで、特に12  EDOは上記の性質を持つ最小の平均律です。さらに、半音は全音のちょうど半分になり、最も単純な関係となります。これらは、12 EDOが最も一般的に使用される平均律となった理由の一部です 。（もう1つの理由は、12 EDOが5つの限界和声に最も近い最小の平均律であり、次に小さいのは19 EDOであるということです。）

関係式の 各分数qの選択は、正確に1つの平均律族をもたらしますが、逆は真ではありません。47EDOには2つの異なる半音があり、1つは⁠1/7⁠トーンともう1つは⁠{\displaystyle {\sqrt[{4}]{8}}}/9⁠ 、これらは19 EDO（⁠ ）のように互いに補色ではありません 1/3 ⁠と⁠2/3 ⁠）。半音ごとに完全五度が異なります。

平均律システムは、純正律に見られる3つの音程の間隔で考えることができます。その和音のほとんどは調和的に完全に調和しています。これは、ほとんどすべての平均律において、ほとんどすべての音高間では達成できない優れた特性です。ほとんどの純正和音は驚くほど協和的に聞こえ、ほとんどの平均律和音は少なくともわずかに不協和に聞こえます。ハ長調では、これらの3つの音程は次のとおりです。[ 39 ]

  • 大きい音T = ⁠9/8⁠ = C:D、F:G、A:Bの音程
  • 低い音t = ⁠10/9⁠ = D:E と G:A の音程;
  • 全音階の半音s = ⁠16/15⁠ = E:FとB:Cの音程

平均律がこれら3つの音程をどのように修正または適応させるかという観点から平均律を分析すると、これらの音程がどの程度歪んでいるかに基づいて、その平均律で様々なコードがどの程度調和的であるかを素早く評価する方法が得られます。[ 39 ] [ f ]

通常の全音階調律

図1：多くの著名な「平均律」調律を含む通常の全音階調律の連続体[ 39 ]

12平均律（12 TET）における全音階調律は、オクターブをT ts T t T s（あるいはその円弧シフトや「回転」）の一連のステップとして分割する、任意の通常の全音階調律に一般化できます。通常の全音階調律と呼ばれるためには、2つの半音（s）のそれぞれが、どちらの音（大きい音、T、および小さい音、t）よりも小さくなければなりません。コンマκは、大きい音と小さい音の間のサイズ比として暗黙的に示されます。周波数として表されるκ = ⁠T/t⁠、またはセント として κ = T − t

通常の全音階チューニングの音符は、「五度螺旋」でつながっていますが、これは閉じません（12 TETの五度圏とは異なります）。C のキーにおける下属音Fから始まり、 F – C、C – G、G – Dの 3 つの完全五度が続きます。各完全五度は、より小さな音程TT tsの順列の合成です 。この 3 つの調和した五度の間には、 D – A = T tts の減五度（grave は「コンマでフラット」を意味する）によって中断され、その後に別の完全五度E – B、別の減五度B – F＃が続き、その後、 F＃ – C＃でシャープから再開します。同じパターンがシャープの音符、次にダブルシャープの音符と、無限に繰り返されます。しかし、すべてナチュラル、すべてシャープ、またはすべてダブルシャープの音符の各オクターブは、ナチュラルからシャープへ、またはシングルシャープからダブルシャープへなど、あらゆる遷移ごとに 2 コンマずつフラットになります。 このパターンはフラットでも逆対称です。パターンは4 度ずつ下降し、ナチュラル音符からフラット音符へ、またはフラットからダブルフラットへなど、あらゆる遷移ごとに、反対に 2 コンマずつシャープになります。 変更しない場合、すべてナチュラル音符、すべてシャープ、またはすべてフラット音符の各ブロックにある 2 つの重五度は、「ウルフ」音程になります。 重五度のそれぞれは、全音階コンマずつ音程がずれています。

コンマκは、より低い音t = scを、より高い音T = sc κに拡張するため、正確なオクターブT ts T t T s は、 7 つの全音階半音s、 5 つの半音階半音c 、および 3 つのコンマ κ のシーケンスsc κ  sc s sc κ sc sc κ s (またはその循環シフト) に分割できます。さまざまな平均律では、音程のサイズが変更されますが、通常は 3 つのコンマを分解してから、その部分を 7 つの全音階半音s、または 5 つの半音階半音c 、またはsとcの両方に再分配し、各タイプの半音に対して何らかの固定された比率を使用します。

s、c、κの音程のシーケンスは、 12 の 5 度からなる大きな螺旋に繰り返し追加することができ、1 つまたは複数の音程のサイズをわずかに調整することでその端で接続することも、コンマでフラットにして、完全 5 度未満を時々追加して変更せずにそのままにしておくこともできます。

