極値理論

極値理論は、1755年のリスボン地震のような極端で稀な事象のリスクをモデル化するために使用されます

極値理論または極値分析( EVA ) は、統計分布における極値の研究です。

EVAは、構造工学、金融、保険数理学、経済学、地球科学、交通予測、地質工学など、多くの分野で広く利用されています。例えば、EVAは水文学の分野で、 100年に一度の洪水のような異常に大規模な洪水の発生確率を推定するために使用されることがあります。同様に、防波堤の設計においては、沿岸技術者は50年に一度の波を推定し、それに応じて構造物を設計しようとします。

データ分析

実用的な極値解析には、主に2つのアプローチがあります。

最初の方法は、予備的なステップとしてブロックの最大値（最小値）系列を導出することに依存しています。多くの場合、年間の最大値（最小値）を抽出して年間最大値系列（AMS） を生成するのが慣例であり便利です

2つ目の方法は、連続記録から、値が特定の閾値を超えた（または特定の閾値を下回った）期間のピーク値を抽出するというものです。この方法は一般に、ピーク閾値超過法（POT法）と呼ばれます。^{[ 1 ]}

AMSデータの場合、解析は部分的にフィッシャー・ティペット・グネデンコ定理の結果に依存し、一般化極値分布がフィッティングに選択される。^{[ 2 ] [ 3 ]}しかし、実際には、より広範囲の分布から選択するために様々な手順が適用される。ここでの定理は、同じ分布からの非常に大規模な独立確率変数の集合の最小値または最大値の極限分布に関係する。1年間の関連するランダムイベントの数がかなり限られていることを考えると、観測されたAMSデータの解析で一般化極値分布（GEVD）以外の分布が選択されることが多いのは驚くべきことではない。^{[ 4 ]}

POT データの場合、分析には 2 つの分布を当てはめる必要があります。1 つは対象期間内のイベント数用、もう 1 つは超過のサイズ用です。

前者については、ポアソン分布を仮定し、超過分については一般化パレート分布を用いるのが一般的である。裾の当てはめは、ピカンズ・バルケマ・ド・ハーンの定理に基づいて行うことができる。^{[ 5 ] [ 6 ]}

Novak（2011）は、「POT法」という用語を閾値が非ランダムな場合のみに使用し、ランダムな閾値の超過を扱う場合と区別しています。^{[ 7 ]}

応用

極値理論の応用には、以下の確率分布の予測が含まれます

• 極端な洪水;異常な波の大きさ
• 竜巻の発生^{[ 8 ]}
• 生態学的個体群の最大サイズ^{[ 9 ]}
• 薬剤の副作用（例：キシメラガトラン）
• 大規模な保険損失の規模
• 株式リスク、日々の市場リスク
• 進化の過程で起こる突然変異
• 大規模な山火事^{[ 10 ]}
• 構造物への環境負荷^{[ 11 ]}
• 人類史上最速の100メートル走の記録[ 12 ^{]および他}の競技種目におけるパフォーマンス^{[ 13 ] [ 14 ] [ 15 ]}
• 孔食腐食によるパイプラインの破損
• 異常なITネットワークトラフィックにより、攻撃者が重要なデータにアクセスするのを防ぎます
• 道路安全分析^{[ 16 ] [ 17 ]}
• 無線通信^{[ 18 ]}
• 疫病^{[ 19 ]}
• 神経生物学^{[ 20 ]}
• 太陽エネルギー^{[ 21 ]}
• 極端な宇宙天気^{[ 22 ] [ 23 ] [ 24 ] [ 25 ]}
• 天候、^{[ 26 ]}極端な気温/気候変動^{[ 27 ]}

歴史

極値理論の分野は、L・ティペット（1902-1985）によって開拓された。ティペットは英国綿工業研究協会に勤務し、綿糸をより強くする研究を行った。研究を進める中で、彼は糸の強度はその最も弱い繊維の強度によって決まることを認識した。RAフィッシャーの協力を得て、ティペットは独立変数を仮定して極値の分布を記述する3つの漸近極限を得た。EJガンベル（1958）^{[ 28 ]}はこの理論を体系化した。これらの結果は、変数間にわずかな相関関係があるように拡張できるが、古典理論は分散のオーダーの強い相関関係には拡張できない。特に興味深い普遍性クラスの1つは、相関が距離とともに対数的に減少する 対数相関フィールドである。

一変量理論

単一変数の極値に関する理論は、フィッシャー・ティペット・グネデンコ定理とも呼ばれる極値定理によって支配されており、これは特定の統計変数に対して、 極値の3つの可能な分布のどれが当てはまるかを記述します${\displaystyle X}$

多変数理論

多変数における極値理論は、対処しなければならない追加の問題をもたらします。生じる問題の1つは、何が極端事象を構成するかを特定しなければならないことです。^{[ 29 ]} これは単変数の場合は簡単ですが、多変数の場合は明確な方法がありません。根本的な問題は、実数値の集合を順序付けることは可能であっても、ベクトルの集合を順序付ける自然な方法がないことです

例えば、一変量の場合、観測値の集合が与えられれば、その最大値（または最小値）を取るだけで最も極端な事象を簡単に見つけることができます。しかし、二変量の場合、観測値の集合が与えられても、最も極端な事象をどのように見つけるかはすぐには分かりません。ある特定の時点の値と、それより後の時点の値を測定したとします。これらの事象のうち、どちらがより極端であると考えられますか？この問いに対する普遍的な答えはありません。 ${\displaystyle \x_{i}\}$ ${\displaystyle \(x_{i},y_{i})\}$ ${\displaystyle \(3,4)\}$ ${\displaystyle \ (5,2)\ }$

多変量の場合のもう一つの問題は、限界モデルが単変量の場合ほど完全に規定されていないことである。単変量の場合、モデル（GEV分布）には理論では予測できない3つのパラメータが含まれており、分布をデータに当てはめることによって値を得る必要がある。多変量の場合、モデルには未知のパラメータだけでなく、理論では正確な形が規定されていない関数も含まれる。しかし、この関数は特定の制約に従わなければならない。^{[ 30 ] [ 31 ]} このような制約に従う推定量を考案するのは簡単ではないが、最近ではいくつか構築されている。^{[ 32 ] [ 33 ] [ 34 ]}

応用例として、二変量極値理論は海洋研究に応用されている。^{[ 29 ] [ 35 ]}

非定常極値

非定常時系列の統計モデリングは1990年代に開発されました。^{[ 36 ]}非定常多変量極値のための手法は最近導入されました。^{[ 37 ]} 後者は、極値間の依存関係が時間の経過や別の共変量に対してどのように変化するかを追跡するために使用できます。^{[ 38 ] [ 39 ] [ 40 ]}

参照

• 極度のリスク
• 異常気象
• フィッシャー・ティペット・グネデンコの定理
• 一般化極値分布
• 大偏差理論
• 外れ値
• パレート分布
• ピカンズ・バルケマ・ド・ハーンの定理
• 稀な事象
• 冗長性原理
• 極値分布
  • フレシェ分布
  • ガンベル分布
  • ワイブル分布

参考文献

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外部リンク

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