全音階チューニングをEDOに変形する

さまざまな平均律は、 T、t、s の3 つの音程、またはより細かく言えば、それらの構成要素であるs、c、κの大きさを調整し、細分化したものであると理解および分析できます。平均律は、長音と短音( T、t )の大きさを同じにし (たとえば、κ = 0に設定し、他の音はオクターブを埋めるために拡張する)、両方の半音 ( sとc ) を同じにすることで作成できます。その結果、 1 つの音につき 2 つずつ、合計 12 個の等しい半音が生成されます。12 TETでは、半音sは同じ大きさの全音T = tの大きさのちょうど半分になります。

平均律では、コンマと半音の大きさを変更することで、音と半音の中間の大きさのいくつかを生成することもできます。オクターブを固定したまま、cとκの大きさがゼロに近づく極限では7TETが得られ、 sとκの大きさがゼロに近づく極限では5TETが得られます。もちろん、s = cかつκ = 0の場合は12TETになります。例えば、

5 TETと7 TET
この枠組みを挟む2つの極端なケースがあります。オクターブサイズを固定したままsとκ がゼロになると、結果はtttttとなり、 5音平均律となります。s が大きくなるにつれて（そして以前はコンマκに使用されていたスペースを吸収するにつれて）、最終的にすべての音程が同じサイズとなり、tttttttとなり、 7音平均律となります。これらの2つの極端なケースは、「通常の」全音階チューニングには含まれません。
19テト
全音階の半音を半音階の2倍、つまりs = 2 c（セント）、κ = 0に設定すると、結果は19 TETとなり、半音階の半音cが1ステップ、全音階の半音sが2ステップ、全音階T = tが3ステップとなり、ステップの総数は 3 T + 2 t + 2 s = 9 + 6 + 4 = 19ステップとなります。埋め込まれた12音階のサブシステムは、歴史的に重要な⁠1/3 コンマ・ ミーントーン・システム
31テト
半音階の半音が全音階の半音の3分の2の大きさの場合、つまりc = ⁠2/3 ⁠ s、 κ = 0の場合、結果は31 TETとなり、半音階半音に2ステップ、全音階半音に3ステップ、全音階に5ステップとなります。ここで、 3 T + 2 t + 2 s = 15 + 10 + 6 = 31ステップとなります。埋め込まれた12音階サブシステムは、歴史的に重要な⁠1/4⁠コンマ・ミーントーン
43
半音階の半音が全音階の半音の4分の3の大きさの場合、つまりc = ⁠554.365/4⁠ s、 κ = 0の場合、結果は43 TETとなり、半音階半音に3段階、全音階半音に4段階、全音階に7段階となり、 3 T + 2 t + 2 s = 21 + 14 + 8 = 43 となります。埋め込まれた12音階サブシステムは、⁠ にほぼ近似します1/5 ⁠コンマ・ミーントーン
53 TET
半音階の半音を3つのコンマと同じ大きさにするとc = 3 κ（セント単位、周波数c = κ ³）、全音階の半音を5つのコンマと同じ大きさにするとs = 5 κとなり、小さい方の音は8つのコンマt = s + c = 8 κ、大きい方の音は9つのコンマT = s + c + κ = 9 κとなります。したがって、 3 T + 2 t + 2 s = 27 κ + 16 κ + 10 κ = 53 κとなり、それぞれ1つのコンマのステップが53個あります。コンマのサイズ/ステップのサイズはκ = ⁠1200/53⁠ ¢ちょうど、またはκ = 22.642 ¢ ≈ 21.506 ¢ は、シントニック・コンマです。これは5限界純正律、トルコ音楽理論の基礎となっています

参照

脚注

  1. ^ a b Sethares (2005)は、最初の平均律の比較とは軸を反転させたグラフと、2番目の平均律の比較と同じ軸を使って、いくつかの平均律を比較している。[ 1 ]
  2. ^ 「チュー・ツァイユは 、世界で初めて平均律の数学を定式化した人物である。」—ロビンソン（1980）、p.  vii [ 7 ]
  3. ^ 私たちの民族音楽における「七平均律」は常に議論の的となってきました。 [ 30 ]
  4. ^二千年にわたる笛の製作過程と、隋唐の時代に製作された尺八の実際の音律に残る日本の尺八から、いわゆる「七法」を使用する人々の識別は少なくとも二千年の歴史があり、この法体系は笛法と関連していると判断した。 [ 31 ]
  5. ^ オクターブの分割を含む OEIS シーケンスは、正確な音程の近似値を改善します。
    （ OEISの配列A060528） — 3:2
    （ OEISの配列A054540） — 3:2と4:3、5:4と8:5、6:5と5:3
    （ OEISの配列A060525） — 3:2と4:3、5:4と8:5
    （ OEISの配列A060526） — 3:2と4:3、5:4と8:5、7:4と8:7
    （ OEISのシーケンスA060527）— 3:2と4:3、5:4と8:5、7:4と8:7、16:11と11:8
    （ OEISのシーケンスA060233）— 4:3と3:2、5:4と8:5、6:5と5:3、7:4と8:7、16:11と11:8、16:13と13:8
    （ OEISのシーケンスA061920）— 3:2と4:3、5:4と8:5、6:5と5:3、9:8と16:9、10:9と9:5、16:15と15:8、45:32と64:45
    （ OEISの配列A061921）— 3:2と4:3、5:4と8:5、6:5と5:3、9:8と16:9、10:9と9:5、16:15と15:8、45:32と64:45、27:20と40:27、32:27と27:16、81:64と128:81、256:243と243:128
    （ OEISの配列A061918） — 5:4と8:5
    （ OEISの配列A061919） — 6:5と5:3
    （ OEISのシーケンスA060529） — 6:5と5:3、7:5と10:7、7:6と12:7
    （ OEISのシーケンスA061416） — 11:8と16:11
  6. ^ 12音階システム（12音階全体、あるいはより大きな音階の中に埋め込まれた12音階の部分音列）の場合、 [ 39 ]この分析を用いて、ミュージシャンが演奏中に電子キーボードを動的に、あるいは「オンザフライ」でマイクロチューニングするソフトウェアをプログラムする方法が提案されている。その目的は、現在使用されている音符と、それに続く和音を含む可能性のある音符を微調整し、常に調和的に調和した音程を生成することである。これは、オーケストラや合唱団が長時間の和音で全体の音程を絶えず再調整し、厳密な12音階システムでは不可能な協和音を生み出す方法にヒントを得ている。 [ 39 ]

参考文献

  1. ^ Sethares (2005)、図4.6、58ページ
  2. ^オドネル、マイケル. 「音の知覚的基盤」 . 2017年3月11日閲覧。
  3. ^ヘルムホルツ, H. ;エリス, AJ「ヨーロッパにおける音楽ピッチの歴史」『音感について』エリス, AJ訳（復刻版）。ニューヨーク：ドーバー。pp.  493– 511。
  4. ^ Varieschi, Gabriele U.; Gower, Christina M. (2010). 「フレット弦楽器のイントネーションと補正」. American Journal of Physics . 78 (1): 47– 55. arXiv : 0906.0127 . Bibcode : 2010AmJPh..78...47V . doi : 10.1119/1.3226563 . S2CID 20827087 . 
  5. ^ a bクトナー（1975）、163ページ
  6. ^ Kuttner, Fritz A. (1975年5月). 「朱才瑜親王の生涯と業績：平均律理論への貢献の再評価」.民族音楽学. 19 (2): 163– 206. doi : 10.2307/850355 . JSTOR 850355 . 
  7. ^ a bロビンソン、ケネス (1980).中国音楽における平均律理論への朱才瑜の貢献に関する批判的研究. Sinologica Coloniensia. 第9巻. ヴィースバーデン、ドイツ: Franz Steiner Verlag. p.  vii .
  8. ^ a bロビンソン、ケネス・G.、ニーダム、ジョセフ（1962–2004）「第1部：物理学」、ニーダム、ジョセフ（編）『物理学と物理技術 中国における科学と文明』第4巻、ケンブリッジ大学出版局、221頁。
  9. ^ a b朱、在有（1584年）。岳麓全書樂律全書[音楽と音程の完全な概要] (中国語)。
  10. ^クトナー（1975）、200ページ
  11. ^ Cho, Gene J. (2010年2月). 「平均律の発見の文化史における意義」 .星海音楽学院誌. ISSN 1000-4270 . 2012年3月15日時点のオリジナルよりアーカイブ。 
  12. ^朱、在有（1580年）。呂利栄通律暦融通[音楽と暦の融合]（中国語）
  13. ^ 「儀式の定量化：17世紀中国における政治的宇宙論、宮廷音楽、そして精密数学」 uts.cc.utexas.eduテキサス大学オースティン校歴史学部・アジア研究学部 ロジャー・ハートオリジナルより2012年3月5日アーカイブ。 2012年3月20日閲覧。
  14. ^ロビンソン＆ニーダム（1962–2004）、220ページ以降
  15. ^ロナン、コリン（編）『中国の科学と文明の短縮版』（抄訳）385ページ。— オリジナルのRobinson & Needham (1962–2004)の縮小版。
  16. ^ハンソン、ラウ。 劳汉生 《珠算と実用数学》 389ページ[そろばんと実用数学] 389ページ
  17. ^ガリレイ、V. (1584)。Il Fronimo ... Dialogo sopra l'arte del bene intavolare [ Fronimo ... 良い始まりの芸術に関する対話] (イタリア語)。イタリア、ヴェネツィア：ジローラモ・スコット。80～ 89ページ 。
  18. ^ 「Resound – 音楽の腐敗」Philresound.co.uk。2012年3月24日時点のオリジナルよりアーカイブ。2012年3月20日閲覧。
  19. ^ゴルザニス、ジャコモ (1982) [ c. 1525～1575年]。Intabolatura di liuto [リュート譜表] (イタリア語) (再版)。ジュネーブ、スイス: ミンコフ。
  20. ^ 「Spinacino 1507a: Thematic Index」アパラチアン州立大学。2011年7月25日時点のオリジナルよりアーカイブ。 2012年6月14日閲覧。
  21. ^ Stevin, Simon (2009年6月30日) [ 1605年頃] . Rasch, Rudolf (編). Van de Spiegheling der singconst . The Diapason Press. 2011年7月17日時点のオリジナルよりアーカイブ。 2012年3月20日閲覧– diapason.xentonic.org経由。
  22. ^リンドリー、マーク。リュート、ヴィオール、音律。ISBN 978-0-521-28883-5。
  23. ^ヴェルクマイスター、アンドレアス（1707年）。『逆説的な音楽的議論』（ドイツ語）。
  24. ^パーチ、ハリー (1979). Genesis of a Music (第2版). Da Capo Press. p.  134. ISBN 0-306-80106-X。
  25. ^コルディエ、セルジュ. 「Le tempérament égal à quintes justes」 . aredem.online.fr (フランス語). 音楽研究・開発協会. 2010年6月2日閲覧
  26. ^スルジョダイニングラット、スダルジャナ、スサント (1972)
  27. ^モートン（1980）
  28. ^モートン、デイヴィッド（1980年）、メイ、エリザベス（編）、タイの音楽、多文化の音楽、p.70、ISBN 0-520-04778-8。
  29. ^ボイルズ (1969)
  30. ^有关「七平均律」新刊著作的発見[平均律七音律に関する新たな文献の発見]（中国語）。 2007年10月27日時点のオリジナルよりアーカイブ。
  31. ^七平均律琐谈――兼及び旧式均孔曲笛制作と转调[ 「七平均律システム」についての概要]（中国語）。2007年9月30日時点のオリジナルよりアーカイブ。2007年6月25日閲覧
  32. ^スキナー、マイルズ・リー (2007). 『四分音構文に向けて：ブラックウッド、ハバ、アイブズ、ウィシュネグラツキーの選集』 p. 55. ISBN 9780542998478。
  33. ^ Sethares (2005)、58ページ
  34. ^ [1] – Xenharmonic Wikiの232edo
  35. ^ Monzo, Joe (2005). 「平均律」 . Tonalsoft 微分音音楽理論百科事典. Joe Monzo . 2019年2月26日閲覧。
  36. ^ "665 edo" . xenoharmonic (microtonal wiki) . 2015年11月18日時点のオリジナルよりアーカイブ。 2014年6月18日閲覧。
  37. ^ "convergents log2(3), 10" . WolframAlpha . 2014年6月18日閲覧。
  38. ^カルロス、ウェンディ. 「オクターブの3つの非対称分割」 . wendycarlos.com . Serendip LLC . 2016年9月1日閲覧。
  39. ^ a b c d e Milne, A.; Sethares, WA ; Plamondon, J. (2007年冬). 「同型コントローラとダイナミックチューニング：チューニング連続体における不変運指」 . Computer Music Journal . 31 (4): 15– 32. doi : 10.1162/comj.2007.31.4.15 . ISSN 0148-9267 . オンライン: ISSN 1531-5169 

出典

参考文献

「 https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Equal_temperament&oldid=1335015188」より引用